Teoría de perturbaciones independiente del tiempo

Teoría de perturbaciones independiente del tiempo

Teoría de perturbaciones
independiente del tiempo
P. H. Rivera*
Facultad de Ciencias Físicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú
Ciudad Universitaria, 15 de setiembre del 2015
*
[email protected]
1
Sea un hamiltoniano de un sistema que puede ser escrito de la forma
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 .
(1)
Consideramos que Ĥ0 es el hamiltoniano de un sistema conocido, cuyos autovalores y autoestados de energía son perfectamente identificados que cumplen
la ecuación de autovalor, y lo consideramos como un sistema no perturbado.
Ĥ0|En(0)i = En(0)|En(0)i
(2)
Ĥ1 es el hamiltoniano que corresponde a una perturbación que no depende
del tiempo.
Lo que deseamos conocer es la ecuación de autovalor para el hamiltoniano
total que involucra el hamiltoniano del sistema no perturbado y el hamiltoniano
perturbante,
Ĥ|Eni = En |Eni .
(3)
2
Para controlar la acción del hamiltoniano perturbante reescribimos el hamiltoniano total mediante un parámetro λ de modo que 0 < λ < 1,
Ĥ = Ĥ0 + λĤ1 ,
(4)
de modo que los casos límites son Ĥ = Ĥ0 para λ = 0 y Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 para
λ = 1.
Asumimos también que los autovalores y autoestados de energía de Ĥ tienen una dependencia del parámetro λ de la forma siguiente:
|Eni = |En(0)i + λ|En(1)i + λ2|En(2)i + . . .
En = En(0) + λEn(1) + λ2En(2) + . . .
(5)
(6)
Hacemos los cálculos siguientes
Ĥ|Eni = En |Eni
(Ĥ0 + λĤ1)(|En(0)i + λ|En(1)i + λ2|En(2)i + · · · ) = (En(0) + λEn(1) + λ2En(2) + . . .)
(|En(0)i + λ|En(1)i + λ2|En(2)i + . . .) (7)
3
Separando los términos en función de λn .
Para λ0 se verifica la Ec.2
Ĥ0|En(0)i = En(0)|En(0)i
(8)
Ĥ0 |En(1)i + Ĥ1|En(0)i = En(0)|En(1)i + En(1)|En(0)i .
(9)
Ĥ0|En(2)i + Ĥ1|En(1)i = En(0)|En(2)i + En(1)|En(1) i + En(2) |En(0)i .
(10)
Para λ1 tenemos
Para λ2 tenemos
1.
Corrimiento de energía de primer orden
Multiplicando la Ec.(9) por el autobra hEn(0)| obtenemos
hEn(0)|Ĥ0|En(1)i + hEn(0)|Ĥ1|En(0)i = hEn(0)|En(0)|En(1)i + hEn(0)|En(1)|En(0)i ,
(11)
4
puesto que
hEn(0)|Ĥ0 = hEn(0)|En(0) ,
(12)
reescribimos la Ec.(9) como
hEn(0)|En(0)|En(1)i + hEn(0)|Ĥ1|En(0)i = hEn(0)|En(0)|En(1)i + hEn(0)|En(1)|En(0)i
