Funciones polinomiales y racionales

Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Álgebra y Trigonometrı́a
Clase 3 – Funciones polinomiales y racionales
CNM-108
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
«
2009. Reproducción permitida bajo los
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Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
1
Funciones polinomiales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2
Teorema del valor intermedio
2
Propiedades de la división
Algoritmo de la división
Teoremas del residuo y del factor
División sintética
3
Ceros de polinomios
Teorema fundamental del álgebra
Número de ceros de un polinomio
4
Funciones racionales
Terminologı́a
Ası́ntotas
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2
Definición
Se dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
con an 6= 0.
Ejemplos:
1
f (x) = a0
de f es 0.
se conoce como la recta horizontal, observe que el grado
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2
Definición
Se dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
con an 6= 0.
Ejemplos:
1
f (x) = a0
de f es 0.
se conoce como la recta horizontal, observe que el grado
2
f (x) = a1 x + a0
de f es 1.
corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2
Definición
Se dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
con an 6= 0.
Ejemplos:
1
f (x) = a0
de f es 0.
2
f (x) = a1 x + a0
de f es 1.
3
se conoce como la recta horizontal, observe que el grado
corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado
f (x) = a1 x2 + a1 x + a0
de f es 2.
es una parábola con eje vertical, el grado
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2
Definición
Se dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
con an 6= 0.
Ejemplos:
1
f (x) = a0
de f es 0.
2
f (x) = a1 x + a0
de f es 1.
3
se conoce como la recta horizontal, observe que el grado
corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado
f (x) = a1 x2 + a1 x + a0
de f es 2.
es una parábola con eje vertical, el grado
Observación:
Todas las funciones polinomiales son funciones continuas
(no tienen cortes ni interrupciones).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2
Definición
Se dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
con an 6= 0.
Ejemplos:
1
f (x) = a0
de f es 0.
2
f (x) = a1 x + a0
de f es 1.
3
se conoce como la recta horizontal, observe que el grado
corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado
f (x) = a1 x2 + a1 x + a0
de f es 2.
es una parábola con eje vertical, el grado
Observación:
Todas las funciones polinomiales son funciones continuas
(no tienen cortes ni interrupciones).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
y
Si n es un entero positivo par:
4
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
y
4
Si n es un entero positivo par:
f1
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
23
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x
f1 (x) =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo par:
Si n es un entero positivo impar:
y
f2
4
f1
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo par:
Si n es un entero positivo impar:
y
f3
f2
4
f1
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
f4 y
f3
f2
4
Si n es un entero positivo par:
f1
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
f4 y
f3
f2
4
Si n es un entero positivo par:
y
f1
3
4
2
3
1
2
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
1
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
x
−3
−2
−1
−1
f1 (x) = x2 ,
f3 (x) = x8 ,
1
2
f2 (x) = x4
f4 (x) = x16
3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
f4 y
f3
f2
4
Si n es un entero positivo par:
y
f1
3
4
f1
2
3
1
2
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
1
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
x
−3
−2
−1
−1
f1 (x) = x2 ,
f3 (x) = x8 ,
1
2
f2 (x) = x4
f4 (x) = x16
3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
f4 y
f3
f2
4
Si n es un entero positivo par:
f2
f1
3
4
f1
2
3
1
2
x
−3 −2 −1
−1
y
1
2
3
1
−2
−3
−4
1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
x
−3
−2
−1
−1
f1 (x) = x2 ,
f3 (x) = x8 ,
1
2
f2 (x) = x4
f4 (x) = x16
3
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Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
f4 y
f3
f2
4
Si n es un entero positivo par:
f2
f1
f3
3
4
f1
2
3
1
2
x
−3 −2 −1
−1
y
1
2
3
1
−2
−3
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1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
x
−3
−2
−1
−1
f1 (x) = x2 ,
f3 (x) = x8 ,
1
2
f2 (x) = x4
f4 (x) = x16
3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Caso particular: f (x) = axn para alguna a = an 6= 0.
