Análisis y selección de modelos estadísticos para el ajuste

Transcripción

Análisis y selección de modelos estadísticos para el ajuste de la
ley de frecuencia de caudales máximos anuales en España
Review and selection of stadistical models to fit maximum annual
peak flows distribution function in Spain
Antonio Jiménez Álvarez1*, Luis Mediero Orduña2 y Celia García Montañés1
Palabras clave
Sumario
seguridad hidrológica de
presas;
caudales de diseño;
análisis de frecuencia de
caudales máximos;
funciones de distribución;
Regionalización;
homogeneidad;
L-momentos;
modelos estadísticos;
La adopción de nuevos estándares de seguridad hidrológica para las presas puede requerir la revisión
y adaptación de los órganos de desagüe de las presas existentes, lo que conllevaría realizar un gran número
de estudios que deberían realizarse en base a criterios y metodologías claros y homogéneos. El CEDEX viene trabajando en los últimos años para la Dirección General del Agua (DGA) con el objeto de llevar a cabo
el contraste y desarrollo de metodologías que permitan proporcionar recomendaciones para el cálculo de las
avenidas de proyecto y extrema empleadas en el cálculo de la seguridad hidrológica de las presas. En esta colección de tres artículos se presentan algunos de los principales resultados obtenidos en el mencionado trabajo. El presente artículo, primero de la serie, aborda el tema del cálculo de las leyes de frecuencia de caudales
máximos y su extrapolación a altos periodos de retorno. Esta cuestión es de gran relevancia, ya que la adopción de estándares de seguridad hidrológica para las presas cada vez más exigentes, implica la utilización de
periodos de retorno de diseño muy elevados cuya estimación conlleva una gran incertidumbre. Es importante, en consecuencia, que se incorporen al cálculo de los caudales de diseño todas la técnicas actualmente disponibles para reducir dicha incertidumbre, consistentes esencialmente en introducir información adicional
en el modelo estadístico que complemente la información registrada en la estación objeto de estudio (técnicas de regionalización, información histórica, etc.). Asimismo, es importante hacer una buena selección del
modelo estadístico (función de distribución y procedimiento de ajuste) de tal forma que se garantice tanto su
capacidad para describir el comportamiento de la muestra, como para predecir de manera robusta los cuantiles de alto periodo de retorno. Se han llevado a cabo trabajos para facilitar la aplicación práctica de las metodologías anteriores. En concreto, se han realizado estudios a escala nacional con el objetivo de determinar
el esquema de regionalización que ofrece mejores resultados para las características hidrológicas de las cuencas españolas, respecto a los caudales máximos anuales, teniendo en cuenta el número de datos disponibles
en la estación. La metodología utilizada parte de la identificación de regiones homogéneas, cuyos límites se
han determinado teniendo en cuenta las características fisiográficas y climáticas de las cuencas, y la variabilidad de sus estadísticos, comprobando posteriormente su homogeneidad. A continuación, se ha seleccionado
el modelo estadístico de caudales máximos anuales con un mejor comportamiento en las distintas zonas de la
España peninsular, tanto para describir los datos de la muestra como para extrapolar a los periodos de retorno
más altos. El proceso de selección se ha basado, entre otras cosas, en la generación sintética de series de datos
mediante simulaciones de Monte Carlo, y el análisis estadístico del conjunto de resultados obtenido a partir
del ajuste de funciones de distribución a estas series bajo distintas hipótesis. Finalmente, se ha explorado, en
base a la información generada en los estudios anteriores, la posibilidad de establecer un procedimiento de
cálculo simplificado para los caudales de alto periodo de retorno (1.000, 5.000 y 10.000 años) consistente en
la multiplicación del caudal de 100 años por un determinado factor.
Keywords
Abstract
dam hydrologic security;
design peak flows;
peak flows frequency
analysis;
distribution functions;
regionalization;
homogeneity;
L-moments;
statistical models.
New standards adoption on dam hydrologic security may involve review and accommodation of outflow
structures for existing dams which requires the development of a great number of studies that should be based
on precise and homogeneous criteria and methodology. CEDEX has been working for DGA for the last few years
with the aim of compare and develop a methodology in order to provide guidelines for project and extreme flow
estimation for dam hydrologic security.
The main results obtained are presented on a collection of three papers. This first paper is focused on the adjustment of maximum peak flows distribution functions from which to extrapolate values for high return periods.
This has become a major issue as the adoption of stricter standards on dam hydrologic security involves estimation of high design return periods which entails great uncertainty. Accordingly, it is important to incorporate all
available techniques for the estimation of design peak flows in order to reduce this uncertainty. In essence, they
incorporate additional information to the statistical model which complements studied station registered data
(regionalization techniques, historic information, etc.). Selection of the statistical model (distribution function
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Análisis y selección de modelos estadísticos...
and adjustment method) is also important since its ability to describe the sample and to make solid predictions
for high return periods quantiles must be guaranteed. In order to provide practical application of previous methodologies, studies have been developed on a national scale with the aim of determining a regionalization scheme
which features best results in terms of annual maximum peak flows for hydrologic characteristics of Spanish basins taking into account the length of available data. Applied methodology starts with the delimitation of regions
taking into account basin’s physiographic and climatic properties and their statistical variability and continues
with their homogeneity testing. Then, a statistical model for maximum annual peak flows is selected with the best
behaviour for the different regions in peninsular Spain in terms of describing sample data and making solid predictions for high return periods. This selection has been based, among others, on synthetic data series generation
using Monte Carlo simulations and statistical analysis of results from distribution functions adjustment following
different hypothesis. Finally, and based on generated information from previous studies, the possibility to establish a simplified methodology to estimate high return period quantiles (1.000, 5.000 and 10.000 years) by the multiplication of the 100 years return period peak flow with a specific factor has been studied.
1. INTRODUCCIÓN
Las especiales características hidrológicas de los ríos españoles, con una gran irregularidad en la distribución del
recurso hídrico en el espacio y en el tiempo, ha propiciado la construcción de un gran número de presas durante el
último siglo, la mayoría de ellas entre los años cincuenta y
ochenta. De esta manera, España cuenta actualmente con
más de 1.300 grandes presas, siendo el primer país de Europa y el cuarto del mundo con más obras de este tipo. Es
claro, por lo tanto, que garantizar la seguridad de este tipo
de infraestructura tiene una importancia capital en nuestro país.
Desde el año 1967, la Reglamentación básica en materia
de presas en España la constituye la conocida Instrucción
para el Proyecto, Construcción y Explotación de Grandes
Presas (Orden del MOP de 31 de marzo de 1967, BOE nº
257 de 27 de octubre), la cual lleva cuarenta y cinco años en
vigor, y que ha proporcionado los criterios básicos de seguridad de las presas durante el periodo de construcción de
muchas de las presas existentes en el país. Esta Instrucción
se encuentra hoy en día anticuada en algunos de sus contenidos y planteamientos. Posteriormente, como consecuencia de la rotura de la presa de Tous en el año 1982, se puso
en marcha un Programa de Seguridad de Presas, dentro
del cual se desarrollaron distintas iniciativas encaminadas
a mejorar la seguridad de las presas, como la implantación
de los Sistemas Automáticos de Información Hidrológica
(SAIH), o la aprobación en el año 1996 de una nueva normativa de presas, el Reglamento Técnico sobre Seguridad
de Presas y Embalses (Orden del MOPTMA de 12 de marzo de 1996, BOE nº 78 de 30 de marzo), basada en planteamientos más modernos. Esta normativa, de aplicación
únicamente a las presas de titularidad estatal y a las presas objeto de nueva concesión administrativa y que, por
tanto, no derogó la Instrucción del año 1967, recogió en
su articulado las disposiciones establecidas el año anterior
en la Directriz Básica de Planificación de Protección Civil
ante el Riesgo de Inundaciones (Acuerdo del Consejo de
Corresponding author: [email protected]
Centros de Estudios Hidrográficos del Centro de Estudios y Experimentación
de Obras Públicas (CEDEX), Madrid, España.
2
Personal de Investigación del Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX durante el desarrollo de este trabajo. Actualmente en el Departamento de Ingeniería Civil: Hidráulica y Energética, Universidad Politécnica de Madrid, España.
*
1
Ministros de 9 de diciembre de 1994, BOE nº 38 de 14 de
febrero de 1995), respecto a la clasificación de las presas en
función de su riesgo potencial y a la obligatoriedad de contar con un Plan de Emergencia en el caso de las presas clasificadas como A o B.
Recientemente, se ha dado un paso más en la normativa
sobre seguridad de presas al incluir en la modificación del
Reglamento del Dominio Público Hidráulico (RD 9/2008 de
11 de enero, BOE nº 14 de 16 de enero) un nuevo título (Título VII. De la seguridad de presas, embalses y balsas) que
se incluye, tal como se indica en la exposición de motivos
del Real Decreto, con el objetivo de “mejorar e incrementar
el control de la seguridad de las presas y embalses” dada “la
creciente sensibilidad social y ambiental frente a este problema”, y debido al “progresivo envejecimiento técnico y estructural de nuestras grandes presas”. Asimismo, tiene como
objetivo la regulación de la seguridad de las balsas de agua,
que “tradicionalmente han quedado excluidas del ámbito
de la seguridad de presas”. Por otra parte, la nueva normativa pretende resolver los problemas derivados de la coexistencia de la Instrucción de 1967 y del Reglamento Técnico
de 1996, estableciendo la obligatoriedad de desarrollar tres
Normas Técnicas de Seguridad de Presas y Embalses, que
deben aprobarse mediante Real Decreto, y que establecerán
las condiciones mínimas de seguridad que deben cumplir
las presas en las distintas fases de su vida útil.
Las disposiciones incluidas en la modificación del Reglamento del Dominio Público Hidráulico, y las que figuren
en las Normas Técnicas de Seguridad de Presas y Embalses
cuando éstas sean aprobadas, centrarán la actividad en relación a la seguridad de presas en un futuro inmediato, planteando previsiblemente su aplicación importantes retos,
principalmente en lo referente a la aplicación de los nuevos
criterios de seguridad al amplísimo número de balsas de agua
y de grandes presas ya existentes en el país.
En relación con las grandes presas, tendrán una especial relevancia las cuestiones relativas a la seguridad hidrológica y los criterios que se adopten para la convalidación
o adaptación en su caso de la capacidad de desagüe de las
presas existentes. La adopción de nuevos estándares de
seguridad hidrológica, como respuesta a la creciente demanda de seguridad por parte de la sociedad, requerirá la
revisión y adaptación de los órganos de desagüe del parque
de presas existente, lo que puede suponer en muchos casos,
la realización de un gran número de estudios y actuaciones
complejas y de coste muy elevado. Parece aconsejable que
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un proceso tan complejo y ambicioso esté basado en criterios y metodologías claros que permitan llevar a cabo el
trabajo de forma homogénea en todo el país, lo que podría
requerir la redacción de guías técnicas, sobre aquellos aspectos técnicos más complejos y controvertidos, que faciliten su aplicación.
De esta forma, el CEDEX viene trabajando en los últimos años para la Dirección General del Agua (DGA) en el
marco de distintos convenios de colaboración y encomiendas de gestión, con el objeto de llevar a cabo el contraste y
desarrollo de metodologías que permitan proporcionar recomendaciones para el cálculo de las avenidas de proyecto
y extrema, y que puedan servir de base para garantizar una
cierta homogeneidad en las metodologías empleadas en los
diferentes estudios sobre seguridad hidrológica de presas.
El trabajo realizado se ha centrado en tres aspectos principales que son quizá los que muestran una mayor dificultad
a la hora de abordar los estudios hidrológicos para el cálculo de la avenida de diseño de presas, aunque se ha abordado
también el estudio de otras cuestiones adicionales:
utilizar avenidas de muy alto periodo de retorno para minimizar ese riesgo. En general, en la mayoría de los países se suelen exigir periodos de retorno entre los 1.000
y 10.000 años para las presas de mayor riesgo potencial,
dependiendo del nivel de riesgo, tamaños, tipología, etc.
(ICOLD, 1988; ICOLD, 1992a; ICOLD, 1992b). Incluso en
varios países se exige diseñar para los casos de mayor riesgo o mayor vulnerabilidad de la presa (por ejemplo, presas de materiales sueltos) para la avenida máxima probable
(PMF) o alguna definición similar de la avenida máxima
esperable (USACE, 1979; USACE, 1991; USACE, 1997;
ANCOLD, 2000a; DEFRA, 2002). En España se ha propuesto en los últimos años el empleo de avenidas de 1.000,
5.000 o 10.000 años de periodo de retorno para las presas
de mayor riesgo potencial (CNEGP, 1997), similares a los
utilizados en la mayoría de los países.
Aunque los periodos de retorno habitualmente empleados puedan parecer elevados y que, por tanto, implicarían probabilidades de fallo insignificantes, hay que tener
en cuenta que las probabilidades por las que se definen las
avenidas son anuales y que dada la gran vida útil de las presas, la probabilidad de fallo a lo largo de toda su vida útil
no es tan baja como parecería a primera vista. El riesgo de
fallo de la presa vendría dado por la siguiente expresión:
• Extrapolación de las leyes de frecuencia de caudales
máximos a altos periodos de retorno.
• Definición del hidrograma incorporando información sobre volúmenes de avenida junto a la de
caudales.
• Cálculo de las avenidas estacionales.
