Ejercicios EEI - Grupo de Investigación de Fractales

Transcripción

L.A.D.E.
ESTADISTICA EMPRESARIAL I (Segundo Curso)
EJERCICIOS
Curso Académico 2008-2009
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I
2º L.A.D.E
EJERCICIO 1
Lanzamos un dado 100 veces y hemos obtenido los siguientes resultados:
2
3
2
2
2
5
1
2
6
1
6
4
3
6
6
3
5
2
2
4
2
6
6
1
5
4
4
1
1
3
5
6
2
4
5
5
5
4
4
5
4
5
4
1
3
5
2
3
4
2
3
4
5
1
1
4
2
1
6
6
6
1
2
3
6
2
5
1
6
5
6
4
2
6
2
5
5
6
3
6
2
6
1
1
3
5
1
1
6
3
1
1
4
6
2
3
6
5
4
2
Construir una distribución de frecuencias y representarla gráficamente.
EJERCICIO 2
En la siguiente tabla aparecen los pesos de 40 estudiantes de una universidad americana. Estos pesos se registran con aproximación de una libra. Construir una distribución de frecuencias. Representarla gráficamente.
138
146
168
146
161
164
158
126
173
145
150
140
138
142
135
132
147
176
147
142
144
136
163
135
150
125
148
119
153
156
149
152
154
140
145
157
144
165
135
128
EJERCICIO 3
Se ha preguntado a 50 familias el nº de personas activas. Los resultados primarios son
los siguientes:
2
2
2
3
1
1
3
2
2
3
2
2
1
3
4
2
1
2
1
3
1
1
1
2
2
2
1
1
4
2
4
3
1
2
2
a) Construir su tabla de frecuencias.
b) Representarla gráficamente.
2
2
4
3
1
1
1
2
2
4
3
1
2
2
1
3
2º L.A.D.E
EJERCICIO 4
En el departamento de personal de una fábrica se ha realizado una investigación estadística en relación a los salarios que percibe diariamente su personal por todos los
conceptos. Los resultados fueron los siguientes en 102 €.:
19
30
27
25
27
30
19
26
25
29
20
27
19
24
28
23
29
27
26
23
24
22
25
23
22
21
25
23
29
24
20
28
22
27
26
25
20
29
28
23
26
27
21
26
20
26
26
27
21
21
24
26
29
30
28
22
28
28
30
26
Se pide:
a) La distribución de salarios sin agrupar en intervalos y agrupando en intervalos de
igual amplitud.
b) Representación gráfica mediante un histograma de la distribución obtenida en el
punto a).
EJERCICIO 5
Para estudiar el efecto de una determinada dieta alimenticia se ha tomado al azar una
muestra de 60 personas. Los pesos obtenidos, expresados en Kg., son los siguientes:
80.1
75.8
76.2
80.4
70.8
79.2
77.6
77.2
72.8
77.9
74.1
69.7
75.6
88.8
81.7
78.7
76.3
75.6
82.4
72.2
77.5
92.3
89.1
82.3
79.3
83.1
88.2
81.2
78.3
81.3
81.4
75.4
78.5
77.7
82.2
76.3
71.5
78.9
80.2
78.9
71.6
65.8
81.2
68.6
69.4
79.4
85.4
72.8
83.2
82.5
90.32
85.2
72.6
69.4
84.7
78.1
69.3
82.3
84.5
77.6
Determinar:
a) La distribución de frecuencias agrupada en intervalos de clase de amplitud 2, redondeando si fuera necesario.
b) Frecuencias de las marcas de clase, frecuencias relativas, frecuencias acumuladas
y frecuencias acumuladas relativas.
c) Las siguientes gráficas:
C1) Histograma de frecuencias (absolutas y relativas).
C2) El polígono acumulativo de frecuencias (absolutas y relativas).
d) Estimar el tanto por ciento de personas cuyo peso está comprendido entre 75 Kg. y
85 Kg. mediante el polígono acumulativo.
3
2º L.A.D.E
EJERCICIO 6
Tomada al azar una muestra de 160 pequeñas y medianas empresas se ha obtenido la
siguiente distribución acerca del número de puestos de trabajo en cada una de ellas.
Puesto de trabajo
0 a 100
100 a 200
200 a 300
300 a 400
400 a 500
500 a 600
600 a 700
700 a 800
800 a 900
900 a 1000
Número de empresas
25
37
12
20
22
21
13
5
3
2
Obtener:
a) El número de empresas con más de 200 puestos de trabajo.
b) El número de empresas que tienen más de 100 puestos de trabajo y menos de 400
puestos de trabajo expresado en tanto por ciento.
c) Representar gráficamente la distribución.
EJERCICIO 7
Se ha lanzado un dado 20 veces obteniéndose los siguientes resultados:
6,1,6,3,1,4,5,2,5,6,1,5,3,4,1,4,6,1,2,1
a) Presentar dichos resultados en una tabla estadística.
b) Obtener la media aritmética, mediana y moda.
c) Realizar su representación gráfica.
EJERCICIO 8
Teniendo en cuenta los datos del EJERCICIO 4, calcular:
a) La mediana de los salarios a partir de la distribución agregada.
b) La moda.
c) El salario medio:
1) Utilizando los datos originales.
2) Con los datos agrupados.
3) Comentar los resultados obtenidos.
d) El primer cuartil y el segundo decil a partir de la distribución agrupada.
4
2º L.A.D.E
EJERCICIO 9
Dada la distribución 6, 10, 20, 24.
Calcular:
a) La media aritmética.
b) La media geométrica.
c) La media cuadrática.
d) La media armónica.
e) Compara las diferentes medias obtenidas.
EJERCICIO 10
El precio de la entrada al circo "Bermúdez e Hijos" es de 300 €. El precio de la entrada
para adultos es de 400 €. y para niños acompañados de 100 €. ¿Qué tanto por ciento
de adultos y niños asisten a los matinales del circo?.
EJERCICIO 11
Los resultados obtenidos por un alumno en una prueba de evaluación consistente en la
resolución de cinco problemas, calificados de 0 a 20 puntos cada uno de ellos, han sido
los siguientes: 2, 8, 17, 12, 3.
Sabiendo que la importancia de cada problema viene dada por los coeficientes: 2, 3, 1,
3, 2. Calcular:
a) La media aritmética ponderada.
b) La media geométrica ponderada.
c) La media cuadrática ponderada.
d) La media armónica ponderada.
EJERCICIO 12
Calcular la tasa media acumulativa de los salarios anuales siguientes:
Años
1980
1981
1982
Salarios en miles de €.
300
360
468
5
2º L.A.D.E
EJERCICIO 13
Una compañía multinacional tiene cinco factorías dedicadas a la elaboración y manufactura de diferentes productos ultracongelados. Cada factoría produce un número distinto de productos. Los ingresos totales y el rendimiento por producto de cada factoría
son los siguientes:
Factorías
Ingresos (miles de $)
Rto. $/Producto
1
200
1.000
2
360
900
3
250
500
4
240
800
5
180
1.200
Calcular el rendimiento medio por producto para el total de las factorías de la multinacional.
EJERCICIO 14
Calcular todos los promedios conocidos de la distribución de frecuencias siguiente:
Distribución de 200 familias con 5 hijos por el nº de varones habidos (datos de
1973).
