DEA-AHP. Cómo combinar dos metodologías de

DEA-AHP. Cómo combinar dos metodologías de

DEA-AHP. Cómo
combinar dos metodologías de
toma de decisiones
Estudio IESA No.30
Loren Trigo y
Sabatino Costanzo
Estudio IESA
Derechos exclusivos
2006
© IESA
Hecho el depósito de ley
Depósito legal: lfi2392006658531
ISBN: 980-217-301-0
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2
Estudio IESA
Contenido
Resumen..............................................................................................................
4
Introducción........................................................................................................
5
Modelo
5
DEA..........................................................................................................
Extensión no satisfactoria del modelo
Modelo
DEA......................................................
13
AHP...........................................................................................................
15
Conclusión........................................................................................................... 19
Bibliografía................................................................................................... 20
3
Estudio IESA
Resumen
(Data Envelopment Analysis) y AHP (Analytic Hierarchy Process) son metodologías de toma de decisiones.
Ambas dan como resultado una jerarquización de las opciones que se expresa en un número único asignado a cada opción. DEA utiliza como input medidas estrictamente objetivas; AHP utiliza juicios de valor
que pueden y suelen ser subjetivos. La finalidad de este artículo es presentar cómo las metodologías DEA
y AHP, que suelen usarse separadamente, pueden combinarse en un único modelo que evalúe el desempeño de una entidad dándole una calificación global que combine tanto los valores objetivos como los
valores subjetivos del evaluador. La técnica descrita aquí sería de utilidad inmediata en la evaluación del
desempeño gubernamental o de entidades sin fines de lucro.
DEA
4
Estudio IESA
Introducción
al convertir sus diferentes entradas en múltiples
resultados. En esta área en particular DEA ha
demostrado ser una herramienta administrativa
útil, pues puede ser aplicada a operaciones con o
sin fines de lucro. Desde que fuera inventada por
Charnes, Cooper y Rhodes en 1978, DEA ha sido
aplicada a bancos, jefaturas de policía, hospitales,
oficinas de recaudación de impuestos, prisiones,
bases militares, departamentos universitarios y
escuelas. Muchos estudios se han publicado sobre
la aplicación de DEA en situaciones del mundo real.
Obviamente, hay muchos más estudios no publicados, como los realizados internamente por compañías y por consultores externos.
Supongamos que tenemos como objetivo comparar el desempeño (la eficiencia) de una entidad
que forma parte de un grupo de entidades que
queremos evaluar. Concretamente supongamos
que debemos evaluar la eficiencia de cuatro hospitales: County Hospital, General Hospital, University
Hospital y State Hospital, y ordenarlos desde el
más ineficiente hasta el más eficiente1 . Los hospitales producen la misma canasta de inputs y outputs (esto es importante, porque si los inputs y
outputs fueran distintos, la comparación no sería
posible). Se han identificado las siguientes tres
medidas de entrada y cuatro medidas de resultado:
<1>
Medidas de entrada (input):
1. El personal no médico en su equivalente a
tiempo completo (FTE)
input1
2. La cantidad desembolsada en
suministros
input2
3. Número de días-cama
disponibles
input3
Medidas de resultado (output):
1. Días-paciente de servicio bajo
Medicare
output1
2. Días-paciente de servicio no
bajo Medicare
output2
3. Número de enfermeras capacitadas output3
4. Número de médicos internos
capacitados
output4
En la primera sección de este artículo se explicará
el modelo DEA. Se presenta un ejemplo detallado
del modelo (y de su puesta en práctica en hoja de
cálculo) para la evaluación de desempeño de entidades con base en juicios de valor objetivos. El
ejemplo consistirá en la evaluación del desempeño de cuatro hospitales de acuerdo con los
inputs y outputs de los mismos. Se mostrará cómo
el modelo DEA permite jerarquizar los hospitales
en función de su desempeño y calcular cómo el
hospital menos eficiente de los cuatro puede ser
sustituido ventajosamente por los tres hospitales
relativamente más eficientes. En la segunda sección se presenta la extensión (no satisfactoria) del
modelo DEA para incluir juicios subjetivos. Se critica el modelo DEA tradicional y se discute una
manera no satisfactoria de añadir juicios de valor
subjetivos al modelo DEA mediante la inclusión de
restricciones ad hoc. En la tercera sección se presenta la extensión del modelo DEA con el modelo AHP
Se explica este último modelo que arroja como
resultados la jerarquización de los outputs de los
hospitales evaluados en la primera y segunda secciones. Una reformulación de esta jerarquización
resultante se incorpora al modelo DEA como
restricción ya no ad hoc sino justificada.
