instituto tecnologico

INSTITUTO TECNOLOGICO
AUTONOMO DE MEXICO
Guía de estudio y bibliografía para el examen de clasificación de
Matemáticas para las maestrías de Administración, Dirección
Internacional y Tecnologías de Información y Administración.
2007
1.
Conceptos Fundamentales de Álgebra
1.1 Exponentes.
1.2 Fracciones.
1.3 Ecuaciones.
1.4 Desigualdades.
1.5 Valor absoluto.
1.6 Introducción a la Programación Lineal.
1.7 Aplicaciones en problemas de porcentajes y programación lineal usando el
método gráfico.
2.
Funciones
2.1 Concepto de función. Dominio y rango.
2.2 Funciones lineales y cuadráticas.
2.3 Funciones crecientes y decrecientes.
2.4 Traslaciones, compresiones y estiramientos de gráficas de funciones.
2.5 Función exponencial y función logaritmo.
2.6 Aplicaciones en problemas de interés compuesto y continuo.
3.
Funciones y sus derivadas
3.1 Interpretación de la primera derivada de una función.
3.2 Interpretación de la segunda derivada de una función.
3.3 Máximos, mínimos y puntos de inflexión.
3.4 Aplicaciones en problemas de máximos y mínimos.
4.
Matrices
4.1 Conceptos fundamentales sobre matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
4.2 Operaciones con matrices.
4.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
4.4 La inversa de una matriz.
4.5 Aplicaciones en las que se planteen distintos sistemas de ecuaciones.
Bibliografía
1. Arya, Jagdish C. y Lardner, Robin W., “Matemáticas Aplicadas a la
Administración y a la Economía”, 4ª Edición, Pearson, México, 2002.
2. Budnick, Frank S., “Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y
Ciencias Sociales”, 3ª Edición, McGraw-Hill, México, 1990.
3. Haeussler, Ernest F. y Paul Richard S., “Matemáticas para Administración,
Economía, Ciencias Sociales y de la vida”, 8ª Edición, Prentice-Hall
Hispanoamericana, México, 1997.
4. Hoffman, Laurence D., “Cálculo Aplicado. Para Administración, Economía,
Contaduría y Ciencias Sociales”, McGraw-Hill, España 1985.
5. Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A., “Algebra y Trigonometría con
Geometría Analítica”, 9ª Edición, Internacional Thomson Editores, México,
1998.
Ejemplos de ejercicios y problemas relacionados con los
temas
1.
Conceptos Fundamentales de Álgebra
1. La expresión
a. 2
(x + 2)2 − ( x − 2) 2
c. 2 2 x
b. 2
1−
2. Al simplificar la expresión
a.
t +1
t
es igual a
b.
1
t2
2
t +1−
t
d. 2 x
se obtiene
t +1
t (t + 2)
c.
t +1
2t (t − 1)
d.
t 2 −1
t (t − 1)
3. Al factorizar la expresión 3 x 2 + 6 x + 3 se obtiene
a. ( x + 1) 2
b. (3 x + 1)( x + 1)
c. (3 x + 1)( x + 3)
d. 3( x + 1) 2
4. Al resolver la ecuación x 2 = 2( x − 1)( x + 2) se llega a que
a. no hay solución.
b. x = 1 o x = −2
c. x = −1± 5
d. x = −1± 20
5. Las soluciones de la desigualdad 2 x − 5 ≤ 3 son todas las x que están en
a. (− ∞,−1] ∪ [4, ∞ )
b. [− 4,−1]
c. (− ∞,1] ∪ [4, ∞ )
d. [1,4]
6. Las soluciones de la desigualdad
x +1
> 3 son todas las x que están en
2x − 1
1
4
≤x≤
2
5
a.
c. x <
b.
1
4
o x>
2
5
d.
x≤
4
5
1
4
<x<
2
5
7. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(3,−5) y Q(−3,7) es
a. x + 2 y = 1
b. 2 x + y = 13
c.
x + 2 y = −7
d.
2x + y = 1
8. Las soluciones del sistema de ecuaciones
x 2 − y = −2
x+ y =4
son:
a. x = 1, y = 3; x = −2, y = 6
c.
x = −1, y = 3; x = 2, y = 6
b.
x = −1, y = 5; x = −2, y = 6
d.
x = 1, y = 3; x = 2, y = 6
9. Las soluciones de la desigualdad − 10( x − 1) ≤ −( x 2 + 15) son
a. todos los reales
b. x ≥ 5
10. La región sombreada de la gráfica
c. x = 5
d. x ≤ −5 o x ≥ 5
corresponde a la región factible del sistema
2.
x≤8
y≤7
a.
x≥0
x≤8
y≤7
b.
4x + 5 y ≤ 1
y≥0
x ≥ 0, y ≥ 0
7 x + 8 y ≤ 15
4 x + 5 y ≤ 40
d.
x≥0
