Tema 1. Conceptos y principios fundamentales

Transcripción

-U
S
SIE
ET
I-
Capı́tulo 1
AD
AI
Conceptos y principios fundamentales
Conceptos básicos
DP
1.1.
T.
FIS
IC
AA
PL
IC
La Fı́sica es la ciencia natural más básica y su objetivo general es el estudio
cuantitativo de la materia, la energı́a y sus interacciones mutuas. La Fı́sica
investiga las leyes fundamentales por las que se rige la naturaleza y las aplica al estudio los fenómenos mecánicos, térmicos, acústicos, electromagnéticos,
etc. Para ello usa el método cientı́fico, en el que las predicciones teóricas se
confrontan con las observaciones experimentales, y utiliza el lenguaje de las
matemáticas para expresar sin ambigüedad las relaciones entre las magnitudes
fı́sicas. Debido al carácter fundamental de la Fı́sica, todas las demás ciencias
naturales (Quı́mica, Biologı́a, etc.) y las tecnologı́as (Arquitectura, Ingenierı́a,
etc.) necesitan de ella para desarrollarse.
La Mecánica es la parte de la Fı́sica que estudia el movimiento, el equilibrio
y la deformación de los cuerpos. Comprende la Cinemática, que trata de la
descripción del movimiento sin tener en cuenta las causas que lo provocan,
y la Dinámica, que relaciona el movimiento con las causas que lo afectan o
modifican (las fuerzas). La Estática es una parte de la Dinámica. Se ocupa de
estudiar bajo qué condiciones un sistema mecánico (un cuerpo o conjunto de
cuerpos) se encuentra en equilibrio. El estudio de la Mecánica es esencial en el
ámbito de la Ingenierı́a de Edificación, pues interesa conocer la estabilidad y
deformación de las estructuras bajo la acción de las cargas aplicadas.
En este capı́tulo nos centraremos en exponer distintos conceptos fundamentales de la Mecánica que serán de utilidad a lo largo de todo el curso. Se
introducirán además las leyes de Newton para una partı́cula, y se aplicarán
al estudio de la estática del punto material. Más adelante, nos ocuparemos del
comportamiento de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rı́gido (capı́tulos 2 y 3)
y estudiaremos la estática del sólido y de los sistemas de sólidos rı́gidos (capı́tulos 4 y 5). Terminaremos con el estudio del sólido elástico y, en particular, su
comportamiento frente a la flexión (capı́tulo 6).
Conceptos básicos de la Mecánica son el espacio, el tiempo y la masa. En
la mecánica newtoniana, estos tres conceptos se consideran cantidades absolutas, es decir, independientes del observador. La definición de estos conceptos
5
mecánica
cinemática
dinámica
estática
-U
S
SIE
6
no es fácil y su comprensión reposa en buena medida en nuestra experiencia
cotidiana.
El espacio es la región geométrica en la cual tienen lugar los sucesos. En este
libro usaremos la palabra espacio para referirnos a una región tridimensional.
La posición en el espacio se determina con relación a un cierto sistema
geométrico de referencia, o simplemente sistema de referencia, mediante medidas longitudinales y angulares. En este libro, por lo general, un sistema de
referencia será una terna de ejes cartesianos. Cuando sólo sean relevantes dos
de las tres dimensiones, se utilizará un sistema de referencia formado por dos
ejes cartesianos.
El tiempo es una medida de la sucesión de eventos.
La masa se define de dos maneras diferentes. Por un lado, la masa es la
medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo material, esto es, de su “resistencia” a cambiar de estado de movimiento. Por otro lado, la masa es una
propiedad que poseen los cuerpos que hace que se atraigan mutuamente. La
equivalencia entre ambas masas (masa inerte y masa gravitatoria o pesante) es
una de las “coincidencias” más llamativas de la mecánica newtoniana y está en
la base de la teorı́a de Einstein de la gravitación (o relatividad general).
ET
espacio
I-
sistema de referencia
tiempo
Modelos mecánicos
IC
1.2.
AD
AI
masa
FIS
IC
AA
PL
En Fı́sica se usan modelos para representar de forma abstracta y simplificada los objetos y sus interacciones. La elección de un modelo fı́sico adecuado es
clave en la resolución de cualquier problema. Un buen modelo debe conservar
los aspectos que son relevantes para poder resolver el problema, y omitir todo
aquello que no lo es. El que un modelo sea más o menos útil viene determinado
por la precisión de sus predicciones (al compararlas con las observaciones experimentales) y por la complejidad del modelo. En general, es preferible usar el
modelo más sencillo que permita predecir los resultados que se buscan, siempre
que estos estén en razonable acuerdo con las observaciones experimentales.
En este curso usaremos varios modelos, de complejidad creciente, para resolver problemas de Mecánica. Cada uno de ellos es adecuado para un tipo
de problemas concreto. Estos modelos son: punto material, sistema de puntos
materiales, sólido rı́gido, sistema de sólidos rı́gidos y sólido elástico.
DP
T.
partı́cula o punto material
1.2.1.
Partı́cula o punto material
El modelo de partı́cula o punto material es el modelo mecánico más simple.
Un punto material queda caracterizado por su masa y su posición, y carece
de extensión espacial. Un objeto real se puede modelar como punto material
cuando debido a las circunstancias del problema se pueden ignorar sus dimensiones, estructura y configuración interna y, a efectos mecánicos, no hace falta
distinguir partes en él.
EJEMPLO: La trayectoria de la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol se obtiene con suficiente precisión asumiendo que la Tierra es un
punto material.
-U
S
Modelos mecánicos
sistema de puntos materiales
ET
Cuando es necesario distinguir partes, y se pueden ignorar las dimensiones,
estructura y configuración interna de cada una de las partes, un modelo más
adecuado es el de sistema de puntos materiales, que queda caracterizado por
la masa y posición de los N puntos que forman el sistema.
7
SIE
1.2
Sólido rı́gido
AI
1.2.2.
I-
EJEMPLO: Las trayectorias de todos los planetas del Sistema Solar alrededor
del Sol se obtiene con suficiente precisión suponiendo que cada uno de ellos es
un punto material de un sistema de puntos materiales.
sólido rı́gido
i
rij
j
PL
IC
AD
Un modelo de especial utilidad en Ingenierı́a es el modelo de sólido rı́gido,
que se define como un sistema de puntos materiales en el que la distancia entre
dos cualesquiera de ellos no cambia ante la acción de un sistema de fuerzas
(fig. 1.1). Este modelo es útil cuando las dimensiones del objeto son relevantes
en el problema, sus deformaciones son pequeñas y, a efectos mecánicos, no hace
falta distinguir partes en él.
Cuando es necesario distinguir partes, y en cada una de ellas las dimensiones
son relevantes y las deformaciones pequeñas, un modelo más adecuado es el de
sistema de sólidos rı́gidos, que es un sistema formado por dos o más sólidos
rı́gidos.
1.2.3.
Sólido elástico
AA
EJEMPLO: En el estudio de la estabilidad de las estructuras en edificación,
el conjunto de las vigas que componen una estructura se tratan habitualmente
como un sistema de sólidos rı́gidos.
FIS
IC
Si las deformaciones del objeto no son despreciables o se quieren estudiar
estas deformaciones por pequeñas que sean, un modelo más adecuado es el
modelo de sólido elástico. Un sólido elástico se deforma proporcionalmente a la
fuerza aplicada y, cuando cesa la fuerza, recupera su forma original.
1.2.4.
T.
EJEMPLO: La deformación que experimenta una viga sometida a cargas puede
calcularse usando el modelo de sólido elástico.
Modelos planos
DP
Para la resolución de determinados problemas no es relevante considerar las
tres dimensiones espaciales, sino que basta con tener en cuenta dos (o incluso
una) de ellas. Por ejemplo, en determinados problemas que presentan simetrı́a
espacial respecto a un plano y en los cuales los únicos movimientos posibles
son paralelos a dicho plano, es adecuado emplear modelos fı́sicos planos, ya que
ello simplifica la resolución del problema.
FIGURA 1.1: N puntos materiales forman un sólido rı́gido si cumplen la condición de rigidez: |~rij | =
cte ∀ i, j = 1, 2, . . . , N , donde ~rij es
el vector con origen en el punto material i y extremo en el punto material j.
sistema de sólidos rı́gidos
sólido elástico
-U
S
SIE
8
ET
La posición de un objeto que se modele como un punto material en el
plano queda determinada por dos coordenadas, por ejemplo sus coordenadas
cartesianas (xp , yp ). Por el contrario, para determinar la posición de un punto
material en el espacio son necesarias tres coordenadas espaciales, (xp , yp , zp ).
En el modelo de sólido rı́gido plano, el objeto se representa por una figura plana (generalmente su sección en un determinado plano) y se ignora su
dimensión perpendicular a dicho plano.
Grados de libertad y ligaduras
1.3.1.
Configuración
I-
1.3.
AI
FIGURA 1.2: Punto material vinculado mediante un cable en tensión.
Ligaduras
IC
1.3.2.
AD
La configuración de un sistema de puntos materiales es la posición que
ocupa en el espacio cada una de las partı́culas que lo constituyen. Por tanto,
queda determinada si se conocen en cada instante las coordenadas espaciales
de todas y cada una de sus partı́culas.
configuración
Una partı́cula libre es aquélla que puede ocupar cualquier posición en el
espacio, sin ninguna restricción. Generalmente, las partı́culas que constituyen
un sistema mecánico no son libres, sino que ven limitadas las posiciones a las
que pueden acceder. Llamamos ligadura, vı́nculo o enlace a cualquier limitación
en las posibles posiciones que puede ocupar un sistema material en el espacio.
Un sistema mecánico ligado es aquél que está sometido a algún tipo de ligadura.
PL
partı́cula libre
ligadura
AA
sistema mecánico ligado
DP
T.
FIS
IC
EJEMPLO:
FIGURA 1.3: Anilla vinculada a un
alambre con forma parabólica.
Una partı́cula material unida a un cable1 en tensión (péndulo simple) sólo
puede ocupar las posiciones de una esfera de radio igual a la longitud del
cable y centro en el punto donde éste tiene su extremo fijo (fig. 1.2).
Las posibles posiciones de una anilla ensartada en un alambre (fig. 1.3)
son aquellas que vienen definidas por la curva que éste describe.
Dos esferas unidas por una barra de acero (fig. 1.4) pueden ocupar cualquier posición en el espacio siempre que la distancia entre ellas sea constante e igual a las dimensiones de la barra.
Un sólido rı́gido articulado (fig. 1.5) mantiene fijo uno de sus puntos,
alrededor del cual el sólido puede rotar.
Una viga empotrada por uno de sus extremos se encuentra en una posición
fija en el espacio, y no puede ocupar ninguna otra a menos que se destruya
ese vı́nculo.
1 El vı́nculo cable en tensión considerado en este texto será siempre un hilo inextensible,
de masa despreciable, y sin rozamiento en sus contactos.