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
𝑇𝑇𝑇𝑇 [1]
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∅
𝑅𝑅𝑅𝑅1𝑛𝑛𝑛𝑛=
1𝑖𝑖𝑖𝑖probabilidad
− �1 − � de fallo de la presa durante
Como resultado del trabajo, a finales del año 2009 se
Siendo
𝑖𝑖𝑖𝑖la
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
= �1 −
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅∅=
1−
�
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
avanzaron a la Dirección General del Agua una serie de resu𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
vida útil,
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛el𝑖𝑖𝑖𝑖 periodo de retorno de la avenida de dise𝑖𝑖𝑖𝑖=1
comendaciones metodológicas para la realización de los esño y 𝑁𝑁𝑁𝑁 la vida útil de
la presa en años. Por tanto, si consi∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖
1 ∑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1 ∅𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
∅ejemplo,
𝑖𝑖𝑖𝑖 =
tudios hidrológicos sobre las avenidas de proyecto𝑅𝑅𝑅𝑅
y extrema
deramos,
por
un periodo de retorno de diseño de
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
= 1 − �1 −
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 �= 4−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁4
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1y 𝑛𝑛𝑛𝑛una
de presas, en base a los análisis y estudios realizados (CE1.000
vida útil de 200 años, el riesgo total de fa𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑍𝑍𝑍𝑍𝑇𝑇𝑇𝑇= años
DEX, 2009), aunque posteriormente se ha seguido trabajanllo sería 𝜎𝜎𝜎𝜎
de𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅casi un𝑅𝑅𝑅𝑅20%. Un riesgo bastante considerable.
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑍𝑍𝑍𝑍𝑇𝑇𝑇𝑇 las
No obstante,
hipótesis
utilizadas en el diseño hidrológido en el desarrollo de determinados aspectos puntuales.
4
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
=
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
4
𝑖𝑖𝑖𝑖 de𝑖𝑖𝑖𝑖las presas suelen ser conservadoras, por lo que existiAlgunos de los principales resultados obtenidos,
así 𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑍𝑍𝑍𝑍co=
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅− 0.44
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖factores
como algunas de las recomendaciones derivadas de los ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1rán
) = 𝑡𝑡𝑡𝑡 4 que contribuirán a aumentar la seguridad de la
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑛𝑛𝑛𝑛 +no
0.12
presa y que
estarían considerados en el cálculo anterior.
mismos, se exponen en una colección de tres artículos. En
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44de avenidas de muy alto perioPor tanto, la utilización
el presente artículo, primero de la serie, se presentan algu-𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
presas
de
nos de los trabajos desarrollados en relación al cálculo de
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜en
)𝑖𝑖𝑖𝑖 −
(𝑄𝑄𝑄𝑄
) 1=retorno
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
+ )0.12
𝐷𝐷𝐷𝐷do
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑖𝑖𝑖𝑖 de
𝑡𝑡𝑡𝑡 elevado riesgo potencial es una
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑟𝑟𝑟𝑟 = �
4 necesidad,
aunque
crea
importantes
problemas a la hora de
las leyes de frecuencia de caudales máximos y su𝑍𝑍𝑍𝑍extrapo𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖
=
1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
Como
se
ha dicho, el criterio
lación a altos periodos de retorno. Esta cuestión es de gran 𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑅𝑅 llevar 𝑛𝑛𝑛𝑛a cabo su1estimación.
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 1 (𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑟𝑟𝑟𝑟 =
)𝑖𝑖𝑖𝑖 −�
(𝑄𝑄𝑄𝑄
más habitual
definir
relevancia, ya que la adopción de estándares de seguridad
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 para
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡 la avenida de proyecto de presas
𝑛𝑛𝑛𝑛2
(𝑄𝑄𝑄𝑄 )𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
� 1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)+𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
es
hacerla
corresponder
con𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜una
determinada probabilihidrológica para las presas cada vez más exigentes, implica
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
1=1
dad o periodo de retorno que garantice un riesgo de fallo a
la utilización de periodos de retorno de diseño muy eleva2
largo�de
la
vida útil de la presa
suficientemente pequeño
dos (hasta 5.000 ó 10.000 años) cuya estimación conlleva 𝑖𝑖𝑖𝑖 − lo
0.44
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
�
+
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
(aunque
en
ocasiones
se
basa
en
conceptos deterministas
una gran incertidumbre.
𝐹𝐹𝐹𝐹 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛 + como
0.12la PMF
o fracciones de la misma).
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖el cálculo de la avenida de proyecComo
consecuencia,
2. ESTIMACIÓN DE LEYES DE FRECUENCIA DE �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 estudio estadístico, realizado bien
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 deberá
to
CAUDALES MÁXIMOS Y SU EXTRAPOLACIÓN A 𝑛𝑛𝑛𝑛
1 basarse en𝑄𝑄𝑄𝑄un
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑄𝑄𝑄𝑄
directamente
sobre
los caudales bien sobre las precipitacioALTOS PERIODOS DE RETORNO. PLANTEAMIENTO
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
)𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁−�
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
nes si se𝑁𝑁𝑁𝑁emplea un
modelo
hidrometeorológico. En ambos
DEL PROBLEMA
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖caudal debe tener la mayor precicasos, la 𝑁𝑁𝑁𝑁estimación
del
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀de
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅el
1
�con
sión 𝑁𝑁𝑁𝑁
posible,
objeto
Las presas son muy probablemente la infraestructura
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 evitar tanto un gasto excesivo,
�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 de sobredimensionamiento,
en caso
como un riesgo elevahidráulica de mayor responsabilidad y cuyo fallo puede
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
do, en2caso
contrario.
causar mayores daños. Es clara, por tanto, la importancia
1
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1� 𝑁𝑁𝑁𝑁+�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢observados
=𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀
1 +
2
Si se dispone
de
datos
en una estación de afode un buen diseño de las mismas, así como la definición𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖de
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝛼𝛼𝛼𝛼 1 𝑁𝑁𝑁𝑁− 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 � 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇 = =�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
�𝑟𝑟𝑟𝑟
1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
ros, el 1=1
caudal de avenida
para un determinado periodo de
criterios de diseño exigentes que impliquen un riesgo de
retorno se estimará mediante
fallo muy pequeño.
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1el ajuste
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2de una ley de frecuen𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2 𝛼𝛼𝛼𝛼 1
𝛼𝛼𝛼𝛼muy
2 � frecuente, tanto en
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀cia
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
=
𝑜𝑜𝑜𝑜No
𝑐𝑐𝑐𝑐�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑎𝑎𝑎𝑎
a
dichos
datos.
obstante,
es
Dentro de las posibles causas de fallo de las presas,
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )=
−10
1 1)
2 =
−1 (𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑟𝑟𝑟𝑟 2𝛼𝛼𝛼𝛼)21 �
�𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼(𝜆𝜆𝜆𝜆
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
aquellas de origen hidrológico figuran entre las más im- 𝑄𝑄𝑄𝑄 la práctica profesional española como en la de muchos otros
países, obtener los cuantiles
de
caudal
máximo mediante
portantes (CNEGP, 2005). De esta forma, es muy habitual
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑁𝑁𝑁𝑁
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𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 −
(𝜆𝜆𝜆𝜆0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
2𝑐𝑐𝑐𝑐
1 )2 𝑜𝑜𝑜𝑜= −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆
1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢22)2= (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
1
∝
= (𝜆𝜆𝜆𝜆 )
2 2= (𝜆𝜆𝜆𝜆11)22−𝑙𝑙𝑙𝑙0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
2
𝑛𝑛𝑛𝑛2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑢𝑢𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑡𝑡𝑡𝑡2∝)2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2
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modelos hidrológicos que permiten calcular la respuesta de
la cuenca ante una determinada lluvia sintética, asignando al
resultado obtenido el mismo período de retorno que el correspondiente a la precipitación empleada en los cálculos.
Este procedimiento adolece de ciertas limitaciones ya que el
cálculo se realiza partiendo de determinadas hipótesis simplificadoras en cuanto a la distribución espacial y temporal
de la precipitación que sólo son representativas de la realidad en determinadas situaciones, generalmente en cuencas
de tamaño más bien reducido. De esta forma, los parámetros
de cálculo de los modelos deben calibrarse de tal manera que
los resultados proporcionados por los mismos sean representativos de la realidad. Se hace necesario entonces comprobar
la coincidencia entre el modelo y la realidad a nivel estadístico, de tal forma que los cuantiles proporcionados por el modelo coincidan con los derivados del análisis estadístico de
los caudales registrados en las estaciones de aforos. En consecuencia, incluso en los casos en que los cálculos se aborden mediante métodos hidrometeorológicos, es conveniente
contar con estudios estadísticos de los caudales máximos registrados en determinadas estaciones de aforos de referencia
que sirvan de base para la calibración de los modelos.
Aunque las técnicas estadísticas para el análisis de
máximos están suficientemente desarrolladas hoy en día,
el cálculo preciso de los cuantiles correspondientes a periodos de retorno muy elevados no es una tarea sencilla.
Las técnicas de inferencia estadística se basan en el análisis de muestras de datos del fenómeno aleatorio en estudio (en este caso los caudales máximos), intentando, a
partir del conocimiento de esa muestra, definir un modelo
que permita realizar predicciones. La mayor o menor validez del modelo dependerá de la información que haya sido
capaz de suministrar la muestra. Es claro que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra mayor será la cantidad de
información disponible sobre el comportamiento estadístico del fenómeno, y también lo es que en muestras de reducido tamaño la información relativa al comportamiento
del fenómeno en los rangos de las pequeñas probabilidades
de ocurrencia será casi inexistente.
La técnica más habitual para el estudio de los máximos
se basa en el empleo de las series de máximos anuales. Si tenemos en cuenta que sólo en raras ocasiones se dispone en
las estaciones de más de 40 – 50 años de datos y que sólo es
posible estimar con precisión periodos de retorno iguales a
unas pocas veces la longitud de la muestra, se ve claramente que, en general, se está muy lejos de poder realizar estimaciones fiables de los cuantiles de los periodos de retorno
exigidos para el diseño de las presas.
Los cuantiles estimados mediante un modelo estadístico siempre están sometidos a un determinado nivel de
incertidumbre. Una forma muy habitual de cuantificar esa
incertidumbre es mediante los denominados intervalos de
confianza, que proporcionan un determinado intervalo de
variación para cada cuantil correspondiente a un determinado nivel de confianza (β), de tal manera que la probabilidad de que el valor exacto del cuantil esté dentro de ese
intervalo es del β%. El tamaño del intervalo aumenta al aumentar el periodo de retorno y el nivel de confianza, y se
reduce al aumentar el tamaño de la muestra.
Se puede concluir, por tanto, y como es lógico, que la
incertidumbre de la estimación está relacionada con la cantidad de información disponible para construir el modelo
estadístico. De esta forma, los métodos para mejorar la estimación de los cuantiles de alto periodo de retorno consisten esencialmente en introducir información adicional en
el ajuste de las funciones de distribución, que complemente
la información sobre máximos anuales registrada en la estación de aforo objeto de estudio.
No obstante, y adicionalmente a la introducción en el
modelo estadístico de toda la información complementaria
de que se disponga, es importante tener en cuenta que lo que
realmente interesa es garantizar la capacidad predictiva del
modelo y no su capacidad descriptiva. Se denomina capacidad descriptiva de un modelo a su capacidad para reproducir las propiedades estadísticas de los datos, es decir, el grado
de ajuste entre el modelo y los datos. Para medir ese grado de
ajuste se han propuesto diversos tests estadísticos de bondad
de ajuste, como el de la Chi-cuadrado o el de Kolmogoroff.
Es una práctica habitual en los estudios de avenidas seleccionar la función de distribución que se empleará en el modelo mediante un test de bondad de ajuste. Esa práctica, sin
embargo, no es correcta puesto que lo que interesa en un estudio de crecidas no es que el modelo sea capaz de describir
la información de la muestra, sino que sea capaz de predecir
con poco error y de forma robusta los cuantiles de alto periodo de retorno, siendo poco sensible a las variaciones aleatorias en las características de la muestra y a las hipótesis del
modelo, es decir, su capacidad predictiva.
La selección de la función de distribución mediante la
aplicación de un test de bondad lleva casi siempre a elegir las funciones con mayor número de parámetros (tres
o cuatro) por ser más flexibles (Ferrer, 1992), aunque estas
funciones (precisamente por ser más flexibles) son poco
robustas y muy sensibles a las variaciones en los datos lo
que repercute evidentemente en la precisión de la extrapolación a altos periodos de retorno.
La selección de la función de distribución más apropiada debe realizarse analizando, tanto la capacidad descriptiva
de la función para el tipo de población de que se trate, como
su robustez y precisión en la extrapolación a altos periodos
de retorno (mediante técnicas de Monte Carlo), eligiendo
la función más adecuada a partir de un compromiso entre
ambas propiedades. Sería conveniente disponer de este tipo
de análisis a escala nacional, tal como existe en otros países
(USWRC, 1981; NERC, 1975; IH, 1999), determinando las
funciones y procedimientos de ajuste más apropiados para
cada zona geográfica, ya que excede de lo habitualmente
abordable en un estudio hidrológico particular.
En este sentido, aunque se dispone en España de algún
estudio para el caso de las precipitaciones máximas (Ferrer
y Ardiles, 1994; Ferrer, 1995; Chacón y González, 2014), en
lo que se refiere a los caudales no existen estudios similares
a nivel nacional, aunque sí se ha realizado alguno a nivel
regional para las cuencas de Levante en el que se recomienda como función de distribución más apropiada la TCEV
(Francés, 1991).
Tradicionalmente, el ajuste de la ley de frecuencia se
realiza a partir de los datos observados en una única estación de aforos. Sin embargo, esta práctica conlleva una
gran incertidumbre, dependiendo principalmente de la
longitud de la serie observada y de las características del
régimen hidrológico de la zona.
Como es sabido, el error en la estimación aumenta
al aumentar el periodo de retorno del cuantil estimado,
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siendo mayor el error cuanto menor es la longitud de la serie temporal disponible. Dicha incertidumbre es especialmente importante en aquellos casos en los que es necesario
emplear funciones de distribución de tres o más parámetros, puesto que en esos casos la forma de la ley de frecuencia viene determinada por el valor de los momentos
estadísticos de tercer o cuarto orden (relacionados con los
coeficientes de sesgo y de curtosis) que deben estimarse a
partir de la muestra. Como puede observarse en las figuras 1 y 2, obtenidas a partir del análisis de unas 1.000 series
temporales de diferentes longitudes generadas mediante simulaciones de Monte Carlo, asumiendo una función
de distribución de Valores Extremos Generalizada (GEV)
de media unidad y unos valores de L-coeficiente de variación (L-CV) y L-coeficiente de sesgo (L-CS) de 0.40 y 0.25
respectivamente (valores típicos en la cuenca del Tajo, seleccionada para elaborar este ejemplo), la incertidumbre
asociada a la estimación de los momentos estadísticos está
relacionada con la longitud de la muestra disponible y, para
una misma longitud de muestra, es mayor cuanto mayor es
el orden del momento a estimar. De esta forma, se requiere
disponer de menos datos para estimar la media o el coeficiente de variación de la población, que para estimar el coeficiente de sesgo o la curtosis.