y≥0
x + 2 y ≤ 14
5 x + 4 y ≤ 40
c.
x≥0
y≥0
Funciones
11. Si f : ℜ → ℜ es una función tal que f ( x ) =
{
{x ∈ ℜ x ≠ 4}
a.
1
, su dominio es
4− x
b. x ∈ ℜ − 4 < x < 4}
{
{
c. x ∈ ℜ x > 4}
d. x ∈ ℜ x < 4}
12. Si f : ℜ → ℜ es una función tal que f ( x ) = x 2 − 1 , su rango es
a. [−1,1]
b. (− ∞,1) ∪ (1, ∞ )
c. [− 1, ∞ )
d. [0, ∞ )
13. El valor de la función g ( x ) = ( x − 3) 2 + 5 en
1
a es
3
a.
1 2
a − 2a + 14
9
b.
1 2
(a − 6a + 9) + 5
3
c.
1 2
a + 14
9
d.
1 2
a −4
9
14. De las siguientes expresiones la que corresponde a y como función de x es
a. x + y = 0
b. x + y = 0
c. x − y = 1
d. x − y = 1
15. Dada la gráfica de la función f ( x) , obtenemos la gráfica de la función
g ( x) = f ( x − h) (con h > 0 ) por medio de una traslación
a. vertical h unidades hacia arriba.
b. vertical h unidades hacia abajo.
c. horizontal h unidades a la izquierda.
d. horizontal h unidades a la derecha.
16. Si la gráfica de la función f ( x) es
entonces la gráfica de la función g ( x) =
a.
c.
1
f ( x) es
2
b.
d. ninguna de la anteriores.
17. La función f ( x) = 2 x 2 − 4 x − 7 es creciente si
a. x ∈ (− ∞,1)
b. x ∈ (− 1,1)
c. x ∈ (− ∞, ∞ )
d. x ∈ (1, ∞ )
18. Al resolver la ecuación log( x 2 + 19) = 2 se llega a
a. x = ±9
b. x = e
1−
log(19 )
2
c. x = ±3
d. x = 10
2 − log(19 )
2
19. La ecuación con la que se puede encontrar en cuánto tiempo reduce $1.00 su
valor adquisitivo al 50% , dada una inflación del 10% anual, es
t
1
2
1
9
 =
2
 10 
a. t = −10 log 
c.
b. 
1
3
t=
10
2
d.
1
t = − log10 (2)
10
20. Un banco da un interés del 9.3% anual capitalizable 3 tres veces al año. Si
una persona invierte C pesos en este banco, el valor de su inversión
después de 5 años es
b. C (1.093)15
c. C (1.031) 5
d. C (1.279) 5
a. C (1.031)15
3.
Funciones y sus derivadas
21. Si $1.00 es un número real positivo y g ( x) = a x , entonces
a. a x
b.
ax
ln a
c.
1
ax
d g ( x)
es
dx
d. a x ln a
22. Con la primera derivada de la función f es posible
a. encontrar los puntos en los que la gráfica de f corta al eje x .
b. encontrar los intervalos donde crece o decrece la función f .
c. encontrar los puntos de discontinuidad de la función f .
d. encontrar los puntos de inflexión de la función f .
23. Si y =
(2 − x 2 ) 5 , entonces
dy
es
dx
5
(2 − x 2 ) 3
2
a. − 5 x (2 − x 2 )
b.
c. − 5 x (2 − x 2 ) 3
d. − 5 x (2 − x 2 ) 7
24. Si h( x) = −
1 3
x + 3x 2 − 14 x , la gráfica de h´(x) ( la derivada de h´(x) ) es
6
a.
b.
c.
d.
25. Si f ( x) = xe x , de las siguientes afirmaciones la verdadera es
a. f ( x) tiene un máximo en x = −1 .
b. f ( x) tiene un mínimo en x = −1 .
c. f ( x) tiene un máximo en x = 0 .
d. f ( x) tiene un mínimo en x = 0 .
26. Con la segunda derivada de la función f es posible
a. encontrar los puntos en los que la gráfica de f corta al eje x .
b. encontrar los intervalos donde crece o decrece la función f .
c. encontrar los puntos de discontinuidad de la función f .
d. encontrar los puntos de inflexión de la función f .
27. La función f ( x) = xe x , tiene cambio de concavidad en
a. x = −2
b. x = −1
c. x = 0
d. x = 1
28. La función de demanda para cierto bien está dada por p = 15e
−x
3
para
0 ≤ x ≤ 8 , donde p es el precio por unidad y x es el número de unidades
pedidas. El ingreso es máximo cuando el número de unidades ( x) y el precio
( p) son, respectivamente:
a. 5 , 15e
−5
3
b. 0 , 15
c. 8 , 15e
−8
3
d. 3 , 15e −1
29. Un granjero quiere delimitar una parcela rectangular de área 900m 2 .La cerca
tiene un costo de $15 por metro. Para poder minimizar el costo del cercado las
dimensiones de la parcela tendrían que ser
a. 20 × 45
b. 10 × 90
c. 30 × 30
d. 15 × 60
4. Matrices
 − 4 1 − 12 