Varones (X)
0
1
2
3
4
5
Familias
5
29
61
64
34
7
EJERCICIO 15
Un hombre viaja de A a B a una velocidad media de 30 kilómetros por hora y vuelve de
B a A por la misma ruta con una velocidad media de 60 kilómetros por hora. Hallar la
velocidad media para el viaje completo.
EJERCICIO 16
Una empresa productora de bienes de consumo dispone de la siguiente información:
Producción
Hasta 1.000
1.000 - 2.000
2.000 - 4.000
4.000 - 6.000
Más de 6.000
Total
Clientes
5
15
46
32
2
100
Calcular cual es el número de unidades de producción más demandado.
6
2º L.A.D.E
EJERCICIO 17
Dada la siguiente distribución:
Intervalos
0-10
10-30
30-50
ni
32
8
10
Obtener media, mediana y moda.
EJERCICIO 18
Decir si se pueden calcular la media aritmética, mediana y moda de la siguiente distribución de frecuencias:
Variable
Menos de 10
10-20
20-40
40-80
Más de 80
ni
21
62
275
130
26
En caso afirmativo, calcúlese.
EJERCICIO 19
Dada la siguiente distribución de frecuencias:
Intervalos
2- 6
6-12
12-14
14-18
ni
2
3
5
4
a) Obtener Media, Mediana y Moda.
b) Suponiendo que el primer intervalo fuera de 0-6 y el último de 14-20 comentar de
qué forma influiría a los anteriores promedios.
EJERCICIO 20
Demostrar que se cumple para los valores X1 y X2 la siguiente relación
H ≤G≤a
Siendo H la media armónica, G la media geométrica y a la media aritmética.
7
2º L.A.D.E
EJERCICIO 21
Obtener la media geométrica de las siguientes observaciones:
-1, 2, 4
Comentar el resultado obtenido.
EJERCICIO 22
Una población está dividida en tres estratos A1, A2 y A3. De la observación exhaustiva
de la variable "x" se han obtenido los siguientes datos:
Para el estrato:
A1:
A2:
A3:
N1=50
N2=100
N3=200
a=2
a=7
a=10
Mo=3
Mo=8
Mo=10
Obtener la media aritmética y la moda de la población total.
EJERCICIO 23
Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de tubos A y B. Los tubos tienen
unas duraciones medias respectivas de 1.495 h. y 1.875 h.; las desviaciones típicas
son: para el tubo A de 280 h. y para el tubo B de 310 h. Determinar:
a) ¿Qué tubo tiene mayor dispersión absoluta?
b) ¿Qué tubo tiene mayor dispersión relativa?.
EJERCICIO 24
Un estudiante obtuvo en el examen de Matemáticas la calificación de 11 y en el examen de Geografía, 23.
Conociendo el resultado de la totalidad de las calificaciones obtenidas por los estudiantes examinados en ambas disciplinas.
Matemáticas
Geografía
Puntuación
ni
Puntuación
ni
0- 4
47
0- 7
0
4-10
32
7-12
23
10-14
17
12-17
24
14-30
4
17-22
20
22-27
18
27-32
15
Calcular en qué asignatura obtuvo el estudiante mejor calificación.
8
2º L.A.D.E
EJERCICIO 25
Lanzando un dado 50 veces se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias:
Xi:
ni:
a)
b)
c)
d)
1
6
2
11
3
6
4
7
5
9
6
11
Calcular la desviación media con respecto a la media aritmética.
Calcular la desviación mediana.
Calcular la varianza y desviación típica.
Calcular el coeficiente de variación de PEARSON.
EJERCICIO 26
Determinar cuál de las distribuciones A y B tiene mayor grado de dispersión.
Distribución A
Interv.
0-2
2-4
4-6
6-8
ni
4
6
5
3
Distribución B
Interv.
4-8
8-12
12-16
16-20
20-24
ni
10
12
14
20
21
EJERCICIO 27
Una distribución A tiene una media aritmética que es doble a la de una distribución B y
una desviación típica que es la mitad de B ¿Qué relación existe entre sus grados de
dispersión?.
EJERCICIO 28
Dada la distribución de frecuencias {xi, ni} , donde N=100, se sabe que la media aritmética vale 5 y la varianza vale 15. Se añaden 20 nuevas observaciones a la distribución,
todas ellas con valor cinco. ¿Qué valor tomaría el nuevo coeficiente de variación?. Contestar razonadamente.
9
2º L.A.D.E
EJERCICIO 29
Con la siguiente distribución de la variable X, probar que la variable tipificada tiene una
media igual a cero y una desviación típica igual a la unidad:
Xi:
ni:
0
3
2
2
4
2
6
1
8
1
EJERCICIO 30
Dada la siguiente distribución de frecuencias conjuntas:
Xi
Yi
1
1
2
3
3
4
4
4
2
1
6
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4
2
6
1
Total = 10
nij
Se pide:
Construir una tabla de correlación, obteniendo a partir de ella las siguientes cuestiones:
a)
b)
c)
d)
Distribuciones marginales de X e Y
Distribución de Y condicionado a X=3
Covarianza
Estudiar la posible independencia entre las variables
EJERCICIO 31
Dadas las observaciones de la variable (X,Y):
Y/X
1
2
4
1
3
0
0
2
2
0
0
3
0
4
0
4
0
4
0
5
0
0
4
Determinar razonadamente:
a) El valor medio de la distribución de X/Y=2
b) La dependencia o independencia de las variables
c) Covarianza y coeficiente de correlación
10
2º L.A.D.E
EJERCICIO 32
Comprobar mediante un ejemplo que dos distribuciones de frecuencias incorrelacionadas no son necesariamente independientes.
EJERCICIO 33
Comprobar que, cualquiera que sea el suceso A, se verifica:
P A = 1 − P ( A)
( )
donde A representa el suceso complementario del suceso A .
EJERCICIO 34
Comprobar que la probabilidad del suceso O , suceso imposible, es igual a cero.
EJERCICIO 35
Sean P(A), P(B) y P(A ∩ B), las probabilidades de los sucesos A, B y A ∩ B, respectivamente. Determinar, en función de ellas:
1) P A I B
(
)
2) P ( A ∩ B )
EJERCICIO 36
Sean P(A), P(B) y P(A ∩ B), las probabilidades de los sucesos A, B y A ∩ B, respectivamente. Determinar, en función de ellas, la probabilidad del suceso A ∪ B.
EJERCICIO 37
Basándose en el resultado obtenido en el problema 33, determinar:
P( A ∪ B ∪ C )
EJERCICIO 38
Comprobar que para cualesquiera que sean los sucesos A y B, con P(B)>0, se verifica:
P(A/B)+P( A /B)=1:
EJERCICIO 39
Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos A, B y C, con P( C )>0, se verifica:
P(A ∪ B/C)=P(A/C)+ P(B/C)-P(A ∩ B/C)
11
2º L.A.D.E
EJERCICIO 40
Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos A y B, se verifica:
P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A)+P(B)
EJERCICIO 41
Sean A y B dos sucesos independientes en probabilidad. Comprobar que son independientes entre sí los sucesos:
1) A y B
2) A y B
3) A y B
EJERCICIO 42
Sean A, B y C tres sucesos independientes en probabilidad. Comprobar que son independientes entre sí los sucesos:
2) A , B y C
3) A , B y C
1) A , B y C
EJERCICCIO 43
Comprobar que si los sucesos A y B son independientes en probabilidad, se verifica:
P ( A ∪ B )1 − P ( A) P ( B )
EJERCICIO 44
Dos alumnos se presentan al examen de Estadística. La probabilidad de que apruebe
el primero es de 0,7 y la de que apruebe el segundo es de 0,6. Determinar:
a) La probabilidad del suceso S1, consistente en que aprueben los dos.
b) La probabilidad del suceso S2, consistente en que apruebe al menos uno.
c) La probabilidad del suceso S3, consistente en que no apruebe ninguno.
d) Si los sucesos S1 y S2 son o no independientes.
e) Si los sucesos S1 y S2 son o no incompatibles.