Si n es un entero positivo impar:
f4 y
f3
f2
4
Si n es un entero positivo par:
f2
f1
f4
3
f3
4
f1
2
3
1
2
x
−3 −2 −1
−1
y
1
2
3
1
−2
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1 3
1
x , f2 (x) = − x3
2 3
2
f3 (x) = 2x , f4 (x) = −2x3
f1 (x) =
x
−3
−2
−1
−1
f1 (x) = x2 ,
f3 (x) = x8 ,
1
2
f2 (x) = x4
f4 (x) = x16
3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teorema del valor intermedio
Teorema (TVI)
Si f es una función polinomial y f (a) 6= f (b) para a < b, entonces f toma
todo valor entre f (a) y f (b) en el intervalo [a, b].
y
f (b)
k
y=k
f (a)
a
c
x
b
Observación:
Si k es cualquier número entre f (a) y f (b), por lo menos hay un
número c entre a y b tal que f (c) = k.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo de aplicación
Ejemplo:
Sea f (x) = x3 − x2 − 12x, encontrar los valores de x donde f (x) > 0 y
f (x) < 0, además trazar la gráfica de f .
Solución:
Factoricemos a f (x) como
f (x) = x3 − x2 − 12x
= x(x2 − x − 12)
= x(x + 3)(x − 4),
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo de aplicación
Ejemplo:
Sea f (x) = x3 − x2 − 12x, encontrar los valores de x donde f (x) > 0 y
f (x) < 0, además trazar la gráfica de f .
Solución:
Factoricemos a f (x) como
f (x) = x3 − x2 − 12x
= x(x2 − x − 12)
= x(x + 3)(x − 4),
``` intervalo
```
f (x)
`` (-∞,-3) (-3,0) (0,4) (4,∞)
x
(x + 3)
(x − 4)
Signo f (x)
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
+
+
+
+
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo de aplicación
Ejemplo:
Sea f (x) = x3 − x2 − 12x, encontrar los valores de x donde f (x) > 0 y
f (x) < 0, además trazar la gráfica de f .
Solución:
Factoricemos a f (x) como
f (x) = x3 − x2 − 12x
= x(x2 − x − 12)
= x(x + 3)(x − 4),
``` intervalo
```
f (x)
`` (-∞,-3) (-3,0) (0,4) (4,∞)
x
(x + 3)
(x − 4)
Signo f (x)
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
+
+
+
+
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo de aplicación
Ejemplo:
Sea f (x) = x3 − x2 − 12x, encontrar los valores de x donde f (x) > 0 y
f (x) < 0, además trazar la gráfica de f .
Solución:
Factoricemos a f (x) como
y = x3 − x2 − 12x
f (x) = x3 − x2 − 12x
y
2
= x(x − x − 12)
= x(x + 3)(x − 4),
``` intervalo
```
f (x)
`` (-∞,-3) (-3,0) (0,4) (4,∞)
x
(x + 3)
(x − 4)
Signo f (x)
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
+
+
+
+
−3
0
4 x
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si
f (x) es divisible por g(x):
1
x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si
f (x) es divisible por g(x):
1
2
x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3.
x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si
f (x) es divisible por g(x):
1
2
3
x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3.
x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9.
7x2 + 3x − 10 es divisible entre 7x + 10 y entre x − 1
Teorema
Si f (x) y p(x) son polinomios y si p(x) 6= 0, entonces existen polinomios
únicos q(x) y r(x) tales que
f (x) = p(x)q(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El
polinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conoce
como el residuo en la división de f (x) entre p(x).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si
f (x) es divisible por g(x):
1
2
3
x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3.
x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9.
7x2 + 3x − 10 es divisible entre 7x + 10 y entre x − 1
Teorema
Si f (x) y p(x) son polinomios y si p(x) 6= 0, entonces existen polinomios
únicos q(x) y r(x) tales que
f (x) = p(x)q(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El
polinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conoce
como el residuo en la división de f (x) entre p(x).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si
f (x) es divisible por g(x):
1
2
3
x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3.
x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9.
