Sobre la relación entre Termodinámica y Relatividad Especial

Sobre la relación entre Termodinámica y Relatividad Especial

Sobre la relación entre Termodinámica y Relatividad
Especial
C RISTIAN FAR ÍAS V EGA
PABLO M OYA F UENTES
16 de Diciembre de 2004
Resumen
Los intentos de construcción de una termodinámica relativista han dado pie a una
de las más grandes controversias de la fı́sica durante la última centuria. Al considerar
las transformaciones relativistas solamente para los parámetros extensivos y, en base a
éstas, deducir las transformaciones relativistas de los parámetros intensivos, se obtienen resultados, en algunos casos iguales y en otros distintos, a los propuestos por otros
autores. Esta situación permite cuestionar la posible existencia de una teorı́a de termodinámica relativista.
1.
Introducción
Después de casi un siglo, el problema de encontrar una transformación relativista de la
temperatura sigue sin llegar a puerto. Durante todo este tiempo, se han publicado más de
50 trabajos[8], [9], [10], [11], acerca del tema, en especial en la década del 60, y las opiniones
van desde reglas claras de transformación hasta el planteamiento de la inexistencia de ésta.
Los planteamientos de Einstein, Planck, Ott y Landsberg dan una representación clara de los
distintos resultados a los cuales es posible llegar por los distintos caminos. En este trabajo se
presentarán los desarrollos de los autores nombrados, además de una propuesta elaborada
en base a nuestras investigaciones.
1.1.
La visión de Einstein
Einstein[1] (como muchos de los autores que han tratado el tema) partió considerando la
siguiente situación: Considérese un sistema termodinámico en reposo respecto a un sistema
de referencia inercial I y un sistema de referencia inercial I 0 moviéndose con una velocidad
w
~ = wx̂ respecto al sistema I. Entonces, ¿como transformarı́an los valores de los distintos
parámetros del sistema termodiámico en cuestión (definidos para el sistema I) cuando se
les “midiera” en el sistema I 0 ?. Su acercamiento al tema se basó en encontrar, dinámica
y cinemáticamente, las transformaciones para dichos parámetros. Einstein planteó que la
entropı́a deberı́a de ser una invariante relativista; es decir, si S es la entropı́a del sistema
termodinámico “medida” en el sistema I, y S 0 la entropı́a del mismo sistema termodinámico
medida en el sistema I 0 , entonces
S 0 = S,
(1)
que es la transformación aceptada por todos los autores que han indagado en el tema de la
termodinámica relativista. Un argumento para sustentar dicha afirmación es proporcionado
por Tolman[3] considerando la siguiente situación: se tiene, originalmente, una velocidad
w
~ entre los sistemas igual a ~0 (se sigue que la entropı́a que deberı́an de medir ambos sistemas debe ser la misma), y luego se acelera el sistema termodinámico adiabáticamente, de
manera que la entropı́a del sistema no cambia para ninguno de los dos sistemas. Consecuentemente, la entropı́a es invariante.
Contemporáneamente, Planck[2] planteó las siguientes transformaciones
p0 = p Q0 = Q/γ V 0 = V /γ
dW w 2
dW 0 =
−
γd(U + pV ),
γ
c
donde γ = p
(2)
(3)
1
y c es la velocidad de la luz. Estos resultados fueron, en su ma1 − (w/c)2
yorı́a, obtenidos tras tomar los análogos “dinámicos” de la presión, el calor, el volumen, etc.
y deducir, ocupando dinámica y cinemática relativista, sus respectivas transformaciones;
esto tiene la ventaja de que los resultados son “intuitivos”.
Luego, considerando su transformación del calor, la invarianza de la entropı́a, el primer
postulado de la teorı́a de la relatividad especial, y la conocida relación
dQ = T dS,
dedujo las siguiente transformación para la temperatura
T0 =
T
.
γ
(4)
Es decir, la temperatura, a medida que la velocidad w se acerca a c, medida por I 0 se
hace menor. Tan solo existe un problema con este resultado: al tender w a c, T 0 tiende a cero,
por lo tanto la entropı́a S 0 tiende a cero, lo cual entra en contradicción con la presunción de
que la entropı́a es una invariante relativista, hecha al principio de este desarrollo, ya que la
entropı́a sólo va a cero con esa condición de temperatura.