Modelo
DEA
El Análisis de Envoltura de Datos (Data Envelopment
Análisis o DEA), ocasionalmente llamado análisis de
frontera, es una aplicación de la programación
lineal que se ha utilizado para medir la eficiencia
relativa de unidades operativas con metas y objetivos iguales. En la mayor parte de las organizaciones, las unidades operativas tienen múltiples
entradas (inputs), como tamaño del personal,
salarios, horas de operación y presupuesto de publicidad, así como múltiples salidas (resultados o
outputs), como la utilidad, la penetración en el mercado y la tasa de crecimiento. En estas situaciones,
a menudo resulta difícil para un administrador
determinar qué unidades operativas son eficientes
1 Este
5
ejemplo se inspira en Anderson y otros (1999), p. 367.
Estudio IESA
La eficiencia es un número entre un mínimo =
0 y un máximo = 1 que se calcula dividiendo el
valor monetario total de los outputs entre el valor
monetario total de los inputs de una entidad:
<2>
garantizarle así una fácil solución. Para ello diremos que si el hospital que está siendo evaluado es
H, nuestro problema de optimización consta de la
siguiente función objetivo y restricciones (recordemos
que un problema de optimización siempre consta
de una función objetivo que se cumple obedeciendo cero o más restricciones):
<4>
donde outputi es la cantidad del outputi, e inputi es la Función objetivo:
cantidad del inputi. Definida de este modo, la efi- Maximizar el valor total del output de H
obedeciendo:
ciencia es la tasa de conversión de inputs en outputs.
Una eficiencia de 1 implica que los inputs se convierten en outputs sin pérdida alguna de insumos.
Una eficiencia de menos de 1 implica que la con- <5>
versión de inputs en outputs sufre una pérdida. Una Primera restricción:
eficiencia de más de 1 convierte en output más input Para cada hospital, el valor total de su output debe
del que se tiene, creando ouput de la nada, cosa que ser menor o igual al valor total de su input:
no es posible.
Esta comparación en términos de eficiencia
tiene, sin embargo, una dificultad: en circunstancias normales, los precios que County Hospital <6>
pudiera conseguir para comprar sus inputs y vender Segunda restricción:
sus outputs no serán necesariamente los mismos El valor total del input de H debe ser igual a 1
que consiga, por ejemplo, General Hospital ya que
este último puede comprar barato y vender caro
por ser de mayor tamaño y ubicarse en un barrio
La primera restricción dice que para cada hosmás próspero. Si los precios difieren, la compara- pital de la lista el numerador de su eficiencia (el
ción entre los hospitales deja de ser justa. Por valor total de su output) será mayor o igual al
tanto, hay que dejar que el hospital que está siendo denominador (el valor total de su input), garantizanevaluado tenga el privilegio de establecer los pre- do que el cociente, su eficiencia, quedará siempre
cios de sus inputs y de sus outputs de forma tal que entre 0 y 1. La segunda restricción dice que en el
ello resulte en la maximización de su propia efi- caso del hospital H, el denominador de su eficienciencia, pero con dos condiciones:
cia será 1, lo cual implica _al cumplirse también la
primera restricción_ que el numerador de su efi<3>
(1) que la eficiencia de los demás hospitales sea ciencia tendrá que ser un número entre 0 y 1.
Puesto de otra forma, el valor total del output de H
calculada con base en esos mismos precios y
(2) que la eficiencia de cada hospital siga sien- coincide con su eficiencia y al maximizar el
primero maximizamos la segunda.
do un número entre 0 y 1
Veamos ahora un ejemplo concreto.
En conclusión, queremos obtener los precios
Evaluemos
la eficiencia de County Hospital en
que maximizan una eficiencia y esto no es otra
cosa que una optimización que puede llevarse a relación con la de los otros hospitales de la lista
cabo con cualquier hoja de cálculo como usando la siguiente hoja de cálculo:
mostraremos más adelante. Lo primero que haremos es replantear el problema para que sea lineal y
6
Estudio IESA
<7>
Solver, los costos y precios de los inputs y outputs
comienzan por ser iguales a cero. Estos costos y
precios son los que Solver calculará al maximizar la
eficiencia del County Hospital, la cual está en B24
y también es cero, enmarcada con línea doble. Para
ejecutar el algoritmo de maximización sólo hay que
configurar Solver como se muestra a continuación.