7x2 + 3x − 10 es divisible entre 7x + 10 y entre x − 1
Teorema
Si f (x) y p(x) son polinomios y si p(x) 6= 0, entonces existen polinomios
únicos q(x) y r(x) tales que
f (x) = p(x)q(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El
polinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conoce
como el residuo en la división de f (x) entre p(x).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
+2x3
−2x2
−x
−6
x2 + 1
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
+2x3
−2x2
−x
−6
x2 + 1
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
+2x3
−2x2
−3x2
−x
−6
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
+2x3
−2x2
−3x2
−x
−6
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
−6
4
−2
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
Por tanto, tenemos que
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 =
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
−6
4
−2
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
−6
4
−2
Por tanto, tenemos que
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
−6
4
−2
Por tanto, tenemos que
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)(x2 + 1)
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
−6
4
−2
Por tanto, tenemos que
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)(x2 + 1)−3x − 2
o también
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6
=
x2 + 1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
−6
4
−2
Por tanto, tenemos que
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)(x2 + 1)−3x − 2
o también
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6
3x + 2
= (3x2 + 2x − 4) − 2
.
x2 + 1
x +1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Divida 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución:
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−2x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
−6
4
−2
Por tanto, tenemos que
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)(x2 + 1)−3x − 2
o también
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6
3x + 2
= (3x2 + 2x − 4) − 2
.
x2 + 1
x +1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Teorema (Teorema del factor)
Un polinomio f (x) tiene un factor x − c si y sólo si f (c) = 0.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Teorema (Teorema del factor)
Un polinomio f (x) tiene un factor x − c si y sólo si f (c) = 0.
Ejemplo:
Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor de
f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 20.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Teorema (Teorema del factor)
Un polinomio f (x) tiene un factor x − c si y sólo si f (c) = 0.
Ejemplo:
Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor de
f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 20.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Teorema (Teorema del factor)
Un polinomio f (x) tiene un factor x − c si y sólo si f (c) = 0.
Ejemplo:
Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor de
f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 20.
Solución: f (5) = 53 − 8(5)2 + 19(5) − 20 = 125 − 200 + 95 − 20 = 0.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teoremas del residuo y del factor
Teorema (Teorema del residuo)
Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).
Ejemplo:
Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
Solución:
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!
Teorema (Teorema del factor)
Un polinomio f (x) tiene un factor x − c si y sólo si f (c) = 0.
Ejemplo:
Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor de
f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 20.
Solución: f (5) = 53 − 8(5)2 + 19(5) − 20 = 125 − 200 + 95 − 20 = 0.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
x3 + 3x2 − 4x − 12 =
−4
14
10
−12
20
8
2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) +
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) + 8
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) + 8
Ejemplo: Sea p(x) = x4 − 3x2 + 2x − 1. Utilice división sintética para
hallar f (2).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) + 8
Ejemplo: Sea p(x) = x4 − 3x2 + 2x − 1. Utilice división sintética para
hallar f (2).
Solución:
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) + 8
Ejemplo: Sea p(x) = x4 − 3x2 + 2x − 1. Utilice división sintética para
hallar f (2).
Solución:
1
↓
1
0
2
2
−3
4
1
2
2
4
−1
8
7
2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) + 8
Ejemplo: Sea p(x) = x4 − 3x2 + 2x − 1. Utilice división sintética para
hallar f (2).
Solución:
1
↓
1
0
2
2
−3
4
1
Teorema del residuo
2
2
4
−1
8
7
=⇒
2
f (2) = 7
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Algoritmo de la división para polinomios
Ejemplo: Halle el residuo de dividir 2x3 + 3x2 − 4x − 12 entre x − 2.
Solución:
2
↓
2
3
4
7
−4
14
10
−12
20
8
2
x3 + 3x2 − 4x − 12 = (2x2 + 7x + 10)(x − 2) + 8
Ejemplo: Sea p(x) = x4 − 3x2 + 2x − 1. Utilice división sintética para
hallar f (2).
Solución:
1
↓
1
0
2
2
−3
4
1
Teorema del residuo
2
2
4
−1
8
7
=⇒
2
f (2) = 7
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teorema fundamental del álgebra
Teorema (Teorema fundamental del álgebra)
Todo polinomio f (x) de grado positivo con coeficientes complejos posee al
menos un cero complejo.
