2. Teorema de Bézout

Teorema de Bézout
Gerino Ochoa Morales
El así llamado semianillo tropical, así como el tratamiento de diversas
estructuras algebraicas en el mismo, surge a partir del estudio de amibas no
arquimedianas de variedades algebraicas (complejas).
En el presente trabajo se pretende mostrar el análogo de un teorema clásico de Geometría Algebraica ahora en Geometría Tropical; a saber, el Teorema
de Bézout. Concerniente a la relación entre el el número de intersecciones de
dos curvas algebraicas y el grado de las mismas.
1.
Introducción: Definiciones básicas
El semianillo tropical, también denominado álgebra máx-plus (R, ⊕, )
sobre R ∪ {−∞}, consta de dos operaciones aritméticas denominadas suma
tropical y multiplicación tropical, que se definen de la siguiente manera:
x ⊕ y := máx {x, y} y x y := x + y
En este contexto, un polinomio f (x) en n variables x = (x1 , . . . , xn ) es el
máximo de un conjunto finito de funciones lineales con n coeficientes, n ∈ N.
Así, la gráfica de f (x) es el conjunto de puntos en Rn donde f (x) no es
diferenciable, dicho conjunto de puntos lo denominaremos el corner locus.
Claramente la gráfica es lineal por partes y convexa. Podemos, entonces, dar
una definición para curvas planas como sigue.
Definición 1.1 Una curva plana tropical es un subconjunto de R2 el cual es
el corner locus de un polinomio tropical, i.e. de un polinomio con coeficientes
en el semianillo (R, ⊕, )
Otro concepto importante en este trabajo es el de politopo en Rn . Hay
una relación natural entre polinomio y politopos. Procedemos entonces con
algunas deificiniones.
Definición 1.2 Sea A ⊂ Rn . Se dice que A es convexo si contiene el segmento de recta que une cualesquiera dos puntos en A. La envolvente convexa
1
de A es el conjunto convexo más pequeño que contiene a A, lo denotaremos
por conv (A)
Se puede mostrar que para un conjunto A ⊂ Rn
(
conv (A) = λ1 a1 + · · · + λm am | ai ∈ A,
m
X
)
λi = 1
i=1
Esta caracterización es muy útil, permite probar, por ejemplo, que diferentes conjuntos pueden generar la misma envolvente convexa.
A partir de la definición anterior el concepto de politpo es muy sencillo.
Definición 1.3 Un politopo P es la envolvente convexa de un conjunto finito A ⊂ Rn .
Con esta definición a la mano podemos establecer la relación directa entre
un politopo y un polinomio con exponentes en Zn
Definición 1.4 Sea f =
de f es el politopo
P
α∈Zn
±
cα xα ∈ k[x±
1 , . . . xn ]. El politopo de Newton
N P (f ) := conv ({α ∈ Zn | cα 6= 0}).
Donde cα xα = cα1 xα1 1 · · · cαn xαnn
Podemos ver que el politopo de Newton no distingue entre distintos polinomios con los mismos exponenetes pero distintos coeficientes (distintos de
cero).
Para relacionar los conceptos de curva plana tropical y su correspondiente
politopo de Newton, una caracterización geométrica de dichas curvas es muy
útil. Una curva plana tropical de grado d se puede pensar como una gráfica
ponderada donde cada arista es un segmento de recta con pendiente racional,
la gráfica tiene d lineas finales en las direcciones (−1, 0), (0, −1) y (1, 1) y
además en cada vértice se satisface la condición de valance.
Sea Γ la curva tropical de grado d dada por el polinomio tropical
f (x, y) =
n
M
ci xai y bi = máx{ai x + bi y + ci | i = 1, . . . , n}.
i=1
El politopo de Newton de f se puede describir como:
N P (f ) = {(a, b) | a ≥ 0, b ≥ 0, a + b ≤ d}.
Los puntos con coordenadas enteras de la forma (ai , bi ) con i ∈ 1, . . . , n están
contenidos en N P (f ).
