Aproximaciones celulares de espacios clasificadores de

Transcripción

Aproximaciones celulares de espacios clasificadores
de grupos de Lie compactos en
(BZ/p ∞ × BZ/p m )-homotopı́a
Alberto Gavira Romero
Universitat Autònoma de Barcelona
Encuentro de Jovenes Investigadores de la RSME
Sevilla
19 de Septimebre de 2013
A-homotopı́a p-completación de Bousfield-Kan Celularización de BGp∧ Preguntas abiertas
Objetivo
Sea p un número primo. Nuestro objetivo es describir CWA (BGp∧ ), donde
G es un grupo de Lie compacto y A = BZ/p m o BZ/p ∞ × BZ/p m .
Aprox. celulares de espacios clasificadores de grupos de Lie compactos.
2/25
Índice
1
A-homotopı́a
2
p-completación de Bousfield-Kan
3
Celularización de BGp∧
Caso: G es un grupo finito
Caso: G un grupo de Lie compacto y conexo
4
Preguntas abiertas
3/25
Índice
1
A-homotopı́a
2
3
4
Preguntas abiertas
4/25
Grupos de A-homotopı́a
Dado un espacio punteado X , se definen los grupos de homotopı́a de X
como:
πn (X ) := [S n , X ]∗ = [Σn S 0 , X ]∗
5/25
[Far96] Sea A un espacio punteado.
Dado un espacio punteado X , se definen los grupos de A-homotopı́a de
X como:
πn (X ; A) := [Σn A, X ]∗
[Far96] E. Dror-Farjoun, Cellular spaces, null spaces and homotopy localization, Lecture
Notes in Mathematics, Vol. 1622. Springer-Verlag, Berlin, 1996.
5/25
X como:
πn (X ; A) := [Σn A, X ]∗ = πn map∗ (A, X )
5/25
X como:
Una aplicación f : X → Y es una equivalencia (débil) si induce un
isomorfismo en grupos de homotopı́a.
5/25
X como:
Una aplicación f : X → Y es una A-equivalencia si induce un isomorfismo
en grupos de A-homotopı́a
5/25
X como:
en grupos de A-homotopı́a, i.e.,
f∗ : map∗ (A, X )
'
/ map∗ (A.Y )
5/25
X como:
f∗ : map∗ (A, X )
'
/ map∗ (A.Y )
Por ejemplo:
5/25
X como:
f∗ : map∗ (A, X )
'
/ map∗ (A.Y )
Por ejemplo:
La teorı́a de S 0 -homotopı́a es la teorı́a de homotopı́a clásica.
5/25
Espacios A-celulares
La noción clásica de CW -complejo es sustituida por un espacio A-celular,
6/25
esto es,
Definición ([Far96])
Decimos que un espacio punteado X es A-celular si se puede construir
mediante iterados colı́mites homotópicos punteados.
6/25
esto es,
Definición ([Far96])
Decimos que un espacio punteado X es A-celular si se puede construir
mediante iterados colı́mites homotópicos punteados.
Por ejemplo:
Los espacios S n -celulares son los CW -complejos (n − 1)-conexos.
6/25
El funtor CWA
Teorema ([Far96])
Existe un funtor aumentado e idempotente
CWA : Top∗ → Top∗
(donde aumentado significa que existe una transformación natural c :
CWA → Id, e idempotente que CWA (CWA (X )) ' CWA (X ))
7/25
El funtor CWA
Teorema ([Far96])
CWA → Id, e idempotente que CWA (CWA (X )) ' CWA (X )) tal que
CWA (X ) es A-celular y la aplicación aumentación cX : CWA (X ) → X
es una A-equivalencia.
7/25
El funtor CWA
Teorema ([Far96])
CWA (X ) es llamado la A-celularización de X .
7/25
El funtor CWA
Teorema ([Far96])
Por ejemplo:
7/25
El funtor CWA
Teorema ([Far96])
Por ejemplo:
CWS 0 (X ) es la CW -aproximación clásica.
7/25
El funtor CWA
Teorema ([Far96])
Por ejemplo:
CWS 0 (X ) es la CW -aproximación clásica.
CWS n (X ) = X hn − 1i, el recubridor (n − 1)-conexo de X .
7/25
Espacios A-nulos
¿Qué significa ser débilmente contráctil en A-homotopı́a?
8/25
Espacios A-nulos
Definición ([Bou94])
' /
Un espacio X es A-nulo si ev : map(A, X )
X .
Si X es conexo y punteado esta condición es equivalente a map∗ (A, X ) ' ∗.