Polinomio f (x)
5x3 − 30x2 + 65x
−6x3 − 2x2 − 6x − 2
Forma factorizada
5x(x − (3 + 2i))(x − (3 − 2i))
„
−6 x +
1
3
«
(x + i)(x − i)
Ceros de f (x)
0, 3 ± 2i
1
− , ±i
3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teorema fundamental del álgebra
Teorema (Teorema fundamental del álgebra)
Todo polinomio f (x) de grado positivo con coeficientes complejos posee al
menos un cero complejo.
Polinomio f (x)
5x3 − 30x2 + 65x
−6x3 − 2x2 − 6x − 2
Forma factorizada
5x(x − (3 + 2i))(x − (3 − 2i))
„
−6 x +
1
3
«
(x + i)(x − i)
Ceros de f (x)
0, 3 ± 2i
1
− , ±i
3
Teorema (Teorema de factorización completa para polinomios)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0, entonces existen n números
complejos z1 , z2 , . . . , zn tales que f (x) = a(x − z1 )(x − z2 ) . . . (x − zn ),
donde a es el coeficiente principal de f (x). Notemos que cada número zk es
un cero de f (x).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Teorema fundamental del álgebra
Teorema (Teorema fundamental del álgebra)
Todo polinomio f (x) de grado positivo con coeficientes complejos posee al
menos un cero complejo.
Polinomio f (x)
5x3 − 30x2 + 65x
−6x3 − 2x2 − 6x − 2
Forma factorizada
5x(x − (3 + 2i))(x − (3 − 2i))
„
−6 x +
1
3
«
(x + i)(x − i)
Ceros de f (x)
0, 3 ± 2i
1
− , ±i
3
Teorema (Teorema de factorización completa para polinomios)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0, entonces existen n números
complejos z1 , z2 , . . . , zn tales que f (x) = a(x − z1 )(x − z2 ) . . . (x − zn ),
donde a es el coeficiente principal de f (x). Notemos que cada número zk es
un cero de f (x).
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m se
cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n ceros.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m se
cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n ceros.
Ejemplo:
f (x) = x5 − x4 − 2x3 =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m se
cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n ceros.
Ejemplo:
f (x) = x5 − x4 − 2x3 = x3 (x2 − x − 2)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m se
cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n ceros.
Ejemplo:
f (x) = x5 − x4 − 2x3 = x3 (x2 − x − 2) =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m se
cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n ceros.
Ejemplo:
f (x) = x5 − x4 − 2x3 = x3 (x2 − x − 2) = x3 (x + 1)(x − 2)
Ceros: 0, 0, 0, −1, 2.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Número de ceros de un polinomio
Definición
Si un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización del
polinomio f (x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la
ecuación f (x) = 0.
Ejemplo:
f (x) = x6 − 14 x5 + 73 x4 − 172 x3 + 176 x2 − 64 x = x(x − 1)2 (x − 4)3
Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es un
cero de multiplicidad 3.
Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)
Si f (x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m se
cuenta m veces, entonces f (x) tiene precisamente n ceros.
