primera conferencia - Universidad Interamericana de Puerto Rico

primera conferencia - Universidad Interamericana de Puerto Rico

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UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
MAEC 2140: Métodos Cuantitativos
Prof. J.L.Cotto
Conferencia: Conceptos Matemáticos Básicos
A. Definiciones
Las siguientes definiciones las encontraremos asociadas a los modelos matemáticos en la toma de
decisiones:
1) Expresiones Algebraicas: Cuando se combinan números, representados por símbolos,
mediante operaciones de suma (+), resta (-), división (÷), o extracción de raíces (ٕ
la expresión resultante se llama expresión algebraica.
), entonces
Ej: la expresión
5ax3  2bx  3
Consiste de tres términos
5a son el coeficiente de x 3
5
es el coeficiente numérico de
ax
2) Variables: Una característica que asume valores diferentes para entidades diferentes se le
llama variable.
En la expresión
2x  3y  8 , x, y
son variables y
8
es una constante.
3) Una variable dependiente es aquella en que su valor depende de otra en una expresión
matemática. Por ejemplo:
y  5x  6 ; y
es la variable dependiente que depende de los valores que le asignemos a
x.
4) Variable discreta: Es una que solo puede asumir ciertos valores dentro de un intervalo.
Por ejemplo podemos hablar del número de clientes que entra en una tienda en un intervalo de
una hora: 0, 5, 6 2 etc. No decimos que entra 1.5 clientes. Solo números enteros son posibles
dentro del intervalo.
5) Variable continua: La variable continua asume valores continuos sin interrupciones como por
ejemplo el peso de un objeto. Decimos conforme a la precisión del instrumento de medición que
algo pesa 1.2345 onzas o el volumen de algo puede ser 10.9023 mililitros, etc.
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6) Variable Endógena: Es aquella que se utiliza en los modelos matemáticos como la Regresión
Lineal para estimar otra. El modelo de Regresión Lineal sencillo o múltiple se utiliza mucho en
Economía y Mercadeo para estimar la Demanda de un bien o servicio.
En el mundo empresarial las variables endógenas, son aquellas que están bajo el control de la
empresa. Por ejemplo:
▪ El presupuesto
▪ Los gastos operacionales
▪ La eficiencia
▪ Los niveles de inventario
▪ Los salarios
▪ La capacidad de producción
▪ La mano de obra
▪ La tecnología
▪ El ausentismo
7) Variable Exógena: Es aquella que se estima partiendo de la variable Endógena utilizando el
modelo matemático como el de Regresión Lineal (sencillo o múltiple).
En el mundo empresarial, las variables exógenas son aquellas que no están bajo el control
inmediato del empresario. Por ejemplo
▪ La tasa de inflación
▪ El desempleo
▪ Costo de combustible
▪ Ingreso per cápita
▪ El número de competidores
▪ La tasa de interés
▪ La población
▪ Precios del competidor
▪ La demanda
▪ El número de suplidores
8) Ecuación: Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las
dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros, y están
separadas por el signo de igualdad. “=”.
Ejemplos de ecuaciones
x 2  3x  2  0
x2  3
w  7z
9) Ecuación con literales: Son aquellas en las que algunas de las constantes no están
especificadas pero están representadas por letras como a, b, c o d. A las letras e les conocen
como constantes literales.
Un buen ejemplo lo es la ecuación de interés simple
S = P + Prt
• Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la
ecuación es verdadera. Estos valores se conocen como solución de la ecuación y se dice que
satisfacen la ecuación.
• Cuando solo esta implicada una variable, una solución también se conoce como raíz.
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• Al conjunto de todas las soluciones se le llama conjunto solución de la ecuación.
• En ocasiones a una letra que representa que representa una cantidad desconocida en una
ecuación se le llama incógnita (o indeterminada).
Ecuaciones Equivalentes
• Resolver una ecuación puede implicar la realización de operaciones en ella. Existen tres
operaciones que garantizan la equivalencia:
a) Sumar (o restar) el mismo polinomio (o cantidad) a (de) ambos miembros de una ecuación, en
donde el polinomio esta en la misma variable que aparece en la ecuación.
Ej: si -5X = 5-6X 6ntonces el sumar 6X a ambos lados se obtiene la ecuación equivalente
-5X + 6X = 5-6X +6X
b) Multiplicar (dividir) ambos miembros de una ecuación por la misma constante, excepto el cero.
Por ejemplo si 10X = 5, entonces al dividir ambos lados entre 10 se obtiene la ecuación
equivalente
10 X
5

10 10
c) Reemplazar cualquiera de los miembros de una ecuación por una expresión igual (equivalente).
Por ejemplo si X(X+2) = 3, entonces al reemplazar el miembro izquierdo por la expresión
equivalente X2 + 2X se obtiene la ecuación equivalente X2 = 2X = 3
• Operaciones que no pueden producir ecuaciones equivalentes.
a) Multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión que involucre la variable.
b) Dividir ambos miembros de una ecuación por una expresión que involucre la variable.
c) Elevar ambos miembros de una ecuación al mismo exponente.
9) Factoriales: El símbolo r ! o
primeros r enteros positivos :
n!
r ! = 1 x 2 x 3 …. r
o! = 1
n
10) El Operador Sumatoria
X
i1
i
Se lee
r!
factorial. Representa el producto de los
4
Se utiliza cuando la operación de suma ocurre muchas veces.
estadística. El símbolo especial
Ocurre muchas veces en
Σ “sigma” se utiliza para denotar la acción de sumar.
Por ejemplo, suponga que si tiene un conjunto de n valores de alguna variable, la expresión
n
X
i1
i
significa que estos n valores deben sumarse. Asi
i
=
n
X
i1
x1  x2  x3  ...  xn
Reglas del operador sumatoria
1)
2)
n
n
n
i1
i1
i1
n
n
n
i1
i1
 (Xi  yi )   Xi   yi
 (X
i1
3)
i
 yi )   Xi   yi
n
n
i1
i1
 cXi  c Xi
n
4)
 c  nc
i1
Precauciones con el operador sumatoria
n
X
i1
n
2
i
 (  Xi )2
i1
n
n
n
 X Y  ( X )( y )
i1
i
i
i1
i
i1
i
______________________________________________________________________________
5
11) Parámetro: Es una medida de resumen que se calcula para describir una característica de
toda una población.
12) Estadístico: Es una medida de resumen que se calcula para describir una característica a
partir de una sola muestra de la población.
Las características principales de una población (y por ende la muestra) son el Promedio y la
Varianza o Desviación Estándar.
Promedio de la Población
N

X
i1
i
N
Desviación Estándar de la Población
N
 
 (X
i1
i
  )i2
N
Promedio de la Muestra
n
X
X
i1
i
n
Desviación Estándar de la Muestra
n
S
 (X
i1
i
 X )2i
n 1