1 Percolacion - WordPress.com

1
Percolacion
Cuestiones generales:
Ejemplos
Anecdota de la mascara de gas
Observable!Clusters
a) Que es un cluster?
b) tipos de percolacion
nodos
links
nodos-links
.
—————————————————
1
1.1
Una dimension
Primero vemos el proceso de percolacion de nodos, en una dimension.
De…nimos el proceso : dada una grid unidimensional, para cada nodo lo
poblamos con una probabilidad p luego cada nodo quedara vacio con porbabilidad (1 p)
son independientes=) un nodo ocupado no genera
correlacion sobre ningun otro.
La proba de que dos nodos contiguos esten poblados es
p p = p2
(1)
Que es un cluster en una dimension?
Es un conjunto de nodos vecinos inmediatos ocupados con 2 nodos
extremales vacios, luego la proba de un cluster de tamaño s:
ps (1
:::
1.2
~
p)2
~ ~
~
(2)
~
:::
De…niciones arbitrarias:
Perimetro de un cluster : los nodos vacios que lo limitan.
Los 2 nodos vacios forman el perimetro t en este caso los clusters tienen
un unico perimetro
La super…cie : son los nodos del cluster vecinos inmediatos al perimetro.
Sera 2 para clusters unidimensionales de tamaño mayor que 1
El "bulk" son los nodos del cluster que no forman la super…cie.
::: P
1.3
S
B
B
B
S
P
:::
Otras propiedades
Sea la longitud de la grid L (L nodos)
Pensamos en L ! 1 para evitar los problemas de borde.
Para ver cuantos clusters de tamaño s hay en una grid pensamos que cada
nodo puede ser el extermo izquierdo del un cluster (como colocar un... de logitud
s ).
2
La probabilidad de que ese nodo sea el extremo izquierdo del cluster es que
tenga uno vacio a izquierda, que este ocupado, que luego vengan (s 1) ocupados
y luego uno vacio.
Como todo punto tiene una probabilidad ps (1
extremo izquierdo del cluster entonces
Ns = Lps (1
p)2 de ser por ejemplo el
p)2
(3)
Pero como esto diverge para todo s elegimos el numero medio de clusters de
tamaño s por nodo
ns = ps (1 p)2
(4)
En un problema unidimensional para que exista percolacion necesitamos NO
TENER nodos vacios. Si p < 1 la proba de tener un nodo vacio es (1 p) luego
el numero de nodos vacios es L(1 p) o sea que tenemos muchos nodos vacios,
luego en este caso nunca percola.
Entonces el pasaje de no percolar a percolar ocurre en p = 1 =) pc = 1;
pero no hay nada por encima de p = 1!!!!!
La proba de que un nodo pertenezca a un cluster de tamaño s es
ps (1
p)2 s = ns s
(5)
(pues puede ocupar cualesquiera posicion)
La proba de que este ocupado es igual a la proba de que pertenezca a un
cluster de tamaño > 1, entonces (con p < pc )
X
X
ps (1 p)2 s =
ns s = debe ser igual a p
(6)
s
s
(para mas dimensiones pc es menor que 1 , entonces habria un problema
para s ! 1)
Otro
cuenta (p < 1)
P la
P smodo de2 verlo es haciendo
@ s
p =
p (1 p) s = (1 p)2 p
@p
h
i
1
@
(1 p)2 p @p
=
h 1 pi
1
2
(1 p) p (1 p)2 =
=p
3
1.4
Tamaño medio de los clusters
Tomamos un nodo ocupado al azar, queremos saber la proba de que pertenezca
a un cluster …nito
la proba de pertenecer a un cluster de tamaño s es
ns s
(7)
la proba de que pertenezca a un cluster es de cualquier tamaño
X
ns s
(8)
Entonces la proba de que un nodo ocupado pertenezca a un s_cluster
es
ns s
!s = P
ns s
(9)
otro modo de verlo
# nodos en clusters de tamaño P
s es Lns s
# de nodos en clusters es L ns s
ns s
P ss = P
proba es = LLn
ns s
ns s
Calculamos el tamaño medio de los clusters, S = hsi
S
=
X
!s s =
s
=
X ns s2
p
X ns s
X ns s2
P
P
s=
ns s
ns s
=
1X
ns s2
p
(10)
(11)
Otra posible de…nicion
Ahora tomamos un cluster
al azar entonces
P
0
ns s
P
S =
ns
Tomando la ultima
10calculamos :
P ecuacion
1
S=
ns s2 =
p
P
1
p)2 ps s2 =
p (1
P s
1
@
@
p)2 p @p
p @p
p =
p (1
h
i
1
@
1
2 @
(1
p)
p
p
=
p
@p @p
h 1 pi
@
(1 p)2 @p
p (1 1p)2
(1+p)
(1 p)
S ! 1 con p ! 1
4
(12)
1.5
Probabilidad Critica
Sea p1 (p) la probabilidad de que "‡uido inyectado en un nodo moje in…nitos
nodos en el sistema"
De…nimos entonces
pc = supfp; =p1 (p) = 0g
Funcion de correlacion
Probabilidad de que un nodo a una distancia r de un nodo ocupado
pertenezca al mismo cluster
Para que pertenezca al mismo cluster =) en cada paso debe estar ocupado, luego es (para r pasos) pr ;de este modo de…nimos
g(r) = pr = exp
r
, con
1
ln(p)
=
(13)
Si p ' pc = 1 =)
ln(p) = ln(1 + p 1) = ln(1 + (p pc ))
= ln(1 + x) ' x = (p pc )
ln(1 + x) ' x 12 x2 + 13 x3 14 x4 + O x5
luego
=
1
(pc
(14)
p)
es la distancia de correlacion.