hEn(0)|Ĥ1|En(0)i = hEn(0)|En(1)|En(0)i
hEn(0)|Ĥ1|En(0)i = En(1)hEn(0)|En(0)i
luego
En(1) = hEn(0)|Ĥ1|En(0)i
5
(13)
2.
Corrección de primer orden a los auotestados de energía
(0)
Multiplicamos por la Ec.(9) por el autobra hEk | obteniendo
(0)
(0)
(0)
(0)
hEk |Ĥ0|En(1)i + hEk |Ĥ1|En(0)i = hEk |En(0)|En(1)i + hEk |En(1)|En(0)i ,
(14)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
hEk |Ek |En(1)i + hEk |Ĥ1|En(0)i = hEk |En(0)|En(1)i + hEk |En(1)|En(0)i
(0)
(0)
Ek hEk |En(1)i + hEk |Ĥ1|En(0)i = En(0)hEk |En(1)i + En(1)hEk |En(0)i .
Considerando que
(0)
hEk |En(0)i = δkn
6
(15)
y para k 6= n tenemos que
(0)
hEk |En(1)i
(0)
=
hEk |Ĥ1|En(0)i
(0)
En
−
(16)
(0)
Ek
Por otro lado
|En(1)i = 1̂|En(1)i =
=
X
(0)
(0)
|Ek ihEk |En(1)i
k
|En(0)ihEn(0)|En(1)i
+
X
k6=n
(0)
(0)
|Ek ihEk |En(1)i .
(17)
Debemos investigar el valor de hEn(0)|En(1)i para ello usamos la ortogonalidad
7
de los autoestados |Eni,
1 = hEn |Eni = (hEn(0)| + λhEn(1)| + λ2hEn(2)| + . . .)
(|En(0)i + λ|En(1)i + λ2|En(2)i + . . .)
= hEn(0)|En(0)i + λ(hEn(0)|En(1)i + hEn(1)|En(0)i)+
λ2(hEn(0)|En(2)i + hEn(1)|En(1)i + hEn(2)|En(0)i) + . . . , (18)
como hEn(0)|En(0)i = 1, necesariamente los término que acompaña a λ, λ2, . . . ,
λn deben ser ceros. Esto implica que el término que acompaña a λ puede ser
escrito como
hEn(0)|En(1)i = ia
con a real
(19)
de modo que el término que acompaña a λ se hace cero. Ahora retornando a
la Ec.(17), y reescribiendo esta tenemos
|En(1)i = ia|En(0)i +
X
k6=n
8
(0)
(0)
|Ek ihEk |En(1)i
(20)
Reemplazando la Ec.(20) en la Ec.(5) tenemos
|Eni = |En(0)i + iaλ|En(0)i + λ
X
k6=n
(0)
(0)
|Ek ihEk |En(1)i + O(λ2)
= exp[iaλ]|En(0)i + λ
X
k6=n
(0)
(0)
|Ek ihEk |En(1)i + O(λ2) ,
donde
exp[iaλ] = 1 + iaλ + O(λ2)
aqui la única alternativa para decidir sobre el valor de la exponencial es que a
debe ser igual a cero, lo que quiere decir que
hEn(0)|En(1)i = 0
(21)
esto implica que ambos autoestados son ortogonales. Finalmente el autoestado
de energia con la primera corrección queda descrito como
(0)
|Eni = |En(0)i + λ
X
k6=n
|En(0)i
9
hEk |Ĥ1|En(0)i
(0)
En
−
(0)
Ek
+ O(λ2) .
(22)
3.
Corrección de segundo orden a la energía
La corrección de segundo orden a los autovalores de energía del sistema
perturbado se realiza a través de la Ec.(10) cuando multiplicamos esta por el