L-coeﬁciente de variación
Variabilidad del L-CV
Tamaño de la muestra
Figura 1. Media e intervalos de confianza del 67 y 90 % de la estimación del L-coeficiente de variación en función del tamaño de
la muestra.
L-coeﬁciente de sesgo
Variabilidad del L-CS
Tamaño de la muestra
Figura 2. Media e intervalos de confianza del 67 y 90 % de la estimación del L-coeficiente de sesgo en función del tamaño de la
muestra.
Se puede observar que en el caso del L-CV, el intervalo de confianza del 67 % corresponde a 0.37–0.43 para una
muestra de 90 datos, lo que significa un gran precisión y a
0.35–0.43 en el caso de 50 datos. En el caso del L-CS se tienen incertidumbres mayores, para una muestra de 90 años
y un nivel de confianza del 67%, el intervalo es 0.19–0.31 y
0.17–0.31 para una muestra de 50 años. Por otra parte, se
puede observar que el valor medio de todas las simulaciones se encuentra muy cercano al valor real para cualquier
tamaño de muestra.
Las conclusiones extraídas de este ejemplo ilustran el
marco teórico en el que surge el uso de las técnicas estadísticas de regionalización, las cuales tratan de mejorar el
ajuste de las funciones de distribución (fundamentalmente en aquellos casos en que se dispone de series temporales
de escasa longitud) obteniendo una estimación más precisa de los momentos estadísticos de mayor orden al emplear conjuntamente la información existente en todas las
estaciones de aforos de una determinada región con comportamiento estadístico homogéneo. De esta manera, se
compensa la falta de disponibilidad de datos en el tiempo
con la mayor disponibilidad de información en el espacio.
Existen diferentes métodos de regionalización, desarrollados en las últimas décadas. El más extendido es el método del ‘índice de avenida’ (Dalrymple, 1960). Este método
utiliza los valores regionales tanto del coeficiente de variación (CV) como del coeficiente de sesgo (CS), estimando
localmente únicamente la media. En consecuencia, la región se representa mediante el ajuste de una única función
de distribución adimensional, que se reescala en cada estación mediante el valor medio de los caudales observados,
único estadístico estimado a partir de la información local
(Bocchiola et al., 2003; Rosbjerg, 2007; Saf, 2009). Por otra
parte, el método de regionalización del parámetro de forma utiliza únicamente el valor regional del CS, y estima localmente el CV y la media, con lo que no se tiene una única
función de distribución regional (Lettenmaier et al., 1987).
Otros métodos consideran la hipótesis de estación-año,
que consiste en agrupar las observaciones estandarizadas en las estaciones de una región en una sola muestra,
a la que se ajusta una función de distribución adimensional (Rossi et al., 1984); así como análisis no paramétricos,
que permiten evitar las restricciones de utilizar funciones
de distribución teóricas (Adamowski, 2000). Una revisión
más exhaustiva de los métodos de regionalización se puede
encontrar en Cunnane [1988] y GREHYS [1996].
Es importante señalar que los métodos de regionalización son de uso casi generalizado en la práctica profesional
de muchos de los países en el ámbito del diseño hidrológico de presas, predominando aquellos basados en la técnica del índice de avenida. En este sentido, diversos países
han realizado análisis de regionalización para determinar
la distribución de caudales máximos anuales en su territorio, como es el caso de las metodologías expuestas en el Boletín 17B de Estados Unidos (USWRC, 1981) o en el Flood
Studies Report y el Flood Estimation Handbook en el Reino Unido (NERC, 1975; Robson and Reed, 1999). Sería interesante contar también con este tipo de estudios para el
ámbito geográfico español.
Otra posible forma de mejorar la estimación de los cuantiles de alto periodo de retorno introduciendo información
adicional en el ajuste de las funciones de distribución, es
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emplear información sobre grandes avenidas ocurridas en
el pasado mucho antes de que se iniciase la medida sistemática de los caudales y, por tanto, no registrada en las estaciones de aforo. Esta información tiene el inconveniente
de ser incompleta y requerirá de técnicas especiales para
ser introducida en el análisis (USWRC, 1981; Stedinger
and Cohn, 1986; Cohn and Stedinger, 1987), pero tendrá
un gran valor para mejorar la estimación de la cola derecha
de la distribución al aportar datos directos sobre el comportamiento de la población en ese rango de probabilidades. La información se referirá solo a los grandes eventos
que por sus características o magnitud han dejado alguna
huella, bien en la memoria histórica (información documental existente en archivos históricos) bien en la naturaleza (datos de paleocrecidas consistentes en evidencias de
tipo botánico o geológico (Baker, 1987)).
La información documental presenta, en general, antigüedades de unos pocos cientos de años (aunque en determinados casos se conoce información documental de
avenidas ocurridas hace varios miles de años), mientras
que la de origen geológico puede tener una antigüedad
de hasta miles o decenas de miles de años. De esta forma,
un inconveniente de este último tipo de información es
su posible falta de homogeneidad con el comportamiento estadístico actual de los datos ya que, al corresponder
a avenidas ocurridas hace mucho tiempo, las condiciones
climáticas del momento en el que ocurrieron podrían no
ser idénticas a las actuales. Sería muy interesante, por consiguiente, disponer de estudios a escala nacional que permitieran conocer el periodo histórico estadísticamente
homogéneo con el actual, con objeto de determinar cuál
sería la antigüedad máxima razonablemente admisible en
la información histórica a emplear.
Asimismo, la estimación del caudal de las crecidas históricas puede ir acompañada de un cierto error debido a que
las referencias de niveles suelen ser poco precisas y se desconoce la morfología del cauce en el momento que ocurrió la
crecida. No obstante, a pesar de la incertidumbre asociada a
los datos históricos, diversos estudios han demostrado que su
consideración aumenta en gran medida la estimación de los
cuantiles de alto periodo de retorno. En España, gran parte
del registro histórico de avenidas está recopilado por la Comisión Nacional de Protección Civil (CNPC, 2011).
Este tipo de técnicas se utilizan de manera habitual en
la práctica profesional de la hidrología de presas de algunos
países. Por ejemplo, en EE.UU. el USBR [1996; 1997] ha
llevado a cabo estudios en los últimos años incorporando
toda la información disponible sobre referencias históricas
y la información obtenida a partir de un estudio específico de paleocrecidas, para revisar la seguridad hidrológica
de algunas presas. En Australia, el ANCOLD [2000b] recomienda utilizar información sobre avenidas históricas y
paleocrecidas para determinar caudales por encima de 100
años de periodo de retorno. Asimismo, en China es habitual utilizar la abundante información documental disponible sobre avenidas históricas que, en algunos casos, se
remontan a varios miles de años (Cheng-Zheng, 1987; Hua
Shi-Qian, 1987).
Es posible también incorporar otro tipo de información
al estudio con el objetivo de reducir la incertidumbre. Este es
el caso, por ejemplo, de Francia donde es habitual utilizar el
método Gradex (Guillot and Dubant, 1967) para estimar los
cuantiles de alto periodo de retorno para el diseño de presas.
Este método se basa en utilizar de forma complementaria,
en la construcción del modelo estadístico de caudales, las series de precipitaciones, que generalmente son más largas que
las de caudales, de tal forma que, bajo el establecimiento de
una serie de hipótesis, se puede asumir que las leyes de frecuencia de precipitaciones y caudales son paralelas.
Otra posibilidad para reducir la incertidumbre en la
extrapolación de la ley de frecuencia a altos periodos de
retorno, es introducir la PMF como asíntota, utilizando el
conocimiento previo de la PMF para imponer un límite superior a la variable y mejorar así el ajuste de la función de
distribución, mejorando también por consiguiente la estimación de los cuantiles. Estas metodologías se basan, por
lo tanto, en asumir la existencia de un cierto límite superior
o máximo físico para el caudal que puede llegar a ocurrir.
Las funciones de distribución habitualmente empleadas
en los análisis estadísticos suponen que el rango de variación de la variable estadística (el caudal de avenida en el
caso que nos ocupa) no está acotado superiormente (a veces tampoco inferiormente) por lo que, al menos desde un
punto de vista matemático, la variable podría tomar un valor infinito. Esa suposición obviamente no es cierta, siendo razonable asumir la existencia de un límite físico para el
caudal de avenida, consecuencia a su vez de la existencia de
límites físicos en la magnitud de la precipitación, la capacidad de infiltración y retención de agua en la cuenca, y la capacidad de transporte de la red de drenaje. Algunos países
como Australia (ANCOLD, 2000b) han incorporado esta
circunstancia a sus metodologías de cálculo de caudales de
diseño para presas a través de la precipitación máxima probable (PMP). Por otra parte, Francés y Botero [2002] utilizaron funciones con cota superior para estimar la PMF.
La no consideración de un límite físico en la ley de frecuencia no tiene mayor importancia cuando se trabaja
con periodos de retorno bajos o moderados, pero cuando
se quiere estimar los caudales de alto o muy alto periodo
de retorno la cuestión puede tener importancia ya que en
ese rango de probabilidades la ley de frecuencia cambiará su tendencia haciéndose asintótica al límite físico. Por
consiguiente, el empleo de leyes de frecuencia no acotadas superiormente puede conducir a sobreestimar de forma importante los cuantiles. No obstante, estas técnicas
cuentan hoy en día con algunos inconvenientes, como la
falta de experiencia en la aplicación práctica de las funciones de distribución acotadas superiormente, o la dificultad
para interpretar estadísticamente un concepto determinista como la PMP o la PMF.
Por otra parte, y con independencia de que se apliquen
en la estimación de la ley de frecuencia de caudales máximos todas las técnicas estadísticas e hidrológicas disponibles
para reducir la incertidumbre en la estimación de los cuantiles de alto periodo de retorno, el gran error que puede estar
asociado a la estimación de las avenidas de diseño de presas, y la gran responsabilidad de este tipo de infraestructura, hace que sea especialmente importante la estimación de
la incertidumbre involucrada en los cálculos. Dicha incertidumbre deberá ser tenida en cuenta al realizar el diseño de
las presas de tal forma que el riesgo hidrológico real asumido
al construir las mismas sea homogéneo entre todas ellas. El
riesgo hidrológico real que se asume al construir la presa no
es únicamente el derivado de la probabilidad de la avenida
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de diseño empleada y de la magnitud de los resguardos fijados, sino que depende también de la incertidumbre con que
se estima dicha avenida de diseño. Sería muy conveniente
incorporar a la práctica hidrológica habitual el cálculo del
error asociado a la estimación del caudal de cada periodo
de retorno para ser conscientes de la incertidumbre con la
que se está trabajando, e incluso incorporarlo de forma sistemática en la determinación del caudal de diseño definiendo éste no sólo por su periodo de retorno, sino también por
corresponder a un determinado nivel de confianza (del 80%,
del 90%,…). De esta manera se podría mejorar la homogeneidad en el riesgo real de las distintas presas en función,
por ejemplo, de la diferente disponibilidad de información
hidrológica en cada una de ellas.
Por último, es muy significativo que en algunos países (EE.UU., Reino Unido, Australia, Suecia, etc.) se prefiera definir la avenida de diseño para periodos de retorno
mayores de 100 años mediante una fracción de la PMF en
lugar de emplear mayores periodos de retorno. Esta circunstancia está directamente relacionada con las metodologías de cálculo disponibles, constatando la dificultad
existente para determinar de forma fiable las avenidas de
alto periodo de retorno, prefiriendo en la práctica definir
los caudales mayores mediante fracciones de la PMF, lo
que presenta menores incertidumbres en su cálculo. Asimismo, y con un planteamiento similar, en algunos países
se calculan los cuantiles de alto periodo de retorno multiplicando el caudal de 100 años por un determinado factor.
Así, por ejemplo, en Finlandia (Reiter, 1988) la metodología habitualmente empleada consiste en calcular la avenida de 100 años de periodo de retorno, para lo cual se suele
emplear una función de distribución Gumbel, para luego
obtener los caudales de periodos de retorno mayores multiplicando el de 100 años por unos coeficientes regionales
(1.3 para 1000 años y 1.6 para 10.000). Asimismo, en Suiza
(Biedermann et al., 1988) se calcula el caudal de diseño, de
1.000 años de periodo de retorno, multiplicando el de 100
años por un coeficiente que debe estimarse a partir de un
análisis regional de las distribuciones de probabilidad de
las estaciones de la zona.
Este procedimiento que, como se ha dicho, evidencia
la preocupación por la elevada incertidumbre asociada al
cálculo de los cuantiles de alto periodo de retorno, consigue simplificar notablemente el cálculo de los caudales de
diseño reduciendo los errores en su estimación. No obstante, para que sea verdaderamente útil debe suponer una
estimación razonable del cuantil del periodo de retorno de
diseño (situándose dentro de un determinado intervalo de
confianza de la estimación proporcionada por los modelos
estadísticos), y no deben interpretarse como un coeficiente de seguridad en el cálculo. En caso contrario, podrían
suponer la adopción de criterios de diseño heterogéneos,
al conducir a probabilidades de fallo diferentes entre unas
presas y otras.
