ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Tarea 2
Semestre 2016-2
Prof. Luis Garcı́a Naranjo
Ejercicio 1. Considere el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes
ẋ = Ax,
donde x = (x1 , x2 ) 2 R2 y
✓
1 0
(I) A =
0
1
✓
1
1
(IV) A =
1 1
✓
51
(VII) A =
49
◆
,
(II) A =
◆
✓
✓
0
4
4
0
◆
,
(III) A =
✓
1 1
2 2
◆
,
◆
✓
◆
1 1
3
4
,
(V) A =
,
(VI) A =
,
1 1
6
7
◆
✓
◆
✓
◆
49
3
2
2 3
,
(VIII) A =
,
(IX) A =
.
51
2
1
12 2
Para cada una de las matrices dadas anteriormente,
(a) Clasifique el punto crı́tico en el origen de acuerdo a su estabilidad (como nodo estable, nodo
inestable, foco estable, foco inestable, centro ó silla).
(b) Determine los conjuntos W s (0) y W u (0).
(c) Encuentre (en caso de existir) subespacios lineales invariantes de dimensión 1.
(d) Realice el cambio de variables x(t) = P y(t) donde la matriz P de 2 ⇥ 2 satisface que P
tiene forma canónica. Obtenga un sistema de ecuaciones diferenciales para y(t).
1
AP
(e) Encuentre el flujo asociado al sistema.
(f) Esboce el plano de fases del sistema para y(t) y para x(t).
Ejercicio 2. Sean A una matriz real n ⇥ n con entradas aij . Definimos
⇢
||Ax||
||A|| = sup
: x 2 Rn , x 6= 0 .
||x||
(a) Demuestre que para cualesquiera matrices A, B se tiene
||Ak ||  ||A||k .
||AB||  ||A||||B||,
(b) Demuestre que
max
j
n
X
i=1
a2ij
2
 ||A|| 
n
X
a2ij .
i,j=1
(c) Sean {An } y {Bn } dos sucesiones de matrices que convergen a A0 y B0 respecto de la norma
|| · || (y por lo tanto respecto de cualquier norma matricial). Muestre que la sucesión {An Bn }
converge a A0 B0 .
Solución ejercicio 2.
1
2
(b) Tomando x = ej tenemos
n
de donde se sigue que
||Ax||2 X 2
=
aij  ||A||2 ,
||x||2
i=1
max
j
n
X
i=1
a2ij  ||A||2 .
Por otro lado, para 0 6= x 2 R arbitrario tenemos
⌘2
P n ⇣P n
i=1
j=1 aij xj
||Ax||2
=
.
||x||2
||x||2
n
Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos
!2
n
n
X
X
2
aij xj
 ||x||
a2ij .
j=1
j=1
Por lo tanto, para cualquier 0 6= x 2 R se tiene
n
n
X
||Ax||2

a2ij .
||x||2
i,j=1
Tomando el supremo sobre las x se tiene que
2
||A|| 
n
X
a2ij .
i,j=1
Ejercicio 3. Considere el sistema lineal 2 ⇥ 2
ẋ = Ax
donde la matriz A tiene valores propios imaginarios puros.
Demostrar que las órbitas del sistema están contenidas en elipses. Dar la ecuación de estas elipses
en términos de los vectores propios de A.
Ejercicio 4. Considere el sistema lineal 2 ⇥ 2
ẋ = Ax
donde la matriz A tiene valores propios reales 1 < 0 < 2 .
Encontrar una función F : R2 ! R de clase C 1 tal que las trayectorias de del sistema anterior
estén contenidas en las curvas de nivel de F .
Ayuda : Considere primero el caso en que A es diagonal.
Ejercicio 5. Encuentre una solución matricial fundamental de
✓
◆
1
1
t
ẋ =
x, t > 0.
1+t
1
(Ayuda : Una solución es x(t) = (1, t).)
Ejercicio 6.
3
n
Considere el espacio L(C ) con la topologı́a generada por la norma
kAk = sup |Av|.
|v|=1
(a) Probar que el conjunto de matrices con n valores propios distintos es abierto.
(b) Sea B un bloque de Jordan m ⇥ m, lo que implica que B = I + N donde N es nilpotente de
orden m. Encuentre una matriz Q tal que Q 1 BQ = I + ✏N . Explique porque esto implica
que, para cualquier matriz A, cualesquiera 1’s en la diagonal superior de su forma canónica
de Jordan pueden hacerse arbitrariamente pueden hacerse arbitrariamente pequeños. ¿Implica
esto que existe otra matriz à 2 L(Cn ) arbitrariamente cercana a A que es diagonalizable ?
Ejercicio 7. (Transformada de Laplace) Recuerde la definición de la transformada de Laplace de
una función f (que podrı́a tomar valores matriciales) :
Z 1
L[f ](s) =
e s⌧ f (⌧ )d⌧.
0
(a) Pruebe que si A es una matriz n ⇥ n entonces
Z t
tA
e
I=
Ae⌧ A d⌧.
