Universidad de la República Matemática Discreta 2

Universidad de la República Matemática Discreta 2

Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a
Instituto de Matemática y Estadı́stica
Matemática Discreta 2
Curso 2010
PRÁCTICO 5: Grupos
Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos verificar que el conjunto G con la operación ∗ es un
grupo. Hallar elemento neutro e indicar si se trata de un grupo abeliano o no.
1. G = Z los números enteros y ∗ la suma usual de enteros: a ∗ b = a + b, si a, b ∈ Z.
2. G = Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]} los enteros módulo n y ∗ = + la suma usual de enteros módulo
n: [a] + [b] = [a + b], si a, b ∈ Z.
3. G = GLn (R) el conjunto de las matrices reales n×n invertibles y ∗ el producto usual de matrices:
A ∗ B = AB, si A, B ∈ GLn (R).
4. Sea X un conjunto, G = SX el conjunto de las funciones biyectivas de X en X y ∗ la composición
de funciones: σ ∗ τ = σ ◦ τ , si σ, τ ∈ SX .
(Obs: cuando X = {1, 2, . . . , n}, SX se denota Sn .)
o
n³ 1 a c ´
5. G =
0 1 b : a, b, c ∈ Z y ∗ el producto matricial.
001
Ejercicio 2. Hallar en cada caso cuáles de las propiedades asociativa, existencia de neutro, existencia
de inversos y conmutativa son verificadas por la operación ∗ en el conjunto G.
1. G = R, a ∗ b = ab.
2. G = Mn (R), A ∗ B = AB + BA.
4. G = Z, a ∗ b = ab − 2(a + b) + 6.
5. G = Mn (R), A ∗ B = AB.
3. G = Z, a ∗ b = a2 b + ab2 .
6. G = Zn , [a] ∗ [b] = [ab].
Ejercicio 3. Sea G un grupo con elemento neutro e. Probar las siguientes afirmaciones.
1. (ab)2 = a2 b2 ∀ a, b ∈ G sii G es abeliano.
[Sug: hallar x, y ∈ S3 tales que (xy)2 6= x2 y 2 .]
2. (ab)−1 = a−1 b−1 ∀ a, b ∈ G sii G es abeliano.
3. Si a2 = e ∀ a ∈ G entonces G es abeliano.
Ejercicio 4. Sea G un grupo abeliano. Probar que el subconjunto H ⊆ G dado es un subgrupo.
1. H = {a ∈ G : a2 = e}.
2. H = {an : a ∈ G}, donde n ∈ N es un natural fijo.
3. Mostrar que si G no es abeliano entonces en (1) y (2) H no necesariamente es un subgrupo.
Ejercicio 5. Dados subgrupos H y K de un grupo G, se define el conjunto
HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.
Demostrar que HK es un subgrupo de G sii HK = KH.
Ejercicio 6. Sean H y K subgrupos de un grupo G y e la unidad de G.
1. Hallar los posibles valores de |H| si K ⊆ H ⊆ G, |G| = 660 y |K| = 66.
2. Probar que si |H| y |K| son coprimos entonces H ∩ K = {e}.
Ejercicio 7.
¡
¢
¡
¢
1. Sean G el grupo multiplicativo de las matrices invertibles 2 × 2, A = 10 −10 y B = −10 −11 .
Probar que A tiene orden o(A) = 4, B orden o(B) = 3 y que AB tiene orden infinito.
2. Hallar elementos a, b ∈ Z2 ⊕ Z de orden infinito tales que a + b tiene orden finito.
1
Ejercicio 8. Sea G un grupo y e su unidad. Probar las siguientes afirmaciones.
1. Si a ∈ G, n ≥ 1 y an = e entonces o(a)|n.
2. Si x, y ∈ G entonces o(xy) = o(yx).
3. Si |G| ≤ 5 entonces G es abeliano.
Ejercicio 9. Sea G un grupo. Probar las siguientes afirmaciones.
1. Si G es cı́clico todo subgrupo de G también es cı́clico.
2. Si G no tiene subgrupos no triviales entonces G es cı́clico, finito y |G| es primo.
Ejercicio 10. Hallar las coclases izquierda y derecha determinadas por el subgrupo H del grupo G.
1. G = Z12 y H = h[3]i es el subgrupo generado por [3] ∈ Z12 .
2. G = S3 , H = hσi donde σ ∈ S3 es la permutación de {1, 2, 3} tal que σ(1) = 2 y σ(2) = 1.
Ejercicio 11. Si H y K son subgrupos finitos de un grupo G probar que |HK| = |H||K|/|H ∩ K|.
Ejercicio 12. Sean G un grupo abeliano y H un subgrupo de G tal que H ∩ K 6= {e} para todo
subgrupo K de G tal que K 6= {e}. En este caso se dice que H es un subgrupo esencial de G.
1. Probar que todo elemento del grupo cociente G/H tiene orden finito.
2. Probar que todo elemento de G de orden primo pertenece a H.
3. Dar un ejemplo de un grupo abeliano G con un subgrupo esencial H 6= G.
Ejercicio 13. Sean G un grupo y N un subgrupo normal de G tal que |N | = 2. Probar que N ⊆ Z(G),
donde Z(G) = {a ∈ G : ab = ba ∀ b ∈ G} es el centro de G.
Ejercicio 14. Sean G un grupo y H y K subgrupos normales de G.
1. Probar que H ∩ K y HK son subgrupos normales de G.
2. Probar que si H ∩ K = {e} entonces hk = kh para todo h ∈ H y k ∈ K.
Ejercicio 15.
1. Probar que si H es un subgrupo de ı́ndice 2 de un grupo G entonces H es normal.
2. Sea H el subgrupo de S4 que consiste en las permutaciones σ ∈ S4 tales que σ(4) = 4. Probar
que H no es normal en S4 .
3. Si G es un grupo, probar que Z(G) es un subgrupo normal.
4. Probar que si G/Z(G) es cı́clico entonces G es abeliano.
Ejercicio 16. Sea G un grupo. Si a ∈ G se define la función inta : G → G dada por inta (b) = aba−1 ,
si b ∈ G. Se define también Int(G) = {inta : a ∈ G}. Probar que Int(G) es un subgrupo normal de
Aut(G), el grupo de los automorfismos de de G.
Ejercicio 17. El conmutador de un grupo G es el subgrupo G0 de G generado por el conjunto
{aba−1 b−1 : a, b ∈ G}. Probar las siguientes afirmaciones.
1. G0 C G y G/G0 es un grupo abeliano.
2. Si N C G y G/N es abeliano entonces G0 ⊂ N .
3. Si H es un subgrupo de G y G0 ⊆ H entonces H C G.
4. Si G = S3 entonces G/G0 ∼
= Z2 .
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