-U
S
9
SIE
1.3
ET
Las restricciones sobre las posiciones que imponen las ligaduras se expresan
mediante relaciones matemáticas que, en el caso más general, pueden depender
no sólo de las coordenadas de las partı́culas, sino también de sus velocidades y
del tiempo,
ϕ(~r1 , ~r2 , . . . , ~rN , ~v1 , ~v2 , . . . , ~vN , t) = 0,
(1.1)
AI
I-
donde ~ri = (xi , yi , zi ) y ~vi son, respectivamente, los vectores posición y velocidad de la partı́cula i-ésima del sistema de N partı́culas y t el tiempo. Sin
embargo, por sencillez, en este texto sólo trataremos aquellos enlaces que pueden describirse mediante ecuaciones que sólo involucran las posiciones de las
partı́culas, esto es,
ϕ(~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ) = 0.
(1.2)
ligaduras holónomas esclerónomas
ecuaciones de ligadura
AD
Este tipo de enlaces recibe el nombre de ligaduras holónomas esclerónomas,
y nos referiremos a cada una de las ecuaciones que las describen como ecuaciones de ligadura. Cada ecuación de ligadura del tipo (1.2) muestra que, al
menos formalmente, una de las coordenadas de las partı́culas enlazadas podrı́a
determinarse a partir de las coordenadas de las partı́culas restantes.
IC
EJEMPLO:
Las coordenadas (xp , yp , zp ) de un punto material ligado a un plano deben
satisfacer la ecuación de ligadura
PL
Axp + Byp + Czp + D = 0,
P1(x1 , y1 , z1)
d
z
(1.3)
y
O
P2(x2 , y2 , z2)
x
Si una anilla, modelada como un punto material, se encuentra ensartada
en un alambre con forma parabólica (fig. 1.3), las coordenadas (xp , yp )
que definen su posición han de cumplir la ecuación de ligadura
FIGURA 1.4: Dos puntos materiales
obligados a permanecer a una distancia fija. La partı́cula P2 está obligada
a permanecer sobre una esfera centrada en P1 .
AA
donde A, B, C y D son los parámetros que definen la superficie plana.
yp = ax2p + bxp + c,
(1.4)
donde los parámetros a y b dependen de la forma concreta de la parábola
IC
La ecuación de ligadura que describe al vı́nculo por el que dos puntos
materiales, P1 (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z2 ), se encuentran a una distancia
fija d (fig. 1.4) es
FIS
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − d2 = 0.
(1.5)
Las posibles posiciones que puede ocupar uno de los puntos se encuentran
sobre una esfera cuyo radio es la distancia fija d y que tiene por centro la
posición del otro punto material.
DP
T.
Si un punto P (xp , yp ) de un sólido rı́gido plano se vincula mediante una
articulación a un punto Q(xq , yq ) de dicho plano (fig. 1.5), sus coordenadas habrán de satisfacer las ecuaciones de ligadura
xp = xq ,
(1.6)
yp = yq .
(1.7)
El sólido podrá ocupar cualquier posición siempre que estas ecuaciones
se verifiquen, esto es, siempre que se mantenga el punto de articulación.
FIGURA 1.5: Solido rı́gido vinculado
por una articulación en uno de sus
puntos.
-U
S
1.3.3.
SIE
10
Grados de libertad
ET
La configuración de un sistema de puntos materiales puede ser muy compleja cuando contiene un número elevado de partı́culas, pues requerirı́a especificar
muchas coordenadas. Sin embargo, como se ha visto en la sección 1.3.2, la existencia de ligaduras establece relaciones entre las coordenadas de las partı́culas,
por lo que el número de coordenadas independientes se ve reducido.
Los grados de libertad de un sistema de partı́culas son las coordenadas libres
o independientes que permiten conocer la configuración del sistema. El número
total de dichas coordenadas, G, se denomina número de grados de libertad del
sistema de partı́culas. Ha de advertirse, no obstante, que para abreviar la escritura se utiliza frecuentemente la expresión grados de libertad como sinónimo
de número de grados de libertad.
En un sistema mecánico ligado, cada ecuación de ligadura independiente
permite obtener una de las coordenadas del sistema en función de las restantes.
Por lo tanto, cada ecuación de ligadura independiente supone la supresión de
un grado de libertad respecto del caso en que el sistema fuera libre.
Una partı́cula libre en el espacio tiene tres grados de libertad, pues son
necesarias tres coordenadas libres para fijar su posición (fig. 1.6). Estas pueden
ser, por ejemplo, sus tres coordenadas cartesianas (xp , yp , zp ). En el plano, sólo
son necesarias dos coordenadas, (xp , yp ), por lo que una partı́cula libre en el
plano tiene sólo dos grados de libertad.
Consideremos ahora el caso un partı́cula ligada en el espacio: un péndulo
simple unido al origen de coordenadas mediante un cable tenso (fig. 1.7). Su
configuración queda determinada por tres coordenadas cartesianas: xp , yp y zp .
El cable, de longitud d, constituye una ligadura de ecuación
AD
AI
I-
grados de libertad
(1.8)
que han de satisfacer las coordenadas del péndulo. Por tanto, el valor de, por
ejemplo, la coordenada zp , podrı́a determinarse en función de las coordenadas
xp e yp . Puesto que sólo es necesario conocer los valores de xp e yp para determinar toda la configuración, se concluye que el número de grados de libertad
del péndulo simple es dos. De los tres grados de libertad que tendrı́a la partı́cula
si fuese libre, la ligadura ha suprimido uno.
En el plano, la configuración de un péndulo simple queda determinada por
las coordenadas cartesianas xp e yp , que deben verificar la ecuación de ligadura
DP
T.
FIS
IC
FIGURA 1.7: Péndulo simple: una
partı́cula P ligada a un punto fijo
O mediante un cable inextensible de
longitud d.
x2p + yp2 + zp2 = d2 ,
AA
PL
IC
FIGURA 1.6: Una partı́cula libre situada en un cierto sistema de referencia.
FIGURA 1.8: Péndulo simple plano.
Su posición se describe en coordenadas polares mediante la distancia r y
el ángulo θ.
x2p + yp2 = d2 .
(1.9)
Por tanto, puede determinarse el valor de una de las coordenadas cartesianas
en función de la otra, con lo que el número de grados de libertad es uno. La
ligadura ha suprimido uno de los dos grados de libertad que tendrı́a la partı́cula
si fuese libre.
La configuración de un sistema de partı́culas puede expresarse en otras
coordenadas distintas de las cartesianas. Por ejemplo, la posición de un punto
en el plano puede también determinarse unı́vocamente por la distancia r al
origen de coordenadas y el ángulo θ respecto de un eje que se denomina eje
polar (fig. 1.8). Ese par de números (r, θ) se denominan coordenadas polares del
punto, y determinan la configuración de una partı́cula en el plano.
Usando coordenadas polares, la ecuación de ligadura correspondiente a un
péndulo simple en el plano, unido al origen de coordenadas mediante un cable
-U
S
de longitud d, se expresa como
r = d.
(1.10)
1.3.4.
AI
I-
ET
Por tanto, la coordenada radial del péndulo tiene un valor fijo, mientras la coordenada angular θ puede adquirir cualquier valor. La configuración del péndulo
quedará determinada por el valor que adquiera θ, y el número de grados de
libertad será uno.
Ası́ pues, los grados de libertad pueden venir expresados tanto mediante
coordenadas cartesianas (con dimensiones de longitud) como por coordenadas
angulares (adimensionales), o mediante una combinación de ambas. Sin embargo, el número de coordenadas independientes o grados de libertad del sistema,
G, será siempre el mismo.
11
SIE
1.3
Movimientos independientes
movimientos independientes
FIS
IC
AA
PL
IC
AD
La modificación de una o varias de las coordenadas independientes (o libres) que definen la configuración de un sistema mecánico implica un cambio
en la posición de éste, es decir, su movimiento. Cualquier movimiento del sistema puede expresarse como una combinación de movimientos elementales o
infinitesimales, en cada uno de los cuales varı́a el valor de una única coordenada
independiente. Además, la magnitud de cada uno de estos movimientos elementales no está condicionada por la de los restantes, por lo que se le denominan
movimientos independientes del sistema.
Según se definió en la sección 1.3.1, el número de coordenadas libres determina los grados de libertad de un sistema mecánico. Puesto que cada movimiento independiente está asociado a la variación del valor de una coordenada
libre, pueden también definirse los grados de libertad como los movimientos
independientes que puede realizar el sistema.
Consideremos, por ejemplo, una partı́cula libre en el espacio. Su configuración queda determinada mediante sus tres coordenadas cartesianas, (xp , yp , zp ).
Estas coordenadas pueden adoptar cualquier valor, puesto que una partı́cula
libre puede desplazarse a cualquier punto del espacio. Un movimiento elemental arbitrario ∆~l de la partı́cula puede expresarse como combinación de tres
movimientos independientes (fig. 1.9): una traslación ∆x paralela al eje x, en
la cual varı́a únicamente el valor de la coordenada libre xp ; una traslación ∆y
paralela al eje y, en la cual varı́a únicamente el valor de la coordenada libre yp ;
y una traslación ∆z paralela al eje z, en la cual varı́a únicamente el valor de la
coordenada libre zp . Es decir,
∆~l = ∆x~ı + ∆y ~ + ∆z ~k.
(1.11)
DP
T.
Los argumentos antes expresados son igualmente válidos para una partı́cula
libre en el plano, cuya posición queda determinada por el valor de sus coordenadas xp e yp . Sus grados de libertad son dos, correspondientes a dos movimientos
independientes, ∆x y ∆y, paralelos a los ejes coordenados x e y.
Ası́ como la elección de las coordenadas independientes de un sistema mecánico no es única (véase 1.3.1), la descripción de movimientos independientes
será distinta, según sean las coordenadas libres elegidas. Sin embargo, el número de movimientos independientes será siempre el mismo, pues el número de
grados de libertad es único.
Consideremos nuevamente el péndulo plano (fig. 1.8), que posee un sólo
grado de libertad. La partı́cula se encuentra obligada a moverse sobre una
FIGURA 1.9: Movimiento de una
partı́cula libre en el espacio.
-U
S
SIE
12
Coacciones
AI
1.3.5.
I-
ET
circunferencia de radio d centrada en O. Si se toma como coordenada independiente la coordenada angular θ, la traslación de la partı́cula se expresará como
una variación de valor ∆θ en dicha coordenada. La coordenada r no cambiará,
pues su valor está fijado por la ecuación de ligadura (1.10).
Por el contrario, si se toma como coordenada libre la coordenada cartesiana
xp , el movimiento independiente se describirá como una variación ∆x en el valor
de xp . Puesto que la coordenada yp depende de xp a través de la ecuación de
ligadura (1.9), la variación ∆x lleva aparejada una variación en la coordenada
yp de valor ∆y, dependiente de ∆x.
IC
AD
Como se ha indicado anteriormente, la existencia de ligaduras en un sistema
de puntos materiales establece relaciones entre las coordenadas de las partı́culas, que vienen expresadas por las ecuaciones de ligadura. Estas relaciones se
traducen en limitaciones sobre el número de movimientos independientes que
el sistema de partı́culas sin ligaduras podrı́a realizar.