Estas transformaciones fueron aceptadas como la verdad absoluta durante media centuria, pero al acabar dicho lapso de tiempo, H. Ott planteó el siguiente modelo.
1.2.
La transformación de Ott
H. Ott, en un trabajo publicado en 1963[4], expuso que Planck habı́a considerado fuerzas
“no fı́sicas ” al calcular el trabajo mecánico W hecho sobre un sistema termodinámico y
postuló una nueva serie de transformaciones
U 0 = γU
Q0 = γQ.
Para obtener la transformación del calor Q Ott se puede hacer el siguiente tratamiento.
Considérese la tasa de radiación electromagnética
P =
dQ
.
dt
donde Q es el calor y t es el tiempo. Esta cantidad es una invariante relativista. Luego
dQ0
dQ
= 0.
dt
dt
(5)
De esta manera, considerando las transformaciones de Lorentz y que en el sistema I el
cuerpo está en el oringen se obtiene:
dt0 = γdt,
y por lo tanto
Q0 = γQ.
Luego, considerando el primer postulado de la teorı́a de relatividad especial, y
dQ = T dS, obtuvo otra transformación para la temperatura
T 0 = γT.
(6)
En esta transformación se afirma que la temperatura del sistema termodinámico, para
I 0 , aumenta cuando w aumenta, es decir, es exactamente lo inverso a lo planteado en (4).
Es interesante notar que, si U 0 = γU , T 0 = γT y V 0 = V /γ, por el primer postulado de la
teorı́a de la relatividad especial y la invarianza de la entropı́a, se tiene
p0 = γ 2 p,
(7)
ya que se debe tener dU 0 = T 0 dS 0 − p0 dV 0 . Este resultado atenta contra lo que la “intuición” podrı́a decir, como se ve en la ecuación (2).
Este nuevo set de transformaciones de los parámetros termodinámicos, introducido por
Ott, vino a cuestionar lo que se consideró como la verdad durante casi 50 años; esto, por
supuesto, causó cierta controversia entre los fı́sicos de aquella época, controversia que se
vió incrementada cuando P.T. Landsberg, aceptando las transformaciones para el calor y la
presión de Einstein y Planck, planteó otra transformación de la temperatura.
1.3.
Landsberg y sus planteamientos
P.T. Landsberg, en su primer paper[5], considerando que el tiempo no es una variable
a considerar en la termodinámica, postuló que cualquier transformación de cantidades termodinámicas entre sistemas de referencia inerciales que consideren, en alguna parte de su
concepción, el tiempo como una variable, pierde sentido y, como los efectos relativistas se
producen por el no-absoluto concepto del tiempo, se deberı́a esperar que la temperatura
fuese una invariante relativista. Su planteamiento para la transformación de la temperatura
fue
T 0 = T.
(8)
Entonces, con estos tres resultados distintos para un problema semejante, queda en evidencia que en esos momentos habı́a un gran problema al intentar hacer una termodinámica
relativista. Durante los años que siguieron a la publicación de Landsberg, muchos papers
fueron publicados y, lamentablemente, en ellos no hubo nada que hiciera compatibles las
tres escuelas de pensamiento: el problema de hacer una termodinámica relativista, simplemente, no estaba resuelto.
Sin embargo, cuando se podrı́a pensar que todo el problema se reducı́a a encontrar alguna falla en dos de las transformaciones y decantarse finalmente por una tercera, Landsberg[7]
postuló un nuevo planteamiento para la transformación de la temperatura. Esta no existe.
Dicho planteamiento se argumenta considerando el número de fotones que contará un observador en I 0 cuando mire la radiación de un cuerpo negro en reposo respecto a I en un
intervalo de frecuencia dω y un intervalo de ángulo sólido dΩ
nθ (ω, Tθ )dωdΩ =
ω 2 /c3
dωdΩ.