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El politopo de Newton de una curva plana tropical homogénea es siempre
un triángulo. Si a este triángulo le agregamos una subdivisón particular,
entonces contiene información combinatoria sobre la curva tropical de la que
proviene. Para ello necesitamos la siguiente definición.
Definición 1.5 Sea
f (x, y) =
n
M
ci xai y bi
i=1
un polinomio tropical. Consideremos ahora dos términos cualesquiera de f ;
ci xai y bi , cj xaj y bj tales que ai 6= aj y bi 6= bj . Si existe un punto
(α, β) ∈ R2 tal que
f (α, β) = ci αai β bi = cj αaj β bj
entonces dibujamos un segmento de recta entre los puntos (ai , bi ) y (aj , bj )
en N P (f ). De esta manera obtenemos una subdivisión de N P (f ) llamada
subdivisión de Newton o subdivisión dual.
En ésta subdivisión las aristas corresponden a aristas y las celdas de
dimensión 2 a vértices de la curva definida por f .
2.
Teorema de Bézout
El teorema de Bézout en su forma clásica establece que el número de
puntos de intersección de dos curvas en el plano proyectivo complejo, de
grados d1 y d2 respectivamente, es igual al producto d1 d2 , tomando en cuenta
multiplicidades.
Para poder enunciar, y probar, este teorema en su versión tropical es
necesario establecer antes los conceptos de intersección y multiplicidad en
el contexto de la geometría tropical. Por ejemplo, dos rectas pueden estar
definidas por polinomios distintos y sin embargo pueden tener un número
infinito de puntos en común. El caso más conveniente, sin embargo, es cuando
la intersección de dos curvas planas tropicales es transversal, en cierto sentido.
Definición 2.1 Sean Γ1 y Γ2 dos curvas tropicales planas, tomemos un punto p ∈ Γ1 ∩ Γ2 . Se dice que p es una intersección transversal si existe una
vecindad abierta Up , en la topología euclidiana, tal que Up ∩ Γ1 ∩ Γ2 = p y
además p está en el interior relativo de una arista de Γ1 y en el interior relativo de una arista de Γ2 . Se dice que dos curvas tropicales están en posición
general una respecto a la otra si todas sus intersecciones son intersecciones
transversales.
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Si consideramos dos curvas en el plano proyectivo TP2 , la siguiente proposición nos permitirá probar el teorema de Bezout, para el caso de curvas cuyas
intersecciones son transversales.
Teorema 2.1 Sean Γ1 y Γ2 dos curvas tropicales definidas por f (x, y, z),
cuyo grado es d, y g(x, y, z), cuyo grado es e, respectivamente. Entonces,
Γ1 ∪ Γ2 está definida por f g, más aún, f g es de grado d + e.
Demostración Obsérvese que tanto Γ1 como Γ2 son el corner locus de las
gráficas de f y g, i.e. el conjunto de puntos donde estas funciones no son
diferenciables. Dado que f g es la suma de estas dos funciones, y la suma
de las funciones es diferenciable si y sólo si ambas lo son, concluimos que
f g es el corner locus de la unión de ellas.
Un concepto previo que necesitamos en este trabajo es el de multiplicaidad
de una intersección, dicha multiplicidad se obtiene a partir del peso asignado
a cada arista en la gráfica valanceada que representa a la curva tropical.
Definición 2.2 Sean f (x, y, z) y g(x, y, z) dos polinomios homogeneos en
TP2 cuyas gráficas son Γ1 y Γ2 respectivamente y se encuentran en posición
general. Sea p ∈ Γ1 ∩ Γ2 . La multiplicidad de la intersección en p se define
como.
u u u 2
3 1
v1 v2 v3 · m1 · m2
1
1
1 3
Z
donde (u1 , u2 , u3 ), (v1 , v2 , v3 ) ∈ Z(1,1,1)
representan los vectores primitivos
en la dirección de la arista de Γ1 y la arista de Γ2 respectivamente, y cuya
intersección contiene a p; m1 , m2 representan los pesos de la primera y la
segunda arista respectivamente.