autobra hEn(0)|,
hEn(0)|Ĥ0|En(2)i + hEn(0)|Ĥ1|En(1)i = hEn(0)|En(0)|En(2)i + hEn(0)|En(1)|En(1)i+
+ hEn(0)|En(2)|En(0)i
En(0)hEn(0)|En(2)i + hEn(0)|Ĥ1|En(1)i = En(0)hEn(0)|En(2)i + En(1)hEn(0)|En(1)i+
+ En(2) hEn(0)|En(0) i
Reemplazando la Ec.(22) en la Ec.(23)
10
hEn(0)|Ĥ1|En(1)i = En(2) . (23)
En(2)
=
hEn(0)|Ĥ1
×
(0)
(0)
(0) hEk |Ĥ1 |En i
|En i
(0)
(0)
k6=n
En − Ek
X
En(2)
=
(0)
(0)
(0) hEk |Ĥ1 |En i
(0)
hEn |Ĥ1|Ek i
(0)
(0)
k6=n
En − Ek
X
(0)
En(2) =
4.
X
k6=n
|hEk |Ĥ1 |En(0)i|2
(0)
(0)
En − Ek
(24)
Corrección de segundo orden a los autoestados de energía
Para hacer la corrección de segundo orden multiplicamos la Ec.(10) por el
(0)
autobra hEk | considerando k 6= n,
11
(0)
(0)
(0)
hEk |Ĥ0|En(2)i + hEk |Ĥ1|En(1)i = hEk |En(0)|En(2)i+
(0)
(0)
(0)
+ hEk |En(1)|En(1) i + hEk |En(2)|En(0)i
(0)
(0)
(0)
hEk |Ek |En(2)i + hEk |Ĥ1|En(1)i = hEk |En(0)|En(2)i+
(0)
(0)
(0)
+ hEk |En(1)|En(1) i + hEk |En(2)|En(0)i
(0)
(0)
(0)
Ek hEk |En(2)i + hEk |Ĥ1|En(1)i = En(0)hEk |En(2)i+
(0)
(0)
+ En(1)hEk |En(1) i + En(2) hEk |En(0)i
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
En(0) hEk |En(2)i − Ek hEk |En(2)i = hEk |Ĥ1|En(1)i − En(1)hEk |En(1)i
(0)
(0)
(0)
(0)
(En(0) − Ek )hEk |En(2)i = hEk |Ĥ1|En(1)i − En(1)hEk |En(1)i
(0)
hEk |En(2)i
=
1
(0)
En −
(0)
(1)
hE
k |Ĥ1 |En i
(0)
Ek
12
−
En(1)
(0)
(0)
hEk |En(1)i
(0)
En − Ek
(25)
Reemplazando la Ec.(16) y la Ec.(22) en la Ec.(25), tenemos
(0)
hEk |En(2)i
(0)
(0)
=
X
k6=n
hEk |Ĥ1|En(0)i hEk |Ĥ1 |En(0)i
(0)
En
−
(0)
Ek
(0)
En
−
(0)
Ek
(0)
−
(0)
hEk |En(2)i
5.
(0)
=
X
k6=n
|hEk |Ĥ1|En(0)i|2
(0)
(En
−
(0)
Ek )2
−
hEn(0)|Ĥ1|En(0)i hEk |Ĥ1|En(0)i
(0)
(0)
En − Ek
(0)
(0)
En − Ek
(0)
−
hEn(0)|Ĥ1|En(0)ihEk |Ĥ1|En(0)i
(0)
(En
−
(0)
Ek )2
(26)
Ejemplo: Oscilador armónico unidimensional
Se tiene un oscilador armónico unidimensional que posee una carga q y al
cual se aplica un campo eléctrico constante paralelo a la dirección x,
13
1
p̂2x
+ mω 2 x̂2 − q|E x̂ ,
Ĥ =
2m 2
(27)
este hamiltoniano se divide en dos partes
1
p̂2x
+ mω 2x̂2
Ĥ0 =
2m 2
Ĥ1 = −q|E|x̂
(28)
(29)
el segundo hamiltoniano no es más que la interacción dipolar
Ĥ1 = −µ̂ · E
(30)
donde el momento dipolar está dado por µ̂ = q x̂.
Los autovalores de energía del hamiltoniano no perturbado está dado por
En(0)
1
= n +  ℏω .
2