[Bou94] A.K. Bousfield, Localization and periodicity in unstable homotopy theory, J. Amer.
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
8/25
Espacios A-nulos
Definición ([Bou94])
' /
Un espacio X es A-nulo si ev : map(A, X )
X .
Si X es conexo y punteado esta condición es equivalente a map∗ (A, X ) ' ∗.
A partir de ahora todos nuestros espacios serán conexos.
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
8/25
El funtor PA
Teorema ([Bou94])
Existe un funtor coaumentado e idempotente
PA : Top∗ → Top∗
(coaumentado significa que existe una transformación natural η : Id →
PA )
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
9/25
El funtor PA
Teorema ([Bou94])
PA ) tal que PA (X ) es A-nulo y si Y es un espacio A-nulo entonces
'
(ηX )∗ : map∗ (PA (X ), Y ) / map∗ (X , Y ) .
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
9/25
El funtor PA
Teorema ([Bou94])
'
(ηX )∗ : map∗ (PA (X ), Y ) / map∗ (X , Y ) .
PA (X ) es llamado la A-nulificación de X .
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
9/25
El funtor PA
Teorema ([Bou94])
'
(ηX )∗ : map∗ (PA (X ), Y ) / map∗ (X , Y ) .
Por ejemplo:
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
9/25
El funtor PA
Teorema ([Bou94])
'
(ηX )∗ : map∗ (PA (X ), Y ) / map∗ (X , Y ) .
Por ejemplo:
PS n (X ) = Pn−1 (X ), la (n − 1)-sección de Postnikov de X .
Math. Soc.,7(4):831-873,1994.
9/25
Ejemplos
10/25
Ejemplos
Si X es A-celular, entonces PA (X ) ' ∗.
10/25
Ejemplos
Si X es A-nulo, entonces CWA (X ) ' ∗.
10/25
Ejemplos
Si X es un CW -complejo finito y π es un grupo localmente finito, la
conjetura de Sullivan nos dice que
10/25
Ejemplos
([Mil84]) map∗ (Bπ, X ) ' ∗.
[Mil84] H. Miller, The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces, Ann. of Math.
(2),120(1):39-87,1984.
10/25
Ejemplos
([Mil84]) map∗ (Bπ, X ) ' ∗.
Por tanto,
PBπ (X ) ' X , es decir, X es Bπ-nulo,
(2),120(1):39-87,1984.
10/25
Ejemplos
([Mil84]) map∗ (Bπ, X ) ' ∗.
Por tanto,
PBπ (X ) ' X , es decir, X es Bπ-nulo,
CWBπ (X ) ' ∗.
(2),120(1):39-87,1984.
10/25
Índice
1
A-homotopı́a
2
3
4
Preguntas abiertas
11/25
[BK72] Sea p un número primo. El funtor p-completación de BousfieldKan es un funtor coaumentado (no necesariamente idempotente)
( · )∧
p : Top∗ → Top∗
[BK72] A.K. Bousfield and D.M. Kan, Homotopy limits, completions and localizations,
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Springer-Verlag, Berlin, 1972.
12/25
[BK72] Sea p un número primo. El funtor p-completación de BousfieldKan es un funtor coaumentado (no necesariamente idempotente)
( · )∧
p : Top∗ → Top∗
con la propiedad:
Una palicación f : X → Y induce una equivalencia fp∧ : Xp∧ → Yp∧ si y
solamente si f induce una isomorfismo f∗ : H∗ (X ; Fp )
∼
=
/ H∗ (Y ; Fp ) .
[BK72] A.K. Bousfield and D.M. Kan, Homotopy limits, completions and localizations,
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Springer-Verlag, Berlin, 1972.
12/25
Sobre espacios “buenos” (e.g.: BG , donde G es un grupo de Lie compacto)
este funtor es equivalente a
Xp∧ ' LZ/p (X )
donde LZ/p ( · ) denota la localización homológica respecto H∗ ( · ; Fp ).
13/25
Sobre espacios “buenos” (e.g.: BG , donde G es un grupo de Lie compacto)
este funtor es equivalente a
Xp∧ ' LZ/p (X )
donde LZ/p ( · ) denota la localización homológica respecto H∗ ( · ; Fp ).
Grosso modo, el funtor p-completación aisla la información p-primaria de
un espacio.
13/25
Índice
1
A-homotopı́a
2
3
4
Preguntas abiertas
14/25
Celularización de BGp∧ , G finito I
Sea G un grupo finito y sea S ∈ Sylp (G ).
Proposición
Si BS es BZ/p m -celular entonces BGp∧ también lo es.
