Cuaderno "Transformaciones en el Plano"

Transcripción

AMCT
Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo
Universidad del Turabo
Cuaderno de trabajo #1
Transformaciones en el plano
AMCT
Angy Carelly Coronel Suárez
Gurabo, Puerto Rico
Primera edición, 2010
Director, AMCT:
Oscar A. Sáenz Montes, PhD
Catedrático Asociado
Escuela de Ingeniería, Universidad del Turabo
Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto AMCT
mediante fondos federales del Título II-B, “No Child Left Behind Act”,
“Mathematics and Science Partnership” del Departamento de Educación de
Puerto Rico. Este material educativo es para ser distribuido de forma gratuita
exclusivamente. Su venta está estrictamente prohibida.
Este material, de forma total o parcial, puede ser reproducido o
transmitido por cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado
u otro, previa autorización por escrito de la AMCT.
Producido por
Angy C. Coronel Suárez, MS
Facultad, AMCT
Escuela de Ciencias y Tecnología, Universidad del Turabo
Revisado por:
Marlio Paredes Gutiérrez, PhD
Especialista de Currículo, AMCT
Catedrático Departamento de Matemáticas
Escuela de Ciencias y Tecnología, Universidad del Turabo
Editado por:
Maggie Olmo Correa
Diseñadora de Instrucción y Comunicaciones, AMCT
Mylord Reyes Tosta
Co-PI y Directora de Investigación, AMCT
PRÓLOGO
En verano de 2009, se me contrató para el diseño, construcción
y ofrecimiento de algunos talleres para los maestros de
matemáticas elemental de la Alianza de Matemáticas y Ciencias
del Turabo. Desde entonces, he realizado varios talleres en este
nivel.
Para este semestre, una de mis tareas en la AMCT es realizar un
taller con los maestros del nivel intermedio y presentar una
síntesis de éste en el Congreso MSP 2010, para lo cual se diseñó
este cuaderno de actividades.
Aquí se encontrarán conceptos teóricos y propiedades básicas
sobre las transformaciones en el plano y algunas actividades de
aplicación, como lo son los teselados y el origami.
Los gráficos fueron producidos en un programa gratuito llamado
GeoGebra, el cual se asemeja bastante al uso de regla y compás
y permite la visualización de las propiedades trabajadas.
Hay una gran variedad de páginas en Internet en las cuales
podrá encontrar información importante e interesante sobre
geometría en general, además de algunos Applets y programas
gratuitos para visualizar las transformaciones en el plano.
Agradezco la confianza y oportunidad que me han brindado los
administradores del proyecto AMCT y a los maestros por
permitirme compartir con ellos mis conocimientos y su
experiencia en el aula.
No sobra mencionar que cualquier duda y comentario estaré a
su disposición a través de la AMCT.
Espero que sea de su agrado y que aporte en algo a su labor
docente.
ANGY CARELLY CORONEL SUÁREZ
Gurabo, Puerto Rico
Octubre de 2010
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
PRÓLOGO
OBJETIVOS
2
EXPECTATIVAS ABORDADAS
3
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
6
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
6
TRASLACIÓN
7
ROTACIÓN
9
SIMETRÍA
12
SIMETRÍA CENTRAL
12
SIMETRÍA AXIAL (REFLEXIÓN)
14
COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS
17
LÍNEAS DE SIMETRÍA
19
SIMETRÍA ROTACIONAL
19
TESELADOS EN EL PLANO
20
TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS
HOMOTECIA
SEMEJANZA
21
21
24
ACTIVIDADES
26
REFERENCIAS
44
OBJETIVOS

Entender la noción de simetría con respecto a un punto y
a una recta.

Aprender a usar transformaciones para identificar figuras
congruentes.

Analizar figuras en términos de sus simetrías por medio
de transformaciones rígidas.

Usar la geometría de coordenadas y transformaciones
rígidas para establecer la congruencia de figuras.

Entender el concepto de dilatación como una
transformación en el plano.

Comprender las diferentes representaciones para las
transformaciones en el plano.

Usar dilataciones centradas en el origen para describir e
investigar semejanzas.