EJERCICIO 45
En la Universidad X de determinada población, se pueden estudiar dos carreras, Económicas y Derecho. Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias de los estudiantes de COU de la ciudad, que ha dado los siguientes resultados: al 30 % les gustaría estudiar únicamente Económicas, al 10 % únicamente Derecho y al 20 % ninguna
de las dos. Elegido al azar un estudiante de esta ciudad, determinar razonadamente:
a) La probabilidad de que le guste estudiar ambas carreras.
b) La probabilidad de que, sabiendo que siente preferencia por Derecho, también le
guste Económicas.
12
2º L.A.D.E
EJERCICIO 46
Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola
roja:
1) Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta es devuelta a la urna para realizar
la segunda extracción (extracciones con reemplazamiento).
2) Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta NO es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones sin reemplazamiento).
EJERCICIO 47
Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja:
1) Si se suponen extracciones con reemplazamiento.
2) Si se suponen extracciones sin reemplazamiento.
EJERCICCIO 48
De un lote de dos piezas, del que se sabe que el 5 % son defectuosas, se efectúan extracciones con reemplazamiento (se extrae una pieza y, una vez observada, se devuelve al lote). Determinar la probabilidad de que, en tres extracciones resulte una sola pieza defectuosa.
EJERCICIO 49
Determinar la probabilidad del suceso consistente en extraer una bola blanca de una
urna que contiene cuatro bolas de dos colores, blanco y rojo, supuesto que las distintas
composiciones de la urna sean igualmente probables.
EJERCCCIO 50
Una urna A contiene cinco bolas negras y dos rojas. Otra urna B contiene tres bolas
negras y dos rojas. Se traslada una bola de la urna A a la B y, a continuación, se extrae
una bola de la urna B. Establecer:
1) La probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea bola roja.
2) Si, efectivamente, la bola extraída de la urna B es roja, determinar la probabilidad
de que la bola trasladada fuese negra.
EJERCICIO 51
Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles, desea lanzar al mercado un
nuevo modelo en el año 2005. Al estudiar la posible situación económica que existirá
13
2º L.A.D.E
en dicho año, contempla tres alternativas: existencia de inflación, estabilidad o depresión, estimando:
1) Dichas alternativas igualmente probables.
2) La probabilidad deque se lance el nuevo modelo al mercado es:
0,7 si existe inflación.
0,4 si existe estabilidad.
0,1 si la situación es de depresión.
Determinar la probabilidad de que el nuevo producto esté en el mercado en el año
2005.
EJERCICCIO 52
El servicio de estudios de una empresa, que proyecta concurrir a un mercado donde
sólo existiría otra empresa competidora, estima que, al finalizar el ejercicio económico,
sus ventas superarán las 100.000 unidades con la probabilidad de:
0'8 si el precio fijado por la empresa competidora el ALTO
0'5 si el precio fijado por la empresa competidora el MEDIO
0'1si el precio fijado por la empresa competidora el BAJO
Además, por situaciones anteriores, el servicio de estudios determina que la probabilidad de que la empresa competidora:
- fije el precio ALTO es de 0.3
- fije el precio MEDIO es de 0.5
- fije el precio BAJO es de 0.2
Determinar la probabilidad de que las ventas de la empresa superen las 100.000 unidades.
EJERCICIO 53
Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primero puede producir
mayor beneficio, pero en el 25 % de los balances arroja pérdidas, mientras que el segundo, donde la perspectiva de beneficio es menor, arroja pérdida sólo el 5 % de los
casos. Se supone que el conjunto de operaciones es análogo en ambos negocios.
Si analizando el resultado económico de una de las operaciones arroja pérdida. ¿Cuál
sería la probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B?.
EJERCICIO 54
El volumen de producción diario en tres plantas de una fábrica es de 500 unidades en
la primera, 1000 en las segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de
unidades defectuosas producidas en las tras plantas es del 1 %, 0,8 % y 2 % respectivamente, determinar la probabilidad de que:
1) Extraída al azar una unidad resulte NO defectuosa.
2) Habiendo sido extraída una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera
planta.
14
2º L.A.D.E
EJERCICIO 55
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una
gran ciudad de suerte que el 60% de los autobuses cubren el servicio de primera línea,
el 30% el de la segunda y el 10% de la tercera. Se sabe que la probabilidad de que diariamente un autobús se averíe es de 2% en la primera línea, 4% en la segunda y 1%
en la última. Determinar:
a) La probabilidad de que en un día un autobús sufra una avería.
b) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es la
probabilidad de que preste servicio en la primera línea?.
EJERCICIO 56
Comprobar que siendo F(x) la función de distribución de una variante ξ cualesquiera
que sean los números reales a y b, se verifica:
1) P (a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a )
2) P (a ≤ ξ ≤ b) = F (b) − F (a ) + P (ξ = a )
3) P (a < ξ < b) = F (b) − F (a ) − P (ξ = b)
4) P (a ≤ ξ < b) = F (b) − F (a ) + P (ξ = a ) − P (ξ = b)
EJERCICIO 57
Comprobar que, si la distribución de probabilidad de la variante ξ es de tipo continuo,
se verifica que:
P (ξ = x) = 0
EJERCICIO 58
Si la distribución de probabilidad de la variante ξ es de tipo continuo, comprobar que:
P ( a < ξ ≤ b) = P ( a ≤ ξ ≤ b) = P ( a ≤ ξ < b ) = P ( a < ξ < b )
EJERCICIO 59
Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad es:
ξ =xi:
1
2
3
4
5
P (ξ = xi ) :
2/8
1/8
2/8
2/8
1/8
Determinar:
1) La representación gráfica de la distribución de probabilidad de la variante.
2) La función de distribución de la variante.
3) La probabilidad P (1 < ξ ≤ 2.7)
4) La probabilidad P (1 ≤ ξ < 3.5)
15
2º L.A.D.E
EJERCICIO 60
Dada la variante ξ cuya función de distribución viene definida por:
F(x)=0
F(x)=1/4
F(x)=2/4
F(x)=3/4
F(x)=1
para
para
para
para
para
x<0
0 ≤ x <1
1≤ x < 2
2≤ x<3
3≤ x
Determinar:
1) La representación gráfica de dicha función de distribución.
2) La distribución de probabilidad de dicha función de distribución.
3) Las probabilidades P (ξ = 1,7), P (ξ = 2), P (1.2 < ξ < 3)
EJERCICIO 61
Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad es:
ξ =xi:
0
1
P (ξ = xi ) :
1/3
2/3
Determinar:
1) La función de distribución de la variante ξ
2) Las probabilidades P (ξ > 1), P (ξ ≤ 2,4), P (ξ = 0.5), P (−2 < ξ ≤ 0.5)
EJERCICIO 62
Una función F(x) toma los siguientes valores:
F(x)=0,3
F(x)=0,5
F(x)=0,6
F(x)=0,55
F(x)=1
para
para
para
para
para
x<0
0 ≤ x <1
1≤ x < 2
2≤ x<3
3≤ x
Establecer razonadamente si dicha función puede ser la función de distribución de una
variable aleatoria ξ .