Consideremos, por ejemplo, una partı́cula ligada a una superficie plana sin
rozamiento (fig. 1.10). Si se eligen los ejes coordenados de forma que la superficie sea coincidente con el plano OXY , la ecuación de la ligadura se expresa
simplemente como
zp = 0.
(1.12)
AA
PL
En este caso, la posición de la partı́cula queda perfectamente determinada
mediante el valor de sus coordenadas xp e yp , ya que su coordenada zp viene
fijada por la ecuación de ligadura y es siempre 0. Por tanto, el número de grados
de libertad es dos.
Dado que la coordenada zp es fija, la ligadura prohı́be cualquier traslación
paralela al eje z, es decir, impone
DP
T.
coacción
(1.13)
mientras que no establece ninguna limitación sobre traslaciones paralelas a
los ejes x e y. De los tres movimientos independientes que tenı́a la partı́cula
libre, la existencia de una ecuación de ligadura ha suprimido un movimiento
independiente, es decir, un grado de libertad.
De forma general, se denomina coacción al impedimento de uno de los movimientos independientes posibles del sistema mecánico debido a las ligaduras
que actúan sobre él. Cada coacción viene descrita por una ecuación de ligadura
y, por tanto, la existencia de una coacción supone la supresión de un grado de
libertad.
Cada coacción viene descrita por una ecuación de ligadura. Por tanto, la
existencia de N coacciones supone la supresión de N grados de libertad.
Cada ecuación de ligadura supone una coacción y, por tanto, la supresión
de un grado de libertad.
Una ligadura puede venir expresada por una o varias ecuaciones de ligadura,
de modo que, dependiendo del tipo de ligadura, ésta podrá ejercer una o varias
coacciones. Por ejemplo, la ligadura que obliga a una partı́cula a permanecer
en un punto fijo en el espacio ejerce tres coacciones, pues impide cualquier
desplazamiento paralelo al eje x, y o z.
IC
FIS
FIGURA 1.10: Movimiento de una
partı́cula ligada al plano coordenado
OXY en el espacio.
∆z = 0,
-U
S
SIE
1.3
13
TABLA 1.1: Coacciones ejercidas por distintos vı́nculos aplicables a partı́culas.
Movimiento/s impedidos
no coacciones
2D
3D
2D
3D
Permanecer en una superficie sin rozamiento
Permanecer en una curva sin rozamiento
Permanecer en un punto fijo
Mantener distancia fija a un punto fijo
Mantener distancia fija entre dos partı́culas
Perpendicular a la curva
Todos
Recta que la une al punto
Recta que las une
Perpendicular a la sup.
Perpendicular a la curva
Todos
Recta que la une al punto
Recta que las une
1
2
1
1
1
2
3
1
1
I-
Grados de libertad de sistemas de partı́culas
AI
1.3.6.
ET
Tipo de Ligadura
Grados de libertad de sistemas de partı́culas libres
IC
AD
Una partı́cula libre posee tres grados de libertad en el espacio y dos en el
plano. Ası́ pues, para determinar la configuración de un sistema de partı́culas
libres en el espacio serán necesarias tres coordenadas por cada partı́cula, mientras que en el plano bastarán con dos. El número de grados de libertad de un
sistema de N partı́culas libres será, por tanto,
3N (en el espacio),
Gpart. libres =
(1.14)
2N (en el plano).
PL
En consonancia con sus correspondientes grados de libertad, los movimientos
independientes posibles serán 3N en el espacio y 2N en el plano.
Grados de libertad de sistemas de partı́culas ligadas
AA
Como ya se ha visto en la sección 1.3.5, cada ecuación de ligadura independiente impuesta sobre un sistema de partı́culas equivale a una coacción ejercida
sobre el sistema, lo que supone la supresión de un grado de libertad. El número
de grados de libertad de un sistema de N partı́culas ligadas puede entonces
obtenerse como
3N − C (en el espacio),
(1.15)
Gpart. ligadas = Gpart. libres − C =
2N − C (en el plano),
C
IC
q1
EJEMPLO:
FIS
donde C representa el número de coacciones independientes ejercidas sobre el
sistema de N partı́culas. En la tabla 1.1 se muestra un resumen de las coacciones
ejercidas por las ligaduras más habituales en los sistemas de partı́culas.
DP
T.
El péndulo plano doble (fig. 1.11), tiene 2 grados de libertad, pues bastan
dos coordenadas angulares, θ1 y θ2 , para conocer la configuración de las
partı́culas. Alternativamente, el cable que une la partı́cula A al techo
ejerce una coacción, pues impide su desplazamiento en la dirección del
cable, y el que une las partı́culas A y B entre sı́ ejerce otra coacción, pues
la partı́cula B no puede alejarse de A en la dirección del cable que las
une. Por tanto, el número de coacciones ejercidas sobre las dos partı́culas
es 2 y el número de grados de libertad es
G = 2N − C = 2 × 2 − 2 = 2.
(1.16)
A
q2
B
FIGURA 1.11: Péndulo plano doble.
Las coordenadas θ1 y θ2 son suficientes para determinar la configuración
del sistema.
-U
S
SIE
14
Un sistema formado por 15 moscas “puntuales” en el espacio, dos de ellas
unidas por un cable inextensible (C = 1), tiene 44 grados de libertad, pues
1.3.7.
(1.17)
ET
G = 3N − C = 3 × 15 − 1 = 44.
Grados de libertad del sólido rı́gido
I-
Grados de libertad del sólido rı́gido libre
Un sólido rı́gido libre es aquél que no está sometido a ligaduras externas,
es decir, a vı́nculos que lo liguen a otros cuerpos. Debe notarse, no obstante,
que entre las partı́culas del sólido rı́gido sı́ existen ligaduras internas al sólido
rı́gido.
Bastan conocer las coordenadas de tres partı́culas (no alineadas) del sólido
rı́gido, P1 , P2 y P3 , para determinar la posición de cualquier otra, Pi (fig. 1.12).
Esto es ası́ porque las coordenadas de Pi (xi , yi , zi ) están relacionadas con las
de P1 , P2 y P3 mediante tres ecuaciones de ligadura pues, debido a la condición
de rigidez del sólido, las distancias entre cualesquiera dos partı́culas del sólido
son fijas,
(xi − x1 )2 + (yi − y1 )2 + (zi − z1 )2 − d21i = 0,
(1.18)
IC
AD
AI
sólido rı́gido libre
(xi − x2 )2 + (yi − y2 )2 + (zi − z2 )2 − d22i = 0,
PL
(xi − x3 )2 + (yi − y3 )2 + (zi − z3 )2 − d23i = 0,
AA
FIS
T.
DP
(1.20)
donde d1i , d2i y d3i son las distancias entre las partı́culas P1 , P2 y P3 y la
partı́cula Pi , respectivamente. A partir de estas tres ecuaciones pueden despejarse tres incógnitas: las coordenadas xi , yi y zi de la partı́cula Pi .
Por tanto, la configuración de un sólido rı́gido libre queda determinada conociendo tan sólo la posición de tres partı́culas, y bastan sus nueve coordenadas
para conocer la posición exacta del sólido rı́gido en el espacio. Sin embargo, las
coordenadas de P1 , P2 y P3 no son independientes entre sı́, pues a su vez están
sujetas a la condición de rigidez del sólido rı́gido,
IC
FIGURA 1.12: Sólido rı́gido en el que
se han elegido tres partı́culas no alineadas, P1 , P2 y P3 , formando ası́ un
triángulo base. Cualquier partı́cula Pi
queda fijada por sus respectivas tres
distancias a los puntos P1 , P2 y P3 .
(1.19)
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − d212 = 0,
(1.21)
(x3 − x2 )2 + (y3 − y2 )2 + (z3 − z2 )2 − d223 = 0,
(1.22)
(x1 − x3 )2 + (y1 − y3 )2 + (z1 − z3 )2 − d231 = 0,
(1.23)
donde d12 , d23 y d31 son las distancias entre las partı́culas P1 , P2 y P3 . De estas
ecuaciones es posible despejar tres de las coordenadas en función de las seis restantes, que sı́ serán completamente independientes. Se concluye finalmente que
bastan seis coordenadas para determinar la configuración de un sólido rı́gido
libre en el espacio y que, en consecuencia, posee seis grados de libertad. La
elección de las seis coordenadas independientes no es única. En un sistema de
referencia cartesiano, estas coordenadas podı́an ser, por ejemplo, las tres coordenadas de la partı́cula P1 (x1 , y1 , z1 ), las coordenadas x2 e y2 de otra partı́cula
P2 (x2 , y2 , z2 ), y la coordenada x3 de una tercera partı́cula P3 (x3 , y3 , z3 ). Los
seis movimientos independientes que tiene el sólido rı́gido se podrı́an describir
como las variaciones ∆x1 , ∆y1 , ∆z1 , ∆x2 , ∆y2 , ∆x3 de estas coordenadas. Los
cambios en las restantes coordenadas ∆z2 , ∆y3 y ∆z3 no son independientes
-U
S
SIE
1.3
de los anteriores, debido a las ecuaciones de ligadura internas entre los puntos
P1 , P2 y P3 .
Si elegimos otras coordenadas libres, los movimientos independientes del
sólido rı́gido seguirán siendo seis, puesto que son seis los grados de libertad,
pero estos pueden ser más sencillos de describir. Resulta más conveniente en
este caso elegir como coordenadas libres las tres coordenadas cartesianas de un
punto, P1 (x1 , y1 , z1 ), más tres coordenadas angulares que fijen la orientación
del sólido respecto a los ejes coordenados. Cualquier movimiento del sólido
rı́gido será una combinación de los siguientes:
z
posición
inicial
ET
posición
final
y
(a)
x
I-
z
P1
AI
Traslación de la partı́cula P1 del sólido rı́gido, con cambio ∆x1 , ∆y1 y
∆z1 en sus coordenadas (fig. 1.13b).
Dx 1
Dy 1
Rotación ∆γ en torno a un eje que pase por P1 y sea paralelo al eje
coordenado z (fig. 1.13e).
AD
Rotación ∆β en torno a un eje que pase por P1 y sea paralelo al eje
coordenado y (fig. 1.13d).
Dz 1
y
(b)
x
IC
Rotación ∆α en torno a un eje que pase por P1 y sea paralelo al eje
coordenado x (fig. 1.13c).
IC
AA
PL
Obsérvese que los seis movimientos independientes consisten en tres traslaciones
paralelas a los ejes coordenados, y tres rotaciones respecto de ejes también
paralelos a los ejes coordenados. A modo de ilustración, la figura 1.13 muestra
los movimientos independientes necesarios para desplazar un sólido rı́gido libre
desde una posición inicial hasta otra final.
El estudio del número de grados de libertad del sólido rı́gido libre en el
plano (2D) es análogo al caso tridimensional. Conocidas las posiciones de dos
partı́culas P1 y P2 del sólido rı́gido, las coordenadas de cualquier otra partı́cula
Pi (xi , yi ) quedan determinadas por las dos ecuaciones de ligadura que impone
la rigidez del sólido: las distancias de P1 y P2 a Pi son constantes. Sin embargo,
las cuatro coordenadas de P1 y P2 no son independientes, pues a su vez están
sujetas a la condición de rigidez del sólido
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − d212 = 0.
