Sobre la convolución de distribuciones

Sobre la convolución de distribuciones

S o b r e la c o n v o l u c i ó n de d i s t r i b u c i o n e s
por
J. A. Fernández Viña
PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. ALBERTO Dou
El producto de convolución se estudia ordinariamente para funciones y distribuciones definidas sobre un mismo espacio numérico.
En las líneas que siguen exponemos una extensión de ios resultados clásicos al caso en que los elementos que se multiplican»
estén definidos en espacios de distinto número de dimensiones.
1.
c
CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES CONTINUAS
Consideremos el espacio E" identificado al producto R" x R"-""
o« P < H, y pondremos
•*' = (•*
..
v
r r
' 'V - r íUi
f ï r* — Ir
r i r" — i r
x )
^nJ'^ ~ v*V '"' V'
~ *• Pu' "" "''
1-1. DEFINICIÓN.—Si f es una aplicación de R" en C, llamaremossoporte respecto de R" de /, y Io denotaremos por [/]„, a la adherencia del conjunto de los .r' € R" para los que existe algún x" € R*-"'
tal
q»e / (.r', .r») ^ 0.
or otrn parte, denotaremos por [/] el soporte ordinario de la
"nción / por - p ^-j la proyecc j ón de r^j sobre RP Nótese que r,t [f]
s neces;ir
'amente un conjunto cerrado, mientras que [/]„ si lo es.
'"-i. U:4,A._S, [/] c [/],.
d clemo?
tracion es trivial. Es igualmente sencillo encontrar ejem-
— 32° —
-píos que prueban que it, [/] y [/]„ son conjuntos distintos, en general.
1.3.
DEFINICIÓN.—Si / 6 C (R") y g í C (R"), la integral
lf.(t.x"}S(X'-i)dt
*f
-se puede considerar extendida a «, [/] fi (x' — [g]) y por tanto
•existirá seguramente, para todo -r" 6 R*-", cuando sea compacto
cualquiera de los conjuntos [/], [g}, [/]„ -v [/]. En estas condiciones llamaremos producto de convolución de / por g (en este orden)
y lo representaremos por / * g, a la aplicación de R" en C:
* •* f f (t, *") S (f — t) d t.
F.f
Nótese que la integral
jtp-s.x^g&ds
R>
•existe al mismo tiempo que la anterior y es igual a ella.
1.4. PROPIEDADES.—Por simple adaptación de las técnicas de
demostración que se utilizan corrientemente (véase [1]), se demuestran las propiedades siguientes :
1.4.1. / * g € C (Rn) y la aplicación (/, g) -» / * g es bilineal.
1.4.2. Si / (resp. g) es continuamente derivable respecto de U'1•vector v € Rn (resp. w £ R"), entonces f*g es continuamente deniable respecto de v (resp. w) y se tiene :
DV ( / * £ ) = (Dv /) * g,
(resp. Dw (/ * g) = / * D w g).
En consecuencia, si / es de clase Cm, f * g resulta también de
•clase C"1 ; si £ es de clase Gm, f * g resulta de clase Cm respecto &
—
321 —
sus p primeras variables. Si P (D) (resp. Q (D)) es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, sobre Rn (resp. R"), de
orden in y si / (resp. g) es de clase Cm, se tiene :
P (D) (/*£) = (P (D) /)*£,. (resp. Q (D) (/ * aO = / * Q (D) g).
1.4.3. [/ * g]t c [/]j, + [o-]. Además, si [g.] y alguno de los
•conjuntos [/], [/]p y 7ip [/] son compactos, resulta [/ * g ] p también
compacto.
En cuanto al soporte ordinario de / * g, se tiene :
[/ * g] c: r, tf] + [g] x T^ U] ;
^ [/] y ta'l son compactos, [/ * g] serà compacto.
1.4.4. ( / * £ • ) * / ! = / * ( £ * /z), donde à € e (R3) con q < p.
Anotemos por último tina propiedad, de demostración sencilla,
y que será utilizada más adelante :
1.45.
