dr. juan carlos bressan - Academia Nacional de Ciencias de Buenos

dr. juan carlos bressan - Academia Nacional de Ciencias de Buenos

AXIOMAS TOPOLÓGICOS EN UNA GEOMETRÍA
LINEAL DENSA Y EXTENSIBLE
JUAN CARLOS BRESSAN
Universidad de Buenos Aires
Comunicación efectuada
en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires
en sesión privada extraordinaria el 9 de junio de 2006
Abstract
In this paper a topology compatible with a dense and unending linear
geometry is defined, using the structure of this space. Some topology axioms
are considered in order to obtain topology properties analogous to convexity
in topological linear spaces.
Resumen
En este trabajo se define una topología compatible con una geometría
lineal densa y extensible, a partir de la estructura de ese espacio. Se consideran algunos axiomas topológicos que permiten demostrar propiedades
topológicas análogas a las de la convexidad en espacios vectoriales
topológicos.
AMS (1991): Mathematics subject classification 52A01
1.- Introducción
En los espacios de convexidad (X, C ) estudiados en [1]-[4] y [6]
se definen los segmentos a partir de la familia de convexos C . Sin
embargo, los mismos resultan insuficientes para inducir una topología sobre X, razón por la cual es necesario agregar varios axiomas
para tal fin. El sistema axiomático así obtenido resulta equivalente
al de la geometría lineal densa y extensible (X, S) utilizado por
Coppel [5], en donde se toma como término no definido una función
segmento S. Puesto que admitiremos diversos resultados demostrados en [5], nos resultará más conveniente utilizar este último sistema axiomático, usando la designación de los axiomas y la misma
notación para los diversos segmentos, así como para las rectas y
semirrectas. El símbolo “\” denotará la diferencia entre conjuntos.
También usaremos S\x, en lugar de S\{ x }; análogamente x∪S significará { x }∪S. Por otra parte, escribiremos “sii” en lugar de “si y
solo si”.
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2.- Geometría lineal densa y extensible
Sea X es un conjunto no vacío y S: X2→P(X) una función que a
cada par ordenado (a; b)∈X2 le asigna un subconjunto [a,b] ⊆ X llamado segmento cerrado de extremos a, b. Diremos que (X, S) es una
geometría lineal densa y extensible sii cumple los axiomas:
(L1)
(L2)
(L3)
(L4)
(C)
(D)
(U)
{ a,b } ⊆ [a,b] = [b,a] ∧ [a,a] ⊆ { a }.
{ b ∈ [a,c] ∧ c ∈ [b,d] ∧ b ≠ c } ⇒ b ∈ [a,d].
{ c ∉ [a,b] ∧ b ∉ [a,c] } ⇒ [a,b]∩[a,c] = { a }.
c ∈ [a,b] ⇒ [a,b] = [a,c]∪[c,b].
{ c ∈ [a,b1] ∧ d ∈ [c,b2] } ⇒ ∃b ∈ [b1,b2], d ∈ [a,b].
a ≠ b ⇒ ∃ x ∉ { a,b }, x ∈ [a,b].
a ≠ b ⇒ ∃ c ∉ { a,b }, a ∈ [c,b].
Si a ≠ b, [a,b) = [a,b] \ b, (a,b] = [a,b] \ a, y (a,b) = [a,b] \ { a,b }.
Los axiomas (L2)-(L4) fijan las condiciones para obtener segmentos
por la unión de segmentos, lo cual permite definir las rectas y las
semirrectas. En efecto, si a ≠ b, se define la recta a, b mediante
<a,b> = { x : x∈[a,b] ∨ a∈[x,b] ∨ b∈[a,x] }, las semirrectas de origen a
que pasan por b por [a,b> = { x : x∈[a,b] ∨ b∈[a,x] } y (a,b> = [a,b> \ a,
análogamente <a,b] = { x : x∈[a,b] ∨ a∈[x,b] } y <a,b) = <a,b] \ b. Por
la proposición III.4 de [5], se puede establecer un orden total en
<a,b>, tomando a ≤ b, en cuyo caso si { c,d }⊆ <a,b> y c ≤ d entonces
[c,d] = { x: c ≤ x ≤ d }. Los axiomas (D) y (U) expresan respectivamente las propiedades de densidad y de poder extender los segmentos
más allá de sus extremos. También, <a,b> = ∪{ [x,y]: [a,b] ⊆ [x,y] },
en donde la recta se obtiene por una prolongación indefinida de un
segmento, siguiendo la idea del axioma II, del Libro I de Euclides.