Ejemplo:
f (x) = x5 − x4 − 2x3 = x3 (x2 − x − 2) = x3 (x + 1)(x − 2)
Ceros: 0, 0, 0, −1, 2.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros irracionales conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros y si c1 = s + t u es un cero
√ irracional de p(x) (u no es
cuadrado perfecto), entonces c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Ejemplo:
x2 − 2 x − 1 =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros irracionales conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros y si c1 = s + t u es un cero
√ irracional de p(x) (u no es
cuadrado perfecto), entonces c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Ejemplo:
x2 − 2 x − 1 =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros irracionales conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros y si c1 = s + t u es un cero
√ irracional de p(x) (u no es
cuadrado perfecto), entonces c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Ejemplo:
x2 − 2 x − 1 =
“
“
“
√ ”” “
√ ””
x− 1+ 2
x− 1− 2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros irracionales conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros y si c1 = s + t u es un cero
√ irracional de p(x) (u no es
cuadrado perfecto), entonces c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Ejemplo:
x2 − 2 x − 1 =
“
“
“
√ ”” “
√ ””
x− 1+ 2
x− 1− 2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros irracionales conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros y si c1 = s + t u es un cero
√ irracional de p(x) (u no es
cuadrado perfecto), entonces c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Ejemplo:
x2 − 2 x − 1 =
“
“
“
√ ”” “
√ ””
x− 1+ 2
x− 1− 2
Teorema (Suma y producto de ceros)
La suma y el producto de los ceros del polinomio
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 ,
an 6= 0
vienen dados en términos de sus coeficientes por medio de
Suma de ceros = −
an−1
an
y
Producto de ceros = (−1)n
a0
an
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros irracionales conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
√
son enteros y si c1 = s + t u es un cero
√ irracional de p(x) (u no es
cuadrado perfecto), entonces c2 = s − t u también es un cero de p(x).
Ejemplo:
x2 − 2 x − 1 =
“
“
“
√ ”” “
√ ””
x− 1+ 2
x− 1− 2
Teorema (Suma y producto de ceros)
La suma y el producto de los ceros del polinomio
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 ,
an 6= 0
vienen dados en términos de sus coeficientes por medio de
Suma de ceros = −
an−1
an
y
Producto de ceros = (−1)n
a0
an
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Solución:
Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Solución:
Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i
Factores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Solución:
Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i
Factores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),
f (x)
=
[x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Solución:
Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i
Factores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),
f (x)
=
=
=
[x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]
[x2 + 6x + 13][x2 − 2x + 16]
x4 + 4x3 + 17x2 + 70x + 208
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros conjugados
Teorema (Ceros complejos conjugados)
Si los coeficientes de
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces
z̄ = a − bi también es un cero de p(x).
Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientes
reales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.
Solución:
Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i
Factores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),
f (x)
=
=
=
[x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]
[x2 + 6x + 13][x2 − 2x + 16]
x4 + 4x3 + 17x2 + 70x + 208
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
factores de 2
factores de 1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
factores de 2
=
factores de 1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
±1
factores de 2
=
,
factores de 1
±1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
±1 ±2
factores de 2
=
,
factores de 1
±1 ±1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
f (−1) = 3 ,
±1 ±2
factores de 2
=
,
factores de 1
±1 ±1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
f (−1) = 3 ,
f (1) = 1 ,
±1 ±2
factores de 2
=
,
factores de 1
±1 ±1
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
f (−1) = 3 ,
f (1) = 1 ,
±1 ±2
factores de 2
=
,
factores de 1
±1 ±1
f (−2) = 4 ,
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
f (−1) = 3 ,
f (1) = 1 ,
±1 ±2
factores de 2
=
,
factores de 1
±1 ±1
f (−2) = 4 ,
f (2) = 24
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Teorema
Si el polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tiene coeficientes
enteros y c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor
primo común, entonces
el numerador c del cero es un factor del término constante a0 .
el denominador d del cero es un factor del término constante an .
Ejemplo: Muestre que el polinomio
f (x) = x5 − 3 x3 + 4 x2 + x − 2
no tiene ceros racionales.