FIS
T.
DP
z
y
P1
(c)
x
z
y
P1
(d)
x
z
(1.24)
A partir de esta ecuación, es posible obtener una de las coordenadas en función
de las restantes. Por tanto, la configuración del sólido rı́gido libre en el plano
queda completamente determinada mediante tres coordenadas, y tres serán sus
grados de libertad. Como ocurrı́a en el caso 3D, la elección de las tres coordenadas no es única. Una posible elección serı́a las dos coordenadas cartesianas
de P1 y una coordenada de P2 . Otra elección válida serı́a las dos coordenadas
cartesianas de P1 , y el ángulo que forma la recta que une P1 y P2 con el eje
OX (fig. 1.14). Con esta elección, cualquier movimiento del sólido plano puede
considerarse una combinación de traslaciones y rotaciones independientes entre
sı́:
Traslación de la partı́cula P1 del sólido rı́gido, con cambio ∆x1 , ∆y1 en
sus coordenadas.
Rotación del sólido un ángulo ∆α entorno al punto P1 .
15
y
P1
(e)
x
z
posición
final
y
P1
(f)
x
FIGURA 1.13: Movimientos independientes aplicados sobre un sólido rı́gido libre para cambiar su posición.
-U
S
SIE
16
ET
Los tres movimientos independientes consisten en dos traslaciones paralelas a
los ejes coordenados y una rotación.
En resumen, el número de grados de libertad de un sólido rı́gido libre en el
espacio y en el plano es el siguiente:
6 (en el espacio),
GSR libre =
(1.25)
3 (en el plano),
I-
Grados de libertad del sólido rı́gido ligado
Un sólido rı́gido ligado es aquél que está sometido a ligaduras externas, es
decir, ligaduras entre las partı́culas que constituyen el sólido rı́gido y el exterior.
La presencia de vı́nculos externos lleva aparejada la existencia de una o
de varias ecuaciones de ligadura que, en este caso, relacionan las coordenadas
de partı́culas del sólido con las partı́culas de otros cuerpos (exteriores). Cada
ecuación de ligadura independiente supone una coacción ejercida sobre el sólido
rı́gido (es decir, un impedimento sobre las traslaciones o rotaciones independientes que el sólido rı́gido libre podı́a realizar) y suprime un grado de libertad
respecto del caso en que el sólido rı́gido estaba libre.
Consideremos, por ejemplo, el caso de un sólido rı́gido plano articulado en
la partı́cula P (xp , yp ) a un punto Q(xq , yq ) del plano (fig. 1.5). Las coordenadas
de la partı́cula deberán satisfacer las ecuaciones de ligadura 1.6 y 1.7. Por tanto,
este vı́nculo ejercerá dos coacciones, impidiendo cualquier traslación paralela
al eje x o al eje y. La articulación suprime dos grados de libertad, y el sólido
conserva sólo un grado de libertad de los tres que tendrı́a si fuera libre: la
posibilidad de rotar en torno al punto P .
De forma general, el número de grados de libertad de un sólido rı́gido ligado
se puede obtener como
6 − C (en el espacio),
GSR ligado =
(1.26)
3 − C (en el plano),
AA
FIGURA 1.14: La configuración de un
sólido rı́gido plano puede determinarse mediante las coordenadas cartesianas de un punto P (xp , yp ) y una
coordenada angular α.
PL
IC
AD
AI
sólido rı́gido ligado
FIS
IC
donde C representa el número de coacciones, o equivalentemente, de ecuaciones
de ligadura independientes impuestas sobre el sólido. Más adelante, cuando se
aborde el estudio de la estática del sólido rı́gido, se estudiará en detalle las
coacciones ejercidas por los vı́nculos más frecuentes aplicados sobre los sólidos.
fuerza
DP
T.
Pierre Varignon (Caen, 1654;
Parı́s, 1722): Entre sus contribuciones destacan la teorı́a general
de los momentos, el teorema de
Varignon y el polı́gono de Varignon, que es la base de la regla de
la poligonal para sumar vectores.
1.4.
Principios fundamentales de la Dinámica
Se dice que una fuerza actúa sobre un cuerpo si un agente de algún tipo
lo empuja o tira de él. Una fuerza puede provocar una modificación del estado
de movimiento del cuerpo, una deformación del cuerpo o ambas cosas a la vez.
Aunque no necesariamente ha de ser ası́, pues la presencia simultánea de otras
fuerzas puede evitar la modificación del estado de movimiento del cuerpo y la
deformación puede no ser apreciable.
Una fuerza es una magnitud con dirección y sentido y que, además, como
descubrió Varignon, verifica la regla de la poligonal (o la del paralelogramo)
cuando se componen varias fuerzas. Por tanto, las fuerzas son magnitudes vectoriales.
Una fuerza sobre un punto material se describe mediante un vector ligado
a la posición de dicho punto material en cada instante.
-U
S
1.4.1.
Fuerzas activas
fuerzas activas
I-
ET
Las fuerzas activas son aquéllas que pueden alterar el estado de movimiento o producir deformaciones en el sistema. Ejemplos de éstas son la fuerza
gravitatoria, las fuerzas ejercidas por campos eléctricos y magnéticos, las producidas por resortes y bandas elásticas, las fuerzas impulsivas originadas en
las colisiones, etc. Seguidamente, se discutirán las caracterı́sticas de la fuerza
gravitatoria y de las ejercidas por resortes, que serán ampliamente utilizadas
en la resolución de ejercicios.
17
SIE
1.4
Fuerzas gravitacionales. Ley de gravitación universal
ley de gravitación universal
m1 m2 ~r12
,
F~21 = −F~12 = G 2
r12 |~r12 |
AD
AI
Newton formuló la ley de gravitación universal, que establece que la interacción gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una distancia
r12 = |~r12 | (fig. 1.15 arriba) corresponde a una fuerza atractiva (fig. 1.15 abajo)
proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos,
(1.27)
donde
mT ~r12
mT ~rT
≈ −G 2
.
2 |~
r12
r12 |
rT |~rT |
IC
~g = −G
AA
PL
IC
donde G es una constante universal cuyo valor en el Sistema Internacional es
G = 6,673 × 10−11 m3 kg−1 s−2 y se llama constante de gravitación universal,
y ~r12 /|~r12 | es un vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector
con origen en la masa puntual m1 y extremo en m2 (fig. 1.15 arriba).
Un caso particular de esta ley se obtiene cuando uno de los cuerpos es la
Tierra y el otro está situado próximo a su superficie. La masa de la Tierra
es m1 = mT = 5,975 × 1024 kg y la distancia del centro de la Tierra a su
superficie, el radio medio de la Tierra2 , es rT = 6,37×106 m. Entonces podemos
reescribir (1.27) como
F~T 2 = m2~g,
(1.28)
r12
m1
F21
m1
(1.29)
FIS
(1.30)
T.
La constante ~g ası́ obtenida tiene dimensiones de aceleración, por lo que se
le denomina aceleración de la gravedad de la Tierra. La ec. (1.28) se puede
reescribir como
P~ = m~g,
(1.31)
DP
donde P~ es el peso de la masa m. El peso no es otra cosa que la fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae a esa masa cuando está situada en las proximidades
de su superficie.
El peso en la Luna se obtiene de manera similar,
P~Luna = m~gLuna ,
(1.32)
2 La Tierra no es una esfera sino un esferoide oblato. Su radio ecuatorial es 6,378160×106 m
y su radio polar es 6,356775 × 106 m.
F12
m2
FIGURA 1.15: Dos masas puntuales,
m1 y m2 , separadas una distancia
|~r12 | (arriba), y las fuerzas gravitato~12 es la fuerrias que experimentan. F
za gravitatoria que ejerce m1 sobre
~21 es la que ejerce m2 sobre
m2 y F
m1 .
Si elegimos un sistema de referencia en el que el eje y coincida con la vertical
sobre la superficie de la Tierra, resulta
~g = −9,8 ~ m/s2 .
m2
peso
-U
S
SIE
18
ET
donde, teniendo en cuenta que la masa y el radio de la Luna son, respectivamente, mLuna = 7,35 × 1022 kg y rLuna = 1,7374 × 106 m, resulta que la
aceleración de gravedad de la Luna es ~gLuna = −1,6 ~ m/s2 ; seis veces menor
que en la superficie de la Tierra.
Fuerzas ejercidas por muelles ideales. Ley de Hooke
I-
Si estiramos (comprimimos) un muelle real a lo largo de la dirección del
muelle, el muelle ejerce una fuerza, en la dirección de estiramiento (compresión) y con sentido contrario al de su estiramiento (compresión). Dicha fuerza
es aproximadamente proporcional a la elongación del muelle. Por elongación
entendemos la diferencia entre la longitud del muelle deformado, l, y su longitud natural, esto es, la longitud que tiene el muelle cuando no está sometido a
ninguna fuerza, l0 (fig. 1.16). Esta relación aproximada se conoce como la ley
de Hooke:
F~ = −k∆~l,
(1.33)
AI
Robert Hooke [Freshwater (Isla
de Wight), 1635; Londres, 1703]:
Fundó la teorı́a de la elasticidad y
estableció en 1678 la ley que lleva
su nombre: “Ut tensio, sic vis” (De
la misma manera que la deformación, ası́ es la fuerza).
AD
donde F~ es la fuerza que ejerce el muelle, k es una constante caracterı́stica del
muelle (a veces llamada constante elástica del muelle) que tiene dimensiones de
~ es el vector que describe la elongación que ha sufrido
fuerza entre longitud y ∆l
el muelle. Recibe el nombre de muelle ideal a aquél que verifica exactamente la
ley de Hooke.
La fuerza ejercida por un muelle de longitud natural nula sobre un cuerpo
unido a uno de sus extremos es un ejemplo de una fuerza proporcional a la
distancia: la que hay entre dicho cuerpo y el extremo opuesto del muelle.
1.4.2.
Fuerzas de reacción vincular
AA
Las fuerzas de reacción vincular o fuerzas de ligadura son aquéllas ejercidas por las ligaduras sobre el sistema, y su efecto mecánico es impedir los
movimientos incompatibles con las ligaduras.
El principio de liberación, principio de aislamiento o axioma de las ligaduras, establece que todo sistema mecánico ligado puede transformarse en un
sistema virtualmente libre si las ligaduras se sustituyen por sus correspondientes fuerzas de reacción vincular.
FIS
IC
FIGURA 1.16: El mismo muelle antes
(arriba) y después (abajo) de ser estirado horizontalmente una distancia
~ hacia la derecha. La longitud na|∆l|
tural del muelle es l0 . En el caso de
abajo, el muelle ejerce una fuerza ho~ y hacia
rizontal F~ proporcional a ∆l
la izquierda.
PL
IC
muelle ideal
fuerzas de reacción vincular
DP
T.
principio de liberación
EJEMPLO: Cuando una persona está de pie sobre un suelo horizontal, la
acción del suelo puede sustituirse por una fuerza vertical hacia arriba.