Abrimos la ventanilla Solver Parameters, usamos el
menú Tools>Solver:
El hospital que estamos evaluando es County
Hospital (el hospital 2), cuyo índice (2) aparece en
B3. Hemos introducido los inputs de los cuatro
hospitales en la tabla B6:D9 (sombreados) y los
outputs en la tabla G6:J9 (también sombreados).
Los costos por unidad de los inputs 1, 2 y 3 están
en la tabla B11:D11 y los precios por unidad de los
outputs 1, 2, 3 y 4 están en la tabla G11:J11, ambos
enmarcados en rojo. Nótese que antes de ejecutar
7
Estudio IESA
<8>
la restricción
D15:D18 B15:B18
expresa la primera restricción que vimos anteriormente en <5>: para cada hospital, el valor total de
su output debe ser menor o igual al valor total de su
input. Por ejemplo, B15 y D15 contienen, respectivamente, el valor total del input y el valor total del
output de University Hospital:
D15 contiene
y llenamos las cajitas como se muestra en la lámina. La cajita llamada Target Cell es la celda que
queremos que Solver maximice, B24. Esta celda
contiene el valor monetario de los outputs del
County Hospital que coincide con su eficiencia, a
saber:
B24 contiene:
o su equivalente en Excel G7*G11+ H7*H11+
I7*I11+J7*J11.
y B15 contiene
La cajita Changing Cells contiene los costos y
precios que estamos buscando, es decir, las celdas
enmarcadas en rojo: B11:D11 y G11:J11.
La cajita llamada Constraints contiene las
restricciones de la maximización <4>; es decir,
o su equivalente en Excel
G6*G11+H6*H11+I6*I11+J6*J11 y
B6*B11+C6*C11+D6*D11, respectivamente.
8
Estudio IESA
La restricción
B21 = 1
expresa la segunda restricción que vimos arriba en
<6>, que dicta que el valor total del input del hospital H debe ser igual a 1, pues B21 contiene el
valor total de los inputs de County Hospital, de
modo que aquí tenemos:
dicen a Solver que utilice el algoritmo de programación lineal _el método simplex_ y que mantenga
los precios y los costos iguales o mayores a cero.
Pulsamos el botón OK para regresar a la ventanilla Solver Parameters y allí pulsamos el botón Solve.
El resultado aparece en la casilla B24 enmarcada con doble línea de la lámina <8>: el valor total
del output de County Hospital (es decir, su eficiencia relativa) es 0.9. Para entender este resultado
tenemos que considerar qué sucede cuando ejecutamos Solver de nuevo, esta vez para evaluar la
eficiencia de University Hospital como hacemos
en <9>.
En este caso la eficiencia relativa resultante en la
casilla B24 enmarcada con doble línea es 1, lo cual
implica que ningún hospital de la lista es más eficiente que University Hospital, y que County
Hospital es 90 por ciento tan eficiente como
B21 contiene
275.7 precioin1 + 348.5 precioin2 + 104.1 precioin3
o su equivalente en Excel
B7*B11+C7*C11+D7*D11.
Ya casi hemos terminado de configurar Solver
para ejecutar la optimización. Ahora sólo falta pulsar el botón Options (que abre la ventanilla Solver
Options) y seleccionar Assume Linear Model y
Assume Non Negative. Estas dos opciones le
<9>
9
Estudio IESA
University Hospital, cuya eficiencia es del 100 por
ciento. En DEA siempre ocurre que al menos una
entidad de la lista resulta con 100 por ciento de eficiencia, y las demás tienen una eficiencia relativa
igual o menor. Esto quiere decir que una entidad W
es relativamente menos eficiente cuando, aun escogiendo los costos y precios que maximizan su eficiencia (la de W, digamos los costos 3, 4, 5 y los
precios 6, 7, 8), en la lista de comparación (que
consta de las entidades X, Y, Z) existe al menos una
entidad (es decir, Y) que utilizando esos mismos
precios y costos (los costos 3, 4, 5 y los precios 6,
7, 8) resulta ser más eficiente (que W).