0
(b) Pruebe que si todos los valores propios de A tienen parte real negativa, entonces
Z 1
1
A =
e⌧ A d⌧.
0
(c) Pruebe que si s 2 R es suficientemente grande, entonces
Z 1
1
(sI A) =
e s⌧ e⌧ A d⌧ ;
0
tA
es decir, la transformada de Laplace de e es (sI A) 1 .
(d) Resuelva el problema de valores iniciales ẋ = Ax, x(0) = x0 , usando el método de la transformada de Laplace : comience por tomar la transformada de Laplace en ambos lados de la
igualdad, resuelva la ecuación obtenida, y después tome la transformada de Laplace inversa.
Ejercicio 8. Resuelva el problema de valores iniciales
dx
= Ax,
dt
x(0) = x0 ,
0
1
1 1 2
A = @0 2 1 A
0 0 2
usando la forma canónica de Jordan de A y la exponencial matricial eAt .
Ejercicio 9.
(1) Suponga que A es una matriz n ⇥ n tal que A2 = I. Encontrar una fórmula explı́cita para etA .
(2) Repita el ejercicio si A satisface A2 = I y si A2 = A.
(3) Resuelva
0
1
0 1
2
5 8
12
1
B1
C
B0 C
2
4
8
C x,
C
ẋ = B
x(0) = B
@0 0 2
@0 A .
5A
0 0 1
2
1
4
Ejercicio 10. (Iteraciones de Picard). Un método alternativo para probar existencia de soluciones
al problema de valores iniciales
dx
= f (x, t),
x(0) = x0
dt
es usar las llamadas iteraciones de Picard. Esto corresponde a definir la sucesión de funciones
{xn (t)}1
n=0 como
Z t
0
0
x0 (t) = x ,
xn (t) = x +
f (xn 1 (s), s)ds
0
y mostrar que la sucesión converge a la solución buscada. Calcule las primeras funciones en esta
sucesión para la EDO ẋ = Ax ¿Qué pasa en el lı́mite cuando n ! 1 ?
Ejercicio 11. Considere la EDO
ẋ = Ax,
A=
✓
1
✏
1
0
2
◆
,
0 < ✏ ⌧ 1.
Muestre que dado M > 0 existe ✏ > 0 tal que el sistema anterior tiene una solución x(t) con la propiedad de que |x(0)| = 1 pero |x(1/2)| > M . Esto muestra que, a pesar de que todas las soluciones
se aproximan a cero exponencialmente, existen intervalos de tiempo donde algunas soluciones tienen
un crecimiento significativo.
Ejercicio 12. Encuentre una función matricial t ! A(t) tal que
✓Z t
◆
t ! exp
A(s)ds
0
no sea una solución matricial del sistema ẋ = A(t)x. Muestre que la fórmula anterior siempre es una
solución en el caso escalar. ¿Cuándo es una solución en el caso matricial ?
5
Ejercicio 13. Sea ! 2 R . Considere la EDO en R
3
3
ẋ = x ⇥ !
donde ⇥ denota el producto vectorial.
Encuentre el flujo y describa la dinámica cualitativamente.
Ayuda : Primero haga el caso en que ! es paralelo a uno de los ejes coordenados. Para el caso
general use un cambio ortogonal lineal de coordenadas.
Ejercicio 14. Sea A una matriz real 10 ⇥ 10 con polinomio caracterı́stico
pA ( ) = (
2
+ 1)3 (
3)3
5)(
tal que
dimC (ker(A ± iI)) = 1,
dim(ker(A
5I)) = 1,
dimC (ker(A ± iI)2 ) = 2,
dim(ker(A
dimC (ker(A ± iI)3 ) = 3
3I)) = 2,
dim(ker(A
3I)2 ) = 3.
Encontrar la forma canónica de Jordan J de A y explicar como construir una matriz invertible P
tal que P 1 AP = J.
¿Qué puede decir sobre la contracción, expansión o preservación del volumen en el espacio de fases
por el flujo ?
Ejercicio 15. Sea A una matriz real 4 ⇥ 4 con polinomio caracterı́stico
pA ( ) = (
donde ,
2
+
2
)(
2
+
2
),
2 R.
(a) Muestre que existen soluciones periódicas del sistema ẋ = Ax.
(b) ¿Son todas las soluciones del sistema ẋ = Ax periódicas ? Explique.
(c) Recuerde que un toro de dimensión 2 es un espacio topológico isomorfo a S 1 ⇥ S 1 . Muestre que
las trayectorias genéricas del sistema están contenidas en toros invariantes de dimensión 2.
Ejercicio 16. Considere el siguiente sistema de ecuaciones nolineales en R2
ẋ = y 2 ,
ẏ =
xy.
(a) Muestre que las trayectorias del sistema están contenidas en cı́rculos centrados en el origen.
(b) Muestre que el flujo del sistema es completo.
(c) Haga un dibujo cuidadoso del plano fase.
(d) Encuentre el flujo del sistema.