3. ANÁLISIS Y SELECCIÓN DE MODELOS ESTADÍSTICOS
REGIONALES PARA EL AJUSTE Y EXTRAPOLACIÓN
DE LEYES DE FRECUENCIA DE CAUDALES MÁXIMOS
EN LA ESPAÑA PENINSULAR
Como se ha expuesto anteriormente, el diseño hidrológico de las presas puede requerir la estimación de caudales
máximos de altos periodos de retorno. La estimación de
estos caudales lleva aparejada una elevada incertidumbre,
por lo que es conveniente incorporar a su cálculo todos los
procedimientos técnicos disponibles para reducirla. Estos
procedimientos, consistentes fundamentalmente en introducir información adicional en el modelo estadístico,
pueden consistir en la aplicación de técnicas de regionalización, en la introducción de información histórica en
la construcción del modelo, o en la utilización de la PMF
como asíntota de la ley de frecuencia. La aplicación práctica de este tipo de técnicas puede requerir, en algunos
casos, su adaptación, o el desarrollo de criterios específicos, para su aplicación a un ámbito geográfico concreto.
Con este objetivo, dentro de los trabajos realizados para la
DGA, se han llevado a cabo distintos estudios en relación
a este tema:
• Selección de los modelos estadísticos de caudales
máximos anuales (funciones de distribución y procedimientos de ajuste) más adecuados para cada
zona de la España peninsular.
• Selección del esquema de regionalización que ofrece
mejores resultados para las características hidrológicas de las cuencas españolas.
• Desarrollo de criterios para la utilización de información histórica en la estimación de los caudales
máximos de alto periodo de retorno.
• Procedimientos para el cálculo de la PMP y análisis
de su aplicación en la estimación de caudales de alto
periodo de retorno.
Adicionalmente, como se ha indicado anteriormente,
la elevada incertidumbre asociada a la estimación de los
caudales requeridos para el diseño de presas, incluso aplicando las técnicas mencionadas anteriormente, hace aconsejable la cuantificación de la incertidumbre involucrada
en los cálculos. No obstante, los procedimientos disponibles en la literatura para llevar a cabo dicha estimación no
son siempre adecuados para su aplicación a las características hidrológicas de las cuencas españolas. Asimismo, determinadas técnicas (como la introducción de información
histórica) no cuentan con procedimientos claros para estimar su incertidumbre. Por este motivo, se ha trabajado
también en adaptar los procedimientos existentes para el
cálculo de la incertidumbre a las características hidrológicas propias del ámbito geográfico español.
En este artículo se presentan únicamente los trabajos
relativos a la selección del esquema de regionalización y
de los modelos estadísticos de caudales máximos anuales,
siendo el resto de trabajos objeto de futuros artículos.
De esta forma, en los próximos apartados se exponen
los trabajos realizados con el objeto de definir los modelos estadísticos de caudales máximos anuales (funciones
de distribución y procedimientos de ajuste) más adecuados para cada zona de la España peninsular, de tal forma
que sean capaces de reproducir lo mejor posible las características estadísticas propias de cada zona, así como de
extrapolar de forma robusta a altos periodos de retorno,
reduciendo la sensibilidad del modelo a las características
estadísticas concretas que, por causas aleatorias, pueda presentar la muestra disponible. Este modelo estadístico se ha
analizado dentro del contexto de un determinado esquema
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de regionalización, lo que permitirá mejorar la estimación
de los estadísticos de mayor orden (principalmente del coeficiente de sesgo) al utilizar toda la información existente
en la región, lo que redundará en una mejor estimación de
la ley de frecuencia de caudales máximos y en una reducción de la incertidumbre asociada a la estimación de los
cuantiles de alto periodo de retorno.
La aplicación de técnicas de regionalización requiere la
definición previa de las regiones estadísticamente homogéneas, así como su grado de homogeneidad, de tal forma que pueda conocerse el conjunto de información, y las
características concretas de ésta, que puede utilizarse para
complementar la de una determinada estación a la hora de
calcular sus estadísticos. De esta forma, en primer lugar se
ha abordado la identificación y delimitación de las regiones estadísticamente homogéneas, respecto al comportamiento de los caudales máximos anuales, en el territorio
de la España peninsular. En base a ese trabajo, se selecciona
el esquema de regionalización más adecuado al grado de
homogeneidad que presentan las regiones para, posteriormente, analizar los modelos estadísticos más adecuados en
cada zona geográfica, dentro de ese esquema de regionalización. Por último, se presenta, de forma independiente, el
estudio del modelo estadístico propuesto para la zona del
levante y sureste peninsular, dada la singularidad del comportamiento hidrológico de esa zona geográfica.
Adicionalmente, una vez seleccionados los modelos
estadísticos y las técnicas de regionalización más adecuadas, y en base a la información generada en ese estudio, se
ha explorado la posibilidad de establecer el cálculo de los
cuantiles de alto periodo de retorno (1.000, 5.000 y 10.000
años), dentro del ámbito de la España peninsular, mediante la multiplicación del cuantil de 100 años por un determinado factor.
3.1. Análisis de la homogeneidad de las series de
caudales máximos e identificación de regiones
homogéneas en la España peninsular
Como se ha dicho anteriormente, la identificación
de regiones que presenten cierta homogeneidad respecto a algunos de los estadísticos que caracterizan el comportamiento de los caudales máximos anuales es un paso
imprescindible en la aplicación de las técnicas de regionalización al cálculo de las leyes de frecuencia de dichos caudales.
En la actualidad no existe un único criterio o procedimiento que permita asegurar una correcta definición de
las regiones homogéneas. No obstante, se han desarrollado
trabajos (Lettenmaier y Potter, 1985) que parecen concluir
que en las zonas con coeficientes de variación relativamente bajos (CV<0.6) y relativamente homogéneos, coeficiente de variación del coeficiente de variación menor de 0.2
(CV(CV)<0.2), se mejora claramente el ajuste de la función de distribución al agrupar las estaciones.
El procedimiento para definir las regiones homogéneas
debe cumplir dos condiciones:
• Las distintas estaciones que conforman la región
deben presentar cierto grado de homogeneidad
estadística.
• Debe existir un criterio para asignar cualquier nuevo punto de estudio a una de las regiones definidas.
Teniendo en cuenta estas condiciones se han propuesto distintos criterios en la literatura. Algunos autores
proponen definir la región en función de sus límites geográficos, lo que facilita mucho la asignación del punto de
estudio a una determinada región. Estos métodos se han
Figura 3. Regiones con comportamiento estadístico homogéneo, respecto a los caudales máximos
anuales, identificadas en la España peninsular.
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utilizado mucho (NERC, 1975; Ferrer y Ardiles, 1994) en
trabajos a escala nacional. En ciertas ocasiones, se ha recurrido incluso a definir las regiones en base a límites administrativos, aunque en esos casos es difícil garantizar
la homogeneidad estadística. Este tipo de procedimientos
son más adecuados para lluvias máximas que para caudales, puesto que las lluvias suelen presentar mayor continuidad espacial.
Otros procedimientos agrupan las estaciones en función de la similitud de su comportamiento estadístico
(mediante análisis discriminante o de cluster) en base a
determinadas magnitudes estadísticas (coeficiente de variación, coeficiente de sesgo, etc.), sin que tengan por qué
pertenecer a una misma región geográfica. Se garantiza
más, por tanto, la homogeneidad estadística pero por el
contrario se dificulta la asignación de un nuevo punto de
estudio a una de las regiones.
También pueden agruparse las estaciones en función
de su proximidad en un espacio n-dimensional de ciertas características específicas (edafológicas, meteorológicas, fisiográficas, etc.), mediante métodos de análisis
estadístico similares a los mencionados anteriormente.
Estas técnicas se han utilizado con frecuencia con el objetivo de determinar los caudales máximos en cuencas
sin aforar, ya que se pueden asignar fácilmente a una de
las regiones a partir del conocimiento de sus características fisiográficas, edafológicas y meteorológicas (Acreman y Sinclair, 1986; Nathan y McMahon, 1990; Lin y
Chen, 2006).
Por último, el método de la región de influencia (ROI,
en inglés) supone que cada estación tiene su región propia, formada por el conjunto de estaciones más cercanas en
el espacio multidimensional de diferentes atributos (Burn,
1990).
Otra cuestión que es importante considerar a la hora
de definir las regiones es el grado de heterogeneidad que
se admite dentro de una región. En principio, la homogeneidad estadística dentro de cada región debería ser la
mayor posible pero también hay que tener en cuenta la
posible correlación entre los datos de distintas estaciones. En general, cuánto mayor homogeneidad se exige a
una región también es mayor la correlación entre los datos y viceversa. Esta cuestión es muy importante, ya que
si la correlación entre los datos es muy alta la información
estadística aportada por las distintas estaciones será redundante, mejorando poco el ajuste de la función de distribución. En el caso concreto del estudio de máximos, la
introducción en el análisis de información repetida puede tener el efecto de infravalorar los cuantiles de más alto
periodo de retorno, dejando los resultados del lado de la
inseguridad. Teniendo esto en cuenta, en realidad lo que
se busca es definir regiones con un comportamiento estadístico suficientemente parecido (sin necesidad de que
sea idéntico) como para que el uso conjunto de sus datos
mejore la estimación de los cuantiles, pero que no presenten una elevada correlación, aportando por tanto información nueva.
En base a lo expuesto anteriormente, en el estudio llevado a cabo en este trabajo se ha optado por definir las
regiones en base a un procedimiento mixto, seleccionando regiones que agrupen estaciones con valores similares, tanto de las características fisiográficas, climáticas,
edafológicas, etc. de las cuencas vertientes, como de los
diferentes estadísticos; y que además queden incluidas en
una región geográfica bien delimitada, lo que facilitará la
aplicación práctica de los resultados y la asignación de los
puntos de estudio a una determinada región, ya que las regiones están delimitadas perfectamente por los accidentes
geográficos de las cuencas.
La homogeneidad estadística de las regiones identificadas mediante el procedimiento anterior debe ser comprobada posteriormente mediante medidas que analizan
la homogeneidad estadística de las muestras. Con esta finalidad se han utilizado dos tests estadísticos que permiten cuantificar el grado de homogeneidad de las regiones,
el test de Wiltshire basado en los momentos ordinarios
(Wiltshire, 1986) y el test de Hosking y Wallis basado en
los L-momentos (Hosking y Wallis, 1993; Hosking y Wallis, 1997). En los Apéndices A, B y C se describen los fundamentos teóricos de estos tests.
De esta forma, la identificación de las regiones con
comportamiento estadístico homogéneo en la España
peninsular ha sido el resultado de un proceso iterativo
consistente en la delimitación de regiones en base a criterios de carácter geográfico, a las características físicas
de las cuencas vertientes a las estaciones de aforos y a
las características estadísticas de las series de datos, la
posterior comprobación de la homogeneidad de las regiones identificadas mediante la aplicación de los tests
indicados anteriormente, y la reconsideración de las regiones delimitadas en el caso de que el resultado de los
tests no fuese satisfactorio.
Como resultado de ese proceso se han obtenido las 29
regiones representadas en la figura 3, a las que se añaden
los siguientes tramos de río correspondientes a los grandes ejes fluviales, que se han considerado de forma independiente:
• Duero, desde su confluencia con el río Chico (región
26).
• Tajo, desde su confluencia con el río Arlas (región
34).
• Guadiana, desde su confluencia con el río Bañuelo
(región 43).
• Guadalquivir, desde su confluencia con el Guadiana
menor (región 54).
• Ebro, desde su confluencia con el río Zadorra (región 96).
Por otra parte, los tramos finales de los ríos Segura y
Júcar (desde la confluencia con la Rambla de Benito el primero y desde la confluencia con el barranco del Agua en el
caso del segundo) tienen un comportamiento intermedio
entre los de las regiones 71 y 72, y 81 y 82, respectivamente
(regiones 73 y 84).
Cada región se ha identificado mediante un código numérico cuyo primer dígito es el propio de la gran cuenca a
la que pertenece (completamente o en su mayor parte) y
el segundo numera las regiones en las que está dividida la
gran cuenca de forma consecutiva.
La aplicación de los test estadísticos de Wiltshire y Hosking y Wallis a las regiones anteriores proporciona resultados similares (tabla 1). Las regiones 72 y 82, en el levante
y sureste peninsular, dadas sus especiales características
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hidrológicas y meteorológicas, en las que son típicos los
eventos de tormenta de carácter convectivo, requieren la
aplicación de un tipo especial de función de distribución
(apartado 3.4.), y no se han analizado mediante los tests de
homogeneidad anteriores.
Tabla 1. Resultados de la aplicación de los tests de homogeneidad
de Wiltshire y Hosking y Wallis a las regiones identificadas
Regiones
S
X2
H1
H2
11
50,96
12
32,47
13
20,2
21
22
55,23
2,71
0,94
0,6
36,74
-0,17
1,73
1,74
22,31
0,99
-0,81
-1,3
40,2
33,2
1,86
0,25
0,18
8,6
12,01
0,66
0,53
0,31
23
31,7
33,19
1,65
0,02
-0,63
24
26,11
24,77
0,75
0,01
-0,28
25
6,28
9,24
-0,14
-0,1
31
39,92
43,75
1,82
0,79
32
30,81
32,01
0,23
-0,15
33
22,05
22,31
0,22
-0,73
41
20,33
22,3
0,76
0,74
42
13,7
15,98
2,19
1,45
51
23,86
33,19
-0,71
-0,5
52
8,17
13,36
1,16
0,07
53
14,78
25,98
1,99
0,53
61
30,55
30,81
2,63
0,53
71
30,12
18,55
1,98
0,77
72
-
-
-
-
81
24,93
34,38
0,6
0,55
82
-
-
-
-
83
2,18
9,23
0,4
0,13
91
43,31
33,19
1,95
-0,57
92
66,62
39,09
1,68
0,01
93
37,41
19,81
1,84
0,42
94
33,99
17,28
1,91
1,02
95
25,45
24,77
1,82
-1,15
101
16,69
29,62
-1,47
-0,49
102
17,79
25,99
0,7
0,73
H3
avenida) suponen una opción muy restrictiva, ya que fijan
un valor constante en toda la región para los momentos de
segundo y tercer orden, permitiendo muy poca variabilidad local en el ajuste de las funciones. Sin embargo, se ha
observado que el CV no suele ser constante en una región,
presentando diversos patrones función del área de la cuenca (Gupta and Dawdy, 1995; Blöschl and Sivalapan, 1997;
Viglione, 2010). No obstante, la selección del esquema de
regionalización más apropiado en cada caso se tratará con
un mayor detalle en el apartado 3.3.