2π 2 [exp(hω/kT ) − 1]
Este resultado involucra, como dice Landsberg, una temperatura direccional
p
1 − (w/c)2
0
Tθ (T, w, θ) = T
1 − (w/c) cos θ
(9)
donde θ es el ángulo entre sistemas de referencia. Esto viene de asumir que la función de
distribución de los bosones es una invariante relativista. Es interesante para el resultado de
(9) el lı́mite cuando θ → π/2, ya que lleva a la transformación de temperatura de Einstein,
mientras que en el lı́mite θ → 0 se llega a
p
1 + (w/c)
0
T =Tp
.
1 − (w/c)
conduciendo a otra transformación de la temperatura para el mismo caso. Sin embargo,
el resultado de (9) implica que un “baño termal” dado por esa temperatura no será isotrópico para I 0 y, luego, un observador en I 0 no recibirı́a de manera isotrópica la radiación de
cuerpo negro, y, finalmente, no podrı́a detectar un espectro de radiación de cuerpo negro,
imposibilitando el definir un parámetro llamado temperatura, por consiguiente, no es posible tener una transformación de ella.
2.
Nuestra aproximación al tema
Al revisar los distintos acrecamientos al tema, en especial los citados en este trabajo, se
puede ver que la mayorı́a de los autores obtiene sus transformaciones considerando resultados ajenos a la termodinámica. De esta forma, aplicando distintas disciplinas, como la
relatividad y la mecánica estadı́stica, para luego juntarlas con los resultados de la termodinámica es posible obtener diversos resultados.
En este trabajo, se considerán transformaciones de la Relatividad Especial exclusivamente para los parámetros extensivos, y, siguiendo un tratamiento similar al hecho por N.
Agmon [10] en su trabajo de 1976, usando las definiciones de temperatura y presión básicas
de la termodinámica se obtendrán las transformaciones de dicho parámetros.
Siguiendo el tratamiento de H. Callen[6], las cantidades termodinámicas intensivas, como lo son la temperatura y la presión, se deducen a partir de las cantidades extensivas
Entropı́a S, Energı́a U , Volumen V , etc., de esta manera, se tienen las siguientes definiciones:
1
=
T
∂S
∂U
V,N
p
=
T
∂S
∂V
(10)
U,N
Ası́, las transformaciones de la temperatura y la presión aparecen como consecuencias
de las transformaciones relativistas de los parámetros termodinámicos extensivos de un sistema simple.
En lo siguiente se considerarán los mismos sistemas de referencia mostrados en la sección (1.1)
2.1.
Transformación de la Energı́a
En I la energı́a del sistema es U , y de la invariancia del intervalo se deduce que:
U=
p
m2 c4 + P 2 c2 ,
(11)
donde m y P son la masa y el momento lineal del sistema medidos en I. De la misma
forma, en I 0 , se tiene
U0 =
p
m02 c4 + P 02 c2 .
(12)
Finalmente, dadas las transformaciones relativistas de masa y momentum
m0 = γm
usando (11), (12) y (13), entonces:
P 0 = γP,
(13)
U 0 = γU.
(14)
Además, considerando la entropı́a como una invariante relativista y utilizando la contracción del espacio, se obtiene el siguiente set de transformaciones:
U 0 = γU
2.2.
V
γ
V0 =
S0 = S
(15)
Transformación de la temperatura
A partir de las definiciones de temperatura y presión dadas en (10), válidas para cualquier referencia inercial (por primer postulado de relatividad), se tiene para I 0
1
=
T0
∂S 0
∂U 0
p0
=
T0
V 0 ,N 0
∂S 0
∂V 0
.
(16)
U 0 ,N 0
Esta consideración covariante para las ecuaciones de estado no es trivial. Esto porque
el postulado de relatividad de Einstein hace referencia a las Leyes fundamentales de la naturaleza, y, de esta forma se está, implı́citamente, diciendo que esta ecuaciones son leyes
fundamentales.
Un argumento para solventar este vacı́o en la teorı́a es la generalidad con que se definen,
en termodinámica los estados de equilibrio y la función Entropı́a S. Al ser tan general no
parece haber restricciones al definir temperatura o presión, y la definiciones dadas tienen la
caracterı́stica de “heredar” esta condición.