Construir figuras semejantes a una figura dada usando
transformaciones.
2
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN DE PUERTO RICO
ESTÁNDARES DE EXCELENCIA Y EXPECTATIVAS POR GRADO Y MATERIA
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS
G.TS.4.8.5 Identifica figuras simétricas y traza sus ejes de
simetría.
G.TS.4.8.6 Identifica la imagen resultante de una transformación
como traslación, rotación y reflexión.
G.TS.5.6.2 Identifica ejes de simetría de figuras planas,
transformaciones
(rotación,
traslación,
reflexión)
utilizando modelos concretos y en plano cartesiano
(primer cuadrante).
G.TS.6.11.1 Identifica y describe el eje o los ejes de simetría.
G.LR.6.12.1 Representa e identifica coordenadas de puntos en
el plano cartesiano (en los cuatro cuadrantes) cuyas
coordenadas sean números enteros.
G.TS.6.12.2 Identifica y construye transformaciones con figuras
planas: rotación, traslación, reflexión.
G.TS.6.12.3 Localiza e indica las coordenadas resultantes luego
de una transformación (traslación, reflexión respecto a
una línea vertical u horizontal, rotaciones de múltiplos de
90 grados respecto al origen).
G.TS.7.13.1 Describe el efecto de transformaciones rígidas
(traslación, reflexión respecto a líneas verticales u
horizontales, rotación respecto al origen y composiciones
simples) en figuras en el plano de coordenadas.
G.TS.7.13.2 Utiliza transformaciones rígidas para identificar las
partes correspondientes de figuras congruentes.
3
G.TS.9.5.1 Analiza figuras en términos de sus simetrías por
medio de los conceptos reflexión, rotación y traslación; y
una combinación de éstas.
G.FG.9.5.2 Compara y contrasta la igualdad, la congruencia y la
semejanza.
G.FG.9.5.3 Identifica, contrasta, diferencia y aplica las
condiciones suficientes para la congruencia de triángulos
(LLL, LAL, ALA, AAL, HL).
G.TR.9.5.4 Utiliza la geometría de coordenadas y las
transformaciones rígidas (reflexiones, traslaciones y
rotaciones) para establecer la congruencia de figuras.
G.TS.9.6.1 Representa traslaciones, reflexiones respecto a una
línea, rotaciones y dilataciones (centradas en el origen) de
objetos en el plano de coordenadas por medio de trazos,
coordenadas, notación de funciones y matrices, y explica
los efectos de estas transformaciones.
G.TS.9.6.2 Reconoce e identifica las partes correspondientes de
figuras congruentes y semejantes luego de una
transformación.
G.FG.9.7.1 Identifica las condiciones de semejanza LAL, LLL, AA
como condiciones suficientes para establecer la
semejanza de triángulos, las aplica y observa que la
congruencia es un caso especial de semejanza.
G.FG.9.7.2 Utiliza la semejanza para calcular las medidas de las
partes correspondientes de figuras semejantes, y aplica la
semejanza en una variedad de contextos en matemáticas
y otras disciplinas.
4
G.MG.9.7.3 Construye una representación de una figura
semejante a otra figura dada su razón de semejanza.
G.FG.9.7.4 Utiliza triángulos semejantes para demostrar que la
razón de cambio asociada a cualquier par de puntos en
una línea es la misma.
G.TS.9.7.5 Utiliza dilataciones centradas en el origen para
describir e investigar semejanzas.
5
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
Llamaremos transformación geométrica a una operación u
operaciones que permiten deducir una nueva figura (imagen)
de la dada originalmente.
Algunas transformaciones tienen la propiedad de ser
involutivas, es decir, la doble aplicación de la misma
