Convolucion discreta Convolucion discreta

Transcripción

Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Procesamiento Digital de Señales
Licenciatura en Bioinformática
FI-UNER
Convolucion
Convolucion discreta
discreta
Setiembre de 2010
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
1 / 42
Autocorrelación
Organización
1
Convolución
2
Deconvolución
3
Autocorrelación
Septiembre de 2010
2 / 42
1
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
Definición
Definición
x[n]: entrada al sistema.
h[n]: respuesta al impulso del sistema.
y[n]: salida del sistema a la entrada x[n].
x[n]
y[n]
h[n]
Sistema LTI
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
3 / 42
Autocorrelación
Convolucion
Propiedades
Propiedadesde
desistemas
sistemasLTI
LTI
Definición
Definición
x1[n]
x2[n]
a.x1[n] + b.x2[n]
→ y1[n]
→ y2[n]
→ a.y1[n] + b.y2[n]
x[n]→
x[n-k]
Linealidad
y[n]
→
y[n-k]
Invariancia temporal
Septiembre de 2010
4 / 42
2
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
Sumatoria
Sumatoriade
deimpulsos
impulsos
Definición
Definición
x[n]
n
∞
x[n] = ∑ x[k ].δ[n − k ]
k = −∞
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
5 / 42
Autocorrelación
Convolucion
Definición
Definición
N −1
y (n) = ∑ x( k )h[(n − k )]
k =0
Septiembre de 2010
6 / 42
3
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
Propiedades
Propiedades
•
Conmutativa
si existe x ∗ y → x ∗ y = y ∗ x
•
Asociativa
si existe (x ∗ y) ∗ z
•
→
Distributiva
si existen x ∗ y y x ∗ z
•
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
→
x ∗(y+z) = x ∗ y + x ∗ z
Conmutativa con respecto al producto por un escalar
si existe x ∗ y → a.(x ∗ y) = (a.x) ∗ y = (a.y) ∗ x
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
7 / 42
Autocorrelación
Convolucion
Cálculo
Cálculo
Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n]
Entrada: x[n] = [1, 2, 2]
x[n]
2
h[n]
2
2
1
1
0,5
n
n
Septiembre de 2010
8 / 42
4
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
Cálculo
Cálculo
• Multiplicación término a término
• Sumatoria de convolución
• Matricialmente
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
9 / 42
Autocorrelación
Convolucion
Multiplicación
Multiplicacióntérmino
términoaatérmino
término
Cálculo
Cálculo
x[n]
x [0].δ[n]
h[n]
h0[n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0]
h1[n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0]
x [1].δ[n-1]
h2[n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1]
x[2].δ[n-2]
y[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]
y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1]
Septiembre de 2010
10 / 42
5
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
x[-n]
h[n]
Cálculo
Cálculo
Sumatoria
Sumatoriade
deconvolución
convolución
x[1-n]
y[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0
y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0
x[2-n]
y[0] = x[-n] . h[n] = 2
y[1] = x[1-n] . h[n] = 5
y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5
x[3-n]
y[3] = x[3-n] . h[n] = 3
y[4] = x[4-n] . h[n] = 1
y[5] = x[5-n] . h[n] = 0
x[4-n]
y[6] = x[6-n] . h[n] = 0
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
11 / 42
Autocorrelación
Convolucion
Matricial
Matricial
Cálculo
Cálculo
y[0] = h[0].x[0]
y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1]
y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2]
y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]
...
 y(0) h(0) 0 0 0 .. x(0)
 y(1)  h(1) h(0) 0 0 .. x(1) 

=
• 
 y(2) h(2) h(1) h(0) 0 ..  x(2)

 
  