Las fuerzas de reacción vincular deben producir en todo momento el mismo
efecto mecánico que el vı́nculo al que sustituyen, impidiendo los movimientos
incompatibles con el enlace. Por ello, las fuerzas de reacción vincular poseen
las siguientes caracterı́sticas:
Las fuerzas de reacción vincular no producen movimiento.
El módulo de las fuerzas de reacción vincular es siempre función de las
fuerzas activas, y se anula cuando éstas lo hacen.
La dirección de la fuerza de reacción vincular puede depender o no de las
fuerzas activas, según sea el tipo de ligadura. Por ejemplo, la dirección
-U
S
19
SIE
1.4
ET
de la fuerza de reacción vincular que actúa sobre una partı́cula ligada a
una superficie o a una curva sin rozamiento es siempre perpendicular a
dicha superficie o curva. Por el contrario, la fuerza de reacción vincular
que actúa sobre una partı́cula fija tiene una dirección dependiente de las
fuerzas activas aplicadas.
incógnitas de reacción vincular
I-
Las incógnitas contenidas en la expresión de la fuerza de reacción vincular correspondiente a un vı́nculo reciben el nombre de incógnitas de reacción vincular.
Puede mostrarse que el número de incógnitas de reacción vincular asociadas a
un vı́nculo coincide con el número de coacciones ejercidas por dicho vı́nculo.
f
P
f
AD
f
AI
EJEMPLO:
P
IC
P+F
FIGURA 1.17: Fuerza de reacción
~ sobre una anilla de peso P
~
vincular φ
obligada a permanecer sin rozamiento sobre una recta horizontal (izda.)
o inclinada (dcha.). El mismo caso
que a la izda. pero con una fuerza
vertical adicional (centro).
y
IC
AA
PL
Consideremos una anilla puntual de peso P~ obligada a permanecer sin rozamiento sobre una recta. Si la recta es horizontal y sobre la anilla no se ejerce
~ es igual y de
ninguna fuerza adicional, entonces la fuerza de reacción vincular φ
sentido contrario a P~ (fig. 1.17 izda.). Si se ejerce una fuerza vertical adicional
~ es igual y de sentido contrario
F~ , entonces la fuerza de reacción vincular φ
~
~
a P + F (fig. 1.17 centro). Si se inclina la recta y no se ejerce ninguna fuerza
~ sigue siendo perpendicular
adicional, entonces la fuerza de reacción vincular φ
~ cambia cuando lo
a la recta (fig. 1.17 dcha.). En este caso, el módulo de φ
hacen las fuerzas activas pero su dirección se mantiene siempre perpendicular
a la recta.
DP
T.
FIS
EJEMPLO:
Si una anilla está vinculada a una curva plana sin rozamiento (fig. 1.18), la
dirección de la fuerza de reacción vincular será, en general, diferente en cada
punto de la misma, pero siempre perpendicular a la tangente de la curva en
cada punto.
La dirección normal a una curva plana y = y(x) puede determinarse de la
siguiente forma. Consideremos un elemento de longitud (o de arco) sobre la
curva (fig. 1.19), que parte del punto de coordenadas A(x, y) y termina en el
punto B(x + dx, y + dy). Siendo dx y dy longitudes infinitesimales, el vector
~ = (dx, dy) será paralelo, en primer orden, a la tangente a la curva en
AB
el punto A. Dividiendo el vector por la longitud dx (escalar) obtenemos otro
vector paralelo más conveniente:
~t = (1, dy/dx) = (1, y 0 (x)),
(1.34)
donde y 0 (x) representa la derivada a la curva en el punto A. Entonces, un vector
perpendicular a la tangente a la curva será
~n = (y 0 (x), −1),
(1.35)
f
f
x
P
P
FIGURA 1.18: Fuerza de reacción vin~ sobre una anilla de peso P
~
cular φ
obligada a permanecer sin rozamiento sobre una curva. Se muestran las
fuerzas en dos posiciones diferentes
de la anilla.
-U
S
SIE
20
como puede comprobarse a través del producto escalar de ~t y ~n (~t · ~n = 0).
La dirección de la fuerza de reacción vincular será paralela a ~n, por lo que
podrá expresarse como
~ = λ~n = λ(y 0 (x), −1),
φ
(1.36)
y
y = y(x)
donde la incógnita de reacción vincular λ es un escalar, positivo o negativo, cuyo
valor dependerá de las fuerzas activas, y su valor se obtendrá de la resolución
de las ecuaciones de equilibrio de la partı́cula. Nótese que, en general, λ no es
~ ya que ~n no tiene porqué ser un vector unitario.
el módulo de φ,
ET
A
x
x x+dx
FIGURA 1.19: En el lı́mite dx → 0,
~ es tangente a la curva
el vector AB
de ecuación y = y(x).
Leyes de Newton de la Dinámica
AI
1.4.3.
I-
B
y(x)+dy
y(x)
AD
Newton fue el primero en enunciar los principios fundamentales que rigen el
movimiento de una partı́cula. Tales principios se describen en el libro Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofı́a
natural ), publicado en 1686. Los sistemas de referencia en los que son válidas las leyes de Newton se denominan inerciales o newtonianos. Adaptando su
enunciado original, las leyes de Newton se pueden formular como sigue:
IC
Primera ley de Newton
La primera ley de Newton (o ley de la inercia) dice:
ley de la inercia
PL
Una partı́cula sobre la que no actúe ninguna fuerza o sobre la que actúe un
conjunto de fuerzas cuya suma sea nula, permanecerá en reposo si estaba
inicialmente en reposo, o en movimiento rectilı́neo y uniforme (i.e., sin
cambiar su velocidad) si no estaba inicialmente en reposo.
ley fundamental de la dinámica
La segunda ley de Newton (o ley fundamental de la Dinámica) dice:
DP
T.
FIS
IC
momento lineal
AA
Segunda ley de Newton
ley de acción y reacción
Una partı́cula sobre la que actúe un conjunto de fuerzas cuya suma sea F~
experimentará una variación por unidad de tiempo de su momento lineal
o cantidad de movimiento (~
p = m~v ) igual a F~ .
d~
p
.
F~ =
dt
(1.37)
En el caso particular de que la masa de la partı́cula permanezca constante,
la ec. (1.37) se puede escribir
d~v
(1.38)
F~ = m ,
dt
donde d~v /dt es la aceleración, ~a, de la partı́cula. Luego la ec. (1.38) también se
puede escribir como
F~ = m~a.
(1.39)
Tercera ley de Newton
La tercera ley de Newton (o ley de acción y reacción) dice:
Si una partı́cula A ejerce una fuerza (acción) sobre otra partı́cula B,
entonces B ejerce a su vez una fuerza sobre A (reacción) igual en módulo
y dirección pero de sentido contrario.
-U
S
Estática del punto material
SIE
1.5
Observaciones sobre las leyes de Newton
Primera ley:
Isaac Newton [Woolsthorpe (Lincolnshire), 1643; Kensington (cerca de Londres), 1727]: Es uno de
los genios cientı́ficos más grandes
de todos los tiempos. Entre muchas otras contribuciones, destaca
por haber establecido la Mecánica como un sistema axiomático cerrado (leyes de Newton, ecuación
de Newton del movimiento), haber enunciado la ley de la gravitación (1666) y con ella interpretado
cuantitativamente las leyes de Kepler, lo que constituye la base de la
mecánica celeste. En Óptica, descubrió la dispersión de la luz e hizo
investigaciones fundamentales sobre interferencia (anillos de Newton) y teorı́a del color (1666), y
defendió una teorı́a corpuscular de
la luz. En Matemática, descubrió el
binomio de Newton (1665) y, junto
con Leibniz, fundó el cálculo diferencial e integral (1665–1666).
ET
(1) Contiene el principio del equilibrio de las fuerzas y, por tanto, es la ecuación fundamental de la Estática.
(2) Es un caso particular de la segunda ley (F~ = ~0 ).
I-
Segunda ley:
AI
(1) La ec. (1.37) es una ecuación vectorial que se puede escribir como dos (si
estamos en el plano) o tres (si estamos en el espacio) ecuaciones escalares
independientes.
AD
(2) Usando la segunda ley de Newton, es fácil demostrar que todos los sistemas de referencia inerciales están en reposo relativo o se mueven entre
sı́ con velocidad constante. Para las aplicaciones arquitectónicas, un sistema de referencia en reposo respecto de la superficie terrestre es, en buena
aproximación, un sistema de referencia inercial.
newton
PL
IC
(3) Proporciona una definición operacional de fuerza. De hecho, esta definición operacional es la que se utiliza para definir la unidad de fuerza en
el Sistema Internacional, el newton, cuyo sı́mbolo es N. Un newton es la
fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le imprime una aceleración de
2
1 m/s2 . Por tanto, 1 N = 1 kg m/s (véase la tabla B.1 en el apéndice A).
La unidad de fuerza en el sistema técnico es el kilogramo fuerza o kilopondio, kp. Un kilopondio es el peso de una masa de un kilogramo colocada
sobre la superficie terrestre y equivale a 9,8 N (véase la tabla B.4).
AA
(4) Nótese que el concepto de masa ha aparecido en dos contextos diferentes.
Por un lado, ligado a la fuerza gravitatoria y, por otro, ligado a la segunda
ley de Newton. Al aplicar la segunda ley de Newton a la caı́da de una
partı́cula por su peso, resulta
IC
P~ = mg~g = mi~a,
(1.40)
Tercera ley:
FIS
donde mg y mi son, respectivamente, la masa gravitatoria y la masa inerte
de la partı́cula. Experimentalmente se observa que ~a = ~g para todos los
cuerpos (experimento de caı́da libre de Galileo), de donde se deduce que
mg = mi .
T.
(1) Las fuerzas aparecen siempre por parejas iguales y de sentido contrario.
(2) La acción y la reacción se aplican sobre partı́culas distintas.
DP
1.5.
Generalmente, las estructuras de la edificación se componen de barras o
vigas de materiales sólidos ligadas entre sı́ mediante soldaduras, roblones, articulaciones, etc. Sin embargo, como ya se ha indicado, el estudio del equilibro
21
masa gravitatoria
masa inerte
-U
S
SIE
22
1.5.1.
ET
de los cuerpos puede efectuarse mediante el modelo de punto material o de
sistemas de puntos materiales cuando concurren determinadas circunstancias
que ası́ lo permiten.
Condiciones de equilibrio para una partı́cula
Decimos que un sistema de puntos materiales está en equilibrio mecánico (o
simplemente equilibrio) en un sistema de referencia inercial cuando su configuración, esto es, las posiciones de los puntos que lo forman, permanece invariable
a lo largo del tiempo.
Teniendo en cuenta el concepto de grados de libertad ya estudiado, la definición de equilibrio implica que las coordenadas que definen los grados de
libertad permanezcan constantes durante en el tiempo.
Sea un punto material ligado sometido a N fuerzas activas, F~i . La aplicación
del principio de liberación permite a las ligaduras la sustitución de las ligaduras
~j . Teniendo en cuenta
por un cierto número M de fuerzas de reacción vincular, φ
las leyes de Newton, las condiciones necesarias y suficientes para que el punto
material esté en equilibrio son que
AD
AI
I-
equilibrio mecánico
IC
El punto material está inicialmente en reposo respecto del sistema de
referencia inercial elegido.