En la tabla 2 se indica el valor del L-CV y del L-CS en
cada una de las regiones consideradas. Estos valores regionales se han obtenido como la media ponderada, en
función del número de datos de la muestra, de los valores
1 𝑁𝑁𝑁𝑁 a cada una de las estaciones que conforcorrespondientes
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
man cada región:
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛=𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅1𝑖𝑖𝑖𝑖 − �1 − 1 �
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑁𝑁𝑁𝑁
[2]
-0,46
𝑅𝑅𝑅𝑅1= 1 − �1 − �
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖1 𝑇𝑇𝑇𝑇
1𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑁𝑁𝑁𝑁= 1 − �1
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
0,89𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 −
−
�
�
𝑇𝑇𝑇𝑇 ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅 ∅
-0,36
= el valor
Donde
regional del momento estadísti𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇 es
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
4𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖 es el
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1co
-0,84
𝑍𝑍𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅=
considerado,
valor del momento
en la estación
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
∅
=
∅
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝑡𝑡𝑡𝑡
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
y 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 es el número
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖. 𝑖𝑖𝑖𝑖
4 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖de
0,88
𝑅𝑅𝑅𝑅 datos en la estación ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
=
∅𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
4
1,26
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅
2. 𝑡𝑡𝑡𝑡Valores
de L-CV
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷Tabla
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡y4𝑅𝑅𝑅𝑅 de L-CS correspondiente a los caudales
0,08
4
𝑖𝑖𝑖𝑖 −4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
0.44
4−𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
) = anuales en las regiones estadísticas identificadas
𝑍𝑍𝑍𝑍 𝑖𝑖𝑖𝑖=
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅máximos
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
0,18
𝑛𝑛𝑛𝑛𝜎𝜎𝜎𝜎+ 𝑅𝑅𝑅𝑅0.12
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑡𝑡𝑡𝑡 4L-CV
4
Región
L-CS
Región
L-CV
L-CS
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
-0,06
𝑖𝑖𝑖𝑖 −0.238
0.44 4−𝑡𝑡𝑡𝑡
11 𝑛𝑛𝑛𝑛
0.310
53 4
0.500
0.420
)
=
-0,85
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.441
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
12
0.270
0.250
61
0.490
0.390
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
)
𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄
0.44 )
𝑡𝑡𝑡𝑡 4
0,06𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑖𝑖
) = 0.271
13𝑖𝑖𝑖𝑖 1=1
0.261
71
0.520
0.418
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
21
0.263
- )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
72)𝑡𝑡𝑡𝑡
0,87
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡 = 2�
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
𝑟𝑟𝑟𝑟 = � 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀22𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑖𝑖𝑖𝑖
�
+
0.529
0.435
81
0.440
0.310
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 )1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜1)𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐹𝐹𝐹𝐹 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
�
23 𝑛𝑛𝑛𝑛
0.357(𝑄𝑄𝑄𝑄 ) 82
- 0.12
𝑛𝑛𝑛𝑛 +
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞 ) =
0,35
𝑖𝑖𝑖𝑖 2
1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
24
0.400
0.247
83
0.510
0.400
2 �
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
-1,14𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �=+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
25
0.400 2
0.247
91
0.257
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑛𝑛𝑛𝑛 0.194
-0,67
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
31
0.428
0.254
92
0.343
0.410
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
-0,36
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
�
)0.569
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
32
0.404
0.254 1
93
0.489
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑄𝑄𝑄𝑄
1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �
0,33
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =33 �
0.498
0.353 𝑛𝑛𝑛𝑛
94
0.497 1=1
0.386
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
-1,96
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
41
0.570
0.400 1=195
0.357
0.272
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
0,13
1
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 42
0.450 � 𝑟𝑟𝑟𝑟0.320
101
0.440
0.340
2
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
0,96
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
+ 0.310
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0.474
2
51 1 1 �0.490
102 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
0.565
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀 == �
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑁𝑁𝑁𝑁 � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1 0.440
52 𝑁𝑁𝑁𝑁
0.250
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑁𝑁𝑁𝑁
Se observa cómo las regiones identificadas muestran un 1 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
grado de homogeneidad satisfactorio, aunque los resultados 𝑁𝑁𝑁𝑁 1=1
=𝛼𝛼𝛼𝛼 1 � 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑁𝑁𝑁𝑁 �𝑟𝑟𝑟𝑟 1𝑁𝑁𝑁𝑁 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 � 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
1=1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀la
del test de Wiltshire, y el de Hosking y Wallis para el estadísNo se
indicado
tabla
los𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
valores
de L-CS en
1 han�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + en
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
�2
𝑇𝑇𝑇𝑇 1=
tico H1, no garantizan la homogeneidad respecto al CV 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
o el = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟
las𝑀𝑀𝑀𝑀𝛼𝛼𝛼𝛼regiones
21
y
23
ya
que,
como
se
expondrá
en
el𝑄𝑄𝑄𝑄aparta=
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝛼𝛼𝛼𝛼
1 −𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑟𝑟𝑟𝑟 1=1 �
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎 regiones
𝛼𝛼𝛼𝛼 1 caudales
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
L-CV en todas las regiones, aunque sí en muchas de ellas. Sí
do
esas
los
2 �máximos anuales si−
𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 3.2.,
)2 = en
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆1=)1𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )�𝑟𝑟𝑟𝑟
1
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢de
se obtienen grados de homogeneidad elevados respecto a los
guen una función
Gumbel, que no requiere
1 distribución
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑎𝑎𝑎𝑎
1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
1
2
1
2
1
1
estadísticos H2 y H3, dependientes de los coeficientes de sesgo
imponer el sesgo en su ajuste; ni en las regiones
1 72 y 82 en
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 −
0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐
2 𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
)
(CS) y curtosis (CK). En las regiones 12 y 42 no ha sido polas que, como1se2 indica en el1 apartado
se propone
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =
� 𝑟𝑟𝑟𝑟em11 2 1 3.4.,
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 −plear
𝑁𝑁𝑁𝑁
2 función
sible obtener valores del estadístico H2 inferiores a 1. No obsuna
de
distribución
TCEV
(Two
Component
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐=
𝑎𝑎𝑎𝑎
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
2
1
1
(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2 para la cual𝑁𝑁𝑁𝑁
tante, se considera que el resultado obtenido para el conjunto
Extreme
se ha
𝑢𝑢𝑢𝑢 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
2 desarrollado un proce∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )Value),
2 2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
2 2
de la península es suficientemente satisfactorio.
dimiento
regional
de
ajuste
diferente.
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
En base a estos resultados, y de cara al ajuste de las fun𝑁𝑁𝑁𝑁
∝2de
= (𝜆𝜆𝜆𝜆
1
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 =Análisis
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
2
ciones de distribución de caudales máximos, se ha deci3.2. las1 )funciones
de
distribución
y
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
+
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
1
𝑇𝑇𝑇𝑇
�
2 2
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇 100
dido adoptar un esquema de regionalización basado en
procedimientos
de ajuste con un mejor𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
� peninsular
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑟𝑟𝑟𝑟en=la España
𝑛𝑛𝑛𝑛
utilizar un valor regional únicamente para el CS, determicomportamiento
1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
1
−
0.35
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇 100
� 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑇𝑇𝑇𝑇
�
nando el CV a partir de la información local. En este sen- 1 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟1 =
1=1
− 0.35
𝑛𝑛𝑛𝑛 � 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �
tido hay que señalar que los métodos de regionalización 𝑛𝑛𝑛𝑛
ha
indicado
anteriormente,
para redu-𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑛𝑛𝑛𝑛= 1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇Como
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄se
100
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼
1
)1 =las𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
− 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
𝐹𝐹𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑥𝑥de
basados en valores regionales para el CV y el CS (índice de
cir la incertidumbre
en 1la−extrapolación
leyes�𝑟𝑟𝑟𝑟
de
2
1
0.35
CEH1 174.indd 14
𝑜𝑜𝑜𝑜 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 � )
=
𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
1 −1=1
0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜𝜆𝜆𝜆𝜆02 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑜𝑜𝑜𝑜10 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝜆𝜆𝜆𝜆 = 𝑜𝑜𝑜𝑜
�
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼 1
− 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼 2
�
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
0
𝜆𝜆𝜆𝜆31 1=
6𝑜𝑜𝑜𝑜1=+2𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜0 − 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝜆𝜆𝜆𝜆3 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜
+ 𝑜𝑜𝑜𝑜6𝑜𝑜𝑜𝑜
0 2 − 𝜆𝜆𝜆𝜆
23/06/14 13:02
3
3
2
𝑡𝑡𝑡𝑡4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆2
frecuencia de caudales máximos a altos periodos de retorno es fundamental conocer aquellos modelos estadísticos (función de distribución y procedimiento de ajuste)
que presentan un mejor comportamiento, tanto por su
capacidad de representar adecuadamente el comportamiento estadístico de las muestras en el rango de los bajos
periodos de retorno, como por su robustez al extrapolar
a altos periodos de retorno, reduciendo la sensibilidad
del modelo a la variabilidad aleatoria en los estadísticos
existente entre unas muestras y otras. Con ese objetivo,
dentro de los trabajos realizados para la DGA, se han determinado los modelos estadísticos de caudales máximos
anuales con un mejor comportamiento en las distintas
zonas de la España peninsular. Este estudio ha partido
de las regiones con comportamiento estadístico homogéneo identificadas en el apartado anterior, así como del
esquema de regionalización allí indicado, consistente en
asumir un valor regional para el CS y determinar de forma local el CV.
Existen diversas funciones de distribución que pueden aplicarse a la estimación de la ley de frecuencia de
caudales máximos. La selección del modelo estadístico que mejor representa el comportamiento hidrológico de una región no es sencilla. Como se expuso
anteriormente, por una parte se debe analizar la capacidad descriptiva de la función, es decir su capacidad
para ajustarse con precisión a la distribución de caudales observados. Por otra, se debe analizar su capacidad de predicción, es decir, su robustez para estimar los
cuantiles asociados a los mayores periodos de retorno,
en los que normalmente no se tiene información observada ya que no se dispone de series lo suficientemente
largas. El estudio de estos dos aspectos se ha aplicado
a las distintas regiones seleccionadas de entre todas las
identificadas en la España peninsular, salvo en el caso
de las regiones 72 y 82 cuyo estudio, dada su especial
singularidad, se ha abordado de forma separada y se expone en el apartado 3.4.
El estudio se ha estructurado en tres fases. En primer lugar se ha realizado una primera aproximación a
las funciones de distribución más adecuadas para cada
zona mediante el diagrama de L-momentos, que permite identificar aquellas funciones con capacidad para
representar el comportamiento estadístico de una determinada muestra conociendo el valor de sus L-momentos (el fundamento teórico de los L-momentos se
expone en el Apéndice A); posteriormente, se ha analizado la capacidad descriptiva de una serie de modelos, en las distintas regiones estadísticas seleccionadas,
mediante la cuantificación de las diferencias entre el
modelo y los datos muestrales; por último, se ha estudiado la capacidad predictiva de los modelos, analizando su precisión y robustez mediante simulaciones
de Monte Carlo.
3.2.1. Selección de funciones de distribución en base al
diagrama de L-momentos
Se ha llevado a cabo una primera estimación de las
funciones de distribución más adecuadas en cada zona
mediante aplicación del diagrama de L-momentos.
Esta técnica consiste en representar en un gráfico las
CEH1 174.indd 15
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
)2
𝑗𝑗𝑗𝑗 y selección
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 de modelos estadísticos...
Análisis
𝐷𝐷𝐷𝐷 = �
parejas de valores L-CS y L-CK de las distintas mues𝑣𝑣𝑣𝑣 región, y compararlas con las
tras disponibles en cada
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 =
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗
curvas teóricas correspondientes
a distintas funciones
de distribución, lo que permite identificar las funciones con capacidad para
la combinación de
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 representar
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗
estadísticos típica𝑣𝑣𝑣𝑣de=la región.
Se
pueden
confeccionar
𝑚𝑚𝑚𝑚
también gráficos similares para los momentos ordinarios, pero se ha preferido utilizar los L-momentos
por
2
1
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 )
1 de(∑
considerar que su estimación 𝑛𝑛𝑛𝑛a partir
muestras
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
− las
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
es menos sesgada𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗(Hosking
= (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) y�Wallis, 1997; Robson y
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
Reed, 1999).
Se han seleccionado para este análisis algunas de las
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
funciones de distribución habitualmente
utilizadas para
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 de los caudales máximos:
representar el comportamiento
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠 =
1
Gumbel (G), Pareto 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Generalizada
(GP), Logística Gene∑𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗
ralizada (GLO), Valores Extremos
Generalizada (GEV),
Log-Pearson tipo III (LP) y Log-Normal (LN). En un dia𝑁𝑁𝑁𝑁
grama de coeficientes de L-momentos
las funciones
de dis1
2
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑉𝑉𝑉𝑉 =
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖GLO,
�𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) −PG,
𝑡𝑡𝑡𝑡̅� LP) estarán
tribución de tres1 parámetros
(GEV,
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 mientras que las fun1 𝑁𝑁𝑁𝑁
representadas mediante
una curva,
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
𝑇𝑇𝑇𝑇
ciones de dos parámetros
(G, LN) estarán representadas
𝑁𝑁𝑁𝑁
1𝑛𝑛𝑛𝑛 ∅
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 funciones tienen valores
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 ya que estas
mediante
un
punto,
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅∅= 1 −
�1
−
�
2
1
2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑁𝑁𝑁𝑁 2
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝑇𝑇
= 𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + �𝑡𝑡𝑡𝑡3 − ∑
𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑖𝑖𝑖𝑖=1
� �𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑉𝑉𝑉𝑉2 L-CK.
fijos para el∑L-CS
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖y el
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 3 𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑
Para cuantificar
el grado de ajuste de los valores mues- 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
1
∑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅∅= 1 =
− �1
− 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖�∅𝑖𝑖𝑖𝑖
trales
las 𝑁𝑁𝑁𝑁curvas
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 a 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 teóricas se utiliza la medida de ajus𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑅𝑅𝑅𝑅
4 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
que compara
el valor regional
muestral
del 2L‑CK(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇12
te 𝑍𝑍𝑍𝑍, =
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
4
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑅𝑅 1 𝑉𝑉𝑉𝑉 =
�
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
��𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
�
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑅𝑅𝑅𝑅 su
= 1valor
−𝑖𝑖𝑖𝑖=1
�1teórico
−
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
con
determinada
función
de4 dis-𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � �
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 3para una
3
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷4𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝜎𝜎𝜎𝜎
∑(𝑖𝑖𝑖𝑖=1
tribución
4 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖), según la siguiente ecuación:
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝜎𝜎𝜎𝜎∑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖
0.44
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖4−
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡)=
= 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 4−𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝐷𝐷𝐷𝐷𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
4𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
[3]
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡 4− 0.44
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) 1=𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
4 0.12
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛 +
𝑍𝑍𝑍𝑍
= �
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
1 re-(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
donde
la𝑖𝑖𝑖𝑖 desviación
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅 representa
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 [𝑉𝑉𝑉𝑉
− 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )] típica del 𝑟𝑟𝑟𝑟L-CK
=
�
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44 𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖 =
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
gional,
a partir de la simulación mediante𝑛𝑛𝑛𝑛téc𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 )1=calculada
1=1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )
𝑛𝑛𝑛𝑛
+ 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
0.12
nicas
Monte
Carlo
de
distintas
regiones
sintéticas.