La formulación de DEA que acabamos de ver es
una de varias formulaciones posibles. Otra manera
de implementar los mismos conceptos tiene relevancia al momento de eliminar la entidad ineficiente, cosa que puede suceder en caso de fusión
de dependencias públicas o privadas. En el ejemplo que estamos desarrollando, todos los hospitales
de la lista son 100 por ciento eficientes con excepción de County Hospital, el cual es 90 por ciento
eficiente. Como County Hospital es relativamente
ineficiente, vale la pena cerrarlo y sustituirlo
haciendo que los hospitales restantes y 100 por
ciento eficientes expandan sus operaciones para
suministrar los servicios que County Hospital
suplía. En consonancia con esta intuición, en DEA
se define un hospital virtual construido con participación de los tres hospitales remanentes de la
lista. Por ejemplo, una posibilidad sería que una
cuarta parte del hospital virtual se construyera
expandiendo General Hospital, otra cuarta parte
expan-diendo University Hospital y dos cuartas
partes expandiendo State Hospital. Si este hospital
virtual lograra suplir los servicios de County
Hospital a menos costo, entonces no sólo confirmaríamos que County Hospital es relativamente
menos eficiente, sino que sabríamos cómo repartir sus servicios entre los hospitales restantes
para mayor eficiencia. Una vez más, el problema
se resuelve fácilmente con una hoja de cálculo
como veremos más abajo.
En el caso concreto de County Hospital, vamos
a crear un hospital compuesto y virtual como una
suma sopesada de los cuatro hospitales: General,
10
County, State y University (la participación de
County Hospital en este hospital compuesto será,
cuando Solver haya ejecutado y "hecho las cuentas", cero). Como el hospital compuesto debe ser
más eficiente que County Hospital, tendrá que producir más (o igual) cantidad de output que County
Hospital utilizando igual (o menos) cantidad de
input. Formalmente, si el hospital que está siendo
sustituido es H, las siguientes tres restricciones
aplican (donde weight significa "peso"):
<10>
Primera restricción:
Para cada inputi, la suma sopesada del inputi del hospital compuesto debe ser estrictamente menor que
el inputi de H:
<11>
Segunda restricción:
Para cada outputi, la suma sopesada del outputi del
hospital compuesto debe ser mayor o igual que el
outputi de H:
<12>
Tercera restricción:
La suma de los pesos de los hospitales remanentes
debe ser igual a 1
Sin embargo, la primera restricción de esta formulación no se puede implementar en Excel
porque Solver no tiene forma de aplicar restricciones de signo estrictamente menor o estrictamente mayor. La siguiente formulación en <13>
<14><15> y <16> sustituye el signo estrictamente
menor (es decir, "<") de la primera restricción por
el signo "menor-o-igual-a" (es decir, "=") seguido
de un nuevo factor F que deberemos minimizar
para lograr un efecto análogo al del signo estrictamente menor:
Estudio IESA
<13>
Función objetivo:
Minimizar F
MIN F
obedeciendo:
<14>
Primera restricción:
Para cada inputi, la suma sopesada del inputi del
hospital compuesto debe ser un porcentaje del
inputi de H:
En <17> aparecen una vez más los inputs y outputs de los hospitales (celdas sombreadas).
Enmarcadas en rojo aparecen las celdas de los
pesos asignados a cada hospital que utilizaremos
para construir el hospital compuesto. Enmarcada
con línea doble vemos la celda que contiene el factor F que vamos a minimizar. La ventanilla de
Solver Parameters que hemos abierto con
Tools>Solver contiene, en la cajita Set Target Cell,
B37, que contiene el factor F, que Solver debe minimizar. Vemos en la cajita Changing Cells, las celdas de los pesos que estamos buscando, B32:B35.
