Coeficientes binomiales.
Transcripción
Coeficientes binomiales.
Coecientes binomiales. Se recomienda que todos los problemas sean resueltos sin hacer uso del principio de inducción matemática. Teoremas y ejercicios fundamentales. 1. Un bicho se encuentra en el origen O = (0, 0) en el plano cartesiano. El bicho salta de un punto de coordenadas enteras a otro, un salto por segundo, en el plano siguiendo el siguiente patrón: Del punto (m, n) brinca al (m, n + 1) o al (m + 1, n), con la misma probabilidad de elegir cualquiera. ¾Donde puede encontrarse el bicho después de 5 segundos? ¾Es igual de probable que el bicho se encuentre en cualquiera de esos puntos? 2. Empezando en el punto (0, 0), un objeto se mueve en el plano debido a una secuencia de pasos, cada uno de longitud 1. Cada paso es a la izquierda, derecha, arriba o abajo, cada uno igual de probable que el otro. ¾Cuál es la probabilidad de que el objeto alcance el punto (2, 2) en seis pasos o menos? 3. Las licencias de conducir consisten de 8 dígitos. Se llaman par si contienen una cantidad par de 0's. Encuentra el número de licencias pares. 4. 1 Teorema del Binomio. Sea n un entero positivo. Entonces n n n n−1 n n−2 2 n n (a + b) = a + a b+ a b + ··· + b . 0 1 2 n n 5. Sean n y k enteros positivos con n ≥ k. Las siguientes propiedades de los coecientes binomiales son ciertas:2 a) b) c) n k = n+1 k+1 n 0 < d) k e) k f) g) h) i) j) k) n k n k n n−k ; n = nk + k+1 ; n n 1 < 2 < ··· =n n−1 k−1 n n = b n+1 ; < d n−1 e c 2 2 ; n = (n − k + 1) k−1 ; n n+1 n+2 + 2 + · · · + n+k = n+k+1 ; 0 + 1 k k n n+1 + n+2 + · · · + n+k = n+k+1 n + n n n n+1 ; n n n n 0 + 1 + ··· + n = 2 ; n n n n n 0 − 1 + 2 − · · · + (−1) n = 0; n n n n n−1 ; 1 + 2 2 + 3 3 + · · · + n n = n2 n k es divisible por n si n es primo y 1 ≤ k ≤ n − 1. 6. Evalúa 11 0 1 11 1 + 2 11 2 + 3 11 11 + ··· + 12 . 1 También conocido como Teorema del Binomio de Newton. 2 Encuentre al menos una forma completamente combinatorias (usando estrategias de conteo) y al menos una forma algebraica (de preferencia dos y esencialmente distintas) de probar estos enunciados. 1 7. Sea n ∈ N. Prueba que n k−1 X (−1) n k k=1 8. a) k 1 1 + ··· + . 2 n Pruebe que 11 1 X 40! k=2 b) =1+ k−1 29! 9 Pk−2 . (40 − k)! = 1 31! Encuentra y prueba la forma general del inciso anterior. 9. Sea {Fn }∞ n=0 una sucesión denida por F0 = F1 = 1 y Fn+2 = Fn+1 + Fn para n ≥ 0. Prueba que n X k=0 n−k+1 k = Fn+1 . A la sucesión {Fn }∞ n=0 se le conoce como la sucesión de Fibonacci y Fn es el n-ésimo número de Fibonacci. 10. Sea n un entero positivo. Prueba que n −1 X n i i=0 11. Vandermonde. n+1 n + 1 X 2i . 2n+1 i=1 i = Sean m, n y k enteros con m, n ≥ 0. Prueba que X k m+n m n = . k i k−i i=0 12. Sean n, k ∈ N con k+3 ≤ n. Prueba que aritmética. n k , n k+1 , n k+2 , n k+3 no pueden formar una progresión 13. En un torneo de todos contra todos,3 ocasionalmente ocurre un 3-set cíclico; esto es, un conjunto {a, b, c} de tres equipos donde a le gana a b, b le gana a c, y c le gana a a. Si 23 equipos juegan un torneo de todos contra todos (sin empates), ¾cuál es el mayor número de 3-set cíclicos que pueden ocurrir? 