1 Proyecto: Geometría no conmutativa y teoría cuántica de campos

1 Proyecto: Geometría no conmutativa y teoría cuántica de campos

Proyecto: Geometría no conmutativa y teoría cuántica de campos.
Años: 1999-2002
Descriptores:
Geometría no conmutativa (GNC)
Teoría cuántica de campos (TCC)
Álgebras de Hopf
Trozamiento de distribuciones
Teoremas de índice locales
Investigadores:
-Joseph Varilly Boyle
Unidad a la que pertenece: Escuela de Matemática
Estado en régimen: Catedrático
-Ricardo Estrada Navas
Estado en régimen: Catedrático
-José Gracia Bondía
Unidad a la que pertenece: Escuela de Física
Estado en régimen: Catedrático
-Héctor Figueroa González
Unidad a la que pertenece: Escuela de Matemática.
Estado en régimen: Catedrático
-Carmelo Pérez Martín
Grado académico: Doctor
-Fedele Lizzi
Grado académico: Doctor
-Giovanni Landi
Grado académico: Doctor
Antecedentes, justificación y descripción del proyecto:
El proyecto "Geometría no conmutativa y teoría cuántica de campos (GNC y TCC)" se presenta
como heredero de algunos de los lineamientos que resultaron exitosos en el proyecto anterior,
sobre cuantización. [Se refiere al 820-89-423, "Métodos y aplicaciones de cuantización física"].
Sin exageración, podemos decir que las realizaciones ese último proyecto pusieron a Costa Rica
en el mapa de la Física Matemática mundial. La temática se orientó más y más hacia la geometría
no conmutativa de Connes; la cual representa un programa de reformulación de las partes más
vitales de la matemática en términos del análisis funcional (a "model for the models of analysis",
en las palabras de Gert Kjaegard Pedersen).
Lo que más nos concierne de esta vasta empresa, sin embargo, es la posible interfaz con la teoría
cuántica de campos. La teoría cuántica de campos, desde su emergencia original en los trabajos
de Jordan, Klein y Wigner (1927) como una alternativa a la entonces recién nacida mecánica
cuántica, pasando por uso indispensable en física de altas energías desde los años 30, ha venido
usurpando el campo de otras herramientas, en particular en teorías de la materia condensada (el
profesor Kohn, premio Nobel de Química de este año, usó el lenguaje TCC para introducir su
"teoría del funcional de densidad") hasta ocupar una posición singular entre los instrumentos
científicos de la era moderna: de un lado, se ha vuelto el lenguaje casi universal de la física
1
teórica, sin disputa la más matematizada de las ciencias positivas; mientras que de otro, a
diferencia de los que sucede absolutamente en aplicaciones en todos los demás campos, en
realidad su "status" matemático es totalmente inseguro, caracterizado por el predominio de
métodos dudosos de eliminación de cantidades infinitas de los cálculos, que si bien conducen a
predicciones con prodigioso acuerdo con los datos experimentales, no están sancionados por la
metodología de rigor actual.
Desde la incepción de la geometría no conmutativa de Connes, ha sido una esperanza recurrente
la posibilidad de que ayudara a desarrollar el instrumental matemático faltante, que se requiere
para tratar con la teoría cuántica de campos en términos de una metodología científica madura.
Debemos decir por qué la teoría de Connes presenta promesa en ese sentido: no se trata
solamente de que nació para describir espacios singulares, del tipo de los que se asocian
naturalmente con TCC; además, existen indicios más concretos, por ejemplo el "Wick ordering"
indispensable en TCC se encuentra íntimamente relacionado con los módulos de Fredholm de
Connes; la estructura de las anomalías en teorías "gauge" pueder reformularse en términos de
cohomología cíclica; muy recientemente se ha dado el desarrollo más sugestivo, a saber, una
estructura de álgebra de Hopf presente en los diagramas de Feynman (descubierta por Dirk
Kreimer de Mainz, con quien tuvimos ocasión de intercambiar ideas.
También habría que citar, procediendo de una tradición totalmente diferente, los intentos de la
escuela de Scharf en Zürich. Este "enfoque causal", que sigue el trabajo seminal de Epstein y
Glaser, señala que el problema de fondo es un aspecto de la teoría de distribuciones; en las
propias palabras de Scharf, "the ultraviolet problem is a consequence of incorrect splitting of
distributions; the correct distribution splitting immediately gives the right finite ('renormalized')
results". Es de esperar que la teoría del comportamiento de Cesaro de las distribuciones,
desarrollado por Ricardo Estrada y que ya ha dado frutos en la geometría no conmutativa, resulte
útil para "trozar" las distribuciones propias de la TCC. Debe quedar claro que la invención de un
lenguaje matemático adecuado a las necesidades de la TCC hasta ahora no ha sucedido.
La geometría no conmutativa ha aportado a la comprensión de la geometría del sector de Higgs,
del esquema de asignación de hipercargas y de la apariencia de sectores no-gauge en el modelo
de interacción.
En resumen, algunas de las preguntas que nos hicimos: ¿Existe una nueva anomalía gravitatoria
que fijaría el número de fermiones en el modelo? ¿Cómo se explica la aparición de las mismas
estructuras algebraicas en renormalización de diagramas de Feynman y en teoría del índice no
conmutativa? ¿Cómo se puede llevar a cabo la unificación con gravedad? apuntan también a la
"Física mas allá del Modelo Estándar".
Objetivo general
Estudiar los trabajos de Kreimer sobre renormalización y las álgebras de Hopf, para así investigar
si un ejemplo degenerado de la estructura de Hopf puede calcularse usando determinantes
infinitos, con ello investigar la versión "causal" de teoría cuántica de campos de Scharf.
Dado lo anterior, aclarar los aspectos distribucionales de la TCC en el contexto de las teorías de
Scharf y de Kreimer y Perfilar el diseño del programa de la fusión entre la teoría cuántica de
campos y la geometría no conmutativa, lo cual permita ejecutar dicho programa de fusión y
publicar los resultados de estas investigaciones, como ha sido nuestra costumbre, en revistas
científicas de amplia difusión internacional.
2