EJERCICIO 63
Dada la variante ξ tal que:
r−
P (ξ = r ) = k •
para r = 2,3,4,...n
n
P (ξ = r ) = 0
para cualquier otro valor de r
16
2º L.A.D.E
Determinar k para que P (ξ = r ) sea la función de cuantía que defina la distribución de
probabilidad de la variante ξ
EJERCICIO 64
m r −m
e
r!
P (ξ = r ) = 0
P (ξ = r ) =
para r = 0,1,2,3,..., ∞
para cualquier otro valor de r
Comprobar que así definida P (ξ = r ) es la función de cuantía que define la distribución
de probabilidad de la variante ξ .
EJERCICIO 65
Sea una variante aleatoria ξ , cuya función de probabilidad viene definida por la función
de cuantía:
k
P (ξ = x) =
para r = 0,1,2,3,...
x!
P (ξ = x) = 0
para cualquier otro valor de x
Se pide:
1) Comprobar en qué condiciones dicha función es efectivamente una función de
cuantía.
2) Determinar la P (ξ > 2).
EJERCICIO 66
Dada la variante ξ , cuya distribución viene definida por la función:
3
1
P (ξ = x) =
para r = 0,1,2,3,4
2 x!(4 − x)!
P (ξ = x) = 0
Determinar
2) Las probabilidades P (ξ = 3), P (1 ≤ ξ ≤ 2,5), P (ξ ≤ 2.5)
EJERCICIO 67
Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de
densidad:
17
f ( x) = 0
1
f ( x ) = ( x + 1)
9
4
1
f ( x) = (x + )
9
2
45

f ( x) =  − x 
92

1
f ( x ) = (4 − x)
9
1
f ( x) =
9
f ( x) = 0
2º L.A.D.E
para x ≤ 0
para
0 < x ≤1
para 1 < x ≤
3
2
para
3
<x≤2
2
para
2< x≤3
para
3< x≤6
para 6 < x
Determinar:
1) La representación gráfica de dicha función de densidad.
3) La probabilidad P (1.3 < ξ < 2.4) .
EJERCICIO 68
Suponiendo que el tiempo de espera en el metro tiene una distribución de probabilidad
definida por la función de distribución:
F ( x) = 0
1
x
2
1
F ( x) =
2
1
F ( x) = x
4
F ( x) = 1
F ( x) =
para x ≤ 0
para
0 < x ≤1
para 1 < x ≤ 2
para
2< x≤4
para 4 < x
Determinar:
1) Dibujar la función de distribución y la función de densidad.
2) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea:
- superior a 3 minutos.
- inferior a 3 minutos.
- entre 1 y 3 minutos.
3) Sabiendo que el tiempo de espera ha sido superior a 1 minuto, ¿cuál es la probabilidad de que sea superior a 3?.
18
2º L.A.D.E
EJERCICIO 69
P (ξ = r ) = k •
r 2 −1
5
para r=1,2,3,4,5.
1) Determinar k para que esa función sea efectivamente la función de cuantía que defina la distribución de probabilidad de la variante ξ .
2) Definir, a partir de ella, la función de distribución.
3) Las probabilidades: P (1 ≤ ξ < 4), P (ξ > 4), P (−3 < ξ ≤ 2.5)
EJERCICIO 70
Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de
densidad:
1
para 0 < x < 3

f ( x) = 3
0 para cualquier otro valor de x
Determinar:
1) Que f(x), así definida, es ciertamente la función de densidad.
3) Las siguientes probabilidades P(− < ξ ≤ −1), P(1 < ξ < 2.4)
EJERCICIO 71
densidad:
2 x para 0 < x < 1
f ( x) = 
0
Determinar:
1) La función de distribución de la variante ξ .
2) Las siguientes probabilidades P(ξ = 0.75), P(−1 < ξ ≤ 0.5), P (0.3 < ξ ≤ 0.8)
EJERCICIO 72
densidad:
kx 2
para 0 < x < 1
f ( x) = 
0
Determinar:
19
2º L.A.D.E
1) El valor de k, para que ciertamente f ( x ) sea la función de densidad que define a la
distribución de probabilidad de la variante.
2) La función de distribución de la variante ξ .
3) La probabilidad P(0.3 ≤ ξ ≤ 0.7)
EJERCICIO 73
densidad:
θ e −θ x
para x ≥ 0
f ( x) = 
f(x)= θe −θx
para x < 0
0
Determinar el valor de θ , para que ciertamente f(x) sea la función de densidad que define a la distribución de probabilidad de la variante ξ .
EJERCICIO 74
Aun estando sometidos a control diario los artículos ofrecidos a la venta en unos grandes almacenes, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos "r" artículos defectuosos es:
21
P( x = r ) =  
33
r
para r = 0,1,2,3,...
Determinar la probabilidad de que en un día sean vendidos:
1) Dos o más artículos defectuosos.
2) Cinco artículos defectuosos.
3) Tres o menos artículos defectuosos.
EJERCICIO 75
La cantidad de dinero ahorrada, aleatoria, por una persona en un mes, sigue la ley de
probabilidad dada por la función de distribución:
para 0 < x
0
1
 x
para 0 ≤ x < 1
2
 1
F ( x) = 
para 1 ≤ x < 2
2
1
para 2 ≤ x < 4
4 x

para 4 ≤ x
1
20
2º L.A.D.E
donde x viene expresada en miles de euros. Determinar la probabilidad de que, en un
mes, la cantidad de dinero ahorrada:
1) Sea superior a 2000 €
2) Sea inferior a 4500 €
3) Sea superior a 500 € y menor o igual a 2500 €
EJERCICIO 76
El beneficio aleatorio, que una empresa dedicada a la prestación de un servicio público
puede obtener a lo largo de un año, sigue la ley de probabilidad definida por la función
de distribución:
1 −(x )2
F ( x) = e 50
para x ≤ 0
2
1 − (x )2
F ( x) = 1 − e 50
para x > 0
2
donde x viene expresado en miles de euros.
Determinar la probabilidad de que el beneficio obtenido:
a) Sea superior a 50 miles de €.
b) Sea inferior a -50 miles de €.
c) Sea 100 millones de euros o más, sin superar los 200 miles de euros.
EJERCICIO 77
La demanda diaria de un artículo sigue la ley de probabilidad definida por la función de
densidad:
1
F ( x) = 1 − x
para 0 ≤ x ≤ 2
2
F ( x) = 0
para el resto de los valores de x
donde x viene expresado en miles de euros.
Determinar la probabilidad de que el número de unidades demandadas en un día:
1) No supere las 3500 unidades
2) Esté comprendida entre 635 y 1870 unidades
EJERCICIO 78
El número de unidades vendidas mensualmente, de un determinado tipo de artículo, sigue la ley de probabilidad definida por la función de densidad:
21
x
 25

1
f ( x ) =  (10-x )
 25
0


2º L.A.D.E
para 0 ≤ x < 5
para 5 ≤ x < 10
donde x viene expresado en miles de unidades.
Determinar la probabilidad de que el número de unidades vendidas en un mes:
1) Sea superior a 5000 unidades.
2) Sea superior a 5000 no superando las 7500 unidades.