En la cajita Constraints aparecen las tres restricciones que acabamos de listar. La restricción
<15>
Segunda restricción:
Para cada outputi, la suma sopesada del outputi del
hospital compuesto debe ser mayor o igual que el
outputi de H:
B49:D49
B51:D51
equivale a la primera restricción dada arriba en
<14>, al efecto de que para cada inputi, la suma
sopesada del inputi del hospital compuesto debe ser
un porcentaje del inputi de County Hospital. Por
ejemplo B49 y B51 se refieren a la utilización del
inputi en el hospital compuesto y en County
Hospital, respectivamente:
<16>
Tercera restricción:
La suma de los pesos de los hospitales remanentes
debe ser igual a 1:
o en términos de Excel,
B32*B40+B34*B42+B35*B43 < B51
Lo que queremos es que la suma sopesada de
inputs del hospital compuesto del lado izquierdo
del signo en <14> equivalga a un porcentaje de
los inputs correspondientes a H (el hospital que
estamos sustituyendo). Por tanto F = la fracción
del inputi de H disponible para el hospital compuesto. Si tras minimizar F, F = 1, el hospital
compuesto requiere tantos inputs como H y no
hay evidencia de que H sea ineficiente. Si F < 1,
el hospital compuesto requiere menos inputs que
H para producir igual o más outputs, es decir, el
hospital compuesto es más eficiente que H por lo
que se puede juzgar que H es relativamente ineficiente. A continuación mostramos el problema
configurado en hoja de cálculo.
La restricción
G49:J49 < G51:J51
equivale a la segunda restricción discutida arriba en
<15> a efecto de que para cada outputi, la suma
sopesada del outputi del hospital compuesto debe
ser mayor o igual que el outputi de County Hospital.
Su tratamiento es similar al de la primera restricción sin el factor F.
La restricción
B46 = 1
dice que la suma de los pesos debe ser igual a 1,
como dice la restricción <16>, pues B55 contiene
la suma de los pesos B32+B33+B34+B35. Ahora
sólo falta pulsar el botón Options (que abre la ventanilla Solver Options) y seleccionar Assume
11
Estudio IESA
<17>
Linear Model y Assume Non Negative. Pulsamos
el botón OK para regresar a la ventanilla Solver
Parameters y el botón Solve para obtener los
pesos. El resultado aparece en <18>: County
Hospital resulta ser relativamente ineficiente frente
al hospital compuesto ya que F = .903 en B372 .
Para mayor eficiencia, County Hospital debe sustituirse con la siguiente participación de los hospitales de la lista: University Hospital, 30 por ciento;
County Hospital, 1 por ciento; State Hospital, 53
por ciento; General Hospital, 17 por ciento; es
decir, los pesos que aparecen enmarcados en rojo
en B32:B35. La participación de County Hospital
de 1 por ciento en el hospital compuesto significa
que para efectos prácticos la sustitución de
County Hospital será total (tendrá una participación de casi 0 por ciento).
2 El
hecho de que el valor del factor F y el de la eficiencia de County Hospital coinciden no es casualidad. El
planteamiento en términos de precios y costos de los
inputs-outputs y el planteamiento en términos de los
pesos de participación de los hospitales resuelven el
mismo problema de fondo. En programación lineal el
segundo planteamiento es el dual del primero. La función objetivo que se maximiza en el original tendrá
siempre el mismo resultado que la función objetivo que
se minimiza en el dual.
12
Estudio IESA
La solución una vez Solver haya ejecutado es:
<18>
Extensión no satisfactoria
del modelo DEA
ciertos inputs, ciertos outputs y en consecuencia ciertas entidades son más valiosos que otros ya sea
como objetos de intercambio o como factores contribuyentes al bienestar de una comunidad. Por
ejemplo, como resultado de la evaluación de
County Hospital, DEA le asigna un costo de 0 a los
inputs 1 y 2 y un precio de 0 a los outputs 1 y 4. Esto
no sólo es poco realista sino que podría entrar en
conflicto con los intereses de la comunidad, la cual
probablemente considere el output 1 (los díaspaciente bajo Medicare) como el output más importante de todos. Otro ejemplo: para efectuar la sustitución de County Hospital, DEA le asigna una participación mayoritaria a State Hospital y a
University Hospital, aunque los vecinos de County
Hospital quizás preferirían la expansión de General
Hospital que les queda más cerca.
