Mecánica vectorial para ingenieros

Novena edición
CAPÍTULO
Mecánica vectorial para ingenieros:
ESTÁTICA
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Centroides y Centros
de Gravedad
Texas Tech University
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Introducción
• La tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre cada una de
las partículas que componene el cuerpo. Estas fuerzas pueden
ser reemplazadas por una única fuerza W actuando en un
punto llamado: centro de gravedad
• El centroide de un área es análoga al centro de gravedad
de un cuerpo. El concepto de primer momento de un área
se utiliza para determinar el centroide.
• El cálculo del área de una superficie de revolución o el
volumen de un cuerpo de revolución está directamente
relacionado con la determinación del centroide de la
línea o del área utilizados para generar dicha superficie o
cuerpo de revolución (Teoremas de Pappus-Guldinus.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-2
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional
• Centro de gravedad de una placa
• Centro de gravedad de un alambre
 M y x W =  xΔW
=  x dW
 M y yW =  yΔW
=  y dW
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-3
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centroides y Primeros Momentos de Áreas y Líneas
• Centroide de un área
x W =  x dW
x (γAt ) =  x (γt )dA
x A =  x dA = Qy
= primer momento respecto al eje y
yA =  y dA = Qx
• Centroide de una línea
x W =  x dW
x (γ La ) =  x (γ a )dL
x L =  x dL
yL =  y dL
= primer momento respecto al eje x
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-4
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Primeros Momentos de Áreas y Líneas
• Un área es simétrica con respecto a un eje BB´si
para cada punto P existe u punto P´tal que
PP´sea perpéndicular a BB´y BB´divide en dos
partes iguales el área.
• El primer momento de un área respecto a una
línea de simetría es cero
• Si un área tiene una línea de simetría su centroide
está en esa línea.
• Si un área posee dos líneas de simetría, el
centroide está en la intersección de dichas líneas.
• Un área es simétrica respecto al centro O si
para cada elemento dA situado en (x,y) existe
un elemento dA’ de igual área situado en (-x,-y).
• El centroide de un área coincide con el centro
de simetria.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-5
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centroides de áreas comunes
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-6
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centroides de áreas comunes
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-7
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centroides de líneas comunes
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-8
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Placas compuestas y alambres
• Placa compuesta
X  W =  x Wi
Y  W =  y Wi
• Área compuesta
X  A =  xi Ai
Y  A =  y i Ai
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5-9
Ejercicio propuesto
Determinar el centroide de la chapa de la figura.
0,60 m
0,20 m
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
0,40 m
0,80 m
Solución: X=0,43 m ; Y=0,23 m
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 10
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.1
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 11
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.1
• El área total se determina sumando (círculo área
negativa) cada una de las áreas de las formas que
constituyen la placa.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Q x = +506.2 × 103 mm 3
Q y = +757.7 × 103 mm 3
5 - 12
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.1
• Las coordenadas del centroide se calculan
dividiendo los primeros momentos por el
área del área compuesta.
 xi Ai
+ 757.7 ×103 mm3
X=
=
3
2
A
13.828
×
10
mm
 i
X = 54.8 mm
yA

Y =
A
i
i
i
+ 506.2 ×103 mm3
=
13.828 ×103 mm 2
Y = 36.6 mm
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 13
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Ejercicio autoevaluación
Determine el centroide del área de la placa que se muestra en la figura.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 14
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.2
La figura mostrada está hecha a partir de un pedazo de
alambre delgado y homogéneo. Determine la ubicación de su
centro de gravedad.
10 cm
24 cm
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 15
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.2
10 cm
24 cm
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 16
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.3
Una barra semicircular uniforme de peso W y
radio r está unida a un perno en A y descansa
contra una superficie sin fricción en B.
Determine las reacciones en A y B.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 17
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problemas propuestos
Localice el centroide del área plana que se muestra en cada figura.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 18
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Determinación de Centroides por Integración
x A =  x dA =  x dx dy =  xel dA Si el elemento de área dA es un pequeño
rectángulo de lados dx y dy, la evaluación de cada
y A =  y dA =  y dx dy =  y el dA
una de estas integrales requiere una integración
doble con respecto a x y respecto a y.
x A =  x el dA
=  x ( ydx
xA =
)
=
 x el dA

