Práctico 4 - Centro de Matematica

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Cálculo Diferencial e Integral I
Curso 2008
Práctico 4
Ÿ1.
Ÿ2.
Ÿ3.
Mostrar que para todo complejo α, eα 6= 0. Encontrar todos los complejos
α tal que eα = 1.
iθ
−iθ
sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β).
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β).
cos2 (α) + sen2 (α) = 1.
Si a es un número real: cos(ia) = cosh(a), sen(ia) = i senh(a).
Si α es un número complejo se dene Arg(α) como en el curso. A veces se
llama el argumento principal. Se dene en ese caso el Log(α) como el valor
del logaritmo neperiano de α que corresponde al argumento principal, en
otras palabras Log(α) = log(|α|) + i Arg(α). El número complejo Log(α)
se llama el logaritmo principal de α.
(a)
(b)
(c)
(d)
Ÿ5.
iθ
Las funciones seno y coseno se pueden extender al plano complejo. Se
iα
−iα
iα
−iα
dene si α es complejo: cos(α) = e +e
, sen(α) = e −e
. Deducir
2
2i
las siguientes propiedades:
(a)
(b)
(c)
(d)
Ÿ4.
−iθ
, sen(θ) = e −e
(a) Probar que si θ es real entonces: cos(θ) = e +e
2
2i
(b) Probar la fórmula de De Moivre: (cos(θ) + i sen(θ))n = cos(nθ) +
i sen(nθ).
(c) Deducir fórmulas para cos(2θ), sen(2θ), cos(3θ), sen(3θ).
Log(−1) = πi, Log(i) = πi/2
Log(αβ) = Log(α) + Log(β) + 2πin para algún n entero.
Log(α/β) = Log(α) − Log(β) + 2πin para algún n entero, β 6= 0.
eLog(α) = α.
Si α y β son números complejos se dene la potencia principal αβ =
eβ Log(α) .
(a) Calcular 1i , ii y (−1)i .
(b) Probar que γ α γ β = γ α+β .
(c) Notar que la ecuación αγ β γ = (αβ)γ no se cumple si α = β = −1 y
γ = i. Encontar condiciones en α y β necesarias para que la ecuación
de arriba se verique para todo complejo γ .
1