15/25
Proposición
Pero, ¿cuándo BS es BZ/p m -celular?
15/25
Proposición
Proposición
Sea S un p-grupo finito. Entonces BS es BZ/p m -celular si y solamente si
S está generado por sus elementos de orden p i , con i ≤ m.
15/25
Proposición
Proposición
Nótese que si S es un p-grupo finito siempre existe un m0 ≥ 0 tal que
S está generado por sus elementos de orden p i , con i ≤ m para todo
m ≥ m0 . Por tanto,
15/25
Proposición
Proposición
Nótese que si S es un p-grupo finito siempre existe un m0 ≥ 0 tal que
S está generado por sus elementos de orden p i , con i ≤ m para todo
m ≥ m0 . Por tanto,
Corolario
Existe un m0 ≥ 0 tal que BGp∧ es BZ/p m -celular para todo m ≥ m0 .
15/25
Celularización de BGp∧ , G finito II
Y si BGp∧ es BZ/p m -celular, ¿lo es BS? Es decir, ¿S está generado por
elementos de orden p i , con i ≤ m?
16/25
La respuesta es: no en general. Pero...
16/25
Teorema
BGp∧ es BZ/p m -cellular si y solamente si S = Clpm (S), donde Clpm (S)
denota el subgrupo fuertemente cerrado de S más pequeño que contiene
al subgrupo generado por sus elementos elementos de orden p i , con i ≤ m.
16/25
Teorema
Definición
Sea G un grupo finito y S ∈ Sylp (S). Decimos que H ≤ S es
fuertemente cerrado si para todo h ∈ H y g ∈ G tal que ghg −1 ∈ S,
entonces ghg −1 ∈ H.
16/25
Teorema
Definición
Sea G un grupo finito y S ∈ Sylp (S). Decimos que H ≤ S es
fuertemente cerrado si para todo h ∈ H y g ∈ G tal que ghg −1 ∈ S,
entonces ghg −1 ∈ H.
Observación
Todo lo anterior es cierto también para espacios clasificadores de grupos
p-locales finitos.
16/25
p-subgrupo de Sylow de un grupo de Lie compacto I
Queremos reproducir un resultado similar al del caso finito pero ahora en
grupos de Lie compactos.
17/25
Primero necesitamos definir qué es un p-subgrupo de Sylow de un grupo
de Lie compacto.
17/25
de Lie compacto.
Sea G un grupo de Lie compacto. Sea T = T r su toro maximal y W =
NG (T )/T su grupo de Weyl (finito, porque G es compacto).
17/25
de Lie compacto.
Tenemos por tanto la extensión:
1 → T → NG (T ) → W → 1
17/25
de Lie compacto.
Tenemos por tanto la extensión:
1 → T → NG (T ) → W → 1
Sea Wp ∈ Sylp (W ), obtenemos y sea Np (T ) el pull back de
Np (T )
/ NG (T )

Wp /W
17/25
p-subgrupo de Sylow de un grupo de Lie compacto II
Por tanto, obtenemos la extensión
1 → T → Np (T ) → Wp → 1
18/25
1 → T → Np (T ) → Wp → 1
donde Np (T ) es un subgrupo p-toral maximal de G .
18/25
1 → T → Np (T ) → Wp → 1
Sea N∞ (T ) una aproximación p-discreta de Np (T ), es decir, una extensión
1 → (BZ/p ∞ )r → N∞ (T ) → Wp → 1
18/25
1 → T → Np (T ) → Wp → 1
1 → (BZ/p ∞ )r → N∞ (T ) → Wp → 1
que satisface:
18/25
1 → T → Np (T ) → Wp → 1
1 → (BZ/p ∞ )r → N∞ (T ) → Wp → 1
que satisface:
∧
BN∞ (T )∧
p ' BNp (T )p ,
18/25
1 → T → Np (T ) → Wp → 1
1 → (BZ/p ∞ )r → N∞ (T ) → Wp → 1
que satisface:
∧
BN∞ (T )∧
p ' BNp (T )p ,
Si π es un p-grupo finito, entonces
/ BGp
Bπ K
r
KK
r8
%
rrr
BN∞ (T )
∧
18/25
Celularización de BGp∧ , G grupo de Lie compacto I
Teorema
Si G es un grupo de Lie compacto y conexo, A = BZ/p ∞ × BZ/p m o
BZ/p m y BN∞ (T ) es A-celular, entonces tenemos la fibración
CWA (BGp∧ ) → BGp∧ → (BGp∧ )Q .