Por otra parte, el axioma (C) es característico de la convexidad.
Diremos que C⊆X es convexo sii {a,b} ⊆ C, [a,b] ⊆ C. La familia
C de los subconjuntos convexos de X es interseccional, por lo cual la
cápsula convexa de S⊆X, será conv S = ∩ {C∈C : S⊆C}. Además, definimos el mirador de S⊆X, mediante mir S = {x∈S: y∈S, [x,y]⊆S}.
Así, S es convexo sii mir S = S. Estas notaciones, como las utilizadas
en otros casos, tratarán de ser análogas a las de la convexidad en
espacios vectoriales topológicos.
Si la función S cumple (L1) y (C), diremos que (X, S) es una
geometría convexa. Este sistema axiomático es equivalente al de los
espacios (X, C ) de JD-convexidad T1 en los cuales se deducen interesantes resultados geométricos de la teoría de la convexidad y de los
conjuntos estrellados, como puede verse en [1], [3], [4] y [6].
A
A
234
Por otra parte, diremos que (X, S) es una geometría lineal si satisface los axiomas (L1)-(L4), (C) y (P), donde:
(P) { c1∈[a,b1] ∧ c2∈[a,b2] } ⇒ [b1,c2]∩[b2,c1] ≠ ∅.
Este axioma se utiliza para demostrar los teoremas de separación
de convexos de Kakutani y de estrellados de Drešević, encontrándose
en [1] diversas expresiones equivalentes. En la proposición V.1 de [5],
de (L1)-(L4), (C) y (D) se deduce (P). En consecuencia, en cualquier
geometría lineal densa y extensible, se obtiene (P) como teorema.
3.- Puntos internales y linealmente accesibles
Las definiciones de punto internal y de linealmente accesible de
un conjunto, dadas por Valentine [7] en espacios vectoriales reales,
pueden llevarse al contexto de la geometría lineal densa y extensible.
A
Sea x∈S⊆X, diremos que x es punto internal de S sii y∈X\x,
∃z∈(x,y), tal que [x,z]⊆S. El conjunto de los puntos internales de S se
denotará con inter S.
Proposición 3.1. A⊆B⊆X ⇒ inter A ⊆ inter B.
Proposición 3.2. A1,..., An ⊆ X ⇒
⇒ inter ∩{ Ai : 1 ≤i ≤ n } = ∩{ inter Ai : 1 ≤i ≤n }.
Proposición 3.3. ( S⊆X ∧ p∈mir S ∧ x∈inter S ) ⇒ (p,x] ⊆ inter S.
Corolario 3.4. ( p∈C∈C ∧ x∈inter C ) ⇒ (p,x] ⊆ inter C.
Corolario 3.5. C∈C ⇒ [ inter C ∈C ∧ inter(inter C) = inter C ].
Sea S⊆X, diremos que x es punto linealmente accesible desde S
sii ∃y∈S, [y,x) ⊆S. El conjunto de los puntos linealmente accesibles
desde S se denotará lina S. La unión de S con lina S se denotará
lin S.
Proposición 3.6. A⊆B⊆X ⇒ [ lina A ⊆ lina B ∧ lin A ⊆ lin B ].
Teorema 3.7. C∈C ⇒ lin C ∈C .
4.- Definición de una topología a partir de puntos internales
En el plano existen conjuntos no convexos en los que un punto
es internal sin ser interior; pero si el conjunto es convexo, el conjunto
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de puntos internales es convexo siendo igual al de puntos interiores.
Esta idea permite inducir una topología en X, tomando como entornos conjuntos convexos tal que todos sus puntos sean internales.