14. 4 Sea p un primo, y sea n un entero positivo con n = (nm nm−1 . . . n0 )p . Sea i un entero positivo menor que n. Además, escribimos a i = i0 + i1 p + · · · + im pm , donde 0 ≤ i0 , i1 , . . . , im ≤ p − 1. Entonces Teorema de Lucas. Y m n nj ≡ mód p. i ij j=0 15. a) Sea n un entero positivo, y sea p un primo. Si pt | n!, entonces t= n n n + 2 + 3 + ··· . p p p 3 A dichos torneos se les conoce también como torneos round-robin. 4 Sumamente importante. 2 b) Sea p un primo, y sea n un entero positivo con n = (nm nm−1 . . . n0 )p . Si pt | n!, entonces t= n − (nm + nm−1 + · · · + n0 ) . p−1 c ) Teorema de Kummer. Sea n e i enteros positivos con i divide a ni si y sólo si t es menor o igual al número de base p. ≤ n, y sea p un primo. Entonces pt acarreos en la adición (n − i) + i en 16. Sea p un primo. Sea n un entero positivo, y sea n = (nm nm−1 . . . n0 )p la representación de n en base p. Entonces: a) hay exactamente b) números entre , , . . . , nn , que no son divisibles por p; n p divide a cada uno de n1 , n2 , . . . , n−1 si y sólo si n = pk para algún entero positivo k; y p no divide a ninguno de n0 , n1 , . . . , nn si y sólo si n = s · pk − 1 para algún entero positivo n 0 c) 17. n 1 (nm + 1) (nm−1 + 1) · · · (n0 + 1) k y algún entero positivo s con 1 ≤ s ≤ p − 1. a) Prueba o refuta el siguiente enunciado: Para cada entero positivo k, existe un entero positivo n > 1 tal que el coeciente binomial ni es divisible por k para cualquier 1 ≤ i ≤ n − 1. b ) Determina todos los enteros positivos k que satisfacen la siguiente propiedad: Existe un entero positivo n > 1 (que depende de k) de manera que ni es divisible por k para cualquier 1 ≤ i ≤ n − 1. Ejercicios 1. Sean n, m, k enteros no negativos tales que m ≤ n. Muestre que n k n n−m = . k m m k−m 2. ¾Cuál es el valor del término constante en la expansión de x2 + 3. Sea n un entero positivo. Prueba que n X k2 k=0 y que n = n (n + 1) 2n−2 k n k X (−1) n k=0 k+1 k = 1 . n+1 4. Sea n un entero no negativo. Prueba que k X i=0 (−1) i n k n−1 = (−1) . i k 5. Sea n un entero impar. Prueba que el arreglo n n n , , . . . , n−1 0 1 2 tiene una cantidad par de números impares. 3 1 x2 10 −2 ? 6. Sea n un entero positivo. Determina el número de números impares en n n n , ,..., . 0 1 n 2n k 7. Prueba que los coecientes binomiales divisibles por 4. , k = 1, 2, . . . , 2n−1 − 1, 2n−1 + 1, . . . , 2n − 1, son todos 8. Sea p un número primo. Prueba que 2p ≡2 p mód p2 . 9. Sea n un entero no negativo. Muestra que 2 n X 2n − 1 n =n . k n−1 k k=0 10. an denota al número de conjuntos no vacíos S tales que a) S ⊆ {1, 2, . . . , n}; b) todos los elementos de S tienen la misma paridad; c ) cada elemento k ∈ S satisface que k ≥ 2 |S|, donde |S| denota al número de elementos de S. Prueba que a2m−1 = 2 (Fm+1 − 1) para toda m ≥ 1, donde Fn es el n-ésimo y a2m = Fm+3 − 2 número de Fibonacci. 4