1.- Primitiva de una función(28.01.2015)
Transcripción
1.- Primitiva de una función(28.01.2015)
1.- Primitiva de una función (28.01.2015) 1.1. Definición. Sea f : I → R. Se dice que F : I → R es una primitiva de f si F es derivable y F 0 = f en I. En ese caso escribimos Z F (x) = f (x)dx Si F es una primitiva de f en I, entonces f admite como primitivas a las funciones F + K, ∀K ∈ R, y sólo a ellas. En efecto: a) Si F es primitiva de f, (F + K)0 = F 0 = f . b) Si G0 = f , entonces (G − F )0 = G0 − F 0 = 0 =⇒ G − F = K =⇒ G = F + K. 1.2. Condición necesaria para la existencia de primitiva. • En “La derivada como lı́mite de derivadas” (CI1, tema IV) se demostró lo siguiente: Sea f : I → R, definida en I = [a, a + δ). Si f es continua en I, derivable en I \ {a} y ∃ lı́m+ f 0 (x), entonces f es derivable en a+ y se cumple: f 0 (a+ ) = lı́m+ f 0 (x) x→a (análogamente para el caso correspondiente con a− ). x→a Esta es una condición suficiente. Si existe lı́mite, f es derivable. Pero puede ocurrir que no exista lı́mite y f sea derivable. 0 − 0 • Sea f derivable en I. Entonces ∃f 0 (x0 ) ∀x0 ∈ I, luego ∃f 0 (x+ 0 ) = f (x0 ) = f (x0 ). En este caso existen dos opciones: - ∀x0 ∈ I existen los lı́mites laterales de f 0 (x), que deben coincidir con f 0 (x0 ) por el teorema anterior, y la función f 0 es continua en I. - En algún punto de I no existe alguno de los lı́mites laterales, con lo que f 0 tiene en dicho punto una discontinuidad de 2a especie. • Ası́ pues, si una función es derivable, su derivada puede ser discontinua en algún punto, porque no exista algún lı́mite lateral; pero no puede tener discontinuidades de salto (lı́mites laterales distintos). Por lo tanto, que una función sea discontinua no impide que tenga primitiva, pero si f tiene una discontinuidad de salto en un punto a ∈ I, no tiene primitiva en I. ( 1 , x 6= 0 x2 sen x • Ejemplo 1: Sea la función f (x) = 0, x = 0. 1 − cos 1 , ∀x 6= 0 y f 0 (0) = 0. Calculando la derivada, obtenemos f 0 (x) = 2x sen x x 1 0 0 Esta función f no es continua en x = 0, pues: lı́m f (x) = lı́m − cos . x→0 x→0 x A pesar de ello, tiene primitiva (f ), continua y derivable en todo R. 0≤x<1 0, • Ejemplo 2: Compruébese que la función continua F (x) = x − 1, 1≤x<2 2x − 3, 2≤x<3 es primitiva de y = E(x) en los intervalos (0,1),(1,2) y (2,3). Sin embargo, F no es derivable en los puntos de discontinuidad de E(x).