Sea x∈X, diremos que U es entorno convexo de x, y escribiremos
U∈V (x), sii ∃V∈C , x∈U = inter V. Por 3.5, U∈C y U = inter U. En
A
consecuencia, si U∈V (x) entonces y∈U, U∈V (y).
Por 3.2 y la interseccionalidad de C resulta que si U, V∈V (x) entonces U∩V∈V (x). De esta forma, se induce una topología sobre X a
partir de las familias V (x) con x∈X.A
Diremos que S⊆X es abierto sii x∈S, ∃U∈V (x), U⊆S. Denotaremos con I a la familia de todos los subconjuntos abiertos de X.
Proposición 4.1. (X,I ) es un espacio topológico.
Si S⊆X, int S = { x∈S: ∃U∈V (x), U⊆S } es el interior de S. Por
otra parte, T = { B⊆X: ∃A∈I , B = X\A } será la familia de los subconjuntos cerrados, la cual es interseccional; de esta forma se define la
clausura de S⊆X, mediante cl S = ∩{ B∈T : S⊆B }. Observemos que
el espacio vectorial real n-dimensional con la convexidad usual, es un
geometría lineal densa y extensible, tal que I es la topología de cualquiera de sus normas.
Puesto que C y T son familias interseccionales, CT = C ∩T es
también una familia interseccional, la cual tendrá asociado el operador cápsula convexa cerrada, definido por cconv S = ∩ {C∈CT : S⊆C}
para todo S⊆X. Evidentemente, conv S ⊆ cconv S.
Proposición 4.2. Si S⊆X, entonces int S ⊆ inter S y lin S ⊆ cl S.
Proposición 4.3. Si S⊆X es convexo, entonces int S = inter S.
5.- Axiomas topológicos y sus consecuencias
Ciertas propiedades de los entornos en espacios vectoriales topológicos pueden expresarse en el contexto axiomático de las geometrías lineales densas y extensibles. Esto se ha logrado mediante los
tres axiomas que se dan a continuación con los cuales se obtienen
algunas propiedades topológicas básicas de la convexidad.
(Ax 1) x∈X, ∩V (x) = { x }.
A
(Ax 2) Si x2∈(x1,x3), x3∈(x2,p), xi∈{x1, x2, x3}, Ui∈V (xi), {xj, xk}⊆{x1, x2, x3},
xj ≠ xk, xj ≠ xi ≠ xk , entonces existen
Uj∈V (xj), Uk∈V (xk), f12 :U1→U2 , f23 :U2→U3, tales que:
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(i) f12 , f23 son biyecciones, f12 (x1) = x2 , f23 (x2) = x3 .
(ii) [ f12 (y1) = y2 ∧ f23 (y2) = y3] ⇒ [ y2∈(y1,y3) ∧ y3∈(y2,p) ].
Por este axioma, si x1, x2, x3, p son cuatro puntos distintos de una
recta ubicados en dicho orden, entonces y1, y2, y3, p son nuevamente
cuatro puntos distintos de una recta igualmente ordenados que x1, x2,
x3, p.
(Ax 3) Si y∈(x,z), y∉U∈V (x), entonces
A
∃W∈V (z), z1∈W, [ U ∩ <y,z1) ≠∅ ∧ U ∩ (y,z1> = ∅ ].
Corolario 5.1. x ≠ y ⇒ ∃U∈V (x), ∃V∈V (y), U∩V = ∅.
A
Proposición 5.2. S⊆X, mir S ⊆ mir(cl S).
A
Proposición 5.3. S⊆X, (mir S)∩(int S) ⊆ mir(int S).
A
Proposición 5.4. C∈C , [ (int C)∈C ∧ (cl C)∈C ].
A
Proposición 5.5. S⊆X, cconv S = cl(conv S).
Proposición 5.6. S abierto de X ⇒ conv S abierto.
Diremos que C es un cuerpo convexo sii C es convexo con
int C ≠ ∅.
Teorema 5.7. C cuerpo convexo ⇒ inter C = int C = int(cl C).
Teorema 5.8. [ p∈int(mir S) ∧ y∈cl S ] ⇒ (p,y) ⊆ int S.