30. La forma escalonada reducida de la matriz  3 2 8  es
 −1 3 − 4 


1 0
3 

11 
a.  0 1 − 
4


0
0
0


1

1 −
4

1
b.  0

0 0



3 

4
−
11 
0 


1 0 0


c.  0 1 0 
0 0 1


32 


1 0
11 

d.  0 1 − 4 

11 
0 0
0 




31. Considerando que A , B y C son matrices, de las siguientes afirmaciones la
que siempre se cumple es:
a. A( BC ) = ( AB)C .
b. Si AB = 0 , entonces A = 0 o B = 0 .
c. AB = BA .
d. Si A es una matriz cuadrada entonces A es invertible.
32. Sea A la matriz aumentada de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas.
1

0
0

0

5 

0 a 2−a 1 
0 0
a − 2

0 0
0 0 
2 3
4
De las siguientes afirmaciones la falsa es:
a. Si a = 2 el sistema de ecuaciones tiene infinidad de soluciones.
b. Si a = 0 el sistema no tiene solución.
c. Para cualquier valor de a el sistema no tiene solución.
d. Si a ≠ 0 el sistema tiene una infinidad de soluciones.
 2 − 3
 , la matriz inversa de M es
M = 
− 5 7 
33. Si
a. M −1
 − 7 − 3

= 
 − 5 − 2
b. M −1
1 0

c. M −1 = 
0 1
 1

= 2
− 1

 5
1
− 
3
1 

7 
− 2
3 

− 7 
d. M −1 = 
 5
34. Las soluciones del sistema
p− q−r
=4
q − r − s = −5
− p + r − s = −8
p + 2q + 2r + s = −5
p = −1
q = −1
a.
r = −3
p = −1
b.
s=6
q = −2
r = −3
s=2
p = −1
c.
q = −2
r = −3
s=6
p =1
d.
q = −2
r = −3
s=6
35. Una agencia de viajes cobra 8dls. por adulto y 4dls. por niño para una
excursión. El fin de semana pasado 1000 personas pagaron dicha excursión.
El total de ingresos fue de 6400dls. Si x1 es la cantidad de adultos y x 2 es la
cantidad de niños que fueron a la excursión el fin de semana pasado, de los
siguientes sistemas de ecuaciones representados en forma matricial, con el
que se puede determinar los valores de x1 y de x 2 es
1 8   x1   1000 
   = 

1 4   x 2   6400 
b. 
 1 1   x1   6400 
   = 

 8 4   x 2   1000 
d. 
a. 
c. 
 1 1   x1   1000 
   = 

 8 4   x 2   6400 
 8 1  x1   6400 
   = 

 4 1  x 2   1000 
Soluciones de los ejercicios y problemas
Tema1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Tema2
c
b
d
c
d
d
d
a
c
c
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Tema 3
d
c
a
a
d
a
d
a
b
a
21.
22.
23.
24.
25.
26
27.
28.
29.
Tema 4
d
b
c
c
b
d
a
d
c
30.
31.
32.
33.
34.
35.
d
a
c
a
c
b