......  .................................  .......
y = H.x
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12 / 42
6
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
Convolucion
Convolucioncircular
circular
Convolución
x(t) ∗ y(t)
TF
→ X(f) . Y(f)
x[n] ∗ y [n]
TDF
→
x X [k] . Y[k]
Deconvolución
Septiembre de 2010
13 / 42
Autocorrelación
Convolucion
Convolucion
Convolucioncircular
circular
h[n]
xp[-n]
n
n
y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5
xp[1-n]
y[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3
n
xp[2-n]
y[0] = xp[-n] . h[n] = 3
y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5
y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5
n
xp[3-n]
y[3] = xp[3-n] . h[n] = 3
y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3
y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5
n
y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5
Septiembre de 2010
14 / 42
7
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Convolucion
Convolucion
Convolucionlineal
linealvía
víaTDF
TDF
Convolucion
Convolucioncircular
circular
x1[n]
→
N muestras
x2[n]
→
N muestras
x1m[n]
→
N+(N-1) ceros
x2m[n]
→
N+(N-1) ceros
x1[n] → x1m[n] → X1m[k]
→ X1m[k].X2m[k] → x1m[n]
x2m[n] → x1[n] ∗ x2[n]
x2[n] → x2m[n] → X2m[k]
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
15 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
Definición
Definición
Identificación
x [n]
Control
x [n] ?
h [n] ?
y [n]
Problema inverso
y [n]
h [n]
Septiembre de 2010
16 / 42
8
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Deconvolucion
Definición
Definición
x [n]
y[n] = x[n] ∗ h[n]
h [n]
Convolución
x[n] = y[n] ∗ h-1[n]
h-1
Deconvolución
[n]
Septiembre de 2010
17 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
Cálculo
Cálculo
• Matricialmente
• División término a término
• Vía Transformada Discreta de Fourier
Septiembre de 2010
18 / 42
9
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Deconvolucion
Matricial
Matricial
Cálculo
Cálculo
Identificación:
y[n] = X[n].h [n] → h [n] = X [n] -1..y[n]
Control:
y[n] = H[n].x[n] → x[n] = H[n] -1.y[n]
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
19 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
División
Divisióntérmino
términoaatérmino
término
Cálculo
Cálculo
y[n]
Derecha a izquierda:
2 5 6.5 3 1
y[n]
2 5 6.5 3 1
h[n]
2 1 0.5
h[n]
2 1 0.5
Izquierda a derecha:
Septiembre de 2010
20 / 42
10
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Deconvolucion
Vía
VíaTDF
TDF
Cálculo
Cálculo
x[n] N muestras
⇒
X[k] N muestras
h[n] M muestras
⇒
H[k] M muestras
y[n] N+M-1muestras
⇒
Y[k] N+M-1 muestras
Convolucion circular
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
21 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
Vía
VíaTDF
TDF
Cálculo
Cálculo
Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h-1[n]
Paso 2: modificar h-1[n] agregando N-1 ceros
Paso 3: calcular H-1[k]
Paso 4: multiplicar Y[k] con H-1[k]
Paso 5: antitransformar con TDFI
Septiembre de 2010
22 / 42
11
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Deconvolucion
Efectos
Efectosdel
delruido
ruido
y [n]
x [n]
h [n]
y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n]
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
23 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
Efectos
Efectosdel
delruido
ruido
x[n]
h[n]
y[n]
Septiembre de 2010
24 / 42
12
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Deconvolucion
Efectos
Efectosdel
delruido
ruido
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
25 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
Ruido
Ruidoen
enlalaentrada
entrada
Efectos
Efectosdel
delruido
ruido
r[n]
x[n]
h[n]
y[n]
h[n] -1
xd[n]
Septiembre de 2010
26 / 42
13
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Deconvolucion
Ruido
Ruidoen
enlalasalida