(f*h)*g=f*(g*h).
NOTA.—Naturalmente, esta teoría de la convolución parcial pueae llevarse a cabo para clases de funciones más amplias que las funciones continuas con las condiciones de soporte impuestas.
2.
CONVOLUCIÓN DE DISTRIBUCIONES POR FUNCIONES
¡stingeremos dos casos según que el número de dimensiones
Pacio donde está definida la di:
espacio
distribución sea menor o mayor
que el correspondiente de la función.
1 es
DEFINICIÓN.—Sea T € 3)' (Rp) y ,? •€ 2) (Rn), con p<n.
' r £ R " , la aplicación t -» ? (.v' — t, .r") de R" en C, per,
^ OR") y por consiguiente < T, «p (x' — t, x") > es un
Dumeto complejo función de x. A esta función la llamaremos prouc
to de convolución de la distribución T por la función 9 y la denotar
emos por T * c.
2.1.
a ra todo
te n
e nece a
T ç I!
entemente
. la definición subsiste en los siguientes casos :
y ;? € S (RK) T e
6 6 (R } C0n h]p
<°*pacto?
®' (RP) y 9distribuciones
"
° "" [<Pl
si' se
m vf
' aSi mismo
consideran
de orden
finito
y »unciones de clase e».
KEY. Hj.
p
KE
AL ACADEMIA DE CIENCIAS,—1963.
21
— 322 —
2.2. PROPIEDADES.-—Haciendo uso, como en 1.4, de las técnicas
de demostración para el caso /> = n, se establecen sin dificultad las
propiedades siguientes :
2.2.1. T * =, e G (Rn) y la aplicación (T, 9) -> T * ç es bilineal.
2.2.2. D" (T * 9) = T * D" 9 y D°" (T * ?) = (D" T) * <?, donde x € N" y a' € W.
En consecuencia, con notaciones del número anterior, se tiene:
P (D) (T « ç) = T * P (P j 9. Q (D) (T * 9) = (Q (D) T) * 9.
2.2.3. [T * o], c [T] ,+ [?]„. Además, si [T] y alguno de losconjuntos [o], [9], y r.f [o] son compactos, [T * o]p resulta compacto.
En cuanto al soporte ordinario de [T* o], se tiene:
[T * 9] C [T] + -, [ç] .X *„_, [<p].
2.2.4. (T * 9) * ^ = T * (9 * ¿), donde 6 6 2 ) (Rm) con » < m2.3. DEFINICIÓN.—Sea T € 2)' (R") y o € £0 (R") con p < n.
Consideremos la aplicación ¿ -> < T, ò * ? > (1) de 3) (R") en
C, que es lineal en virtud de 1.4.1. Demostremos que es continua.
En efecto, dado el conjunto compacto K c R", se tendra
W * 9] C (T, K - [9]) x *„_„ K = K 0 .
para toda ty con [<}] c: K y, como consecuencia de K D existen un»
constante c' > O y un entero m tales que :
|< T. vi * ¿ > I < f'
V
\¿tm
s„p
'
£ K
D« ty * 9) (x) \.
>
Por otra parte
l D* W * <P> (*) l .< f l (°a W (-«" - '. *"i 9 <0 l <* < .<
[íjní.'-^K)
sup
l (n*Ç)(jr' — ¿, jr") |,
/e(V-s/K)
(1) ç, denota la aplicación .r-> 9 (—J-).
— 323 —
con c" constante independiente de fy. Luego :
< T, V- * õ > | < c
V
sup
I (D* VO (*' - t, *")
sup
\a\2m ** KO
«M«'-"/K)
es decir,
i < T, ç- * ç > ! < c
V
sup
\<!\Tm
*eK
1 D" v (-O 1
que es lo que deseábamos probar.
La aplicación >ì -> < T, ò * 9 > es, pues, una distribución sobre
R", que será denotada por T * ç y a la cual llamaremos productode convolución de T por o.
NOTA 1.a—La distribución T * <p no es, en general, una función.