Hemos visto cómo DEA hace posible la comparación de entidades especialmente difíciles de
comparar, como las entidades sin fines de lucro,
eliminando los factores accidentales _ como
localización_ que pudieran causar iniquidades a
la hora de asignar costos y precios. Hemos visto
también cómo DEA nos permite obtener la suma
sopesada de las entidades más eficientes que
podrían sustituir a la entidad ineficiente. Pero, al
dejar correr libremente los costos y precios (o los
pesos de participación) para maximizar la eficiencia de la entidad que está siendo evaluada (o para
sustituirla), hemos perdido de vista el hecho que
13
Estudio IESA
La solución a este tipo de problemas es añadir
restricciones ad hoc al modelo DEA para que sus
resultados se ajusten mejor a la realidad o a las
preferencias de la comunidad. Podríamos, por
ejemplo, implementar un juicio de valor añadiendo
la restricción de que el precio (o valor social) del
output "días-paciente bajo Medicare" sea diez
veces mayor que el del output "número de enfermeras capacitadas":
<19>
bio afecta negativamente la eficiencia de County
Hospital en B24 (antes en <8> era .9, ahora en
<20> es .889):
De forma similar, en el modelo de sustitución de
County Hospital podríamos añadir una restricción
al efecto de que la participación de General
Hospital en el hospital compuesto sea igual a la
participación de University Hospital:
<21>
Sin embargo, desde el momento en que nos permitimos incluir en DEA juicios de valor causamos
dos nuevos problemas: (1) hay que encontrar la
manera de sintetizar los juicios de valor de uno o
más individuos y (2) hay que encontrar una manera de purificar los juicios de valor de incoherencias que suelen ocurrir incluso cuando el que juzga
El efecto que esta restricción adicional tendría en
la evaluación de County Hospital sería la eliminación del resultado anterior que le asignaba un
precio de cero a los días-paciente bajo Medicare,
que es lo que queríamos, y su sustitución por un
precio mayor que cero en G1. Nótese que el cam<20>
14
Estudio IESA
es una sola persona (pues a veces los juicios de
valor emitidos por la persona son incoherentes
entre sí). Es aquí donde la técnica conocida como
Analytic Hierarchy Process o Proceso Analítico
Jerárquico puede hacer una contribución fundamental al modelo DEA.
Modelo
<23> repetición de <1>
Medidas de resultado (output):
1. Días-paciente de servicio bajo
Medicare
2. Días-paciente de servicio no
bajo Medicare
3. Número de enfermeras e internos
capacitados
AHP
output1
output2
output3
El Proceso Analítico Jerárquico (Analytic Hierarchy
Process o AHP) es una metodología de toma de decisiones que utiliza como input juicios de valor. Al
igual que DEA, AHP da como resultado una jerarquía de las opciones que se expresa en un número
único asignado a cada opción. A diferencia de DEA,
los juicios de valor que se utilizan como input
pueden ser subjetivos. AHP fue inventada por
Thomas Saaty en 1988 e implementada como software por Expert Choice Inc.
La mejor manera de explicar AHP es con un
ejemplo concreto. Supongamos que Ms. Major, la
alcaldesa de la ciudad, recibe poco presupuesto y
tiene que cerrar uno de los cuatro hospitales de su
zona3 . Está tratando de determinar cuán valiosos
para su comunidad son los outputs que cada hospital produce. Recordemos que estos outputs eran:
La alcaldesa planea escoger el hospital que va a
cerrar jerarquizando primero los outputs de los hospitales en orden de preferencia. Para elaborar esta
jerarquización, va a hacer uso de los siguientes 4
criterios:
<22> repetición de <1>
Medidas de resultado (output):
1. Días-paciente de servicio bajo
Medicare
output1
2. Días-paciente de servicio no
bajo Medicare
output2
3. Número de enfermeras e internos
capacitados
output3
4. Número de médicos internos
capacitados
output4
Por razones de espacio, vamos a unificar output3
y output4 en un solo output, output3, pero entiéndase
que este paso es enteramente opcional. El ejemplo
puede hacerse con cuantos outputs uno desee.
<25>
Puntajes (scores) de los criterios cumplidos por cada
output
<24>
-Criterio 1: Cura
-Criterio 2: Educación
-Criterio 3: Prevención
-Criterio 4: Investigación
Cada criterio AHP genera un peso (gracias a un
método que describiremos más adelante).
Supongamos que los pesos (weights) de los criterios
de Ms. Major son w1 = 0.5115, w2 = 0.0986, w3 =
0.2433, and w4 = 0.1466. Supongamos además que
Ms. Major determina un puntaje (score) que refleja
hasta dónde cada output cumple con cada criterio.