EJERCICIO 79
Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda, aleatoria, de sus potenciales clientes, se comportará, semanalmente, con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad:
3
F ( x) = (4 x − 2 x 2 )
para 0 ≤ x ≤ 2
8
F ( x) = 0
para el resto de los valores de x
donde x viene expresado en millones de unidades.
¿Qué cantidad deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para
poder satisfacer plenamente la demanda, en dicho periodo, con la probabilidad de 0,5?.
EJERCICIO 80
Dada una variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de
distribución F(x), comprobar que el momento de orden dos respecto al origen:
∫
+∞
−∞
x 2 dF ( x)
si existe, puede ser expresado en la forma:
∫
+∞
−∞
x 2 dF ( x) =
∫
+∞
−∞
x( x − 1)dF +
∫
+∞
−∞
xdF (x)
EJERCICIO 81
Dada la variante x, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de
distribución:
F ( x) = 0
para x < 1
1
F ( x) =
para 1 ≤ x < 3
4
F ( x) = 1
para 3 ≤ x
22
2º L.A.D.E
Determinar el valor probable.
EJERCICIO 82
distribución:
F ( x) = 0
para x < 0
F ( x) = x 2
F ( x) = 1
para 0 ≤ x < 1
para 1 ≤ x
Determinar el valor probable.
EJERCICIO 83
distribución:
F ( x) = 0
para x < 0
F ( x ) = x1 / 2
F ( x) = 1
para 0 ≤ x < 1
para 1 ≤ x
Determinar el valor probable y la varianza.
EJERCICIO 84
Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad es:
m r −m
e
para r = 0,1,2,... m ∈ R +
r!
Determinar el valor probable y la varianza.
P (ξ = r ) =
EJERCICIO 85
distribución:
1
F ( x) = 1 −
para x ≥ 0
1+ x
F ( x) = 0
para cualquier otro valor de x.
Comprobar que dicha distribución carece de valor probable
23
2º L.A.D.E
EJERCICIO 86
Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al
EJERCICIO 67.
EJERCICIO 87
EJERCICIO 68.
EJERCICIO 88
EJERCICIO 69
EJERCICIO 89
EJERCICIO 72.
EJERCICIO 90
EJERCICIO 74.
EJERCICIO 91
EJERCICIO 75.
EJERCICIO 92
Sea una variable aleatoria ξ , de cuya distribución de probabilidad se conoce que la
media es cero y la desviación típica σ . Determinar la probabilidad de que la variable
tome valores comprendidos entre -1 y +1. Justifíquese la respuesta.
EJERCICIO 93
En una plaza de toros se sabe que al finalizar el festejo esperan el autobús una media
de 7000 personas, con una desviación típica de 350. La empresa concesionaria del
servicio quiere tener una probabilidad del 80 % o superior de tener el servicio bien
24
2º L.A.D.E
atendido. La capacidad del autobús es de 50 personas. ¿Cuántos autobuses son necesarios?.
EJERCICIO 94
En una empresa multinacional de refinado de aceites se regula la temperatura de una
disolución en un proceso químico. La presencia de perturbaciones aleatorias origina
una fluctuación en la temperatura. En el transcurso del tiempo se efectúan una serie de
medidas, de las que se deduce que la temperatura media es de 150 º F., con una desviación típica de 1º F. Determinar la fracción de tiempo durante la cual la temperatura
puede exceder de 160 º F.
EJERCICIO 95
En un cine de verano al aire libre hay instaladas 800 sillas. Sabiendo que el número de
asistentes es una variable aleatoria con esperanza 600 y desviación típica 100, ¿qué
probabilidad se asignaría al suceso de que el número de asistentes fuese superior al de
sillas instaladas?.
EJERCICIO 96
De la variable ξ se sabe que E [ξ ] = 6 y . V [ξ ] = 4 Discutir si son ciertas las siguientes
afirmaciones:
a) P[ξ > 14] ≈ 0
b) P[ξ < −4] ≈ 0
c) P[0 < ξ ≤ 12] ≈ 0.7
EJERCICIO 97
Dada la variable aleatoria ξ , cuya distribución de probabilidad es:
1
P (ξ = 0) =
3
2
P (ξ = 1) =
3
Determinar la función característica.
EJERCICIO 98
distribución:
F ( x) = 0
para x < 0
25
F ( x) = x
F ( x) = 1
2º L.A.D.E
para 0 ≤ x ≤ 1
para 1 < x
Determinar la función característica.
EJERCICIO 99
Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad es
m r −m
e
r!
Determinar:
P (ξ = r ) =
para r = 0,1,2,....m ∈ R +
1) La función característica.
2) El valor probable y la varianza, con base en dicha función característica.
EJERCICIO 100
Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad es
P (ξ = r ) = pq r −1
para r = 0,1,2,....
con 0 < p < 1
0 < q <1
p + q =1
Determinar:
1) La función característica.
2) El valor probable y la varianza, con base en dicha función característica.
EJERCICIO 101
Tenemos un dado defectuoso, de manera que la probabilidad de que obtenga puntuación 2 es el doble que la de obtener el 1; la probabilidad de obtener puntuación impar
es la misma en todos los casos y la de obtener 4 y 6 es la mitad de obtener puntuación
impar.
Calcular:
a) Distribución de probabilidad del experimento "lanzar el dado defectuoso".
b) La puntuación media esperada.
c) Construir la función característica.
EJERCICIO 102
De una urna, que contiene cinco bolas blancas y cuatro rojas, se realizan dos extracciones sucesivas sin reemplazamiento (extraída la primera bola de la urna no se rein26
2º L.A.D.E
tegra a ella para efectuar la segunda extracción). Si convenimos en representar por ξ1
y ξ 2 los resultados aleatorios de la primera y segunda extracción respectivamente:
Determinar:
1) La distribución de probabilidad conjunta de la variante ( ξ1 , ξ 2 ).
2) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ 2
3) La covarianza entre las variantes ξ1 y ξ 2
4) El coeficiente de correlación.
5) Si las variantes ξ1 y ξ 2 son o no estocásticamente independientes.
EJERCICIO 103
De una urna, que contiene seis bolas blancas y tres rojas, se realizan dos extracciones
sucesivas con reemplazamiento (extraída la primera bola de la urna se reintegra a ella
para efectuar la segunda extracción). Si convenimos en representar por ξ1 y ξ 2 los resultados aleatorios de la primera y segunda respectivamente:
Determinar:
1) La distribución de probabilidad conjunta de la variante ( ξ1 , ξ 2 ).
2) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ 2
3) La covarianza entre las variantes ξ1 y ξ 2
4) ρ 2 .
EJERCICIO 104
Dada la variante ( ξ1 , ξ 2 ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por
la función de distribución conjunta:
F ( x, y ) = (1 − e −2 x )(1 − e −3 y ) para x ≥ 0 y ≥ 0
F ( x, y ) = 0 para cualquier otro valor de (x, y).
Determinar:
1) Las distribuciones de probabilidad marginales.
EJERCICIO 105
la función de distribución conjunta:
F ( x, y ) = (1 − e x )(1 − e y )
para x ≥ 0 y ≥ 0
F ( x, y ) = 0 para cualquier otro valor de (x, y).
Determinar:
1. La probabilidad del suceso (ξ1 ≤ 1;ξ 2 ≤ 1) .
27
2º L.A.D.E
2. Las distribuciones de probabilidad marginales de la variante ξ1 y de la variante
ξ2 .
