x, y - Eva - Universidad de la República
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x, y - Eva - Universidad de la República
Introducción a Ecuaciones Diferenciales Curso 2016 Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Práctico 6 1. Determinar los valores de los coeficientes a y b que hacen que V (x, y) = ax2 + by 2 sea una función de Lyapunov para cada uno de los siguientes sistemas: 0 0 3 x = 3xy x = −x3 + xy 2 x0 = − x2 + 2xy 2 a) b) c) 0 2 3 0 2 3 0 3 y = −x − y y = −2x y − y y = −y ¿Qué puede decirse de la estabilidad en (0, 0) en cada caso? ¿Y en el pasado? 2. Mostrar que V (x, y) = x2 + y 2 es una función de Lyapunov estricta para 0 x = −x/2 − y/2 − x2 − xy y 0 = −x/4 − y/2 − y 2 − xy/2 en algún entorno de (0, 0) y concluir que es asintóticamente estable. 3. Sea λ un número real. Determinar los valores a y b que hacen que V (x, y) = ax2 + by 2 sea una función de Lyapunov para 0 x = λx y 0 = x + λy Discutir según λ, incluyendo la estabilidad en el origen en la discusión. 4. Sea H : R2 → R es una función de clase C 2 . Consideremos el sistema de Hamilton-Jacobi definido por: 0 x = ∂H ∂y (x, y) y 0 = − ∂H ∂x (x, y) a) Demostrar que para toda solución ϕ se verifica que H ◦ϕ es constante. Hallar las soluciones del sistema cuando H(x, y) = x2 + y 2 . b) La ecuación de Newton para un péndulo es ẍ = − sin x. Verificar que el sistema (de dimensión 2) correspondiente es de Hamilton-Jacobi. c) Bosquejar el diagrama de fase del sistema anterior. 1 5. Las ecuaciones que se estudian ahora corresponden a un modelo para el estudio de una enfermedad de transmisión sexual. Supongamos que la población está constituida por M machos y N hembras. Las variables x(t) e y(t) representan la cantidad de machos y hembras infectadas en cada instante de tiempo. Supongamos que la cantidad x aumenta proporcional a (M − x)y cuando no se ejerce ninguna acción curativa, y que en caso de existir tal acción, supondremos que la cantidad de curados es proporcional a la de pacientes tratados. Para la cantidad y supondremos hipótesis análogas, y obtendremos el sistema de ecuaciones: 0 x = α(M − x)y − λx y 0 = β(N − y)x − µx ¿Qué relación deben verificar los parámetros de la ecuación para que sea posible la erradicación de la enfermedad? Sugerencia: Mostrar que en todos los casos todas las trayectorias tienden a un único punto de equilibrio y hallar una condición para que dicho punto de equilibrio sea el (0, 0). 6. Sea a > 0 y f : R2 → R2 , f (x, y) = (a(x2 + y), 3x4 + 3x2 y). En este ejercicio estudiaremos el sistema autónomo (x0 , y 0 ) = f (x, y). a) Encontrar los puntos de equilibrio del sistema. b) Definimos H : R2 → R como H(x, y) = xn − y, n ∈ N. Hallar a y n para que las curvas de nivel de H contengan a las trayectorias del sistema. c) Dibujar el diagrama de fase para el caso de la parte anterior. 7. Estudiar (todo lo que se pueda) el sistema: 0 x = x2 − y 2 y 0 = 2xy 0 z = −z 8. Sea Ω = {(x, y) ∈ R2 : 1/2 < x2 + y 2 < 2} y el sistema 0 p x = (1 − ρ2 )x + (ρ − y)y con ρ = x2 + y 2 0 2 y = (1 − ρ )y − (ρ − y)x definido para todo (x, y) ∈ Ω. a) Mostrar que el punto P = (0, 1) es el único punto de equilibrio del sistema. b) Mostrar que el conjunto que cumple ρ = 1 es invariante. c) Mostrar que toda trayectoria tiende a P cuando t → +∞ pero no es un punto estable (ni asintóticamente estable). (Sugerencia: descomponer el campo en función de (x, y) e (−x, y) y estudiar las trayectorias en función de esa descomposición) 2 9. Se considera el campo vectorial X : R2 → R2 definido por: X(x, y) = (−xy 2 , −y 3 ) a) Hallar todos los puntos de equilibrio de la ecuación diferencial ṗ = X(p). b) Mostrar que el origen es estable según Lyapunov, pero no asintóticamente estable. c) Para un punto de la forma (x0 , 0) con x0 6= 0 y 0 < ε < x0 , definimos el mapa ϕ : [x0 − ε, x0 + ε] × [−ε, +ε] → R2 como: y ϕ(x, y) = x, arctan( ) x Mostrar que ϕ lleva el conjunto de puntos de equilibrio a [x0 − ε, x0 + ε]×{0} y el resto de las soluciones de ṗ = X(p) en líneas horizontales. (Sugerencia: Mostrar que el campo se transforma en un campo cuya segunda coordenada se anula). d) Utilizar la parte anterior para demostrar que para todo p0 = (x0 , y0 ) con y0 6= 0 se cumple que la solución a ṗ = X(p) con condición inicial p0 verifica que tiende al orígen cuando t → +∞. 10. Mostrar que si un punto de equilibrio x0 cumple que todos los valores propios de Dx0 f tienen parte real negativa entonces es asintóticamente estable. (Sug: Utilizar una forma cuadrática adecuada como función de Lyapunov.) 11. Mostrar que si un punto de equilibrio x0 cumple que Dx0 f tiene un valor propio con parte real positiva entonces no es estable según Lyapunov. (Sug: Considerar una forma cuadrática adecuada y el Teorema de Cetaev.) 3