salida
Efectos
Efectosdel
delruido
ruido
r[n]= sin(2.π.1.T)
r[n]= sin(2.π.5.T)
r[n]= sin(2.π.10.T)
r[n]
x[n]
Convolución
y[n]
h[n]
Deconvolución
xd[n]
h[n] -1
Septiembre de 2010
27 / 42
Autocorrelación
Deconvolucion
Ruido
Ruidoen
enlalasalida
salida
Efectos
Efectosdel
delruido
ruido
Septiembre de 2010
28 / 42
14
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Definición
Definición
Electroencefalograma
Electromiograma
Potenciales evocados
auditivos
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
29 / 42
Autocorrelación
Autocorrelación
Definición
Definición
t1
t2
X1[n]
X2[n]
Proceso aleatorio
XM[n]
γ xx (τ) = E[ X( t1)X( t 2 )] , τ = t2 - t1
Septiembre de 2010
30 / 42
15
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Definición
Definición
Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico
∞
∞
∫
R xx ( τ) =
x( t )∗ x( t + τ)dt
∫ x(t)
R xy ( τ ) =
∞
∑
∞
x[n]∗ .x [n + k ]
n = −∞
Función de correlación cruzada
Función de autocorrelación
∑ x [n ]∗ .y [n + k ]
r xy ( k ) =
n = −∞
Convolución
y ( t + τ )dt
−∞
−∞
rxx (k ) =
∗
Deconvolución
Septiembre de 2010
31 / 42
Autocorrelación
Autocorrelación
Interpretación
Interpretación
Espacio de señales + Producto interno
∞
rxx (k ) =
∑ x[n]x[n + k ]
, para -∞ ≤ k ≤ ∞
n = −∞
rxx (k ) =
1 N−m −1
∑ x[n]x[n + k ], para 0 ≤ k ≤ N-1
N
n=0
Septiembre de 2010
32 / 42
16
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Propiedades
Propiedades
• x[n], y[n] son reales ⇒ rxx(k), ryy(k), rxy(k) son reales.
• rxy(k) = ryx(-k)
• rxx(k) = rxx(-k)
• si x[n] = x[n+T], T ∈ N ⇒ rxx(k) = rxx(k+T)
• |rxx(k)| ≤ rxx(0)
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
33 / 42
Autocorrelación
Autocorrelación
Medición
Mediciónde
detiempos
tiempos
Aplicaciones
Aplicaciones
Septiembre de 2010
34 / 42
17
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Detección
Detecciónde
deseñales
señales
Aplicaciones
Aplicaciones
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
35 / 42
Autocorrelación
Autocorrelación
Aplicaciones
Aplicaciones
Septiembre de 2010
36 / 42
18
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Detección
Detecciónde
deseñales
señales
Aplicaciones
Aplicaciones
Artefacto del estímulo
SEMG voluntario
Onda M
3
2
. 5
Amplitud (mV)
2
1
0
. 5
0
- 0
. 5
- 1
0
0
. 0
2
0
. 0
4
0
. 0
T
Convolución
6
i e
0
m
p
o
. 0
( s e g
8
1
Deconvolución
1
. 2
1
. 4
)
Septiembre de 2010
37 / 42
Autocorrelación
Autocorrelación
Extracción
Extracciónde
deseñales
señales
Aplicaciones
Aplicaciones
Septiembre de 2010
38 / 42
19
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Estimación
Estimaciónespectral
espectral
Aplicaciones
Aplicaciones
Teorema de Wiener – Khintchine
To
Pxx ( f ) =
∫
1
R xx ( τ).e − j2πft .dτ =
2To
−To
N−1
∑ rxx [m].e
Pxx ( f ) =
Convolución
∫ x(t).e
− j2 πft
.dτ
−To
Método de Bartlett
− j2 πmf
Método de Welch
m= −(N−1)
2
To
Método de Blackman - Tukey
Deconvolución
Septiembre de 2010
39 / 42
Autocorrelación
Autocorrelación
Correlación
Correlación--Convolucion
Convolucion
∞
rxy (k ) =
∑ x[n].y[n + k ]
Correlación cruzada de y[n] y x[n].
n= −∞
∞
conv xy [n] =
∑ x[k ].y[n − k ]
Convolución lineal de y[n] y x[n].
k = −∞
Septiembre de 2010
40 / 42
20
Convolución
Deconvolución
Autocorrelación
Autocorrelación
Correlación
Correlación--Convolucion
Convolucion
Convolución
Correlación
Paso 1: reflejar una de las secuencias.
Paso 1: desplazamiento de una secuencia.
Paso 2: desplazamiento de una secuencia.
Paso 2: producto de las secuencias.
Paso 3: producto de las secuencias.
Paso 3: suma de la secuencia producto.
Paso 4: suma de la secuencia producto.
rxy(k) = x(k)∗y(-k)
Convolución
Deconvolución
Septiembre de 2010
41 / 42
Autocorrelación
Fin
Finde
delalaclase
clase
Septiembre de 2010
42 / 42
21

Convolucion discreta Convolucion discreta

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