Práctica 12

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Práctica 12
Cálculo integral en una variable
(Curso 2009-2010)
1.– Calcular las siguientes primitivas:
√
x + 1 + x2
√
dx,
2
1
+
x
Z
sen x sen(cos x)dx,
Z
x2
dx,
1 + x2
Z
Z
1
dx
α2 + x2
Z
tan2 xdx
Z
√
1
dx
α 2 − x2
2.– Calcular, mediante un cambio de variable, las siguientes primitivas:
Z
1
√ dx,
1+ x
Z
1
dx,
x
e +1
Z
Z
√
1
dx
−1
sen3 x
√
dx
cos x
ex
3.– Calcular las siguientes primitivas:
Z
x
dx,
cos2 x
Z
ln x
dx,
x3
Z
x2 ln xdx
√
Z
e
x
dx
4.– Calcular el área encerrada por las siguientes curvas:
a) xy = 12, y = 0, x = 1 y x = e2 .
b) y = 9 − x2 y y = x + 3.
c) y = x2 − 4, y = 8 − 2x2
d) y = e−x , y = ex , x = 0 y x = 2.
5.– Sabiendo que el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la curva y = f (x)
Z
entre x = a y x = b alrededor del eje de abscisas viene dado por
para dos constantes arbitrarias r y h:
b
π(f (x))2 dx, determinar,
a
a) El volumen del sólido generado al rotar y1 = r en torno al eje de abscisas entre 0 y h.
b) El volumen del sólido generado al rotar y2 = x en torno al eje de abscisas entre 0 y h.
c) El volumen del sólido generado al rotar y3 = x2 en torno al eje de abscisas entre 0 y 1.
d) El volumen de una esfera de radio r centrada en el origen.
6.– Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana limitada por la curva dada en torno al
eje X:
a) y 2 = 8x; y = 0; x = 2
7.– Sabiendo que la longitud de la curva y = f (x) entre x = a y x = b viene dada por
Z bp
1 + (f 0 (x))2 dx, determinar
a
a) La longitud de 24xy = x4 + 48 entre x = 2 y x = 4.
8.– Hallar el área de la superficie generada al girar el arco que se indica en torno al eje X:
a) y = aCh( xa ); entre x = a y x = −a, a > 0.
b) Superficie de una esfera de centro el origen y radio r.
Z
∞
9.– Se dice que la integral
Z
c
f (x)dx es convergente si
Z
f (x)dx y
−∞
−∞
∞
f (x)dx son ambas
c
convergentes para un c ∈ IR. En este caso, se define el valor de la primera integral del
siguiente modo:
Z ∞
Z c
Z ∞
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
−∞
−∞
c
Se pide:
Z
∞
a) Demostrar que el valor de
f (x)dx es independiente de la elección de c.
−∞
Z
∞
b) Calcular
e−|x| dx tomando c = 0.
−∞
10.– Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
Z
∞
2 −x
x e
Z
dx,
0
0
Z
2
∞
π
2
senx
dx
√
cosx
1
dx
lnx
11.– Calcular el valor de α para el que es convergente la integral
Z
∞
(
2
αx
1
−
)dx
1 + x2 1 + 2x