Una
𝑟𝑟𝑟𝑟 = de�
2
𝑛𝑛𝑛𝑛 =𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
)𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
− 0.44
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � +
función
de distribución
se𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖considera adecuada siempre
1=1
2
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 )𝑛𝑛𝑛𝑛 =
+ )que
0.12
que se
Z 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
≤ 1)𝑡𝑡𝑡𝑡.64.
1 cumpla
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄
En
figura
4 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
se2 )representan
los distintos diagramas ob𝑛𝑛𝑛𝑛 la=
𝑖𝑖𝑖𝑖
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1�
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
tenidos,
y
en
la
tabla
3
el
valor
de
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
⋯
< la
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛 medida Z para distin�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1 𝑄𝑄𝑄𝑄(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 −1 (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟2)𝑡𝑡𝑡𝑡
= se
𝑟𝑟𝑟𝑟en
= � 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖que
tas𝑟𝑟𝑟𝑟regiones.
Se
han
señalado
en
negrita
los
casos
2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �
=1=1
+𝑄𝑄𝑄𝑄1𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
, … , 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛observa cómo la
cumpliría
con𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
el� criterio
especificado.
𝑖𝑖𝑖𝑖−1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1 , … ,Se
𝑁𝑁𝑁𝑁
función 1Gumbel,
típica de poblaciones poco sesgadas, po-𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑥𝑥𝑥𝑥 2
dría
ser�
adecuada
algunas
regiones del Duero y de1 la
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�para
+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁 y
𝑁𝑁𝑁𝑁 Ebro (regiones 21 y 91). Las funciones GEV
cabecera
del
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
1 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥para
𝑒𝑒𝑒𝑒
LN
un gran número de regiones,
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 parecen
= �𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟apropiadas
𝑁𝑁𝑁𝑁 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 presentan, en general, valomientras
que �
las
GP,𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
GLO
y LP
= 1𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑄𝑄𝑄𝑄
1
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,
𝑖𝑖𝑖𝑖
res de1Z𝑁𝑁𝑁𝑁fuera
del
rango.
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
1=1
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁1
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑁𝑁𝑁𝑁 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑡𝑡𝑡𝑡1𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
2
Tabla
Z sobre los𝛼𝛼𝛼𝛼 L-momentos para cada una de las
�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =3. 1Medida
𝑁𝑁𝑁𝑁= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 1𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
− 𝑟𝑟𝑟𝑟 2 �
𝑀𝑀𝑀𝑀
�distintas
funciones
en
regiones estadísticas. En negrita los casos
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1=1
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
+
� 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
en que1se cumpliría
con el𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
criterio
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 de validez de la función
1
2
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2𝑐𝑐𝑐𝑐 �GEV
𝑎𝑎𝑎𝑎𝛼𝛼𝛼𝛼(𝜆𝜆𝜆𝜆
1 𝑄𝑄𝑄𝑄)
−
�𝑟𝑟𝑟𝑟
Región
G
GP
GLO
PEIII
LN
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )𝑁𝑁𝑁𝑁=
=
−10
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
2 1=1
1 1 2 1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
+
1
�
1-1.319
2 = −10 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
12
3.214
-5.175
-0.189
1.750
-3.297
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑁𝑁𝑁𝑁
)�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑄𝑄𝑄𝑄
1 -7.006
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝛼𝛼𝛼𝛼
−
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝛼𝛼𝛼𝛼2𝑐𝑐𝑐𝑐2 �
2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆
10.858
2−
3.114
-2.078
1.749
1=1
(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑢𝑢𝑢𝑢21
(𝜆𝜆𝜆𝜆
1 )2 = −10
1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1 0.028
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
31
2.050 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢-1.947
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢5.770
1
2
8.858
1.578
4.264
1.595
-2.852
-0.528
81
2.740
2.886
-1.970
3.194
-1.950
92
3.1952
3.272
-2.263
(𝑡𝑡𝑡𝑡0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
2 )2𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟
=1−10
𝑢𝑢𝑢𝑢𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
261
2
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)2−𝑎𝑎𝑎𝑎�𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)2=
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑜𝑜𝑜𝑜-1.759
(𝑡𝑡𝑡𝑡 )2𝑐𝑐𝑐𝑐
1 4.496
1∝
2=
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛21 1 2 1
-2.142
�
0.836
𝛼𝛼𝛼𝛼 2
1.594
(𝑡𝑡𝑡𝑡0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
2 )𝑎𝑎𝑎𝑎2(𝜆𝜆𝜆𝜆 -6.994
911 )(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑢𝑢𝑢𝑢∝
=
)20.689
−
−10
2(𝜆𝜆𝜆𝜆
2 2 )1 0.076
2 1=
1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝜆𝜆𝜆𝜆
2=
1 )𝑇𝑇𝑇𝑇2𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛
-2.373
)20.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑢𝑢𝑢𝑢 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑡𝑡𝑡𝑡
)22−
𝑟𝑟𝑟𝑟
∝𝑄𝑄𝑄𝑄2 =2=(𝜆𝜆𝜆𝜆𝜑𝜑𝜑𝜑
11)𝑇𝑇𝑇𝑇2𝑄𝑄𝑄𝑄100 1 − 0.35
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑖𝑖𝑖𝑖 �
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆𝑛𝑛𝑛𝑛1 )2
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑1𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛12 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
�
𝜆𝜆𝜆𝜆1 =𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
1.828
∝2 =
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
0.277
-0.557
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 0.316
= 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 =
1
1 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
23/06/14 13:02
L-CK
Región 21
L-CK
Región 12
Región 31
Región 61
L-CK
L-CS
L-CK
L-CS
Región 81
Región 91
L-CK
L-CS
L-CK
L-CS
L-CS
L-CS
L-CK
Región 92
L-CS
Figura 4. Representación de los L-momentos muestrales en el diagrama de L-momentos para distintas regiones.
CEH1 174.indd 16
23/06/14 13:02
Región 21
MAE
MAE
Región 12
Región 31
Región 61
MAE
Estaciones
MAE
Estaciones
Región 81
Región 91
MAE
Estaciones
MAE
Estaciones
Estaciones
Estaciones
MAE
Región 92
Estaciones
Figura 5. Representación gráfica del error en el ajuste a los datos observados de distintos modelos estadísticos, para las estaciones de aforos
con más de 50 datos de distintas regiones.
CEH1 174.indd 17
23/06/14 13:02
3.2.2. Análisis de la capacidad descriptiva de los modelos
estadísticos
Se ha analizado la capacidad descriptiva de distintos modelos estadísticos (función de distribución y procedimiento
de ajuste) a los datos observados en las estaciones de cada región. Para ello, en cada una de las estaciones de aforos se han
ajustado distintos modelos y se ha cuantificado el error existente entre los datos observados y dichas funciones. Se han
considerado los siguientes modelos, habituales en el estudio
estadístico de los caudales máximos anuales:
• Gumbel (G) por momentos (Mom), L-momentos
(L-Mom) y máxima verosimilitud (ML)
• Valores Extremos Generalizada (GEV) por Mom,
L-Mom y ML
• Log-Normal de 2 parámetros (LN-2) por Mom,
L-Mom y ML
• Log-Normal de 3 parámetros (LN-3) por Mom,
L-Mom y ML
• Pareto Generalizada (GP) por Mom, L-Mom y ML
• Logística Generalizada (GLO) por Mom, L-Mom y
ML
• Log-Pearson Tipo III (LP-III) por Mom y L-Mom
• Pearson Tipo III (PE-III) por Mom y L-Mom.
𝑁𝑁𝑁𝑁 1984), más apropiada para zonas en las
TCEV (Rossi et
1 al.,
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
que existan dos
𝑇𝑇𝑇𝑇 mecanismos de generación de las avenidas
muy diferenciados que requieran la utilización de funcio𝑁𝑁𝑁𝑁
1 (apartado
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
nes de distribución
mixtas
3.4.).
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
1las funciones
𝑇𝑇𝑇𝑇
El ajuste
de
se
ha
realizado utilizando
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
�11 − �
𝑇𝑇𝑇𝑇1 − �1 − �local sin la aplicación de nin𝑅𝑅𝑅𝑅únicamente
= 1 − �1 − 𝑅𝑅𝑅𝑅
la�=información
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅
gún método
de
regionalización,
ya que el contraste se ha
∅𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷𝐷𝐷𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
4 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛de
𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅retorno bajos.
centrado
en
los
periodos
∑
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∑=𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛=
= los𝜎𝜎𝜎𝜎datos
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 A
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
observados
se les ha asignado probabilidad
𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅∑∅𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡de
mediante la fórmula
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷Gringorten:
𝑇𝑇𝑇𝑇
4
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡
4
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑍𝑍𝑍𝑍 =4−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇0.44 4−𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑍𝑍𝑍𝑍𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
= 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) = 𝑛𝑛𝑛𝑛4 +
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑍𝑍𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡𝑡0.12
𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅 41 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅
[4]
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑛𝑛𝑛𝑛
Siendo
el
valor
= (𝑄𝑄𝑄𝑄
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
)𝑡𝑡𝑡𝑡de la función de distribución del
𝑖𝑖𝑖𝑖))𝑖𝑖𝑖𝑖 −
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
𝑛𝑛𝑛𝑛
+ 0.12
𝑟𝑟𝑟𝑟 =𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞�
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44 el dato en la serie ordenada
𝑁𝑁𝑁𝑁 0.44
𝑖𝑖𝑖𝑖=−
dato
el
puesto
que
ocupa
𝑖𝑖𝑖𝑖,) ∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅0.12
𝑛𝑛𝑛𝑛𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
)=
1=1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) =
𝑖𝑖𝑖𝑖
=
∅
+ 0.12
de𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
menor
mayor, y 𝑛𝑛𝑛𝑛 el
número total de datos de la serie.
𝑛𝑛𝑛𝑛∑+a𝑁𝑁𝑁𝑁0.12
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
1
)𝑖𝑖𝑖𝑖 obtenido
− (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡 los caudales proporPosteriormente,
se
han
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 2�
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅
= por
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀cada
�1 𝑖𝑖𝑖𝑖+
cionados
modelo
para las mismas pro𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖estadístico
)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
11=1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑟𝑟𝑟𝑟1=𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑄𝑄𝑄𝑄
�𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇)𝑖𝑖𝑖𝑖 −
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
𝑟𝑟𝑟𝑟babilidades
= � 4 que se 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
han
𝑖𝑖𝑖𝑖 asignado mediante la fórmula de
1=1 (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛 )𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
1=1 𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑅𝑅a los datos
Gringorten
observados.