Corolario 5.9. [ C∈C ∧ x∈int C ∧ y∈cl C ] ⇒ (x,y) ⊆ int C.
Corolario 5.10. [ C∈C ∧ x∈inter C ∧ y∈lina C ] ⇒ (x,y) ⊆ inter C.
Teorema 5.11. C cuerpo convexo ⇒ lina C = lin C = cl C = cl(int C).
Evidentemente 5.1 se deduce de (Ax 1) y (Ax 3). Para demostrar
en 5.4 que (cl C)∈C , consideramos x1, x3 ∈ cl C, x2∈(x1,x3), U2∈V (x2)
y p tal que x3∈(x2,p). Por (Ax 2) existen U1∈V (x1), U3∈V (x3) y las
biyecciones f12, f23 que cumplen (i) y (ii). Como x1, x3 ∈ cl C, existen
y1∈U1∩C, z3∈U3∩C. Por (i) y (ii), existe y2∈U2 tal que f12 (y1) = y2, con
y2∈(y1,p) y existe z2∈U2 tal que f23 (z2) = z3, siendo z3∈(z2,p). Por (P),
[y1,z3]∩[y2,z2] ≠ ∅. Pero, [y1,z3]⊆C y [y2,z2]⊆U2. Luego, U2∩C ≠ ∅,
x2∈ cl C y [x1,x3]⊆ cl C, resultando cl C convexo.
En la demostración de 5.8 intervienen (Ax 1)-(Ax 3). Sea x∈(p,y),
como p∈int(mir S), existe U∈V (p) tal que x∉U⊆mir S. Luego, por
(Ax 3) existe W∈V (y) tal que para todo y1∈W, U∩<x,y1) ≠ ∅ y si
p1∈U∩<x,y1), x∈(p1,y1). Como y∈cl S, se toma y1∈W∩S. Pero, y1∈S y
U⊆ mir S, luego J(y1,U)⊆S . Además U∈V (p1) de donde, por (Ax 2),
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existe V∈V (x), con V⊆J(y1,U)⊆S. Luego, x∈ int S y, en consecuencia, (p,y) ⊆ int S.
6. Conclusiones
Los resultados obtenidos permiten vislumbrar la obtención de
una teoría análoga a la de la convexidad en espacios vectoriales topológicos prescindiendo de la estructura vectorial. Sin embargo, para
poder desarrollar los teoremas de separación mediante hiperplanos
será necesario agregar el axioma de completitud
(S) [ a≠b ∧ a∈C∈C ] ⇒ ∃c∈[a,b], { C∩[a,b] = [a,c] ∨ C∩[a,b] = [a,c) }.
Al adicionar este axioma a los anteriormente considerados se obtendrá una geometría lineal densa, extensible y completa, en cuyo
caso si existen tres puntos distintos x,y,z∈X tales que z∉<x,y>, es
decir, si dim X ≥2, entonces si a≠b el segmento cerrado [a,b] es isomorfo al segmento real [0;1] (proposición VIII.4 de [5]).
Referencias
[1] J. C. Bressan: Una relación que caracteriza diversos espacios de convexidad, Revista de la U.M.A., 39 (1995), 137-146.
[2] J. C. Bressan: Operadores de convexidad y una generalización de las
propiedades JHC y de Pasch, Revista Serie A: Matemática y Física Teórica, Universidad Nacional de Tucumán, 32 (1, 2) (1998), 203-216.
[3] J. C. Bressan: Polítopos en espacios de convexidad con una condición de
alineación, Anales de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos
Aires, T. XXXIV (1) (2000), 459-466.
[4] J. C. Bressan y F. A. Toranzos: Visibility cells and T-convexity spaces,
Compos. Math. 83 (1992), 251-257.
[5] W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry, Cambridge University
Press, 1998.
[6] K. Kol odziejczyk: Starshapedness in convexity spaces, Compos. Math.
´
56 (1985), 361-367.
[7] F. A. Valentine: Convex Sets, McGraw-Hill, 1964.
Departamento de Fisicomatemática
Facultad de Farmacia y Bioquímica
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