Nótese que si tomamos la subdivisión dual del politopo de Newton asociado a Γ1 ∪Γ2 , entonces la multiplicidad es precisamente el área de la celda dual
que corresponde a p (En el caso transversal siempre es un paralelogramo).
esto porque los segmentos en la subdivisión dual son perpendiculares a los
segmentos en la curva.
Podemos ahora enunciar el teorema de Bézout para el caso particular en
que dos curvas se intersectan transversalente.
Teorema 2.2 Sean f (x, y, z) y g(x, y, z) dos polinomios homogeneos en TP2
de grados d y e respectivamente; sean Γ1 la gráfica de f (x, y, z), Γ2 la gráfica
g(x, y, z) y sea S = Γ1 ∩ Γ2 . Si Γ1 y Γ2 se ecuentran en posición general,
entonces
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X
mp = d · e
p∈S
Donde mp es la multiplicidad del punto p.
Demostración En Γ1 ∪ Γ2 tenemos tres conjuntos distintos de vértices.
Los vértices de Γ1 .
Los vértices de Γ2
Los puntos de S.
Estos conjuntos son mutuamente disjuntos. Consideremos la dusbidivisón dual de N P (f g), si lo comparamos con N P (f ) y N P (g) vemos que los vértices
de los primeros dos tipos son los mismos. Entonces N P (f g) contiene copias
de las subdivisiones duales de N P (f ) y N P (g), y las celdas se encuentran
dispersas entre las celdas correspondientes a puntos del tercer tipo. Por la
argumentación anterior y recordando que la multiplicidad de un punto en la
intersección se puede entender cómo el área de la celda correspondiente en
la subdivisión dual, tenemos que
A(N P (f g)) = A(N P (f )) + A(N P (g)) +
X
mp
s∈S
Ahora bien, por el teorema 2.1 sabemos que f g tiene grado d + e, lo
que significa sus politopos de Newton serán triángulos rectángulos en Z2 . En
2
2
particular, N P (f ) tiene área d2 , N P (g) tiene área e2 , y N P (f g) tiene área
(d+e)2
. Así, si al área de N P (f g) le restamos el área de N P (f ) más el área de
2
N P (f ) y nos quedamos solo con el área de las celdas duales correspondientes
a la intersección, finalmente tenemos que
X
mp = d · e
p∈S
Ésta versión del teorema, aunque es muy restrictiva, nos permitirá probar
caso general cuando la intersección entre las curvas no es transversal. En el
caso general, si tenemos dos curvas Γ1 y Γ2 , un vértice v en Γ1 ∪ Γ2 puede
ser de alguno de los siguientes tipos.
1. v es un vértice de Γ1 o Γ2 , además si v ∈ Γ1 , enonces ninguna arista de
Γ2 pasa por v, y viceversa.
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2. v es la intersección de una arista de Γ1 y una arista de Γ2 , con v
contenido en el interior de ambas.
3. v es vértice de una de las curvas, digamos Γ1 y una arista de Γ2 pasa a
través de v.
4. v es un vértice de ambas curvas.
Nótese que dos aristas pueden coincidir en una cantidad infinita de puntos.
Si nos enfocamos en los vértices del tipo 3 y 4 descritos arriba, podemos
pensar en una pequeña perturbación Γ01 que consiste en mover ligeramente Γ1
en alguna dirección de tal forma que Γ1 no contenga al vértice Γ2 en cuestión.
En esto consiste la intersección estable.
Definición 2.3 Sean Γ1 y Γ2 dos curvas tropicales cualesquiera. Si Γ01 y
Γ02 son dos pequeñas perturbaciones que se intersectan transversalmente, entonces el límite de sus puntos de intersección conforme cada perturbación se
acerca a la curva correspondiente es exáctamente el conjunto de vértices del
tipo 2,3 y 4 de Γ1 ∪ Γ2 . Más aún, la suma de las multiplicidades de los puntos
en Γ01 ∩ Γ02 que convergen a un vértice en Γ1 ∪ Γ2 es independiente de la dirección de las perturbaciones. Esta intersección, incluidas las multiplicidades,
se denomina intersección estable de Γ1 y Γ2 .