Solución:
Posibles ceros racionales =
f (−1) = 3 ,
f (1) = 1 ,
±1 ±2
factores de 2
=
,
factores de 1
±1 ±1
f (−2) = 4 ,
f (2) = 24
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Funciones racionales
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
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−25
−6
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50
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−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
5
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2
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−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
2
−4
−2
−9
8
−1
−4
4
0
−4
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
2
−4
−2
−9
8
−1
−4
4
0
−4
f (x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x2−2x−1)
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
2
−4
−2
−9
8
−1
−4
4
0
−4
f (x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x2−2x−1)
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
x2 − 2x − 1 = 0
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
2
−4
−2
−9
8
−1
−4
4
0
−4
f (x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x2−2x−1)
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
x2 − 2x − 1 = 0
x=
−(−2) ±
2
√
8
=
√
√
2±2 2
= 1± 2
2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ceros racionales
Ejemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuación
f (x) = x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x = 0
Solución:
f (x) = x(x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x + 24)
Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24
1
↓
1
3
2
5
−13
10
−3
−25
−6
−31
50
−62
−12
24
−24
0
2
f (x) = x(x−2)(x4+5x3 −3x2 −31x−12)
1
↓
1
2
−4
−2
−9
8
−1
−4
4
0
−4
f (x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x2−2x−1)
1
↓
1
5
−3
2
−3
−6
−9
−31
27
−4
−12
12
0
−3
f (x) = x(x−2)(x+3)(x3 +2x2 −9x−4)
x2 − 2x − 1 = 0
x=
−(−2) ±
2
√
8
=
√
√
2±2 2
= 1± 2
2
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones racionales
g(x)
, donde g(x) y h(x)
h(x)
son polinomios, con h(x) 6= 0 para todo x ∈Dom f .
Una función f es una función racional si f (x) =
Ejemplos:
1
f (x) =
8
,
x−3
Dom (f ) = {R −{x = 3}}.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones racionales
g(x)
, donde g(x) y h(x)
h(x)
son polinomios, con h(x) 6= 0 para todo x ∈Dom f .
Una función f es una función racional si f (x) =
Ejemplos:
1
2
8
,
x−3
x+1
f (x) =
,
9x2 − 4
f (x) =
Dom (f ) = {R −{x = 3}}.
Dom (f ) = {R −{x = ±2/3}}.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones racionales
g(x)
, donde g(x) y h(x)
h(x)
son polinomios, con h(x) 6= 0 para todo x ∈Dom f .
Una función f es una función racional si f (x) =
Ejemplos:
1
2
8
,
x−3
x+1
f (x) =
,
9x2 − 4
f (x) =
Dom (f ) = {R −{x = 3}}.
Dom (f ) = {R −{x = ±2/3}}.
Notación
x −→ c−
Terminologı́a
x se aproxima a c por la
izquierda
x −→ c+
x se aproxima a c por la
derecha.
f (x) −→ ∞
f (x) aumenta sin cota
f (x) −→ ∞
f (x) disminuye sin cota
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Funciones racionales
g(x)
, donde g(x) y h(x)
h(x)
son polinomios, con h(x) 6= 0 para todo x ∈Dom f .
Una función f es una función racional si f (x) =
Ejemplos:
1
2
8
,
x−3
x+1
f (x) =
,
9x2 − 4
f (x) =
Dom (f ) = {R −{x = 3}}.
Dom (f ) = {R −{x = ±2/3}}.
Notación
x −→ c−
Terminologı́a
x se aproxima a c por la
izquierda
x −→ c+
x se aproxima a c por la
derecha.
f (x) −→ ∞
f (x) aumenta sin cota
f (x) −→ ∞
f (x) disminuye sin cota
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ası́ntotas verticales
Definición
La recta x = c es una ası́ntota vertical para la gráfica de la función f si

∞
si x −→ c+ o x −→ c− , ó
f (x) −→
−∞ si x −→ c+ o x −→ c−
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ası́ntotas verticales
Definición
La recta x = c es una ası́ntota vertical para la gráfica de la función f si

∞
si x −→ c+ o x −→ c− , ó
f (x) −→
−∞ si x −→ c+ o x −→ c−
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
y
x=c
y
x=c
y = f (x)
y = f (x)
c
x
c
x
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ası́ntotas verticales
Definición
La recta x = c es una ası́ntota vertical para la gráfica de la función f si

∞
si x −→ c+ o x −→ c− , ó
f (x) −→
−∞ si x −→ c+ o x −→ c−
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
y
x=c
c
y = f (x)
x
y
x=c
x
c
y = f (x)
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ası́ntotas horizontales
Definición
La recta y = c es una ası́ntota horizontal para la gráfica de la función f si
f (x) −→ c
cuando x −→ ∞
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
o
x −→ −∞
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ası́ntotas horizontales
Definición
La recta y = c es una ası́ntota horizontal para la gráfica de la función f si
f (x) −→ c
cuando x −→ ∞
o
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
y
x −→ −∞
y
y = f (x)
y=c
y=c
y = f (x)
x
x
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ası́ntotas horizontales
Definición
La recta y = c es una ası́ntota horizontal para la gráfica de la función f si
f (x) −→ c
cuando x −→ ∞
o
x −→ −∞
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
y
y
y = f (x)
y=c
y=c
y = f (x)
x
x
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo
y
Trazar la gráfica de
x−1
.