a+x
[ (a − x )dx ]
2
y el dA
y A =  y el dA
yA = 
y
=  ( ydx )
=  y [(a − x )dx ]
2
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 19
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.4
Determine por integración directa la localización del centroide de una
enjuta parabólica.
x2
y=
8
2m
4m
X=3 m
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Y=0,6 m
5 - 20
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema resuelto 5.4
• Utilizando un elemento diferencial vertical
1 
Qy =  xel dA =  xydx =  x  x 2  dx
8 
0 
4
4
 1 x4 
44
=
=
= 8 m3

 8 4  0 32
2
11 
y
Qx =  yel dA =  ydx =   x 2  dx
2
28 
0
4
4
 1 x5 
45
3
1,
6
m
=
=
=

128 5  0 640
4
1
1  8
A =  ydx =  x 2 dx =  x3  = m 2
8
 24  0 3
0
0
4
X=
Qy
A
=
4
Q 1, 6
8
=3m ; Y = x =
= 0, 6 m
8
8
A
3
3
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 21
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema propuesto
La placa está hecha de acero que tiene una densidad de 7850 kg/m3. Si el
espesor de la placa es de 10 mm, determine las componentes horizontal y
vertical de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 22
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema propuesto
La placa está hecha de acero que tiene una densidad de 8000 kg/m3. Si el
espesor de la placa es de 5 mm, determine las componentes horizontal y
vertical de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable B.
3m
3m
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 23
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo
Localice el centroide de la varilla doblada en forma de arco parabólico,
como se muestra en la figura.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 24
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Solución arco parabólico
X = 0, 410 m
y = 0,574 m
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 25
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.5
Determine la ubicación del centroide del arco mostrado.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 26
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema ejemplo 5.5
x=
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
rsenα
α
5 - 27
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problemas propuestos
Determine la distancia X hasta el centro de masa de la barra homogénea
doblada en la forma que se muestra. Si la barra tiene una masa por unidad
de longitud de 0,5 kg/m, determine las reacciones en el soporte fijo O.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 28
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problemas propuestos
La barra uniforme está doblada en forma de una parábola y tiene una masa
por unidad de longitud de 2,5 kg/m. Determine las reacciones en el soporte
fijo A.
3m
3m
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 29
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Teoremas de Pappus-Guldin
Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana
con respecto a un eje fıjo.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 30
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Teoremas de Pappus-Guldinus
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 31
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Ejercicio propuesto
Mediante los teoremas de Pappus-Guldin, encontrar el centroide de
un arco semicircular de radio R
R
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 32
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Ejercicio propuesto
Mediante los teoremas de Pappus-Guldin, encontrar el centroide de
una placa semicircular de radio R
R
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2 - 33
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema resuelto 5.7
El diámetro exterior de una polea es 0.8 m y la sección transversal de su corona es
como se muestra en la figura. Se sabe que la polea está hecha de acero y que la
densidad de dicho material es 7,85 103 kg/m3, determine la masa y el peso de la
corona.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 34
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Problema resuelto 5.7
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 35
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centro de Gravedad de un cuerpo
• Centro de gravedad G


− W j =  (− ΔW j )




rG × (− W j ) =  [r × (− ΔW j )]




rGW × (− j ) = ( r ΔW ) × (− j )
W =  dW


rGW =  r dW
• Los resultados son independientes de la
orientación,
xW =  xdW yW =  ydW zW =  zdW
• Para cuerpos homogéneos,
W = γ V and dW = γ dV
x V =  xdV
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
yV =  ydV
z V =  zdV
5 - 36
Ninth
Edition
Mecánica vectorial para ingenieros
Centroides de cuerpos comunes en tres dimensiones
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5 - 37