14
(31)
Evaluamos el corrimiento de energía de primer orden, para ello usamos
x̂ =
v
u
u
u
t
ℏ
(â + ↠)
2mω
(32)
luego
En(1) = hn|Ĥ1|ni = −q|E|
v
u
u
u
t
ℏ
hn|(â + â†)|ni = 0 .
2mω
(33)
El corrimiento de energía de segundo orden está dado por
En(2)
|hk|Ĥ1|ni|2
,
=
1
1
)ℏω
−
(k
+
)ℏω
(n
+
k6=n
2
2
X
(34)
en el numerador tenemos
v
u
u
u
t
√
ℏ √
hk|Ĥ1|ni = −q|E|
( n + 1hk|n + 1i + nhk|n − 1i)
2mω
15
(35)
los términos de la suma son para k = n + 1 y para k = n − 1, de modo que
n
q 2|E|2
q 2|E|2ℏ  n + 1
(2)
+
.
(36)
=−
En =
2mω
−ℏω ℏω
2mω 2
Para el caso del este oscilador armónico se puede determinar los autovalores y autoestados, simplemente completando cuadrados para el operador de
posición, veamos


p̂2x
1
Ĥ =
+ mω 2x̂2 − q|E|x̂
2m 2


2
2
2
2
p̂2x
1
2q|E|
q
|E|
q
|E|

2

x̂ −
=
+ mω 2 
x̂
+
−
2m 2
mω 2
m2 ω 4
m2 ω 4
2
q|E| 
q 2|E|2
1
p̂2x
2
 −
+ mω x̂ −
Ĥ =
2m 2
mω 2
2mω 2

(37)
(38)
Este es un oscilador armónico que tiene un corrimiento de energía q 2|E|2/2mω 2
y un corrimiento en la posición de q|E|/2mω 2 , como se observa en la figura y
16
el operador de posición se redefine como
x̂s = x̂ −
q|E|
mω 2
(39)
que satisface la relación de conmutación dado por [x̂s, p̂x] = iℏ. Luego el
hamiltoniano se reescribe como
1
q 2|E|2
p̂2x
2 2
+ mω x̂s −
Ĥ =
2m 2
2mω 2
(40)
con los autovalores dados por
2
2
q
|E|
1
En = n +  ℏω −
.
2
2mω 2


17
(41)
18
6.
Teoría de perturbaciones para autoestados degenerados
Los autoestados son degenerados cuando sus correspondientes autovalores
son iguales.
(0)
hEk |Ĥ1|En(0)i
(0)
En
−
(0)
Ek
(42)
Esta corrección diverge cuando los autovalores son iguales.
Consideremos un conjunto de autoestados degenerados de la forma
(0)
|En,i i
i = 1, 2, , . . . , N
donde
(43)
El gran problema es establecer el tipo de combinación lineal que sea solución
del problema con perturbación.
19
Establecemos un autoestado de Ĥ de la forma siguiente
|Eni =
N
X
i=1
(0)
(0)
|En,i ihEn,i |En(0)i + λ|En(1)i + . . .
(44)
con los autovalores
En = En(0) + λEn(1) + λEn(2) + . . .
(45)
y reemplazando en la ecuación de autovalor
Ĥ|En i = En |Eni
(Ĥ0 + λĤ1)|Eni = En |Eni
(46)
obtenemos para λ1
Ĥ0|En(1)i
+ Ĥ1
N
X
i=1
(0)
(0)
|En,i ihEn,i |En(0)i
=
En(0)|En(1)i
+
N
(0)
(0)
(1) X
En
|En,i ihEn,i |En(0)i
i=1
(47)
20
(0)
multiplicando la Ec.(47) por el autobra hEn,j | obtenemos
N
X
(0)
(0)
(0)
(0)
+ hEn,j |Ĥ1 |En,i ihEn,i |En(0)i = hEn,j |En(0)|En(1)i+
i=1
N
(0)
(0)
(0)
(1) X
+ hEn,j |En
|En,i ihEn,i |En(0)i
i=1
N
X
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
hEn,j |En(0)|En(1) i + hEn,j |Ĥ1|En,i ihEn,i |En(0)i = hEn,j |En(0)|En(1)i+
i=1
N
X
(0)
(0)
(0)
+ En(1)hEn,j |En,i ihEn,i |En(0)i
i=1
(0)
hEn,j |Ĥ0|En(1)i
finalmente
N
X
i=1
(0)
(0)
hEn,j |Ĥ1|En,i ici
esta es un representación matricial.
21
=
N
(1) X
En
δij ci
i=1
(48)

(H1 )12
 (H1 )11


(H1 )22
 (H1 )21


...
...



(H1)N1 (H1)N2



· · · (H1)1N   c1 
1






· · · (H1)2N 
0
  c2 
 = E (1) 




...   ... 
n 
 ...
···






0
· · · (H1)NN cN
22
0
1
...
0
···
···
···
···


0  c1 




0
  c2 




... 
  ... 




1 cN
(49)