A partir de esa infor2
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=ajuste
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖de
� un
mación,
error
del
determinado
modelo a los
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = el ∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
2
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀2𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖2
=
=𝑄𝑄𝑄𝑄
∅
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟de
𝑁𝑁𝑁𝑁estación
datos
una
se
ha
medido
como
la
media
de las
=
�
+
∑
=
�
+
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
diferencias
𝑖𝑖𝑖𝑖 −adimensionales
0.44 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 entre los caudales observados y
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) = 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
los proporcionados
por
el modelo:
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑅𝑅𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
+ 0.12
1 𝑡𝑡𝑡𝑡�
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑟𝑟=
�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�=
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
==
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑍𝑍
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑅𝑅
En el caso de la función de distribución LP-III, no se
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 ) − (𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
𝑖𝑖𝑖𝑖 1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑟𝑟𝑟𝑟 = � 𝑁𝑁𝑁𝑁
ha considerado el ajuste por máxima verosimilitud, ya
[5]
= 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜�
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁1𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 (𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑁𝑁𝑁𝑁
+
que su cálculo suele presentar problemas de convergen1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇1= �� 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑇𝑇𝑇𝑇 =
= 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
� 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀−𝑇𝑇𝑇𝑇 0.44
cia. Asimismo, no se han considerado funciones como la
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑁𝑁𝑁𝑁�
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖 )1=1
=𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 +
SQRT-ETmax (Etoh et al., 1986), al estar deducida teóricaDonde
es0.12
el número
de datos de la estación. En el
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � +𝑁𝑁𝑁𝑁𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
1se han
2
mente para su utilización con datos de precipitación, o la
cálculo del 𝑀𝑀𝑀𝑀
error
eliminado
los𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖datos que están por
𝑁𝑁𝑁𝑁
�
𝑇𝑇𝑇𝑇 =
1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟
� 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
1𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑟𝑟𝑟𝑟
�𝛼𝛼𝛼𝛼𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁 +𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
� 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
+− (𝑄𝑄𝑄𝑄
�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇1=1 �
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖)1
𝑖𝑖𝑖𝑖1=1
�
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇 =
�
� 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛 1=1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑄𝑄𝑄𝑄en
1=1
1=1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 distintas
Tabla 4. Error medio del ajuste a los datos para cada uno de los modelos estadísticos
𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼𝛼𝛼 1
𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡regiones
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10
)�𝑟𝑟𝑟𝑟
1=
1𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
1 2 1 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2 91
Modelo
Región 12
Región 21
Región 31
Región
Región
Región 92
2 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
1 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2 �1
− 𝑟𝑟𝑟𝑟81
=61
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
�𝑟𝑟𝑟𝑟1 𝛼𝛼𝛼𝛼Región
𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
𝛼𝛼𝛼𝛼 1 −
𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
=�2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
�
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
=
+
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 0.1855
G - Mom
0.0829
0.0614
0.1640
0.3102
0.0517
0.1106
1 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖)2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑢𝑢𝑢𝑢
2 𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑀𝑀𝑀𝑀2𝑇𝑇𝑇𝑇 =
= (𝜆𝜆𝜆𝜆1�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖1 )2 = −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑁𝑁𝑁𝑁
G - LMom
0.0798
0.0577
0.1534
0.2644
0.1656
0.0510
0.1061
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
= −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡
2 )𝑎𝑎𝑎𝑎1
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 =
−10
G - ML
0.0782
0.0594
0.1671
0.2590
0.1091
1 1 20.0545
1
(𝑡𝑡𝑡𝑡2(𝜆𝜆𝜆𝜆
)211𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖)21 (𝑡𝑡𝑡𝑡0.1581
2 )1
∝2𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜆𝜆𝜆𝜆=1 )2 𝑢𝑢𝑢𝑢
2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
GEV - Mom
0.0715
0.0545
0.1466
0.2057
0.1440
0.0480
0.0841
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝑢𝑢𝑢𝑢2 =
− 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
1 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )�2𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
2 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆0.1034
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑀𝑀𝑀𝑀
GEV - LMom
0.0549
0.0476
0.1248
0.1244
0.0605
12)2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼20.0440
2 𝑇𝑇𝑇𝑇==(𝜆𝜆𝜆𝜆
1 )�
2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑡𝑡𝑡𝑡
2 )2
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
GEV - ML
0.0582
0.0512
0.1422
0.0460
0.0681
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )0.1203
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 =0.1754
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇1𝑄𝑄𝑄𝑄100
2
(𝑡𝑡𝑡𝑡
2 )2
𝑀𝑀𝑀𝑀
= (𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
(𝑡𝑡𝑡𝑡22)2
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1 0.1450
)
∝𝑇𝑇𝑇𝑇20.1786
=
)
LN2 - Mom
0.0686
0.0601
0.1713
0.0505
0.0705
2
2
1
2
𝑁𝑁𝑁𝑁 ∝𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑛𝑛𝑛𝑛=2 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
∝𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆=
1 )𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
2 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝑟𝑟𝑟𝑟
2
LN2 - LMom
0.0667
0.0588
0.1469
0.1232
0.1245
0.0510
0.0664
1
1 − 0.35
𝑄𝑄𝑄𝑄100
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇� = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 0.1374
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0.1603
LN2 - ML
0.0705
0.0677
0.1839
0.0563
0.0747
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛=1=1
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄100 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
+𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑎𝑎𝑎𝑎� = 𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄)100
𝑜𝑜𝑜𝑜 0.1073
𝑄𝑄𝑄𝑄(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄1−10
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇 1=
LN3 - Mom
0.0589
0.0520
0.1218
0.0473
0.0608
= 100
� 𝑇𝑇𝑇𝑇(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑀𝑀𝑀𝑀)𝑇𝑇𝑇𝑇20.1120
2 1
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
LN3 - LMom
0.0544
0.0474
0.1186
0.1071 1=1
0.1005
0.0435
0.0571
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = �
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0𝑛𝑛𝑛𝑛1
𝑛𝑛𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛𝑛𝑛0.35
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑟𝑟𝑟𝑟
1
1
−
0.35
1=1
LN3 - ML
0.0652
0.2675
0.1393
0.1213
0.0454
0.1132
−
0.35
=
�
�
𝑢𝑢𝑢𝑢2 𝑜𝑜𝑜𝑜=𝑟𝑟𝑟𝑟10.2271
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2�
−1𝑥𝑥𝑥𝑥0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑖𝑖𝑖𝑖
1𝑛𝑛𝑛𝑛 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
�
�
� 𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝛼𝛼𝛼𝛼 2 2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = �𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 =𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
�𝑛𝑛𝑛𝑛 0.0541
=1=1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑛𝑛𝛼𝛼𝛼𝛼𝑛𝑛𝑛𝑛1 0.1234
𝑛𝑛𝑛𝑛0.1787
GP - Mom
0.0686
0.0537
0.1062
0.0666
1=1
1=1
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
1
𝜆𝜆𝜆𝜆120)=
𝑜𝑜𝑜𝑜
GP - LMom
0.0630
0.0520
0.0971
0.1097 (𝑡𝑡𝑡𝑡
0.0547
0.0555
2 0 0.0930
∝2𝜆𝜆𝜆𝜆= (𝜆𝜆𝜆𝜆
=1𝑜𝑜𝑜𝑜)02 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎 0.1399
1 0.1294
GP - ML
0.1146
0.2898
0.1889
0.2237
0.1583
𝜆𝜆𝜆𝜆12 =
𝑜𝑜𝑜𝑜0 )𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡 )𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜆𝜆𝜆𝜆1𝜆𝜆𝜆𝜆 =(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑜𝑜𝑜𝑜6𝑜𝑜𝑜𝑜
)2 2=− −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
6𝑜𝑜𝑜𝑜
3 =10
1 + 𝑜𝑜𝑜𝑜10 1 2 1
− 𝑜𝑜𝑜𝑜0
GLO - Mom
0.0849
0.0684
0.1897
0.2511 𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜10.1758
0.0592
0.1099
𝜆𝜆𝜆𝜆2 0.1315
=
1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝜑𝜑𝜑𝜑 2𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑄𝑄𝑄𝑄100
GLO - LMom
0.0579
0.0539
0.1418
0.0474
0.0683
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑢𝑢𝑢𝑢=
2𝑜𝑜𝑜𝑜0.1130
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑄𝑄𝑄𝑄
−
𝑜𝑜𝑜𝑜) 𝜆𝜆𝜆𝜆−
=1𝑇𝑇𝑇𝑇(𝜆𝜆𝜆𝜆
2 =
2 4=
𝜆𝜆𝜆𝜆
=22𝑜𝑜𝑜𝑜
20𝑜𝑜𝑜𝑜
3 1−0230𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜12 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
6𝑜𝑜𝑜𝑜
−
6𝑜𝑜𝑜𝑜
+
𝑜𝑜𝑜𝑜
20.1722 1
0
GLO - ML
0.0834
0.0579
0.3206
0.3486 3
0.0518
0.1161
𝑛𝑛𝑛𝑛 2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜1 + 𝑜𝑜𝑜𝑜0 𝑟𝑟𝑟𝑟
LPIII - Mom
0.0581
0.0526
0.1187
0.1168
0.1035
0.0461
0.0598
1
1
−
0.35
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
6𝑜𝑜𝑜𝑜
−
6𝑜𝑜𝑜𝑜
+
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑡𝑡𝑡𝑡3 ==6𝑜𝑜𝑜𝑜
− 6𝑜𝑜𝑜𝑜1(𝑡𝑡𝑡𝑡
3+
1
0
2 )𝑜𝑜𝑜𝑜20 2
/𝜆𝜆𝜆𝜆
=2𝜆𝜆𝜆𝜆=22�
𝑜𝑜𝑜𝑜2𝑟𝑟𝑟𝑟 ∝
(𝜆𝜆𝜆𝜆11𝑥𝑥𝑥𝑥)𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖24�= 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 −� 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
LPIII - LMom
0.0548
0.0478
0.1015
0.1030
0.0444
0.0583
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2 𝑛𝑛𝑛𝑛 0.0962
𝜆𝜆𝜆𝜆4 =1=1
20𝑜𝑜𝑜𝑜3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
PEIII - Mom
0.0894
0.0658
0.1667
0.4911
0.2396
0.0522
0.1255
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
+
12𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝜆𝜆𝜆𝜆4 = 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜
4 2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜
3 1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0 2
1
0
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑄𝑄𝑄𝑄2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆0.2114
1
PEIII - LMom
0.0881
0.0582
0.1441
0.0529
0.1224
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
𝜆𝜆𝜆𝜆1 𝑄𝑄𝑄𝑄
=𝑇𝑇𝑇𝑇0.4548
𝑜𝑜𝑜𝑜=
𝑡𝑡𝑡𝑡2 =0 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1
𝑡𝑡𝑡𝑡2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1 𝑡𝑡𝑡𝑡2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜11 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0 1 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
CEH1 174.indd 18
𝜆𝜆𝜆𝜆3 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜1 + 𝑜𝑜𝑜𝑜0
23/06/14 13:02
debajo de un periodo de retorno de 1.25 años, al no ser reestadísticos considerados. Se puede considerar, por tanto,
presentativos del rango de probabilidades en el que es útil
que los resultados que se obtengan a partir de las simulael modelo, y al asignar en muchos casos los modelos vaciones matemáticas reflejarán adecuadamente el comporlores de caudal negativo en ese rango de probabilidades,
tamiento real de la región.
lo que podría conducir a extraer del análisis conclusiones
Finalmente, se ha realizado el análisis de la capacidad
erróneas. Finalmente, el error de cada modelo se ha calcupredictiva de los modelos estadísticos que han demostralado como el valor medio de todas las estaciones existentes
do ser más adecuados para describir las características esen la región.
tadísticas de cada región. Este análisis se ha realizado para
En la figura 5 se representan los resultados para distinlos periodos de retorno superiores a 100 años. Para ello, se
tas regiones, en el caso de aquellas estaciones de aforos con
ha utilizado la función kappa, función de distribución de
más de 50 datos, y en la tabla 4 los errores correspondientes
cuatro parámetros más general que todas las utilizadas y
a cada modelo en cada región.
que contiene a la mayoría 𝑁𝑁𝑁𝑁de éstas como casos particulares,
1
Se observa cómo uno de los modelos que presenta
lo que permite
no�1condicionar
los resultados del análisis. 1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 −
− �
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅 =las1 esta− �1 − �
errores menores en todas las regiones es la función GEV
Esta función kappa se ha ajustado a cada una de
𝑇𝑇𝑇𝑇
ajustada mediante L-momentos. En algunos casos, otras
ciones de cada región,
tomando
los
valores
regionales
del
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
funciones como la LPIII ajustada mediante el método
L-CS y L-CK,
y los𝑖𝑖𝑖𝑖=1
valores locales de la media y el L-CV.
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
de los momentos o la función GP mediante L-momenLas funciones kappa ajustadas en cada estación
serán ∑
la𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
tos, presentan un mejor ajuste a los datos pero, como
base
en el análisis.
1 𝑁𝑁𝑁𝑁 de comparación
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅
se expondrá en el próximo apartado, en general realifunciones
kappa, se han generado 10.000
4
𝑇𝑇𝑇𝑇 A partir de las4−𝑡𝑡𝑡𝑡
1 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖�1
∅es
𝑅𝑅𝑅𝑅 ∑
=𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1−
−decir,
� con
zan una extrapolación más deficiente a altos periodos
regiones sintéticas
a las observadas,
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑍𝑍
=
1 𝜎𝜎𝜎𝜎similares
𝑇𝑇𝑇𝑇
∅
=
𝑅𝑅𝑅𝑅 ∅mismo
= 1 − �1
− � de
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
de retorno.
el
número
estaciones 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
y con un
número
de
datos
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
en
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1en
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 cada estación igual al número de datos registrados
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
=ajustado
∅se
𝑅𝑅𝑅𝑅
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ha
3.2.3. Análisis de la capacidad predictiva de los modelos
las estaciones
a
cada
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 −Posteriormente,
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛reales.
0.44
𝑡𝑡𝑡𝑡
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =sintéticas generadas los
estadísticos
una
de las∑series
distintos
modelos
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
4 estadísticos seleccionados, con el esquema
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 de
𝑅𝑅𝑅𝑅 regionaliza-+ 0.12
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑁𝑁𝑁𝑁 CS
𝑅𝑅𝑅𝑅
Junto con el análisis de la capacidad descriptiva de los
decir,
el valor regional
4
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 ción adoptado,
𝑛𝑛𝑛𝑛 1
1del
=
− �1tomando
− �
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇1𝑅𝑅𝑅𝑅 es
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
)𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
1
−
�1
−
�
4
𝑁𝑁𝑁𝑁
modelos estadísticos expuesto en el apartado anterior, se
de
cada región
sintética y los1valores locales 𝜎𝜎𝜎𝜎
de𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅la media
y 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑇𝑇𝑇𝑇1
4
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑅𝑅𝑅𝑅
ha realizado un análisis de la capacidad predictiva de los
el CV.
𝑡𝑡𝑡𝑡 4
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑇𝑇𝑇𝑇
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44Para valorar
𝑛𝑛𝑛𝑛
+cada
0.12
∑
∅
𝑛𝑛𝑛𝑛
distintos modelos, es decir, un análisis de su precisión
y
la
capacidad
predictiva
de
modelo
es=
∅
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
0.12
1 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2para
𝑛𝑛𝑛𝑛 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖cada estación
𝑖𝑖𝑖𝑖∑−
0.44
robustez en la extrapolación a los periodos de retorno 𝑛𝑛𝑛𝑛 + tadístico,
y𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
para
se ha calculado,
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 cada
𝑁𝑁𝑁𝑁= �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅 =𝑖𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
1−−0.44
− =
� 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑁𝑁𝑁𝑁 +𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
2
1�1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
𝑇𝑇𝑇𝑇
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
más altos. Para llevar a cabo este análisis se ha asumido
periodo
de
retorno
,
el
error
cuadrático
medio
(
)=del
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅
)
=
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡cuantiles
𝑟𝑟𝑟𝑟 =obtenidos
�
𝑛𝑛𝑛𝑛de
+
0.12
𝑅𝑅𝑅𝑅
el esquema de regionalización seleccionado anteriormente,
conjunto
10.000
1
)𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
)𝑡𝑡𝑡𝑡los
4
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷)𝑇𝑇𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 cada
𝑡𝑡𝑡𝑡mediante
𝑁𝑁𝑁𝑁 =
4−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑍𝑍𝑍𝑍
1=1
∑
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
4
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
�
modelo
estadístico
respecto
al
cuantil
proporcionado
por
consistente en adoptar un valor regional para el CS (regio𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜∅)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 −
(𝑄𝑄𝑄𝑄 )
𝑡𝑡𝑡𝑡 44𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
1=1
𝜎𝜎𝜎𝜎
∑
𝑅𝑅𝑅𝑅 se=obtie-𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑖𝑖𝑖𝑖 ). El
𝑄𝑄𝑄𝑄
la𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
función
kappa
(
error
cuadrático
medio
nalización del parámetro de forma).