En efecto, para T = S, si existiera una función / 6 .fV. (Rn) tal que:
<T*ç,.V'>= f f t d x , Vv€2>(R").
K"
considerando en particular la función
í (-r) = s (•'") PX (•'•")
donde g * & (Rr}
y
^^
est ¿ defin!da por
PX Cr") = exp. (- A=/(A 2 — '-"2)).
s¡
r" < .X
n
PX (.v") = O,
te
si
r" ^, A,
\l/í
r" = ( V* .v»/ )'
1 -/
/>"
donde
ndnamo s :
< 3 * tf. vi > = (ii ^ |,) (O) = 1—1 / j; (.<) 9 (íj ií s,
K?
-
324 —
j" f j d x = f g (.r') d .r' f / (x*, x")
= j's (•*") d x> j f
[g]
(x») d .
E*-/ 1
F.f
R"
fx
( x f j x,,} px
pU)
d r„
r <*
Cuando X -> O, la última integral tiende hacia cero mientras que
<C 8 * o, <\> > permanece constante.
NOTA 2.a—Si aplicásemos las definiciones 2.1 y 2.3 en el caso
p = n, obtendríamos el mismo resultado. En efecto :
< T * ç. ^ > = <T, < ¿ * c > = (T * W * 9)-) (0) =
= (T * (9 * v% (0) = ((T * «p) * VÕ (0) = l" (T * «p) Ç d -v.
2.4.
PROPIEDADES.
2.4.1. La aplicación (T, 9) -> T * 9 es bilineal.
Demostración trivial.
2.4.2. D1 (T * 9) = (D* T) * 9, D*' (T * 9) = T * D"' 9,
a € N" y v/ € N".
Demostraciones inmediatas.
En consecuencia, con notaciones ya conocidas, se tiene :
donde
P (D) (T * 9) = '(P (D) T) * v, Q (D) (T * 9) = T * Q (D)ç.
2.4.3. (T* 9) *<> = T * (9 *^), donde ^ € 2) (R') con ? < f
En efecto, si y € 2) (Rn) se tiene, aplicando 1.4.5 :
< T * (9 * ^), x > = < T, x * (9 * V)" > = < T. x * (9 * Â > =
= < T, (x * \f) * ç > = < T * <p, x * /> = < (T * 9) * 4, x >•
La.relación correspondiente entre los soportes requiere una nueva
definición.
2.r>. DEFINICIÓN.—Dada la distribución T € 2)' (Rn), llamaremos soporte de T respecto de R", y lo representaremos por [T]i» a
conjunto de los puntos .f' € R" tales que, para todo entorno V
— 325 —
x' existen dos funciones -/ € £D (V) y co € 3) (R"-y) verificando
< T, y. u > i 0.
El conjunto [T], es cerrado, pues su complementario es, evidentemente, abierto.
2.6. LEMA.—-, [T] c [T],.
En efecto, si .v' € T., [T], existirá .v" € R"-" tal que (.r', x") € [T].
Dado arbitrariamente un entomo V de x', si W es otro entorno de
x", ha de existir 9 6 3) (V x W) tal que < T, ? > dp 0. Como el
conjunto 3) (V) (g) 2) (W) es denso en 3) (V x W), existirán
X € 2) (V)
y
„> € 3) (W)
verificando < T, / w > =fc O : luego x' € [T]p.
2.7. TEOREM.A.—[T * ?]„ <r [T]p + [?].
En efecto, si .r' € [T * s] p , dado arbitrariamente el entomo V
de x', existen / € 2) (V) y w 6 £D (R"-p) tales que < T, x w > 4: O ;
entonces debe ser
[T] 'fl [íx «•) * 9] 4= 0
y por consiguiente :
- P m n (v-[ç.])*0.
de donde
V H 0„ [T] + [9]) * 0-
Luego
x>
€ *, [T] + [9] = [T]r + [<p] = [T], + [<p].
•^n cuanto al soporte ordinario de la distribución T * 9, se tiene:
[T * ç] c T, [T] + [<p] x V-P m-
— 3 2Í > —
3.