transformación genera el elemento original.
Hablaremos en algunos casos de la transformación recíproca, la
cual transforma la imagen en la figura original.
Podemos clasificar las transformaciones en directas, cuando las
figuras conservan el sentido y orden en el plano orientado, e
inversa, cuando los sentidos de las dos figuras son contrarios.
Otra clasificación dada a las transformaciones se fundamenta en
el aspecto de la imagen respecto a la figura original:
 Isométricas, cuando conservan las dimensiones y ángulos.
Se denominan también movimientos rígidos. Veremos las
simetrías axial y central, la traslación y la rotación.
6
 Isomórficas, cuando conservan la forma de la figura original
(los ángulos), pero existe una proporcionalidad entre las
dimensiones de las dos figuras, por ejemplo, la homotecia.
 Anamórficas, cuando cambia la forma de la figura original,
por ejemplo, la inversión.
Las transformaciones isométricas son transformaciones de
figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni
el área de las mismas; la figura inicial y la imagen son
semejantes, más aún, congruentes. La palabra isometría tiene
su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), igual
medida. Existen tres tipos: traslación, simetría y rotación.
Traslación:
es una isometría que mueve cada punto de la
figura a una distancia dada, en una dirección específica
a lo largo de un vector
.
La coordenada del vector indica el movimiento horizontal, si
es positivo mueve a la derecha y si es negativo a la izquierda. La
coordenada del vector indica el movimiento vertical; si es
positivo, mueve hacia arriba y, si es negativo, hacia abajo.
7
Formalmente, una traslación dada por el vector
una función del plano al plano tal que a todo punto
.
asigna el punto
, es
, le
Traslación del punto , según el vector .
Traslación del triángulo
, según el vector .
8
Traslación del segmento
, según el vector , usando
regla y compás.
Trazamos rectas paralelas al vector por los puntos y .
Tomamos con el compás la magnitud del vector y trazamos
arcos con centro en y con esta magnitud.
Unimos los puntos de intersección de las rectas con los
arcos para tener la imagen.
Esta transformación es directa y no involutiva. Sin embargo,
existe la transformación recíproca, definida por el vector
opuesto.
Rotación:
es una transformación del plano determinada
por mantener un punto fijo, llamado centro, y rotar el
plano alrededor de este punto una cierta cantidad en
una dirección específica.
9
Esta cantidad se denomina ángulo de rotación y, usualmente, se
toma su medida en grados, teniendo en cuenta que si es
positivo, se rota en sentido contrario a las manecillas del reloj, y
si es negativo, en el mismo sentido de las manecillas del reloj.
Es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de
forma que, dado un punto cualquiera del mismo, éste
permanece a una distancia constante del centro.
Una rotación de
alrededor de un punto, moverá cualquier
punto de la figura sobre sí mismo. Ésta es llamada la
transformación identidad.
Rotación del punto , alrededor del punto O, un ángulo de
.
10
Rotación del segmento
, alrededor del punto , un ángulo
de
.
Rotación del triángulo
, alrededor del punto , un ángulo
de
.
Cuando el ángulo de rotación es múltiplo de
, podemos
realizar la rotación usando papel cuadriculado, formando los
ángulos rectos entre los puntos y el centro.
11
Esta transformación es directa, pues los elementos que forman
la figura conservan su orden.