Cura
Educación Prevención
Output 1 0.5714
Output 2 0.2857
Output 3 0.1429
0.1593
0.2519
0.5889
0.0882
0.6687
0.2431
Investigación
0.0824
0.3151
0.6025
Dados los pesos (azules) para los criterios y los
puntajes (rojos) listados en la tabla, Ms. Major
puede determinar cómo ordenar los outputs de los
hospitales. Específicamente, para cada output calculamos un puntaje general que es la suma ponderada de los puntajes usando los weights como pesos:
<26>
output1 punt = 0.5115(0.5714) + 0.0986 (0.1593) +
0.2433(0.0822) + 0.1466(0.0824)=
0.3415
3 Este
ejemplo es parecido al dado por Albright y otros
(2001), p. 472 ff.
15
Estudio IESA
output2 punt =0.5115(0.2857) + 0.0986(0.2519) + ¿Cómo se llega a la jerarquización en <27>? La
0.2433(0.6687) + 0.1466(0.3151)= dificultad esencial del problema es conocer los
0.3799
pesos de los criterios y los puntajes de las opciones.
output3 punt =0.5115(0.1429) + 0.0986(0.5889) + Existen muchos métodos para obtener pesos y
0.02433(0.2431) + 0.1466(0.6025)= puntajes como los que discutimos aquí. El método
0.2786
que vamos a ver es el propuesto por Saaty en términos de pares comparados. Para obtener los
Según este puntaje Ms. Major debería jerarquizar pesos y puntajes, Saaty propone que los juicios de
valor se cuantifiquen de acuerdo con la siguiente
los outputs como sigue:
escala semántica:
<27>
<30>
Jerarquía
Interpretación de los valores de la matriz de pares
Output1
.3799
comparados
.3415
Output2
Valor de aij
Interpretación
.2786
Output3
1 criterio i y el criterio j son igualmente importantes
3 criterio i es ligeramente más
importante que j
5 criterio i es fuertemente
más importante que j
7 criterio i es muy fuertemente
más importante que
9 criterio i es absolutamente más
importante que j
La información contenida en esta jerarquía
puede presentarse igualmente en términos de las
siguientes ecuaciones:
<28>
a.
b.
a la cual se le pueden extrapolar valores intermedios a conveniencia. Esta escala semántica se utiliza
para calcular los pesos de los criterios, que organizaremos en la matriz que mostramos a continuación.
<31>
las cuales a su vez tienen la misma forma que la
restricción ad hoc <19> . Específicamente, <28> b.
y <19> relacionan output1 con output3, nos dicen
cuánto más (o menos) valioso es el output1 en términos del output3:
Cura Educación Prevención
Cura
1
Educación
1/5
Prevención
1/2
Investigación 1/4
<29> repetición de <19>
5
1
2
2
2
1/2
1
1/2
Investigación
4
1/2
2
1
restricción equivalente a
Por ejemplo, el número 5 en la fila 1 columna 2
indica que la cura es fuertemente más importante
que la educación. Algebraicamente aiJ = 1/aJi. Por
esto, si el criterio i es menos importante que el criterio j, usamos el recíproco del índice apropiado.
Finalmente, las celdas diagonales tienen 1 porque
para todos los criterios i, usamos la convención de
Son justamente ecuaciones como éstas las que
podemos añadir como restricciones al modelo DEA
que vimos antes para adecuarlo más a la realidad o
a los juicios de la comunidad. Pero ahora ya no
serían restricciones ad hoc sino que tendrían una
justificación.
16
Estudio IESA
Por ejemplo, en la matriz de puntajes con
respecto al criterio Cura, el valor 2 de la primera
fila y segunda columna indica que el output1 supera
ligeramente al output2 en lo referente a Cura.
El diagrama <33> contiene las matrices que
hemos construido. Usando el método de pares
comparados, hemos creado cuatro matrices de
puntajes (1, 2, 3, 4) y una matriz de pesos, (5). La
jerarquización final de los outputs de los hospitales
se produce efectuando una serie de operaciones
aritméticas sobre estas cinco matrices. Primero
normalizamos las columnas y promediamos las
filas de cada matriz. Normalizamos las columnas
de una matriz dividiendo cada celda entre la suma
de la columna de esa celda. Promediamos las filas
de una matriz sumando los números de cada fila y
dividiendo el resultado entre el número de columnas. Por ejemplo, abajo vemos que al normalizar y
promediar la matriz Cura indicada con el número
(1), la matriz se reduce de tamaño (se compacta) y
se convierte en una matriz de una columna (es
decir, un vector). Hemos indicado esta columna
con el título Cura en la matriz (6). Las matrices (2),
(3), (4) sufren una transformación similar, y se
transforman en los vectores o columnas
Educación, Prevención y Investigación de la matriz
(6). En cuanto a la matriz de pesos numerada (5),
podemos ver que al ser normalizada y promediada,
ella también se compacta generando el vector (7):
que aii = 1. Suele ser más fácil determinar todos los
aij que son mayores que 1 y entonces usar la
relación aiJ = 1/aJi para determinar los demás
inputs.