19/25
Teorema
Algunas observaciones:
19/25
Teorema
Si G no es conexo (y no es finito), con algunas hipótesis técnicas
∧
extra, podemos demostrar que CWA (BGp∧ )∧
p ' BGp .
19/25
Teorema
Si G no es conexo (y no es finito), con algunas hipótesis técnicas
∧
extra, podemos demostrar que CWA (BGp∧ )∧
p ' BGp .
Salvo por la conectividad, este resultado es análogo al caso finito, ya
que si G es finito, (BGp∧ )Q ' ∗.
19/25
Celularización de BGp∧ , G grupo de Lie compacto II
¿Cuándo BN∞ (T ) es A-celular?
20/25
Proposición
Sea P un grupo p-toral discreto. Entonces existe un m0 ≥ 0 tal que BP
es (BZ/p ∞ × BZ/p m )-celular para todo m ≥ m0 .
20/25
Proposición
Y por tanto,
20/25
Proposición
Y por tanto,
Corolario
Sea G un grupo de Lie compacto y conexo. Entonces existe un m0 ≥ 1 y
la fibración
CWBZ/p∞ ×BZ/pm (BGp∧ ) → BGp∧ → (BGp∧ )Q ,
para todo m ≥ m0 .
20/25
Ejemplos I
Algunos ejemplos son:
21/25
Ejemplos I
G = S 1 . En este caso T = S 1 y W = {e}. Además, N∞ (T ) =
Z/p ∞ .
21/25
Ejemplos I
Z/p ∞ .
Tenemos que CWBZ/pm (BZ/p ∞ ) ' BZ/p m ,
21/25
Ejemplos I
Z/p ∞ .
y CWBZ/p∞ (BZ/p ∞ ) ' BZ/p ∞ .
21/25
Ejemplos I
Z/p ∞ .
Por tanto, BN∞ (T ) es (BZ/p ∞ × BZ/p m )-celular para todo m ≥ 0.
21/25
Ejemplos I
Z/p ∞ .
Y se obtiene la fibración
1 ∧
1 ∧
CWBZ/p∞ ×BZ/pm ((BS 1 )∧
p ) → (BS )p → ((BS )p )Q ,
para todo m ≥ 0.
21/25
Ejemplos I
Z/p ∞ .
Y se obtiene la fibración
1 ∧
1 ∧
CWBZ/p∞ ×BZ/pm ((BS 1 )∧
p ) → (BS )p → ((BS )p )Q ,
para todo m ≥ 0.
m
En el caso A = BZ/p m , CWBZ/pm ((BS 1 )∧
p ) ' BZ/p .
21/25
Ejemplos II
G = S 3 . En este caso T = S 1 y W = Z/2. Estudiemos el caso
p = 2.
22/25
Ejemplos II
p = 2.
Tenemos que CWBZ/2 (BN∞ (T )) ' BZ/2,
22/25
Ejemplos II
p = 2.
y CWBZ/2m (BN∞ (T )) ' BN∞ (T ), para todo m ≥ 2.
22/25
Ejemplos II
p = 2.
Por tanto, obtenemos la fibración
3 ∧
3 ∧
CWBZ/2m ((BS 3 )∧
p ) → (BS )p → ((BS )p )Q ,
para todo m ≥ 2.
22/25
Ejemplos II
p = 2.
Por tanto, obtenemos la fibración
3 ∧
3 ∧
CWBZ/2m ((BS 3 )∧
p ) → (BS )p → ((BS )p )Q ,
para todo m ≥ 2.
En el caso m = 1, en [CF13] se demuestra que
CWBZ/2 ((BS 3 )∧
p ) ' BZ/2.
[CF13] N. Castellana and R.Flores, Homotopy idempotent functors on classifying spaces, to
appear in Trans. Amer. Math. Soc., 2013.
22/25
Índice
1
A-homotopı́a
2
3
4
Preguntas abiertas
23/25
Preguntas abiertas (Work in progress)
24/25
Como en el caso finito, si G es un grupo de Lie compacto y N∞ (T )
no es cierto subgrupo fuertemente cerrado,
¿ CWA (BGp∧ ) → BGp∧ → (BGp∧ )Q es un fibración?
24/25
Si BN∞ (T ) (o BS) no es A-celular, ¿quién es CWA (BGp∧ )?
24/25
Si BN∞ (T ) (o BS) no es A-celular, ¿quién es CWA (BGp∧ )?
¿El resultado es cierto para grupos p-compactos y/o grupos
p-locales compactos?
24/25
¡GRACIAS!
25/25

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