¿Existe alguna rotación que sea involutiva?
Para una rotación de , ¿cuál sería la rotación recíproca?
Simetría:
es la correspondencia exacta en la disposición
regular de los puntos de una figura con relación a un
punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o
un plano. Se denominan: central, axial y especular o
bilateral.
Simetría central: es una transformación en la que a cada
punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las
siguientes condiciones:
a. El punto y su imagen están a igual distancia del
centro de simetría.
b. El punto, su imagen y el centro de simetría
pertenecen a una misma recta.
Según esto, una simetría central es igual que una rotación de
.
12
Simetría central del punto , respecto a .
Simetría central del triángulo
, respecto a .
13
Simetría central del segmento
, respecto a , usando regla
y compás.
Trazamos rayos desde los puntos
y
hacia el centro de
simtería.
Trazamos dos círculos con centro en y radio y .
Unimos los puntos de intersección entre los círculos y los rayos
para obtener la imagen.


¿Esta transformación es involutiva?
¿Directa o inversa?
Simetría axial:
es una transformación respecto de un
eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se
asocia a otro punto, que cumple con las siguientes
condiciones:
a. La distancia de un punto y su imagen al eje de
simetría, es la misma.
b. El segmento que une un punto con su imagen, es
perpendicular al eje de simetría.
14
Esta simetría es conocida mayormente con el nombre de
reflexión.
En la simetría axial se conservan las distancias pero no el
sentido de los ángulos.
El eje de simetría es la mediatriz del segmento
.
Reflexión del punto , respecto a la recta .
15
Reflexión del triángulo
Reflexión del segmento
, respecto a la recta .
, respecto a la recta , usando regla
y compás.
Trazamos rectas perpendiculares a la recta desde los puntos
y .
(Cont.)
Trazamos dos círculos con radio y y centro los puntos de
intersección de las rectas anteriores con la recta ( y ).
16
Unimos los puntos de intersección entre los círculos y rectas
perpendiculares para obtener la imagen.


Composición de simetrías:
Si aplicamos dos simetrías respecto a ejes paralelos,
obtenemos una traslación cuyo desplazamiento es el doble de
la distancia entre dichos ejes.
17
Si aplicamos dos simetrías respecto de ejes que se cortan en ,
obtenemos un giro con centro en , cuyo ángulo es el doble
del que forman dichos ejes.
Si aplicamos la misma simetría dos veces, obtenemos la
transformación identidad.
18
Líneas de simetría: una figura geométrica tiene líneas de
simetría, si la imagen de la reflexión respecto a esta
línea coincide con la misma figura.
Simetría rotacional: una figura geométrica tiene simetría
rotacional cuando al rotar la figura, alrededor de algún
punto, un ángulo menor de
, la imagen coinciden
con la figura original.
19
Teselados del plano:
un plano es teselado si se cubre
completamente con repeticiones de figuras sin
sobreponerlas ni dejar huecos. Para lograr teselar un
plano debemos usar las transformaciones vistas
anteriormente.
Teselado regular con
hexágonos regulares
Teselado regular con
hexágonos regulares y
triángulos equiláteros
Teselado irregular con un pentágono
20
Homotecia:
es una transformación isomórfica que, a partir
de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un
mismo factor. Es una ampliación o reducción a escala de
la figura inicial. Es decir, la figura original y su imagen
bajo la homotecia son semejantes.
Una homotecia con centro en el punto y razón el número real
, , es una transformación que hace corresponder a cada
punto otro punto tal que:
a. Si es positivo, está en el rayo de origen en dirección a
.
y la distancia
b. Si es negativo, está en el rayo de origen en en
dirección contraria a y la distancia
.
Observaciones:
-
Si
fijo.
-
Si
, corresponde a la identidad, es decir, todos los
puntos son fijos.
, el centro de la homotecia es el único punto
-
implica una ampliación de la figura.
-
implica una reducción.
21
La imagen de un segmento, es un segmento paralelo a él,
veces más largo o corto.
La imagen de un ángulo, es un ángulo congruente.
22
La imagen de un polígono, es un polígono semejante, cuya
área es veces el área del original.
corresponde a la simetría de centro , o una rotación
alrededor de un ángulo de
23
Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra
homotecia con el mismo centro, cuya razón es el producto de
las razones de las homotecias iniciales.