3. Si las variantes ξ1 y ξ 2 son o no estocásticamente independientes.
EJERCICIO 106
la función de densidad conjunta:
1
f ( x, y ) =
para 0 < x < 3 1 < y < 4
9
f ( x, y ) = 0 para cualquier otro valor de (x, y).
Determinar:
1) La probabilidad del suceso (ξ1 < 2;ξ 2 < 2) .
2) La probabilidad del suceso (2 < ξ1 < 2,5 / ξ 2 < 3)
EJERCICIO 107
f ( x, y ) = x + y
para 0 < x < 1
0 < y <1
f ( x, y ) = 0
para cualquier otro valor de ( x, y )
Determinar:
1) La probabilidad del suceso (ξ1 ≤ 0,5;ξ 2 ≤ 0,2) .
3) La regresión de ξ 2 sobre ξ1 .
4) El coeficiente de correlación.
EJERCICIO 108
4
f ( x, y ) = • ( x + 3 y ) • e − x − 2 y
para x ≥ 0 y ≥ 0
5
f ( x, y ) = 0
Determinar:
1) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ1 y de la variante ξ 2 .
2) La distribución de probabilidad de la variante ξ 2 condicionada a la variante ξ1 .
3) La covarianza entre ambas variantes.
28
2º L.A.D.E
EJERCICIO 109
1
f ( x, y ) = • 1 + xy ( x 2 − y 2 )
para − 1 ≤ x ≤ 1
−1 ≤ y ≤ 1
4
f ( x, y ) = 0
[
]
Determinar:
1) La distribución de probabilidad marginal de la variante ξ1 y de la variante ξ 2
2) La distribución de probabilidad de la variante ξ 2 condicionada a la variante ξ1
4) La correlación existente entre las variantes ξ1 y ξ 2 .
5) La regresión de ξ 2 sobre ξ1 .
EJERCICIO 110
El 80 % de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, siendo el 20 % restante de color rojo. Determinar la probabilidad de que al efectuar tres extracciones sucesivas con reemplazamiento, dos de las bolas sean de color blanco y una roja.
EJERCICIO 111
Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De
acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan:
1) Los cinco individuos.
2) Al menos tres.
3) Sólo dos.
4) Al menos uno.
EJERCICIO 112
Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, en una de sus secciones,
sólo dos artículos a precios p1 y p2, de suerte que:
- el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p1.
- El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p2.
Si un día determinado se venden en dicha sección 20 unidades, determinar la probabilidad de que las 20 unidades correspondan al artículo de precio p2.
EJERCICIO 113
Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus
habituales clientes dos formas de pago: "pago al contado" o "pago aplazado", sabe que
29
2º L.A.D.E
el 20 % de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de "pago al
contado".
Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido cinco unidades, determinar
la probabilidad de que:
1) Dos unidades o más, lo hayan sido bajo la forma "pago al contado".
2) Dos unidades o menos, lo hayan sido bajo la forma de "pago aplazado".
EJERCICIO 114
Si las variantes ξ i (i = 1,2,3,..n) independientes, poseen todas la distribución:
B (1; p )
comprobar que la variante η definida por:
η = ξ1 + ξ 2 + ξ 3 + ... + ξ n
se comporta con arreglo a la distribución B (n; p ) .
EJERCICIO 115
Sean η1 y η 2 dos variantes tales que:
-
η1 se distribuye según la ley B(n1 ; p)
η 2 se distribuye según la ley B(n2 ; p)
Comprobar que la variante η , definida de la forma η = η1 + η 2 se distribuye según la
ley B(n1 + n2 ; p) , suponiendo que η1 y η 2 son estocásticamente independientes.
EJERCICIO 116
A dos grupos, compuestos por diez individuos el primero y seis individuos el segundo,
se les efectúa una misma pregunta; supuesto que las únicas posibles sean "si" o "no",
ambas en principio igualmente probables, y que todos los individuos respondan, determinar la probabilidad de que:
1) El número de respuestas afirmativas en el primer grupo sea inferior a seis.
2) El número de respuestas afirmativas de los dos grupos sea igual o superior a doce.
(Supóngase la independencia para las respuestas de cada individuo, y para las de los
dos grupos.)
EJERCICIO 117
El 50 % de las bolas contenidas en una urna son de color blanco; el 30 % de color rojo;
y el 20 % de color negro. Determinar la probabilidad de que, al efectuar cinco extracciones sucesivas con reemplazamiento:
30
2º L.A.D.E
1) Dos de las bolas extraídas sean de color blanco, dos de color rojo y una de color
negro.
2) Tres de las bolas extraídas sea de color blanco.
3) Una de las bolas extraídas sea de color rojo.
4) Dos de las bolas extraídas sean de color negro.
EJERCICIO 118
Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, cuatro artículos que ofrece a los precios p1, p2, p3 y p4, de suerte que:
Si un día determinado se venden 8 unidades, determinar la probabilidad de que:
1) Una unidad sea del artículo de precio p1, dos del artículo de precio p2, dos del artículo de precio p3 y tres del artículo de precio p4.
2) Tres unidades sean del artículo de precio p2.
EJERCICIO 119
Un accionista tiene la posibilidad de comprar acciones de cuatro empresas: A, B, C y D.
Las probabilidad de que compre acciones de cada empresa son:
P(A)=0'1
P(B)=0'2
P(C)=0'3
P(D)=0'4
Si un día determinado ha comprado 10 títulos, calcular las siguientes probabilidades:
1) Que dos títulos sean de A, cinco de B y tres de las otras empresas.
2) Que no compre ningún título de A.
EJERCICIO 120
El número medio de automóviles que llega a una estación de servicio es 210 por hora.
Si dicha estación puede atender a un máximo de 10 automóviles por minuto, determinar la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación de suministro más
automóviles de los que puede atender.
EJERCICIO 121
La proporción de individuos de una población con renta superior a los dos millones de
euros, es de 0,005 %. Determinar la probabilidad de que, entre 5.000 individuos consultados, haya dos con ese nivel de renta, supuesto que todos los consultados respondan.
31
2º L.A.D.E
EJERCICIO 122
Por parte de una compañía de seguros se sabe que el 0'003 % de los individuos de
una población fallece cada año de un determinado tipo de accidente. Determinar:
1) La probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de tres de los 10.000
asegurados contra tal tipo de accidente en un año determinado.
2) El número de accidentes esperados.
EJERCICIO 123
En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que
es razonable esperar sea demandado por el 0,4 % de los habitantes de dicha zona. Determinar la probabilidad de que, consultados 1.000 de éstos, dicho producto sea demandado:
1) Por tres o más.
2) Por cinco o menos.
EJERCICIO 124
Sean η 1 y η 2 dos variantes tales que:
- η 1 se distribuye según la ley de Poisson de parámetro λ1
- η 2 se distribuye según la ley de Poisson de parámetro λ 2
Comprobar que la variante η , definida de la forma η = η1 + η 2 se distribuye según la ley
de Poisson de parámetro ( λ1 + λ 2 ), si η 1 y η 2 son estocásticamente independientes.
EJERCICIO 125
Del volumen de producción diaria en dos plantas diferentes de una fábrica se sabe que
la probabilidad de que resulten "r" unidades defectuosas:
4 r −4
- En la primera planta es:
e
para r = 0,1,2,3,...
r!
6 r −6
- En la segunda planta es:
e
para r = 0,1,2,3,...
r!