Hechas estas consideraciones, para la temperatura, usando (15) y sabiendo que N = N 0 ,
se tiene:
1
=
T0
∂S 0
∂U 0
=
V 0 ,N 0
∂S
∂(γU )
.
(17)
V 0 ,N
Ahora, si el volumen se mantiene fijo en I 0 , también se mantendrá fijo en I aunque con
otro valor. Luego,
1
=
T0
∂S 0
∂U 0
V 0 ,N 0
1
=
γ
∂S
∂U
.
(18)
V,N
Ası́, de (10),
T 0 = γT.
(19)
Análogamente, se puede deducir la transformación de la presión, usando (16) y (15),
p0
T0
=
∂S 0
∂V

0
U 0 ,N 0

∂S
=  
∂ Vγ
.
(20)
U 0 ,N
Y, al igual como fue expuesto para el volumen, convenciéndose de que si la energı́a se
mantiene constante en cualquiera de los dos sistemas, I o I 0 , entonces se mantiene constante
en el otro, usando (19),
p0
=γ
γT
∂S
∂V
U,N
p
=γ .
T
(21)
Finalmente,
p0 = γ 2 p.
(22)
De esta manera, se tienen las siguientes transformaciones:
T 0 = γT
p0 = γ 2 p.
(23)
Todo esto lleva a preguntarse qué es lo que está mal, y si realmente las distintas formas de acercarse al problema son correctas o no. Cabrı́a preguntarse también si las distintas
aproximaciones utilizan teorı́as compatibles con la termodinámica y la relatividad.
3.
Conclusiones
El hecho que existan tantos resultados distintos para una situación fı́sica aparentemente
igual vista por dos observadores, plantea tres problemas de base en la teorı́a:
Termodinámica: La pobre definición fenomenológica de la entropı́a
la posible covarianza de las ecuaciones de estado termodinámicas
La ausencia de sistemas de referencia en la termodinámica.
El primer problema es netamente de definición y acarrea consigo un problema serio en
el significado que tendrán los parámetros de la termodinámica, ya que todos se pueden escribir en función de la entropı́a y, además, conlleva la no certeza de la generalización de las
correspondencias, como la presión definida termodinámicamente con su análogo definido
por F/A, por ejemplo.
En relación al segundo problema, nuestro resultado, si bien no es nuevo, al considerar
las ecuaciones de estado como covariantes sin una fundamentación clara, y llegar a transformaciones concretas y autoconsistentes deja abierta la pregunta si es que es o no correcto
intentar hacer esta teorı́a (Termodinámica Relativista). De esta manera, no tener una respuesta clara del porque las ecuaciones deben ser covariantes, estamos poniendo en duda la
validez de nuestras transformaciones, y más aún, estamos cuestionando la posible conexión
entre Termodinámica y Relatividad Especial. En este sentido, si queremos hacer un trabajo
más acabado debemos poner énfasis en las posibles limitaciones y vacı́os teóricos las definiciones termodinámicas más que en los resultados de la relatividad especial.
Finalmente, el tercer problema, ası́ como el segundo, plantea una incompatibilidad entre
la termodinámica y la teorı́a de relatividad especial, ya que ésta última se basa en ver como
transformarı́an las cantidades fı́sicas de un sistema de referencia a otro y la termodinámica
no incluye en su teorı́a a los sistemas de referencia. Se puede notar que las teorı́as relativistas han sido existosas cuando han estado basadas en teorı́as clásicas que consideraban los
sistemas de referencia dentro de ellas mas no se han podido hacer bien cuando la teorı́a en la
cual se trabaja no ha considerado a los sistemas de referencia (la incompatibilidad mecánica
cuántica-teorı́a de la relatividad es un caso evidente). Es por esto que planteamos que, hasta
que no se cree un postulado en la termodinámica que considere los sistemas de referencia
dentro de ella, la termodinámica y la teorı́a de relatividad especial no podrán ser del todo
compatibles, y una ‘Termodinámica Relativista” será imposible.
Referencias
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