¿Existe la transformación recíproca?
Semejanza:
es la transformación del plano que resulta de
componer un movimiento y una homotecia.
Llamaremos razón de semejanza a la razón de la
homotecia correspondiente.
24
En la figura, tenemos el resultado de aplicarle al triángulo
las siguientes transformaciones: le aplicamos la homotecia, y
al resultado
lo sometemos a:
1. Una simetría con respecto a la recta .
2. Una rotación de
alrededor del punto .
3. Una traslación según el vector .
En cualquiera de los casos, el triángulo resultante es semejante
al original, ya que los lados correspondientes son
proporcionales y los ángulos no han variado.
25
ACTIVIDADES
1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto
cuadrilátero
respecto al eje ?
a.
b.
c.
d.
al reflejar el
2. El triángulo en el plano coordenado con vértices en los
puntos
es reflejado a
través del origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los
vértices del triángulo resultante?
a.
b.
c.
d.
26
3. ¿Cuáles de las siguientes transformaciones del plano no
preserva la semejanza de figuras?
a. Rotaciones
b. Traslaciones
c.
d. Dilataciones
Reflexiones en una recta
4. ¿Cuál de las siguientes figuras muestra una rotación?
a.
b.
c.
d.
5. Anita hizo el siguiente diseño usando un hexágono regular y
un rectángulo. ¿Cuántos ejes de simetría tiene el diseño de
Anita?
a.
1
b.
2
c.
4
d.
6
27
El diagrama muestra los muebles de la habitación de Manuel.
Use la cuadrícula para dibujar la nueva distribución de la
habitación con las nuevas coordenadas:
Cama:
–
Armario:
Silla:
Escritorio:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
28
6. El mueble que rotó
iniciales es:
a. Cama
c. Silla
alrededor de una de sus esquinas
b. Armario
d. Escritorio
7. El movimiento que realizó al armario fue:
a.
b.
c.
d.
Trasladarlo 4 unidades hacia abajo
Rotarlo alrededor de uno de sus lados
Reflejarlo respecto al eje vertical
Trasladarlo 4 unidades a la izquierda
8. El mueble que reflejó respecto al origen es:
a. Cama
c. Silla
b. Armario
d. Escritorio
9. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene simetría rotacional?
a.
b.
c.
d.
10. Complete las figuras según las líneas de simetría mostradas.
Encuentre otras líneas, si las hay.
29
11. Determine cuántas líneas de simetría tiene la figura y si
tiene simetría rotacional.
12. La imagen de la palabra NOON después de rotarla
NOON. ¿Qué otras palabras tienen esta propiedad?
es
13. La imagen de la palabra TOT al reflejarla respecto a la línea
vertical a través de la O es TOT. ¿Qué otras palabras tienen
esta propiedad?
14. La imagen de la palabra BOOK al reflejarla respecto a la
línea horizontal es BOOK. ¿Qué otras palabras tienen esta
propiedad?
30
15. La imagen del número 1881 al reflejarlo respecto a la línea
horizontal y luego vertical es 1881. ¿Qué otros números
menores que 2000 tienen esta propiedad?
16. ¿Cuál de las siguientes sería una imagen de la figura original
bajo rotación?
a.
b.
c.
d.
17. Encuentre el patrón con el que fueron generadas las figuras.
¿Cuál figura irá en la posición F?
31
¿Volverá a la posición original? ¿En qué letra?
Invente un patrón similar al anterior e intercámbielo con un
compañero para encontrar la solución.
18. Si la moneda superior se rota alrededor de la moneda
inferior hasta que esté al lado, ¿en qué posición queda la
cara de la moneda superior?
19. E y F son bolas de billar. Busque el punto en que F debe
golpear la banda DC para chocar después con la bola E.
32
20. Someta el paralelogramo a las siguientes transformaciones
y de las nuevas coordenadas:
a. Traslación según el vector .
b. Traslación de la imagen resultante del paso anterior
según el vector .
c. Determine el vector que transforme, directamente, la
figura inicial en la imagen del paso anterior.
21. Someta la figura a las siguientes transformaciones:
33
a. Refleje la figura con respecto a la recta .
b. Refleje la imagen resultante del paso anterior respecto
a la recta .
c. Defina el giro equivalente a la composición de ambas
simetrías.
d. Realice la composición de las simetrías anteriores, pero
en orden inverso.
22. Los
puntos
y
son los vértices de un rombo en el plano
cartesiano. Calcule las coordenadas del rombo
transformado mediante:
a. Simetría respecto al eje .
b. Simetría respecto al eje .