Determinar la probabilidad de que en un día determinado:
1) Resulten cinco o más unidades defectuosas en la primera planta.
2) Resulten cuatro o menos unidades defectuosas en la segunda planta.
3) Resulten ocho o más unidades defectuosas del total de la producción de la fábrica.
EJERCICIO 126
Del volumen de producción diario en dos plantas diferentes de una fábrica se sabe que,
en media, el número de unidades defectuosas producidas es de 2 y 3 respectivamente.
Elaborar el modelo de probabilidad correspondiente al número de unidades defectuosas de cada planta y, con base a ellos, determinar la probabilidad de que:
32
2º L.A.D.E
1) En un día determinado resulten dos unidades defectuosas en la primera planta.
2) En un día determinado resulten tres unidades defectuosas en la segunda planta.
3) En un día determinado resulten ocho o menos unidades defectuosas del total de la
producción de la fábrica.
4) En 360 días resulten 190 o más unidades defectuosas del total de la producción de
la fábrica.
EJERCICIO 127
Un televisor tiene un gran número de válvulas, tanto de tipo A como de tipo B. Al año,
el número de válvulas del tipo A que se estropean es de dos, y de tipo B es de tres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año determinado, se estropeen 6 válvulas de
tipo A?.
b) Un televisor no funcionará si el número de válvulas de tipo A estropeadas es superior a 2 y el número de válvulas estropeadas de tipo B es superior a 3. ¿Cuál es la
probabilidad de que un televisor no funcione?.
EJERCICIO 128
Se considera un colectivo formado por n elementos, de los cuales n - 1 poseen una
misma característica. Si por ν representamos el número que hace la primera extracción en la que obtenemos el elemento que NO posee dicha característica (supuestas
extracciones sucesivas con reemplazamiento de un solo elemento), establecer razonadamente:
1) El modelo de distribución de probabilidad correspondiente.
2) Si n = 5, P(v ≤ 2)
EJERCICIO 129
Deducir la función de cuantía de la variable aleatoria "número de lanzamientos necesarios de un dado hasta obtener un 2".
EJERCICIO 130
Una urna contiene cinco monedas: tres de 1 euro y dos de 2 euros. Si se efectúan tres
extracciones sin reemplazamiento, determinar razonadamente, estableciendo el modelo de probabilidad correspondiente:
1) La probabilidad de que en las tres extracciones sólo una sea de 1 euro.
2) La probabilidad de que en las tres extracciones aparezca al menos una moneda de
2 euros.
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2º L.A.D.E
EJERCICIO 131
Se pide al Director General de cierta empresa multinacional que seleccione a tres ejecutivos para integrar un Comité, con el fin de estudiar el posible lanzamiento de un
nuevo producto. Se presentan como voluntarios 20 ejecutivos de las filiales en América
y 30 de las filiales europeas.
Si del total de 50 voluntarios el director selecciona al azar a los 3 ejecutivos requeridos,
¿cuál es la probabilidad de que sean elegidos un americano y dos europeos?.
EJERCICIO 132
Un participante en un concurso de tiro al blanco sabe que su probabilidad de hacer diana en cada disparo es igual al 95 %.
Calcular:
a) Probabilidad de acertar al menos 10 blancos en 12 disparos.
b) Si el concursante tiene que retirarse en el caso de que cometa 3 fallos, ¿cuál es su
probabilidad de hacer exactamente 10 disparos?.
EJERCICIO 133
Un conocido delantero es fichado por un importante club. El contrato estipula que se
producirá una rescisión del mismo en cuanto deje de marcar en 10 partidos. En base a
su historial deportivo se sabe que la probabilidad de marcar en cada partido es del
70%. ¿Cuál sería la probabilidad de que se le rescinda el contrato después de jugar 20
partidos?.
EJERCICIO 134
Se efectúan lanzamientos consecutivos de un dado correcto:
a) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
"número de veces que se obtiene un resultado par en 10 lanzamientos". Calcular la
probabilidad de obtener más de dos pares en los diez lanzamientos.
b) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
"número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir el primer resultado
par". Calcular la probabilidad de que se requieran 3 lanzamientos.
c) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
"número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir tres pares". Calcular la probabilidad de que se requieran 5 lanzamientos.
d) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
"número de veces que se dan los resultados 1,2,3,4,5 y 6 en n lanzamientos". Calcular la probabilidad de obtener DOS veces el "1", UNA vez el "4" y TRES veces el
"5" en seis lanzamientos consecutivos.
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2º L.A.D.E
EJERCICIO 135
Acerca de la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por arte de una empresa textil, sólo se sabe que no supera la tonelada. Determinar para dicho periodo de tiempo:
1) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 grs.
2) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900
kgs.
3) La demanda probable.
EJERCICIO 136
La duración aleatoria de un determinado tipo de artículo, en horas, viene regulado por
la ley de probabilidad N(180,5).
Determinar la probabilidad de que la duración de tal artículo:
1) Sea superior a 170 horas.
2) Sea inferior a 150 horas.
EJERCICIO 137
Una empresa sabe que el comportamiento en probabilidad de la demanda aleatoria de
un artículo, que produce, viene explicada por la ley N(10.000,100). Si la empresa decide seguir produciendo el artículo en el futuro, supuesto que la demanda esté comprendida entre 9.930 y 10.170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produciendo tal artículo.
EJERCICIO 138
Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina, durante un cierto periodo de tiempo,
se comporta con arreglo a una ley normal, de media 150.000 litros, con desviación típica igual a 10.000 litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta
en dicho periodo, para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95.
EJERCICIO 139
Sean ξ1 y ξ 2 dos variantes tales que:
1) ξ1 se distribuye según la ley N ( µ1 , σ 1 )
2) ξ1 se distribuye según la ley N ( µ 2 , σ 2 )
Comprobar que la variante ξ definida en la forma ξ = ξ1 + ξ 2 , se distribuye según la
ley N ( µ1 + µ 2 ; (σ 12σ 22 ) ) ; si ξ1 y ξ 2 son estocásticamente independientes.
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2º L.A.D.E
EJERCICIO 140
Dos marcas comerciales se dedican a la venta de un mismo tipo de artículo. Las ventas, para ambas marcas, se comportan con arreglo a la ley normal de media 1.800 unidades y desviación típica 150 unidades, para la primera marca, y 1.650 unidades de
media, con desviación típica de 120 unidades, para la segunda. Determinar la probabilidad de que las ventas de la primera marca superen en más de 100 unidades a las de
la segunda, supuestas las ventas de una y otra marca independientes.
EJERCICIO 141
Para una pieza de precisión se toman medidas de su longitud y su diámetro, observándose que la longitud se mantiene entre 10 y 10,4 centímetros y el diámetro entre 2,4 y
2,6 centímetros. Suponiendo que ambas magnitudes sean independientes obtener la
distribución de probabilidad de la variable aleatoria bidimensional (Longitud, Diámetro).
Si elegimos una pieza al azar, calcular la probabilidad de que su longitud sea inferior a
10,1 cm., y su diámetro esté comprendido entre 2,5 y 2,54 cm.
EJERCICIO 142
Un establecimiento comercial pone a la venta diariamente, en una de sus secciones,
sólo dos artículos a precios p1 y p2 de suerte que:
- el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo p1
- el 30 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo p2 .
Si en un día determinado se venden en dicha sección 2.000 unidades, determinar la
probabilidad de que más de 800 unidades correspondan al artículo de precio p2 .