X
g(r)
=
1
X
pr +
0
=
=
=
"
1
X
0
pr
1
#
1=(1 p) + [1=(1 p)
2
2 1+p
1=
1 p
1 p
1+p
=S
1 p
(15)
1]
Donde hemos
que
P1 usado
r
p
=
suma
a derecha
0
P1
[ 0 pr 1] = suma a izquierda sin contar el 0 dos veces.
Conclusiones
5
(16)
(17)
(18)
a) en pc hay magnitudes que divergen y se pueden expresar como potencias
de (pc p) que es la distancia al punto critico
=
S
=
1
(pc p)
(pc + p)
(pc p)
Este tipo de comportamiento tambien ocurre en ‡uidos
6
(19)
(20)
De una dimension a d dimensiones
Supongamos que pasamos de 1 dimension a 2 dimensiones
Supongamos una red cuadrada, cada nodo tiene 4 vecinos inmediatos
En 2D
.
Para un cluster de tamaño 1
x
entonces n1 = p(1
x
o x
x
(21)
p)4
.
Para un cluster de tamaño 2
x
x x
x o x
y otra posibilidad es x o o x entonces
una posibilidad es
x o x
x x
x
n2 = 2p2 (1 p)6
.
Para un cluster de tamaño 3
para el lineal es 2p3 (1
p)8 = 2ps (1 p)2s+2
x
x o x
para esta es 4p3 (1
pero tambien puede ser del tipo
x o o x
x x
Luego n3 = 2p3 (1 p)8 + 4p3 (1 p)7
.
Para un cluster de tamaño 4
Para s = 4
x
x o x
x
x o x
x o x
a)
b)
x o x
x o x
x o x
x o o x
x x
x x
x
x o x
c)
x o o x
x o x
x
d)
x
x
x
x
o x
o o x
o x
x
7
p)7
e)
x
x
x x
o o x
o o x
x x
con multiplicidades a)! 2 , b) !8 , c)! 4 , d) !4 ,e) !1
.
Esto se complica a medida que crecen los tamaños y las dimensiones.
Lattice Animals
(Por alguna causa esto se llama "lattice animals")
En general escribimos
ns =
X
gst ps (1
p)t
(22)
donde gst P
es la multiplicidad para el tamaño s y el perimetro t:
Sea gs = t gst , que es el numero de fragmentos (animales) de tamaño s
sin tomar en cuanta los distintos perimetros.
Se ha propuesto que la dependencia de gs con s para animales grandes
gs / s
ctes
(23)
Una vision desde la gotas …sicas
Pasamos a ver la teoria de Fisher de las gotas.
En las representaciones de "gota" de sistemas microscopicos se piensa que :
el rol de las fuerzas de interaccion es saturado por las gotas y el sistema completo
se describe como un conjunto de gotas no interactivas
La descripcion usual requiere entonces de…nir la energia y la entropia de esos
objetos.
Sea una gota de masa A y super…cie
y volumen V .
(Donde super…cie juega el rol de perimetro)
La energia la escribimos como
EA = E V + E
8
(24)
El termino de volumen se escribe :
a0V A
EV = aV V
El termino de super…cie (con
la super…cie)
a0 A
E =a
A / rd ,
/ rd
1
(25)
d
1
(26)
d
h 1 id
/ Ad
=)
con d la dimension del problema. (ver que EA =E
a0V =a0 = cte cuando
d!1)
Sea g el numero de formas para una dada super…cie
X
g =
g A
(27)
A
a0 A pues la relacion
Fisher escribio E = a
d 1
d es
valida para "esferas"
Cual es la entropia en estos casos? Es la cantidad clusters que tenemos para
una dada super…cie y una dada masa
En 2 dimensiones con una red cuadrada :
= 4 con A = 1 =) g = 1
= 6 con A = 2 =) g = 2
= 8 con A = 3 y A = 4 =) g = 7
Se encuentra un comportamiento exponencial descripto por
g
g0
x
exp(b
)
(28)
Esta "hipotesis" se puede veri…car por "conteo directo" y se obtiene
g = 0:62
2:55
exp(0:97 )
(29)
Analisis segun self-avoiding polygons
Si suponemos que trabajamos con clusters …nitos, grandes, para los cuales
la super…cie media esta bien descripta por la relacion
h i
a0 A
(30)
g00 A
exp(b0 A )
(31)
entonces podemos reescribir
gA
donde g00 = g0 a0 x ,
= x y b0 = b a0
es decir el numero de fragmentos de masa A depende de dos coe…cientes
9
y
Luego la entropia de un cluster es
SA = ln gA = ln g00
10
ln A + b0 A
(32)
Appendix
Bond percolation en una dimension
Activated bond
Cluster
of
Size A=5
Broken bond
Para bond percolation en dos dimensiones con proba de rotura de bond= b
11
12