p b) Dado b = ( ~), indicar si b pertenece al espaciocolumna de A

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Parcial Módulo 2do. Matemática
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1.- Dada la matriz A
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Y una base del espacio columna.
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(12/07/2010):
Tema 2
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a) Determinar el rango de la matriz, una base del spacio fila
b) Dado b = ( ~ ), indicar si b pertenece al espaciocolumna de A, justificando la respuesta.
:L{ c)
f)
Hallar la dimensión del espacio nulo de A y una base del mismo.
d) Si EN es una base del espacio nulo de A y BF una base del espacio fila de A, es ENUEF
base de 3{3? Justificar la respuesta.
o
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2. a) Dar una expresión explícita para la proyección ortogonal de un vector genérico v = (x, y)
sobre el vector s = (1,1)
(lr~b) En particular para v = (1,3),determinar
la proyeccion de v sobre s y la distancia mínima de v a
"~ la recta que pasa por el origen en la dirección del vector s.
e) Sea P : R2 -+ R2 la transformación
que proyecta un vector v E R2 ortogonalmente sobre
\) s = (1, 1).Mostrar que P es una transformación lineal y hallar su representación matricíal en la
base canónica de R2.
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3. (a) Dada una matriz A,
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A E 3{nxn, dar la definición de los autovalores
de la
~. ~ 1 ), indicar, justificando mediante resultados
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teóricos:
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bl ) Si los autovalores de A serán todos reales y si A tendrá una autovalor nulo
b2) Si A será diagonalizable y si existirá una base ortogonal de 3{3, formada por autovectores de A.
(e) Hallar los autovulores de A Y-ias bases de los correspofídientes aiitóéspacios. indicar si existen
matrices S y D, con D diagonal de 3 x 3, tales que A = SDS-1, hallándolas en caso afirmativo.
4. a) Utilizando
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y autovectores
resultados
A = (~
previos, determinar
dx / dt )
( x +z )
dy/dt
=
y - z
.
(
dz/dt
x - y
b) Hallar la solución general de la ecuación y"
la solución general del sistema de ecuaciones difer-
enciales..
+ 2y' + Y
= et
+ 2.
5. (8.) Sea z el número complejo z = (1 + i)//2. Hallar la representación
expresión para el número 1/ z y para ZlO.
(b) Dada la matriz simétrica A = [ ~l
(b l ) Localizar los autovalores
se encuentran.
~:
~l
polar de z y dar una
1
de A, usando el teorema de Gershgorin,
y explicar en cuál intervalo
(b2) Dar una expresión para las normas IIAlb'y IIA-1112 de una matriz A de ti x n real y simétrica.
En particular, hallar las normas IIAII2 y IIA-11l2 de la matriz A dada(Ayuda: los autovalores
son Al = 2.59,A2 = 4.00, A3 = 5.41)
de Cholesky para llevarla a la forma A = RT R?, ¿ cuáles
condiciones debe cumplir esta matriz A para poder realizarla? Explicar como son los factores
R y RT y como se calcula R.
(c) ¿Es posible aplicar la descomposición
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