c. Simetría respecto a la recta que pasa por los puntos
.
d. Rotación de
alrededor del punto .
23. Doble una hoja de papel por la mitad y luego nuevamente
por la mitad en el otro sentido. Realice el dibujo aquí
mostrado, sobre la esquina doblada. Corte por la línea y
desdoble.
34
24. Use el compás para dibujar un círculo de 4 pulg. de
diámetro sobre un papel y córtelo. Doble por las líneas
punteadas que muestran las figuras y finalmente, haga los
cortes indicados.
25. Polihueso: a partir de un cuadrado construir los huesos para
teselar el plano, siguiendo las indicaciones.
35
26. Palomita: a partir de un triángulo equilátero construir las
palomitas para teselar el plano, siguiendo las instrucciones.
27. Escriba las transformaciones para llegar de una figura a la
otra en el orden mostrado.
tres puntos del plano.
28. Sean
Halle las coordenadas del triángulo homólogo de
mediante la homotecia de centro
y razón
.
36
29. En la figura hay un triángulo rectángulo
y su
. Halle la razón de la homotecia y calcule
homotético
las dimensiones de los triángulos.
30. Señale el centro y la razón de homotecia en los siguientes
casos:
37
31. Complete la figura sabiendo que es la imagen de , y que
es la de . Indique el centro y la razón de homotecia.
32. Construya una figura semejante que ocupe cuatro veces el
área de la mostrada.
33. Transforme la figura en cuatro cuadrados, no todos
congruentes, moviendo tres palillos.
38
34. Construya la estrella de seis puntas y mueva seis palillos
para formar seis diamantes congruentes.
35. Transforme la figura en un cubo moviendo tres palillos.
36. De la figura, quite seis palillos para formar tres triángulos
equiláteros.
37. Cambie de lugar dos palillos para que la vaca quede
mirando hacia el otro lado.
39
38. Dona y estrella (Origami)
1
2
3
4
5
6
7
Realice ocho módulos siguiendo los pasos 1 al 6 y ensámblelos,
según el paso 7.
Nomenclatura
Doblar
y desdoblar
Repetir tantas
veces como
palitos halla
Doblar
Ahuecar
Pliegue en
valle
Empujar
Pliegue en
montaña
Quiebre
40
39. El destino de la suegra (Origami)
Había una vez una pareja de recién
casados. El joven esposo quería
regalarle una casa muy bonita a su
amada esposa. Así que se
reunieron para ponerse de acuerdo
en el diseño de la nueva casa. El
esposo cogió una hoja de papel
tamaño carta y le dobló una
diagonal.
La figura formó un gran techo y él
le preguntó a la esposa: ¿Te gusta
la casa con un gran techo
inclinado?
Déjame verla, le replicó ella.
Bueno… me parece que el techo es
demasiado grande para nuestra
casa. ¿Por qué no la hacemos en
dos aguas, como una casa
tradicional?
Bueno, hagámoslo así. Tomando la
punta larga, la dobló sobre la otra.
La figura formó la casa con dos
caídas.
¿Y así, cómo te parece?
No me gusta – respondió ella -.
Volvamos al techo inclinado pero
más pequeño.
Así que doblando el papel por la
mitad, obtuvieron la casa que
querían.
41
Así me gusta – dijo la esposa.
Ahora quiero una gran chimenea.
Así que el esposo plegó por la parte
más alta una chimenea.
Al ver la figura de la casa con la
chimenea, la esposa gritó: ¡Esa es
la casa que yo quiero, mi amor!
Ahora quiero ver cómo queda la
casa por dentro.
Para ver los planos de la casa, el
esposo toma unas tijeras y corta
cuidadosamente la figura por el
borde de la chimenea.
Una vez cortada la chimenea, el
esposo empieza a desdoblar la
figura y a colocarla sobre la mesa
para explicarle los planos de la
casa.
- Bueno, mi amor, aquí queda el
salón comedor (1), los espacios
cuadrados son para la cocina (2) y
el baño (3) y al fondo una gran
alcoba (4).
- Todo me gusta mucho, pero he
decidido que mi mamá viva con
nosotros y no veo su alcoba.
- Bueno, mi amor, es que yo para tu
mamá tengo otros planes -.
Tomando la parte de la chimenea,
42
empieza
a
desdoblarla
cuidadosamente hasta que…
¡¡¡Oh!!! Destino… Aparece una
cruz.
Deduzca usted el destino de la
suegra.
43
REFERENCIAS
[1]
JURGENSEN, Ray; BROWN, Richard; JURGENSEN, John.
Geometry, McDougal Littell, 2009.
[2]
VANCLEAVE’S, Janice. Geometry for every kid, 1994.
[3]
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra
/movimientos.htm
[4]
http://www.geogebra.org/cms/
44
Faces: M.C. Escher
Departamento de Educación de
Puerto Rico

Cuaderno "Transformaciones en el Plano"

Transcripción

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