EJERCICIO 143
Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus
habituales clientes dos formas de pago: "pago al contado" o "pago aplazado", sabe que
el 20 % de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de "pago al
contado". Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido 1.000 unidades,
determinar la probabilidad de que 250 o menos lo hayan sido bajo la forma de "pago al
contado".
EJERCICIO 144
Entre 100 empresas, cuyas reacciones se suponen independientes entre sí, se analiza
la modificación en su actividad, derivada de la adopción de una serie de medidas económicas. Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de medidas económicas incidirá sobre su actividad con una probabilidad, común para todas ellas de
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2º L.A.D.E
0,4. Determinar la probabilidad de que al menos 20 de estas empresas modifiquen
realmente su actividad como consecuencia de las referidas medidas.
EJERCICIO 145
Un concesionario de automóviles vende a particulares vehículos de la misma marca.
Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté en servicio dos años
después es de 0,8, determinar la probabilidad de que, de 4.000 vehículos, más de
3.120 estén en servicio dentro de dos años.
EJERCICIO 146
En un proceso de fabricación se sabe que el número aleatorio de unidades defectuosas
producidas diariamente viene dado por la ley de probabilidad:
10 r −10
P (ξ = r ) =
e
para r = 0,1,....
r!
Determinar la probabilidad de que, en 150 días, el número de unidades defectuosas
supere 1.480 unidades.
EJERCICIO 147
En la producción de piezas de precisión se sabe que la longitud aleatoria de las mismas se distribuye con función de densidad:
f ( x) = e1− x para x ≥ 1mm
1) Se considera aceptable la pieza, si su longitud está comprendida entre 1 mm y
1,0512932 mm, ¿cuál es la probabilidad de que la pieza sea correcta?
2) Si se empaquetan las piezas en lotes de 5 unidades, determinar:
a) La distribución de la variable "número de piezas correctas en el lote".
b) La probabilidad de que en un lote haya dos o más piezas correctas.
3) Si se empaquetan en lotes de 50, ¿cuál es la probabilidad de que haya por lo menos una pieza correcta?.
4) Si se empaquetan en lotes de 500, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de
235 piezas correctas?.
EJERCICIO 148
En la realización de test psicotécnicos para optar a un puesto de trabajo, se sabe que
la calificación aleatoria de los mismos varía entre 0 y 1.000 puntos.
a) Se considera no rechazable una persona, si su calificación es superior a 900 puntos. ¿cuál es la probabilidad de que una persona sea aceptada?
b) Si a dichas pruebas se presentan 10 personas, determinar:
1) La distribución de probabilidad de la variable "número de personas aceptadas en
la misma".
2) La probabilidad de que haya 3 o más personas que continúen en las pruebas.
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2º L.A.D.E
c) Si se presentan 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una persona
continúe en las pruebas?.
d) Si se presentan 10.000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 985
personas que continúen en las pruebas?.
EJERCICIO 149
La longitud aleatoria de una pieza se distribuye con función de densidad:
3
f ( x) = ( x − 1)(3 − x)
para 1 ≤ x ≤ 3
4
Si se considera que una pieza es correcta, cuando su longitud está comprendida entre
2 y 3, ¿cuál es la probabilidad de que la pieza sea correcta?.
Si se empaquetan dichas piezas en paquetes de cinco unidades, establecer:
1) La distribución de la variable aleatoria "número de piezas defectuosas en el lote".
2) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote hay dos o más piezas defectuosas?
3) Si el lote fuera de 5.000 piezas. ¿cuál sería la probabilidad de que haya más de
2.575 piezas defectuosas?.
EJERCICIO 150
La demanda de un producto oscila entre 20 y 40 unidades. Determinar la probabilidad
de que, en un periodo de 182 días, el número de unidades demandadas supere las
6.370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada día respecto a la
de los restantes.
EJERCICIO 151
El volumen de ventas aleatorio de una empresa, expresado en miles de euros, se halla
comprendido diariamente entre 96,5 y 103,5. Determinar la probabilidad de que, a lo
largo de un periodo de 100 días, el volumen de ventas supere la cifra de 10.005, supuesto que el volumen de ventas de cada día sea independiente de los restantes.
EJERCICIO 152
Dada una población representada por la variable aleatoria ξ con distribución de probabilidad:
xi : 1 2 3
3 1 5
pi :
9 9 9
elaborar la distribución de probabilidad de la media y la varianza muestral, supuestas
m.a.s. de tamaño n = 2.
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2º L.A.D.E
EJERCICIO 153
Si X, muestra aleatoria simple de tamaño n, representa la información acerca de un fenómeno aleatorio representado por la variable ξ , obtener la distribución de probabilidad
de la variable aleatoria muestra, X, en el supuesto que el comportamiento en probabilidad de la variable aleatoria ξ resulte explicado por:
el modelo BINOMIAL
el modelo POISSON
el modelo UNIFORME
el modelo NORMAL
EJERCICIO 154
Si X, muestra aleatoria simple de tamaño "n", representa la información obtenida acerca de un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria ξ , de cuyo comportamiento en probabilidad se sabe que:
E (ξ ) = µ
y
V (ξ ) = σ 2
determinar el valor probable y la varianza del estadístico t(X) en el supuesto que el estadístico t(X) resulte ser:
t ( X ) = ∑ xi , total muestral
i
t( X ) = ∑
i
xi
, media muestral
n
EJERCICIO 155
Si X, muestra aleatoria simple de tamaño "n", representa la información obtenida acerca de un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria ξ , tal que en cada
realización sólo puede concretarse en dos sucesos mutuamente excluyentes representados por los números "1" y "0", determinar el valor probable y la varianza del estadístir
co t ( X ) = , proporción de sucesos representados el número "1" en la muestra.
n
EJERCICIO 156
Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños "n" y "m" respectivamente-, representan la información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por
las variables ξ1 y ξ 2 respectivamente, de cuyo comportamiento en probabilidad se sabe que:
E (ξ1 ) = µ1
V (ξ1 ) = σ 11
E (ξ 2 ) = µ 2
V (ξ 2 ) = σ 22
determinar el valor probable y la varianza del estadístico t ( x, y ) = a x − a y , diferencia de
medias muestrales.
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2º L.A.D.E
EJERCICIO 157
Si X, muestra aleatoria simple de tamaño n, representa la información acerca de un fenómeno aleatorio representado por la variable ξ , obtener la distribución de probabilidad del estadístico t ( x) = a x , media muestral, en el supuesto de que el comportamiento
en probabilidad de la variable aleatoria ξ resulte explicado por:
el modelo BINOMIAL
el modelo POISSON
el modelo NORMAL
EJERCICIO 158
Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños "n" y "m" respectivamente- , representan la información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por
las variables ξ1 y ξ 2 respectivamente, obtener la función de probabilidad del estadístico
t ( X , Y ) = ax − a y , diferencias de medias muestrales, en el supuesto en que el comportamiento en probabilidad de las variables aleatorias ξ1 y ξ 2 resulten explicadas por el
modelo NORMAL.
EJERCICIO 159
De una población normal de varianza σ 2 , se extraen dos muestras de tamaño n. Hallar
cual debe ser el tamaño de ambas muestras para que la probabilidad de que las medias muestrales difieran en mas de dos veces la desviación típica poblacional sea,
aproximadamente, del 5 %.
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Ejercicios EEI - Grupo de Investigación de Fractales

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