PL
La suma de todas las fuerzas (activas y de reacción vincular) que actúan
sobre el punto material sea el vector nulo:
N
X
F~i +
M
X
~ j = ~0.
φ
(1.41)
j=1
AA
i=1
DP
T.
FIS
IC
La ec. (1.41) es una ecuación vectorial. Teniendo en cuenta que cada una de
las fuerzas es, en el espacio, un vector de tres componentes, F~i = (Fix , Fiy , Fiz )
~j = (φjx , φjy , φjz ), la ec. (1.41) da lugar a 3 ecuaciones escalares indepenyφ
dientes:
N
X
Fix +
N
X
Fiy +
N
X
Fiz +
φjx = 0,
(1.42)
M
X
φjy = 0,
(1.43)
M
X
φjz = 0.
(1.44)
j=1
i=1
i=1
i=1
M
X
j=1
j=1
De estas ecuaciones se podrán determinar, en principio, no más de tres
incógnitas. Puesto que las fuerzas activas suelen ser conocidas, dichas incógnitas
~j
son generalmente componentes o módulos de las fuerzas de reacción vincular φ
(incógnitas de reacción vincular) o incógnitas ligadas a la posición de equilibrio
de la partı́cula (incógnitas de configuración). En este último caso, será necesario
que las fuerzas dependan de la posición que ocupe la partı́cula, como ocurre,
por ejemplo, en el caso de una partı́cula unida a un resorte.
-U
S
1.5.2.
Condiciones de equilibrio para un sistema de partı́culas
1.5.3.
I-
ET
Para que el sistema de partı́culas se encuentre en equilibrio, cada una de las
partı́culas que lo constituyen debe estar a su vez en equilibrio. Por tanto, las
condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de puntos materiales
esté en equilibrio exigen el cumplimiento de la ecuación (1.41) para cada una
de las partı́culas que forman el sistema. Al resolver el sistema de ecuaciones
resultante, habrá de tenerse en cuenta la tercera ley de newton en las fuerzas
que las partı́culas se ejercen mutuamente.
SIE
1.5
Pasos para resolver problemas de Estática
AI
Los pasos que generalmente hay que seguir para resolver problemas de
Estática son los siguientes:
AD
(a) Elegir el modelo que se va a utilizar para describir los cuerpos materiales
(punto material, sistema de puntos materiales, sólido rı́gido, sistema de
sólidos rı́gidos, etc.).
IC
(b) Dibujar el diagrama de fuerzas y, a la vista del diagrama, elegir el sistema
de referencia más conveniente (es decir, aquel en el que la resolución del
problema sea, presumiblemente, más sencilla).
(d) Plantear las ecuaciones de equilibrio.
PL
(c) Expresar vectorialmente en ese sistema de referencia todas las fuerzas que
intervienen.
(e) Resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de equilibrio.
AA
(f) Expresar las soluciones teniendo en cuenta su naturaleza escalar o vectorial (por ejemplo, las fuerzas son magnitudes vectoriales) sin olvidar las
correspondientes unidades.
Otros consejos a la hora de resolver problemas son:
FIS
IC
Conviene no usar la calculadora hasta el final del problema. No hace
falta sustituir las fracciones y raı́ces por sus valores decimales. De esta
manera se evitan errores de redondeo y los resultados finales y los cálculos
intermedios quedan expresados en una forma más elegante.
Conviene comprobar que las soluciones satisfacen los requisitos deseados.
Por ejemplo, puede comprobarse que las fuerzas satisfacen la ecuación de
equilibrio.
T.
El siguiente problema nos servirá para ilustrar los pasos anteriormente indicados.
DP
PROBLEMA RESUELTO 1.1:
Un bloque de 20 N de peso está en equilibrio mediante una fuerza F~1 que se
mantiene formando un ángulo de 30◦ respecto a la vertical, y mediante otra fuerza
horizontal F~2 . Determina F~1 y F~2 .
23
-U
S
Solución:
I-
ET
Sigamos los seis pasos mencionados antes:
SIE
24
AI
FIGURA P1a: Esquema del problema (izda.) y el correspondiente diagrama de fuerzas (dcha.).
AD
(a) Para describir el bloque usaremos el modelo de punto material. Es decir,
haremos la abstracción de que el bloque se comporta, a todos los efectos
que nos interesan estudiar, como una partı́cula o punto material.
IC
(b) El diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido se ilustran en la
fig. P1a dcha.
DP
T.
FIS
IC
AA
PL
(c) Sobre la partı́cula actúan sólo tres fuerzas: su peso, la fuerza F~1 y la fuerza horizontal F~2 . Su expresión vectorial en el sistema de referencia de la
fig. P1a dcha. es:
P~ = (0, −P )
= (0, −20) N,
~
F1 = F1 (−sen 30◦ , cos 30◦ )
√
3 F1
F1
),
= (− ,
2
2
F~2 = F2 (1, 0)
= (F2 , 0).
(P1.1)
(P1.2)
(P1.3)
Llegados a este punto es importante que quede claro cuáles son los datos del
problema: P~ y las direcciones y sentidos de F~1 y F~2 , representadas respectivamente por los vectores unitarios (−sen 30◦ , cos 30◦ ) y (1, 0); y cuáles son
las incógnitas: los módulos de F~1 y F~2 , representados respectivamente por
F1 y F2 .
(d) Puesto que se trata de un único punto material libre, la ecuación vectorial
de equilibrio (1.41 se escribe como sigue:
P~ + F~1 + F~2 = ~0.
(P1.4)
Como estamos considerando un sistema plano, la ecuación vectorial (P1.4)
es equivalente a dos ecuaciones escalares:
F1
+ F2 = 0,
0−
√2
3 F1
+ 0 = 0.
−20 +
2
(P1.5)
(P1.6)
-U
S
(e) De (P1.6) se obtiene
40
F1 = √ N.
3
Sustituyendo este resultado en (P1.5) se obtiene
25
SIE
1.5
ET
(P1.7)
20
F2 = √ N.
3
(P1.8)
I-
(f) Teniendo en cuenta las expresiones (P1.2) y (P1.3), y las soluciones (P1.7)
y (P1.8), obtenemos
20
F~1 = (− √ , 20) N,
3
20
~
F2 = ( √ , 0) N.
3
AI
(P1.9)
(P1.10)
IC
AD
Nótese que si en el paso (a) hubiésemos elegido un sistema de referencia distinto,
la expresión de las soluciones ya no serı́a (P1.9) y (P1.10), sino la correspondiente
en el sistema de referencia elegido.
PL
AA
Un bloque de 10 N de peso está obligado a permanecer sin rozamiento sobre un
plano inclinado 30◦ con respecto a la horizontal. Sobre el bloque actúa una fuerza
horizontal F~ . Calcula el valor de F~ para que haya equilibrio y la fuerza de reacción
vincular (la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque) en dicha situación.
F
FIS
IC
Solución:
DP
T.
30º
y
f
60º
x
F
P
30º
(a) Suponiendo que el bloque se puede describir mediante un punto material,
el diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido para resolver el
problema se ilustran en la fig. P2a dcha.
-U
S
SIE
26
ET
(b) La fuerza de reacción vincular asociada al hecho de que el bloque esté obligado a permanecer sobre el plano tiene la dirección perpendicular al plano.
Por tanto, la expresión vectorial, en el sistema de referencia elegido, de todas
las fuerzas que intervienen en el problema es:
P~ = (0, −10) N,
F~ = (−F, 0),
I-
√
3φ
φ
◦
◦
~
φ = (φ cos 60 , φ sin 60 ) = ( ,
).
2
2
(P2.1)
(P2.2)
(P2.3)
(c) La ecuación vectorial de equilibrio es:
AI
~ = ~0.
P~ + F~ + φ
(P2.4)
AD
Las ecuaciones escalares correspondientes son:
φ
−F + = 0,
√ 2
3φ
−10 +
= 0.
2
(P2.5)
(P2.6)
PL
IC
(d) La solución del sistema formado por las ecs. (P2.5) y (P2.6) es:
20
φ = √ N,
3
10
F = √ N.
3
(P2.7)
(P2.8)
10
F~ = (− √ , 0) N,
3
10
~ = ( √ , 10) N.
φ
3
(P2.9)
(P2.10)
FIS
IC
AA
(e) La solución al problema es:
DP
T.
Halla la posición de equilibrio y la fuerza de reacción vincular en esa posición para
una partı́cula de 2 kg de masa obligada a permanecer sobre la curva y = 2x2 +3x+4
(las longitudes están expresadas en metros) y sobre la que actúa una fuerza F~ =
(2, 4) kp.
Solución:
(a) El diagrama de fuerzas que actúan sobre la partı́cula se ilustra en la fig. P3a (dcha).
-U
S
y
y
F
F
ET
f
x
P
P
(b) Expresemos vectorialmente las fuerzas que no están en esa forma:
P~ = (0, −2) kp,
~ = λ (y 0 , −1)
φ
I-
x
AI
(P3.1)
= λ (4x + 3, −1).
(P3.2)
AD
(c) La condición de equilibrio es:
~ = ~0.
F~ + P~ + φ
IC
Por tanto, las ecuaciones de equilibrio son:
(P3.3)
(P3.4)
4 − 2 − λ = 0.
(P3.5)
PL
2 + λ (4x + 3) = 0,
(d) La solución del sistema formado por las ecs. (P3.4) y (P3.5) es:
(P3.6)
x = −1 m.
(P3.7)
AA
λ = 2 kp,
Haciendo uso de la ecuación de la curva, y = 2x2 + 3x + 4, la coordenada
y de la posición de equilibrio es y = 3 m.
(e) Solución que, en forma vectorial, se escribe
IC
~ = (−2, −2) kp,
φ
~r = (−1, 3) m,
(P3.8)
(P3.9)
T.
FIS
que son, respectivamente, la fuerza de reacción vincular en el equilibrio y la
posición de equilibrio.
DP
27
SIE
1.5
Sea una partı́cula material de peso P = 4 kp insertada en un alambre en forma
de semicircunferencia de radio R = 1 m, con rozamiento despreciable. La partı́cula
está sujeta a la acción de un muelle de longitud natural nula, fijado éste a su vez a
un extremo del alambre (como se ilustra en la figura). Si la posición de equilibrio
de la partı́cula se produce a un ángulo α = 53◦ , calcula:
-U
S
SIE
28
(a) La constante elástica del muelle.
Datos: sen 53◦ =
4
5
y cos 53◦ = 35 .
y
ET
(b) El vector fuerza de reacción vincular que ejerce el alambre sobre la partı́cula.
O
I-
A (1,0)
AD
AI
a=53o
PROBLEMA RESUELTO 1.4
B
IC
Solución:
x
AA
PL
Por tratarse de una partı́cula material ligada en equilibrio y en el plano, han de
cumplirse las ecuaciones siguientes:
X
X
Fx +
φx = 0,
(P4.1)
X
X
Fy +
φy = 0.