Necesitamos hacer algunas observaciones sobre la definición anterior. Los
puntos de Γ01 ∩ Γ02 se pueden dividir en grupos que se encuentran cerca de
un vértice en particular v ∈ Γ1 ∪ Γ2 ; en cada uno de estos grupos todo
punto varía continuamente conforme la perturbación cambia, convergiendo al
correspondiente vértice. El único caso que podría representar algún problema
es cuando dos aristas coinciden en un número infinito de puntos, pero como Γ01
y Γ02 se intersectan transversalmente, cualquier punto de Γ01 ∩ Γ02 se encuentra
en otra arista diferente a las que se traslapan.
Para convencerse de que las multiplicidades no dependen de la dirección
de la perturbación, recordemos que en el caso transversal la multiplicidad
de un punto en la intersección corresponde al área de la celda dual. Sea
v un vértice en Γ1 ∩ Γ2 cuya correspondiente celda dual denotaremos por
∆v . Las aristas a través de v pertenecen a Γ1 o Γ2 (o ambas si dos aristas
se traslapan). Podemos considerar, localmente, las celdas duales ∆v1 y ∆v2
determinadas, respectivamente, por las aristas de Γ1 y Γ2 que pasan por
v. Puede ser que v no sea un vértice de Γ1 o Γ2 , en este caso, localmente
la curva es sólo una linea, sin embargo también es una curva tropical que
tiene por politopo de Newton un segmento de recta. Las perturbaciones Γ01
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y Γ02 tienen localmente los mismos politopos de Newton y, como se observó
con anterioridad, la porción de Γ01 ∪ Γ02 «cerca» de v tiene como politopo
de Newton a ∆v pero, tal vez, subdividido de forma distinta. Como Γ01 y
Γ02 se intersectan transversalmente, podemos usar el teorema 2.2 para contar
las multiplicidades de Γ01 ∩ Γ02 cerca de v. Siendo un poco más precisos, si
denotamos por Uv la vecindad donde se encuentran los puntos de Γ01 ∩ Γ02
que tienden a un vértice v conforme las perturbaciones se acercan a la curva
original, concluimos que
X
mp = A(∆v ) − A(∆v 1) − A(∆v 2).
p∈Uv
Como el lado derecho no depende de las perturbaciones, concluímos que
el lado izquierdo tampoco.
Ahora que tenemos una definición de multiplicidad e intersección para el
caso general, el teorema de Bézout se sigue inmediatamente.
Teorema 2.3 (Teorema de Bézout). Sean f (x, y, z) y g(x, y, z) dos polinomios homogeneos en TP2 de grados d y e respectivamente; sean Γ1 la
gráfica de f (x, y, z), Γ2 la gráfica g(x, y, z) y sea S la intersección estable
de Γ1 y Γ2 . Entonces
X
mp = d · e
p∈S
Donde mp es la multiplicidad del punto p.
Demostración Por el teorema 2.2, el enunciado se cumple para cada par de
perturbaciones, Γ01 , Γ02 , en posición general. Por lo tanto por la definición de
intersección estable estos números son los mismos para los puntos en S.
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Referencias
[1] Thorsten Theobald Jürgen Richter-Gebert, Bernd Sturmfels. First steps
in tropical geometry. Idempotent mathematics and mathematical physics,
377:289–317, 2005.
[2] Johannes Rau Lars Allermann. First steps in tropical intersection theory.
Mathematische zeitschrift, 264(3):633–670, 2010.
[3] Ryan Reich. Bezout’s theorem: I, October 2008.
[4] Gretchen Rimmasch. Complete Tropical Bezout’s and intersection theory
in the projective plane. PhD thesis, Brigham Young University, Department of Mathematics, August 2008.
[5] Daniel S. Roche. Sparse polynomial decomposition, 2007.
[6] Reinhard J. Steffens. Mixed Volumes, Mixed Ehrhart Theory and Applications to Tropical Geometry and Linkage Configurations. PhD thesis,
Johann Wolfgang Goethe-Universität, 2009.
[7] Bernd Sturmfels. Solving systems of polynomial equations, 2000.
[8] M. B. Young. Bernstein’s theorem.
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