f (x) = 2
x −x−6
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
2
3
4
5
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo
y
Trazar la gráfica de
x−1
.
f (x) = 2
x −x−6
Solución:
Ası́ntotas verticales:
x2 − x − 6
(x − 3)(x + 2)
=
0
=
0
Ası́, x = 3 y x = −2 son las
ası́ntotas.
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
2
3
4
5
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo
y
Trazar la gráfica de
x−1
.
f (x) = 2
x −x−6
Solución:
Ası́ntotas horizontales:
f (x) → 0 cuando x → +∞
f (x) → 0 cuando x → −∞
Luego, y = 0 (el eje x), es
una ası́ntota horizontal.
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
2
3
4
5
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo
y
Trazar la gráfica de
x−1
.
f (x) = 2
x −x−6
Solución:
f (x) → −∞ si x → −2−
f (x) → 0 si x → −∞
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
2
3
4
5
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo
y
Trazar la gráfica de
x−1
.
f (x) = 2
x −x−6
Solución:
f (x) → −∞ si x → −2−
f (x) → 0 si x → −∞
f (x) → +∞ si x → −2+
f (x) → −∞ si x → 3−
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
2
3
4
5
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Ejemplo
y
Trazar la gráfica de
x−1
.
f (x) = 2
x −x−6
Solución:
f (x) → −∞ si x → −2−
f (x) → 0 si x → −∞
f (x) → +∞ si x → −2+
f (x) → −∞ si x → 3−
f (x) → +∞ si x → 3+
f (x) → 0 si x → +∞
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
2
3
4
5
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Ejemplo:
w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamente
proporcional al cubo de z.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Ejemplo:
w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamente
proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcular
w cuando x = 5, v = 4 y z = 2.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Ejemplo:
w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamente
proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcular
w cuando x = 5, v = 4 y z = 2.
Solución:
kxv 2
w=
(k es la cte de proporcionalidad),
z3
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Ejemplo:
w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamente
proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcular
w cuando x = 5, v = 4 y z = 2.
Solución:
kxv 2
w=
(k es la cte de proporcionalidad), sustituyendo los valores dados,
z3
k · 2 · 62
, ası́ k = 3.
8=
33
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Ejemplo:
w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamente
proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcular
w cuando x = 5, v = 4 y z = 2.
Solución:
kxv 2
w=
(k es la cte de proporcionalidad), sustituyendo los valores dados,
z3
k · 2 · 62
3xv 2
, ası́ k = 3. Por tanto, w =
y para x = 5, v = 4 y z = 2,
8=
3
3
z3
tenemos w = 5.
Funciones polinomiales
Propiedades de la división
Ceros de polinomios
Funciones racionales
Variacion
Terminologı́a
Fórmula
general
y es directamente
proporcional a x
y = kx
y es inversamente
proporcional a x
y=
k
x
T
Ejemplo: V = R , Ecuación
P
caracterı́stica de un gas.
V es directamente proporcional a T
cuando P permanece constante.
V es inversamente proporcional a P
cuando T permanece constante.
Recomendaciones para resolver problemas
Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.
Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.
Ejemplo:
w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamente
proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcular
w cuando x = 5, v = 4 y z = 2.
Solución:
kxv 2
w=
(k es la cte de proporcionalidad), sustituyendo los valores dados,
z3
3xv 2
k · 2 · 62
, ası́ k = 3. Por tanto, w =
y para x = 5, v = 4 y z = 2,
8=
3
3
z3
tenemos w = 5.