(P4.2)
DP
T.
FIS
IC
En ellas se encuentran las incógnitas que nos piden en los apartados (a) y (b): la
constante elástica del muelle, incluida en la fuerza del muelle sobre la partı́cula, y
la fuerza de reacción vincular del alambre sobre la partı́cula.
Para determinar cuáles son las fuerzas es necesario dibujar el diagrama de fuerzas.
Véase la figura. Elegiremos como ejes coordenados los de la figura (en otros casos,
habrá que elegirlos entre aquéllos en los que los vectores fuerza tienen las componentes más simples). De este diagrama inferimos los siguientes vectores fuerza:
Fuerzas activas:
~
F~muelle = k BA
= k(1 − cos 53◦ , sen 53◦ ),
P~ = (0, −4) kp.
(P4.3)
(P4.4)
Fuerzas de reacción vincular:
~ = (−φ cos 53◦ , φ sen 53◦ ).
φ
(P4.5)
Para escribir la fuerza del muelle hemos tenido en cuenta la ley de Hooke: F~muelle =
~ y que el muelle es de lnatural = 0 m con lo
k∆l~umuelle = k|lactual − lnatural |BA,
~
que |lactual | = |BA|. Para escribir la fuerza de reacción vincular se ha tenido en
-U
S
y
A (1,0)
O
x
ET
a=53
o
←
Fmuelle
←
f
I-
B (cos 53o, −sen 53o)
←
AI
P
(P4.6)
(P4.7)
IC
AD
cuenta que ésta es perpendicular al alambre en el punto B de apoyo y que, por
~ ó BO.
~
tanto, tiene dirección radial, según OB
Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio, obtenemos:
k(1 − cos 53◦ ) − φ cos 53◦ = 0,
k sen 53◦ − 4 + φ sen 53◦ = 0.
AA
PL
Son dos ecuaciones con dos incógnitas, k y φ, justo las que nos interesan para
responder a los apartados (a) y (b). Al resolver el sistema obtenemos k = 3 kp/m
~ = (− 6 , 8 ) kp.
y φ = 2 kp. El vector fuerza de reacción vincular es entonces φ
5 5
IC
En la figura se muestran dos pequeñas anillas A y B, de pesos respectivos PA y
PB , ensartadas en un alambre liso en forma de L. Ambas anillas están unidas por
un cable ideal tenso (tensión T 6= 0) de longitud 9 m, que pasa por una pequeña
polea de posición fija. Por último, la anilla B recibe la acción de un muelle ideal
vertical de longitud natural nula y constante elástica k.
FIS
(a) Calcula el número de grados de libertad del sistema.
(b) Determina el valor del ángulo α para la configuración de equilibrio.
(c) Dibuja la configuración de equilibrio y halla los valores del ángulo β y de la
elongación δ del muelle.
T.
(d) Calcula la fuerza que el alambre ejerce sobre cada anilla y la tensión del cable.
Solución:
DP
Datos: l = 4 m, d1 + d2 = 9 m, PA = 3 kp, PB = 1 kp, k =
sen 37◦ = 35 , cos 37◦ = 45 .
29
SIE
1.5
2
15
kp/m. Tómese
(a) El sistema tiene un solo grado de libertad: la posición de la partı́cula A queda
determinada por la posición de la partı́cula B.
FIGURA P4a: Diagrama de fuerzas.
-U
S
d
SIE
30
d2
d1
ET
b
B
A
I-
a
l
l
AI
PROBLEMA RESUELTO 1.5
l
←
d2
Fmuelle
d1
←
B
←
fB
b
TB
←
←
←
TA
PB
a
l=4m
fA
X
FBx +
FBy +
X
X
φBx = 0,
(P5.3)
φBy = 0.
(P5.4)
Para determinar cuáles son las fuerzas es necesario dibujar los dos diagramas de
fuerzas correspondientes a cada una de las dos partı́culas. Véase la fig. P5a. Los
ejes coordenados que simplifican más las ecuaciones son el horizontal como eje x
y el vertical como eje y.
A
←
PA
l=4m
X
PL
d
IC
AD
(b) Por tratarse de un sistema de dos partı́culas materiales, A y B, ligadas en
equilibrio y en el plano, han de cumplirse las ecuaciones siguientes:
X
X
FAx +
φAx = 0,
(P5.1)
X
X
FAy +
φAy = 0.
(P5.2)
En un cable ideal (i.e., inextensible y de peso despreciable) sin rozamiento con la
polea, la tensión tiene la dirección del cable en cada punto y su módulo es el mismo
en todos los puntos, de modo que, en este caso, las tensiones que actúan sobre
las partı́culas A y B son iguales en módulo TA = TB ≡ T pero no en dirección
T~A 6= T~B , como se ve en la fig. P5a.
IC
FIGURA P5a: Resolución de los apartados (a) y (c).
AA
l=4m
d
d2 = 5 m
d1 = 4 m
b
B
a = 90o
A
l=4m
l=4m
T.
l=4m
FIS
Comenzamos por la anilla A. De su diagrama de fuerzas, y sustituyendo directamente las componentes de las fuerzas en las ecs. (P5.1) y (P5.2), obtenemos:
DP
FIGURA P5b: Resolución del apartado (b).
T cos α = 0,
(P5.5)
−PA + T sen α + φA = 0.
(P5.6)
Se trata de dos ecuaciones con tres incógnitas: α, T y φA . Sin embargo, de la
primera de ellas ya obtenemos el valor de α, pues al ser T 6= 0, por estar tenso el
cable, debe ser cos α = 0, de donde α = 90◦ .
(c) La configuración de equilibrio dibujada en la fig. P5b queda determinada por
el valor encontrado para α. En la fig. P5b vemos que cos β = 54 y sen β = 5δ , obteniendo ası́ dos ecuaciones con las dos incógnitas pedidas, β y δ. Resulta entonces
que β = 37◦ y δ = 3 m.
(d) Para hallar la tensión T y las reacciones φA y φB disponemos de la ec. (P5.6),
más las dos ecuaciones que se obtienen al sustituir en (P5.3) y (P5.4) las componentes de las fuerzas que se infieren del diagrama de fuerzas de la partı́cula B.
-U
S
ET
Además, hay que tener en cuenta que ya conocemos que α = 90◦ , β = 37◦ y
δ = 3 m. El valor de δ es necesario para saber el de la fuerza elástica del muelle
sobre la partı́cula, dado por la ley de Hooke: Fmuelle = kδ, pues la longitud natural
del muelle es nula.
−PA + T sen 90◦ + φA = 0,
T cos 37◦ − φB = 0,
(P5.7)
(P5.8)
−PB + T sen 37◦ + kδ = 0.
(P5.9)
2
15
kp/m y δ = 3 m
I-
Sustituyendo los valores conocidos PA = 3 kp, PB = 1 kp, k =
obtenemos las siguientes 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
AI
(P5.10)
(P5.11)
AD
T + φA = 3,
4
T − φB = 0,
5
3 2
T + = 1.
5 5
(P5.12)
T.
FIS
IC
AA
PL
IC
De donde obtenemos finalmente que T = 1 kp, φA = 2 kp y φB = 4/5 kp. Si
queremos expresar vectorialmente las fuerzas de reacción del alambre sobre las
~A = (0, 2) kp, φ
~B =
partı́culas, de los diagramas de fuerzas de la fig. P5a resulta φ
4
(− 5 , 0) kp.
DP
SIE
1.5
31
-U
S
SIE
32
Problemas propuestos
ET
siendo la posición de equilibrio, ¿las constantes deberı́an
tener doble valor?, ¿la fuerza de reacción serı́a doble? Razona las respuestas brevemente.
y
I-
1.1. En la figura se observa una partı́cula material de peso
despreciable frente al de la carga P1 = 50 N que cuelga de
ella. La partı́cula está obligada a permanecer sin rozamiento
en la guı́a recta inclinada α = 53◦ respecto a la horizontal,
y además está sujeta a la acción de un muelle ideal de longitud natural nula y constante elástica k = 120 N/m y de
un cable ideal del que pende una carga de peso P2 = 100 N.
A(-l1,0)
(a) Los grados de libertad que posee la partı́cula material
considerando el problema plano.
x
O
k2
k1
AD
Y para la situación de equilibrio:
(b) La elongación que experimenta el muelle.
B(l2,0)
AI
Calcula entonces:
H(0,-h)
(c) La fuerza de reacción vincular que ejerce la guı́a sobre
la partı́cula.
y cos 53◦ = 53 .
P1
IC
a
AA
P2
k
PROBLEMA 1.2
IC
4
5
PL
Nota: Considera sen 53◦ =
1.3. Una anilla de peso P = 1 N puede deslizar sin rozamiento por un cable recto que pasa por O y forma un
ángulo α con la vertical. La anilla está unida a un punto fijo Q por un muelle cuya constante elástica es k = 1 N/m y
que tiene longitud natural despreciable. En la configuración
de equilibrio, determina:
(a) La distancia r (indicada en la figura) en función de α.
(b) La fuerza de reacción vincular en función de α.
(c) Los valores de α para los cuales el módulo de la fuerza
de reacción vincular es máxima y mı́nima, respectivamente.
FIS
PROBLEMA 1.1
T.
1.2. Un cuerpo puntual de masa m puede deslizar por una
varilla vertical lisa, estando sometido a la acción de dos
muelles ideales de longitud natural nula. Las constantes de
los resortes valen k1 y k2 , y sus extremos fijos son A(−l1 , 0),
B(l2 , 0) (véase la figura). El cuerpo permanece en equilibrio
en la posición H(0, −h). Determina:
DP
(a) La masa del cuerpo y la fuerza de reacción vincular,
en función de los parámetros del enunciado.
(b) La relación entre las constantes k1 y k2 para que la
fuerza de reacción vincular se anule.
(c) Supongamos que el cuerpo es sustituido por otro con
el doble de masa. Entonces, para que el punto H continúe
y
O
x
r
1m
a
S
Q
PROBLEMA 1.3
-U
S
33
SIE
I-
ET
1.4. Un dispositivo mecánico para desplazar cargas peli- En la situación de equilibrio, calcula:
grosas puede modelarse como un sistema de dos partı́cu~A y φ
~ B que las guı́as
las materiales, A y B, de peso despreciable. Las partı́cu- (b) Las fuerzas de reacción vincular φ
las A y B están obligadas a permanecer sin rozamiento ejercen sobre los puntos A y B, respectivamente.
en las guı́as horizontales OQ y RS, respectivamente. En- (c) Las distancias l y l .
A
B
tre la partı́cula A y el punto fijo R existe un muelle ideal
de longitud natural nula y constante elástica k = 10 N/m. (d) La fuerza F~A que el muelle ejerce sobre el punto A.
De la partı́cula A cuelga el peso a desplazar, de módulo
4
P = 100 N. Entre la partı́cula A y la partı́cula B existe Datos adicionales: Considera cos 37◦ = sen 53◦ = ,
5
un cable en tensión de peso despreciable y que en todo
3
sen 37◦ = cos 53◦ = .
momento forma un ángulo de 53◦ con la horizontal.