La misma escala semántica sirve para calcular los
puntajes de las opciones con respecto a cada criterio por separado. Las matrices a continuación contienen esta información.
<32>
Cura
Outp 1
1
1/2
1/4
Outp 2
2
1
1/2
Outp 3
4
2
1
Outp 1
1
2
3
Outp 2
1/2
1
3
Outp 3
1/3
1/3
1
Outp 1
1
7
3
Outp 2
1/7
1
1/3
Outp 3
1/3
3
1
Investigación Outp 1
1
4
7
Outp 2
1/4
2
1
Outp 3
1/7
1/2
1
Outp 1
Outp 2
Outp 3
Educación
Outp 1
Outp 2
Outp 3
Prevención
Outp 1
Outp 2
Outp 3
Outp 1
Outp 2
Outp 3
17
Estudio IESA
<33>
Matriz
compactada
de puntajes
Matriz
compactada
de pesos
número de opciones es grande. Por ejemplo, si para
Ms. Major i es 2 veces más importante que j y j es
3 veces más importante que k, i debería ser para
Ms. Major 3x2 = 6 veces más importante que k. En
efecto algunos de los pares comparados de Ms.
Major en <31> son inconsistentes. Estas pequeñas
inconsistencias son comunes y afortunadamente
no causan serias dificultades. Como las inconsistencias son medibles, AHP usa un índice que da la
alerta cuando la inconsistencia es demasiado
grande (Expert Choice también provee la opción
de corregir las inconsistencias automáticamente).
Concretamente, Saaty calcula para cada matriz de
pares comparados un índice de consistencia CI y
un índice de ruido aleatorio RI. Si la proporción de
CI a RI es suficientemente pequeña, entonces es
probable que las comparaciones del agente decisional fueron lo bastante consistentes como para
ser útiles. Saaty sugiere que si CI/RI < 10%,
entonces el grado de consistencia es satisfactorio,
mientras que si CI/RI > 10%, existen serias inconsistencias y AHP puede que no rinda resultados sig-
El vector (8) titulado Jerarquía es la matriz que
consiste en los puntajes finales de los tres outputs,
puntajes que utiliza Ms. Major para condicionar el
modelo DEA, esto es los de <27>. Para conseguir
este vector sólo hay que multiplicar las dos matrices compactadas (6) y (7).
Mencionamos arriba que la inclusión de juicios
de valor conlleva dos problemas: (1) cómo efectuar
la síntesis de los juicios y (2) cómo eliminar las
incoherencias. Hasta ahora hemos ilustrado la
solución al problema (1), mostrando cómo las
comparaciones por pares hechas por un individuo
se pueden resumir en un vector de jerarquía donde
cada opción tiene asignado un valor. De manera
análoga, con el software de AHP Expert Choice, se
puede también sintetizar los juicios de valor
hechos por un grupo de individuos. De hecho
Expert Choice tiene unas maquinitas de votación
para lograr este objetivo. En cuanto al problema
(2), este problema también es resoluble en AHP.
Veamos de qué se trata. No es fácil mantener la
coherencia de las comparaciones por pares si el
18
Estudio IESA
Conclusión
nificativos. En el ejemplo de Jane para la matriz de
los pesos <31> CI/RI = 0.159/0.90 = 0.0177, que
es mucho menor que 10%. Por lo tanto, no exhibe
inconsistencias serias.
La combinación DEA-AHP hace posible la incorporación de juicios de valor subjetivos a una jerarquización basada en datos objetivos. La combinación DEA-AHP impone límites realistas a los
niveles de inputs y outputs que DEA calcula para
maximizar la eficiencia de la entidad. DEA-AHP es
una versión más realista y más útil de DEA.
19
Estudio IESA
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