CONVOLUCIÓN DE DISTRIBUCIONES
3.1. DEFINICIÓN.—Sea T € 3)' (R") y S € 3)' (R") con p < n, y
supongamos que al menos una de ellas, por ejemplo S, tiene soporte
compacto.
Consideremos la aplicación o -> < T, 3 * = > (1), de 3) (R*) en C,
que lineal, en virtud de 2.2.1 y de la linealidad de T. Para demostrar que es continua bastará ver que lo es la aplicación o -> S * o de
3) (R") en sí mismo, ya que T es continua. Si K es un compacto fijo
de R", se tiene, en virtud de 2.2.3 :
[S * <pï c ([S] + -„ [<p]) x -„_„ [9] = K c
y la cuestión se reduce entonces a probar que, para todo m € îi,
existe k € IM y c > 0 tales que:
sup
V I D* (5 * <p) (-r) | < c sup ^ | D a ( p ( . r ) ¡ .
* E K « |o|^m
"K l«i^*
para toda 9 G S) (R") con [o] c K. Esta desigualdad se obtiene inmediatamente a partir de lo siguiente:
I D* (S * 9) W I = I < 5. D« ç K - t. .v") > i <;
< c « /.,-- P ,,W
f
Z
\y\ -í **
I (D'' + *<?)(*'-',-r") |<
< c ..Ä,M Z K DX «pH-v-í^")i,
'
|a|.;¿*
donde
l«l ú m
^ =
max t a ,
l·l é «
son constantes independientes de 9.
Asi, pues, la aplicación < p ~ > < T , S * ? > es una distribución
sobre R" a la cual llamaremos producto de convolution de T pof ^
y denotaremos por T * S.
(1)
3 detioU la aplicación ç-> < S, f >.
— 32- —
'3.2. PROPIEDADES.
3.2.1. La aplicación (T, S) -> T * S es bilineal.
Demostración trivial.
3.2.2. D* (T * S) = (D* T) * S y D1' (T * S) = T * D1' S, don4e -j. € M" y a' € W.
Demostraciones inmediatas.
Con notaciones ya conocidas, se tiene :
P (D) (T * S) = (î> (D) T) * S
3.2.3.
y
O (D) (T * S) = T * Q (D) S.
[ T * S ] , C [ T ] p > + [S].
En efecto, si .v' Ç. [T * S]jj, para todo entorno V de x' existirán
l 6 3) (V) y w 6 3) (R"-p), tales que < T * S, 7. w > £ O ; esto implica [T] fi [S * (-/. o,)] 4: 0, de donde -v [T] n (— [S] + V) £ 0,
luego V H (-„ [T] -f [S]) 4: 0, y por consiguiente
-v € s [Tj + [S] = *, [T] + [S] c [T]„ + [S].
En cnanto al soporte ordinario de la distribución T* S, se tiene :
[T * s] c ^TTtf+Ts] x -„_„ [T].
En efecto, sea •/ 6 [T * S], y sean V y S dos entornos de x' y x"
respectivamente. Existe 9 € 3) (V x W) tal que < T * S, o > £ 0
T por consiguiente
x e 2> (V)
>• « e 2) (W)
tales que < T ^ S, / w > $. 0. Esto implica que:
[T] f) ((- [S] + V) x W) * 0
luego
Vfl (s [T] -f S) * 0
!o c
y
W -n .*„_, [T] * 0,
»al prueba que
*'€^TtT]Ts'
y
jr"6í~7Ffï.
— 32S -
NOTAS.—1.a Las notaciones empleadas para designar los espacios funcionales que hemos utilizado, son las clásicas de L. Schwartz.
2.a Dejamos para otra ocasión la investigación de la propiedad
asociativa del producto de convolución de distribuciones, así como el
estudio del .comportamiento del producto frente a la transformación
parcial de Fourier, principio de localización, etc.
BIBLIOGRAFÍA
[1]
NACHBIN, L.: Lectures on the Theory of Distributions. Universidad de Recife, 1964.