5
(b) Las coordenadas de las partı́culas A y B en el sistema
de referencia de la figura.
y
lB
O
o
o
53
37
x
B
A
3
5,
PL
Datos adicionales: OR = 5 m. Considera cos 53◦ =
sen 53◦ = 45 .
y
lA
IC
(c) Las fuerzas de reacción que ejercen la guı́as OQ y RS
sobre las partı́culas A y B, respectivamente.
AD
Si sobre B se aplica una fuerza horizontal F = 30 N, tal
y como se ilustra en la figura, calcula, en la situación de
equilibrio,
AI
(a) Calcula el número de grados de libertad del sistema
formado por las partı́culas A y B.
PROBLEMA 1.5
¬
B
F
AA
R (0,5) m
S
A
53o
O
x
FIS
P
IC
Q
1.6. Dos cuerpos A y B que pesan 800 N y 200 N respectivamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies perpendiculares mediante un cable que los une y que forma
un ángulo θ con la horizontal, según se indica en la figura.
Determina las reacciones de las superficies sobre los cuerpos, la tensión del cable y el ángulo θ. Suponer ausencia de
rozamiento en todas las superficies.
PB = 200N
PA = 800N
q
PROBLEMA 1.4
DP
T.
1.5. Considera el sistema de dos puntos materiales A y B
30º
60º
de la figura. El peso de A es 10 N y el peso de B es 12 N.
El punto A está obligado a permanecer sin rozamiento soPROBLEMA 1.6
bre una guı́a que forma 53◦ con la horizontal y el punto B
está obligado a permanecer sin rozamiento sobre una guı́a
que forma 37◦ con la horizontal, tal y como se ilustra en la 1.7. Una anilla de 10 N de peso y que consideraremos punfigura. A y B están unidos por un muelle ideal de longitud tual, puede moverse sin rozamiento sobre el eje vertical
x = 0. De la anilla tira un muelle de longitud natural nula
natural nula y constante elástica k = 5 N/m. Determina:
y constante elástica k = 2 N/m, cuyo otro extremo está fijo
(a) El número de grados de libertad del sistema.
en el punto de coordenadas (−5, −5) m, tal como se indica
-U
S
en la figura. También tira de la anilla un cable inextensible que pasa por el punto (5, 5) m mediante una polea sin
rozamiento, de radio despreciable y de cuyo otro extremo
cuelga un peso de módulo Q.
40 m
O
ET
α
IAI
y
PROBLEMA 1.7
(a) La posición de equilibrio de m1 y la fuerza de reacción
vincular que sufre en dicha posición.
(b) El valor de la masa m2 para que pueda permanecer en
equilibrio en la posición indicada, y la fuerza de reacción
vincular a la que se encuentra sometida.
Nota: las coordenadas en la figura están expresadas en metros.
y
IC
FIS
(a) La tensión del cable a un lado y otro de la polea P .
(b) El valor de los ángulos α y β que el cable forma con
la horizontal a un lado y otro de P .
T.
PROBLEMA 1.8
Sabiendo que m1 = 15 kg y que la masa m2 está en equilibrio en la posición P2 (−2, 7) m, calcula:
1.8. En la figura se muestran dos poleas de radio despreciable y sin rozamiento: de la primera de ellas, que denotare√
mos como P , cuelga un cuerpo A de peso WA = 200 3 kp;
P puede moverse a lo largo del cable ideal que la sostiene por debajo. Dicho cable rodea la garganta de la polea Q, y de su extremo vertical pende un cuerpo B de peso
WB = 200 kp. El conjunto se encuentra en equilibrio.
Calcula:
A
AD
PL
AA
(-5,-5) m
B
IC
x
β
1.9. Dos masas puntuales, m1 y m2 , pueden moverse a
lo largo de las rectas AB y BC, respectivamente, como
muestra la figura. Están unidas mediante un resorte de longitud natural nula, que tira de cada una de las partı́culas
con una fuerza proporcional a su longitud, con constante
de proporcionalidad k = 2 kp/m.
Q
(0,0)
P
x
(b) Calcula las coordenadas de la posición de equilibrio y
el vector fuerza de reacción vincular del eje sobre la anilla
si se suprime el cable del que cuelga el peso Q.
(5,5) m
4 3m
Q
y
(a) Calcula el peso Q que cuelga de la polea y el vector
fuerza de reacción vincular que el eje vertical ejerce sobre
la anilla si ésta se encuentra en equilibrio en la posición
(0,0).
(0,y)
SIE
34
B (0,8)
P2 (−2,7)
m2
C
m1 P1 (x, y)
O
A (4,0)
x
PROBLEMA 1.9
1.10. Una partı́cula de 11 N de peso puede moverse sin rozamiento a lo largo de la curva plana descrita por la ecuación y = −x2 − 1, y es atraı́da por el origen de coordenadas
con una fuerza proporcional al vector posición del punto,
(d) El número de grados de libertad de la polea P . El F~ = −k~r, siendo k = 2 N/m. Determina las posiciones de
número de grados de libertad de la polea P si el punto Q equilibrio y la fuerza de reacción vincular en cada una de
dichas posiciones de equilibrio.
de la cuerda estuviese fijado a una pared.
DP
(c) La longitud total del cable que hay entre O y Q, pasando por P y los valores de x e y correspondientes a la
polea P (véase la figura).
-U
S
ET
1.12. Un objeto de peso P = 1100 N, que consideraremos
puntual, se apoya sin rozamiento sobre una curva, de ecuación y = − 13 x2 − 1. El objeto permanece en equilibrio en el
punto A, de coordenadas A(−3, −4) m, sujeto por un único cable ideal en tensión que pasa sin rozamiento por una
argolla fijada a una pared vertical situada en el origen de
coordenadas O, y que está amarrado al techo en el punto
B. Calcula:
I-
1.11. En la figura se muestra el andamio utilizado para pintar un paramento vertical. Consta de un cable de acero
sobre la que se apoyan dos poleas, A y B, unidas mediante
una barra rı́gida de peso despreciable. De las poleas cuelgan sendas cuerdas, al final de las cuales se encuentra el
tablero sobre el que trabajan los pintores. Para mantener el
andamio en la posición mostrada, la polea B está unida a
un cable horizontal del que se tira con una fuerza F~ . Las
cargas dispuestas sobre el tablero producen en la cuerda
de la izquierda una tensión de 150 N, mientras que en la
cuerda de la derecha la tensión es de 250 N.
(a) El número de grados de libertad del objeto.
AD
(c) Considerando la argolla como puntual, la fuerza que
ejerce sobre ella la pared a la que está unida.
y
B
PL
F
(b) La tensión del cable, y la fuerza de reacción vincular
que ejerce la curva de apoyo sobre el objeto.
IC
®
B
y
AI
La forma que adopta el cable de acero puede aproximarse
x
x2
− .
mediante una curva parabólica de ecuación y =
10
4
Si se modelan las poleas mediante puntos materiales, determina:
(a) Las fuerzas ejercidas sobre la polea A por el cable de
acero y por la barra que une ambas poleas.
(b) La fuerza ejercida sobre la polea B por el cable de
acero y la fuerza F~ necesaria para mantener el andamio
en su posición.
A
30o
O(0,0) m
x
IC
AA
3m
A(-3,-4) m
4m
DP
T.
FIS
PROBLEMA 1.11
35
SIE
PROBLEMA 1.12
x
-U
S
SIE
36
Cuestiones
(b) la configuración del sistema viene dada por el valor
de 3N coordenadas libres o independientes.
ET
1.1. Teniendo en cuenta las leyes de Newton, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera?
2
3
1
IC
1
AD
AI
I-
(a) Un punto material sobre el que no actúan fuerzas per- (c) el número de grados de libertad es igual al que tendrı́a
manece en reposo respecto a cualquier sistema de referen- el sistema si todos los puntos fueran libres menos el número de ecuaciones de ligadura.
cia inercial.
(b) En un sistema de referencia inercial, la variación del (d) si todos los puntos materiales están en equilibrio, el
momento lineal (o cantidad de movimiento) de un punto número de grados de libertad es cero.
material respecto del tiempo es igual a la fuerza resultante
1.5. El número de grados de libertad de un sistema de punaplicada sobre dicho punto material.
(c) Las dos fuerzas a las cuales se refiere la tercera ley de tos materiales
Newton siempre actúan sobre el mismo punto material.
(a) depende de las posiciones que ocupen los puntos en
(d) Un punto material sobre el que actúa un sistema de el espacio.
fuerzas estará necesariamente acelerado en todo sistema
(b) es cero si todos los puntos están en reposo.
de referencia inercial.
1.2. En el espacio tridimensional considera un sistema for- (c) es cero si todos los puntos están en reposo y, además,
mado por tres puntos materiales P , P y P tal que P y la fuerza total que actúa sobre cada uno de ellos es cero.
G = 8.
G = 5.
G = 4.
G = 6.
AA
(a)
(b)
(c)
(d)
PL
P2 están unidos mediante un muelle, y la distancia entre P2
y P3 permanece constante. El número de grados de libertad
de ese sistema es
IC
1.3. En el plano, un punto material está obligado a permanecer sin rozamiento sobre la curva de ecuación y =
−x2 + 7. Al aplicar el principio de liberación, la fuerza de
reacción vincular que sustituye al vı́nculo
T.
FIS
(a) tiene una dirección constante independiente del punto
de la curva sobre el que se encuentre el punto material.
(b) es proporcional al vector (2, 1) si el punto material
está en el punto de coordenada x = 1.
(c) tiene dirección tangente a la curva en el punto donde
se encuentre el punto material.
(d) Ninguna de las otras respuestas es correcta.
1.4. En un sistema de N puntos materiales ligados, en el
espacio,
DP
(a) el número de coordenadas libres o independientes que
determinan su configuración es igual al número de grados
de libertad menos el número de ecuaciones de ligadura.
(d) Ninguna de las otras respuestas es cierta.
1.6. Sea una partı́cula material ligada a una superficie lisa.
Entonces la partı́cula está en equilibrio
(a) únicamente si la suma de las fuerzas activas que
actúan sobre ella es nula.
(b) si la suma de las componentes tangenciales a la superficie de las fuerzas activas que actúan sobre ella es nula.
(c) si la suma de las componentes normales a la superficie
de las fuerzas activas que actúan sobre ella es nula.
(d) si la fuerza de reacción vincular que actúa sobre ella
es no nula y tangente a la superficie.
1.7. Se cuelga un peso P~ de una arandela insertada en un
cable rı́gido, no necesariamente sin rozamiento, e inclinado 45◦ respecto a la horizontal. Si la arandela permanece
ası́ en equilibrio, ¿qué puede afirmarse acerca de la fuerza
de reacción vincular del cable sobre la arandela?
(a) Es perpendicular al cable.
(b) Es paralela al cable.
(c) Es vertical.
(d) Tiene dos componentes no nulas, una horizontal y otra
vertical.

Tema 1. Conceptos y principios fundamentales

Transcripción

Documentos relacionados

´ ´ 2. Considere una semiesfera de radio R que permanece fija

desintegraci´on - raulbarrachina.com.ar