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
4
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 1 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟 =como
� suma
1
1=1
ne
del error𝜎𝜎𝜎𝜎medio
o=sesgo
la
vaEste análisis se ha llevado a cabo mediante simulaciones
𝑅𝑅𝑅𝑅
1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖−=�1(�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
− 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�)� y+de
𝑅𝑅𝑅𝑅 =2𝑛𝑛𝑛𝑛1 1=1
− �1 −𝑅𝑅𝑅𝑅 (𝑄𝑄𝑄𝑄
� 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇): 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀rianza
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
de Monte Carlo, por lo que un primer paso ha consistido
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � +(𝑅𝑅𝑅𝑅
4−𝑡𝑡𝑡𝑡14
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.442 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑍𝑍𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
= 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
en comprobar que los modelos estadísticos considerados,
= 2�1 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
=∅�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �1 + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
) 𝑛𝑛𝑛𝑛
=
�
∑
𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 =∑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑛𝑛𝑛𝑛𝜎𝜎𝜎𝜎
�1
𝑅𝑅𝑅𝑅− �
𝑁𝑁𝑁𝑁
∅
= � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
+𝑇𝑇𝑇𝑇 0.12
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
�4𝑖𝑖𝑖𝑖=1
+𝑇𝑇𝑇𝑇) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
junto con el esquema de regionalización adoptado, son ca- 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀 ∅
𝑁𝑁𝑁𝑁
∅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 [6]
𝑁𝑁𝑁𝑁
= =𝜎𝜎𝜎𝜎�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟== 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁4𝑅𝑅𝑅𝑅 1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑖𝑖 =
�
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
− �𝑖𝑖𝑖𝑖
paces de reproducir en cada región unas características
=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖es𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁 1
𝑇𝑇𝑇𝑇
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡
∑
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖�
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
Para
hacer
comparables
los resultados
las𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜diferentadísticas similares a las que tienen los datos observados.
)𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑁𝑁𝑁𝑁(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
=
=1 de (𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑅𝑅𝑅𝑅
∅�
= 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖1
+𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
−
�𝑛𝑛𝑛𝑛𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑁𝑁𝑁𝑁 0.44
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛región,
)𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁= 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�
∑
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁
tes
de
la
con
diferentes
magnitudes
Esto permite realizar una primera valoración de la capa)
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
=
=𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 estaciones
1𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜de
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
1=1
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
∑
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡 4
4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁
0.12
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
�𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖+
=
� un𝑄𝑄𝑄𝑄resultado
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇=
= �
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑍𝑍𝑍𝑍
∅
𝑍𝑍𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑖𝑖𝑖𝑖 )==y∑
caudal,
poder
obtener
global
para
cada
recidad de los distintos modelos para representar el com- 1
1=1𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁+ 0.12
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑡𝑡𝑡𝑡 4
𝑁𝑁𝑁𝑁 ese objeto,
2los errores.
4𝑡𝑡𝑡𝑡
gión, es necesario
estandarizar
Con
portamiento estadístico de las distintas regiones, así como
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
1 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2
2
4 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑟𝑟𝑟𝑟−cuadrada
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑛𝑛𝑛𝑛=𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 obtener
= �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
la𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
raíz
(para
comprobar la validez de los resultados que se obtengan 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 se ha 𝑍𝑍𝑍𝑍1calculado
1 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
−)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡 2𝛼𝛼𝛼𝛼 2del� 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
= )�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
� + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
una
del𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
error
mismas
caumediante las simulaciones de Monte Carlo.
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅que
4 (𝑄𝑄𝑄𝑄
1 unidades
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
� 𝑛𝑛𝑛𝑛4 1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖las 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 con
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 +el𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖−�0.44
𝑍𝑍𝑍𝑍
=𝑛𝑛𝑛𝑛medida
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =) = �
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
y) 1=1
se+𝑖𝑖𝑖𝑖=1
por el𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
valor
del
proporcionado
Con este objetivo, se han generado mediante simula- 1
=
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 cuantil
𝜎𝜎𝜎𝜎ha𝑡𝑡𝑡𝑡𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
�dal)
𝑅𝑅𝑅𝑅dividido
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
�𝑁𝑁𝑁𝑁𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛(𝜆𝜆𝜆𝜆4+ )0.12
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
= =
−10(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑄𝑄𝑄𝑄(𝜆𝜆𝜆𝜆
)𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1lo
1𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
1 2 kappa
por la𝑄𝑄𝑄𝑄función
que𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖se=obtiene
un
error
ciones de Monte Carlo 10.000 regiones sintéticas similares
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡 )𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖1),1con
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
1�1 𝑄𝑄𝑄𝑄
�
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 −10
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
−
�
1
2 =
1 1 2 1
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
1=1
=
� 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
+el
2 )=
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
adimensional
(
para
periodo
de
retorno
cada
a cada una de las regiones identificadas. Cada región sin+
1𝑇𝑇𝑇𝑇 en𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇
1
)
=
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛=𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑛𝑛𝑛𝑛 +−0.12
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)1= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
�𝑟𝑟𝑟𝑟1=1
)𝑖𝑖𝑖𝑖1− −
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )2𝑡𝑡𝑡𝑡 �
𝑇𝑇𝑇𝑇 =11 �
)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 1 )
2
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
0.44
estación
:(𝑄𝑄𝑄𝑄
tética está compuesta por un número de estaciones igual al
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢−2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
= )(𝜆𝜆𝜆𝜆
−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑄𝑄𝑄𝑄2(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑟𝑟𝑟𝑟2 = �
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
�
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑢𝑢𝑢𝑢 = (𝜆𝜆𝜆𝜆 ) − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼 1𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
1
1=1
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
) 𝑖𝑖𝑖𝑖
2
1 2
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜∅
de la región real y cada estación tiene un número de datos
𝑛𝑛𝑛𝑛 +�𝑛𝑛𝑛𝑛0.12
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
=𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1 = 1
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
𝛼𝛼𝛼𝛼
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
1
2
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑄𝑄𝑄𝑄1𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )1
−
�
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑁𝑁𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
sintéticos igual al número de datos de la estación real que
2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 �𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑟𝑟𝑟𝑟
)𝛼𝛼𝛼𝛼22(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄 1 (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
�
1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1 [7]
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 ==
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟� 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10 (𝜆𝜆𝜆𝜆
− 𝑟𝑟𝑟𝑟2 �
�𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇)=
2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆
1
2 (𝑄𝑄𝑄𝑄
está representando.
𝑛𝑛𝑛𝑛
)
2
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑄𝑄𝑄𝑄∝
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
(𝜆𝜆𝜆𝜆11)1 (𝑡𝑡𝑡𝑡=2(𝑄𝑄𝑄𝑄
)�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
(𝜆𝜆𝜆𝜆1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
)2
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
)𝑡𝑡𝑡𝑡
1 1=1
2=
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 �− +
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∝+
𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�
Distintas características estadísticas de las regiones sin𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
+
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
1
4
𝑁𝑁𝑁𝑁
�
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
1=1𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅cada
Finalmente,
obtenido un error global
para
téticas (CV, CS, L-CV, L-CS y máximo valor estandarizado)
1
=
�
𝑜𝑜𝑜𝑜 ha�
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇se
2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
1
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
1
2
1
2
1
1
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇 2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
100� + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑁𝑁𝑁𝑁
4 𝑄𝑄𝑄𝑄 =media
región
y�
para
cada
periodo
de𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 retorno
(𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁
)𝑡𝑡𝑡𝑡�
como
se han comparado con las características de las regiones
11=1 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑀𝑀𝑀𝑀 =
𝑁𝑁𝑁𝑁�
�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 =(𝑡𝑡𝑡𝑡(𝜆𝜆𝜆𝜆2 )21=1
𝑇𝑇𝑇𝑇
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
2
)
−
de los
errores
adimensionales
de
todas
estaciones
que2
reales, mediante su representación en un papel probabilís𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 𝑄𝑄𝑄𝑄las
1
2
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
�
+
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢∝
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
1
2
1=1
𝑢𝑢𝑢𝑢)22 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 −
𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝑡𝑡𝑡𝑡2componen
la
región:
tico Gumbel.
1 𝑛𝑛𝑛𝑛
1 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖= 2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
1−
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 � 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖2 − 0.44𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
�𝑟𝑟𝑟𝑟0.35
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑟𝑟𝑟𝑟
�=𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
𝛼𝛼𝛼𝛼11 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼1
2 −
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
� 0.35
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
+
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
�
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
En la figura 6 se representan, a modo de ejemplo, los re2
(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁) 2=
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �
�
𝑜𝑜𝑜𝑜0.12
2 )=
2
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
+= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
= �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
�
𝑀𝑀𝑀𝑀1𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
1=1
1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
1∝2 2= �(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
� �(𝑡𝑡𝑡𝑡
1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
2 )2
sultados obtenidos para la región 31. Los resultados mues𝑇𝑇𝑇𝑇 =
1=1
= 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇�
𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2
=(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑀𝑀𝑀𝑀
1=1 𝑄𝑄𝑄𝑄
∝𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
)2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
[8]
𝑁𝑁𝑁𝑁1�
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇2 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 2 1 2
1 1 2 1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
tran que los diferentes modelos estadísticos, con el patrón
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2𝑛𝑛𝑛𝑛 = −10𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜆𝜆𝜆𝜆11=𝑁𝑁𝑁𝑁𝑜𝑜𝑜𝑜0 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
1
de regionalización adoptado, son capaces de reproducir
𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝜆𝜆𝜆𝜆1)=
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑟𝑟𝑟𝑟�𝑟𝑟𝑟𝑟
−10
)1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛 =�
1𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2 1�)1 (𝑡𝑡𝑡𝑡
11 )2 =
0
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇1𝑄𝑄𝑄𝑄−
−2𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑟𝑟𝑟𝑟12𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝑀𝑀𝑀𝑀
100
0.35
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑁𝑁𝑁𝑁= = �
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
1 =−
2−�estaciones
en𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛 1=1
la
con bastante precisión la distribución en la región de los 𝑛𝑛𝑛𝑛
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟el𝑢𝑢𝑢𝑢2número
(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑟𝑟𝑟𝑟1 )2de
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 Siendo
=1
𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 región.
�
� )𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 =2 �
𝑁𝑁𝑁𝑁 100
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖2
1
1 − 0.35
𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑢𝑢𝑢𝑢2 =�(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑛𝑛𝑛𝑛− +
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1 �𝜆𝜆𝜆𝜆𝑟𝑟𝑟𝑟2�𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1 )2𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
� = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖− 𝑜𝑜𝑜𝑜0
� 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜 − 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1=1
=
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢2 𝑄𝑄𝑄𝑄
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆 ) − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼𝑁𝑁𝑁𝑁
1
0
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 Ingeniería
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1 Civil 𝑄𝑄𝑄𝑄
1 − 0.35
174/2014
| 19
𝑛𝑛𝑛𝑛)2 = 𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
(𝜆𝜆𝜆𝜆11=1
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )1𝑜𝑜𝑜𝑜 2(𝑡𝑡𝑡𝑡 )𝑐𝑐𝑐𝑐
= =�
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 � �2 + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟1=1
𝑜𝑜𝑜𝑜 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟1 22 21
𝑎𝑎𝑎𝑎1
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 1= −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆2−
)0.35
(𝑡𝑡𝑡𝑡12)𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
+
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
∝
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
1
1�
1𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
2 2 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑥𝑥𝑥𝑥 =
� 6𝑜𝑜𝑜𝑜2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜
�21 +
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇�
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜0 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1=1
1 )2 1𝜆𝜆𝜆𝜆 = 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2(𝑡𝑡𝑡𝑡2 ) 1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁= 3𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 �
6𝑜𝑜𝑜𝑜 2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜1 + 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
3
𝑄𝑄𝑄𝑄
2 2
𝛼𝛼𝛼𝛼
1=1
1
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
+(𝜆𝜆𝜆𝜆
− 2𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 22 �
=−
)22 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
=�
(𝜆𝜆𝜆𝜆�𝑟𝑟𝑟𝑟
)2∝1−
𝑟𝑟𝑟𝑟 1𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
�2 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) 1
=
2
11=1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑢𝑢𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇2 =
= (𝜆𝜆𝜆𝜆�
)2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑁𝑁𝑁𝑁 1 𝜆𝜆𝜆𝜆
23/06/14 13:02
= 20𝑜𝑜𝑜𝑜𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
−𝑇𝑇𝑇𝑇30𝑜𝑜𝑜𝑜
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑜𝑜𝑜𝑜101==
𝜆𝜆𝜆𝜆 1=−
−�𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜
00
𝑟𝑟𝑟𝑟2𝑜𝑜𝑜𝑜
1 100 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2 2
1=1 4 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 =3𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
CEH1 174.indd 19
CS
CV
Periodo de retorno (T)
L-CV
Máximo valor estandarizado
L-CS
Figura 6. Contraste entre la distribución muestral de diferentes estadísticos en la región y la obtenida mediante generación de regiones sintéticas. Región 31.
En la figura 7 se muestran los resultados obtenidos para
distintas regiones. Se observa cómo el modelo estadístico
que presenta una mejor capacidad predictiva, en el conjunto de todas las regiones, es la función GEV ajustada mediante L-momentos, modelo que presentaba también un
muy buen comportamiento en cuanto a su capacidad descriptiva.
3.2.4. Modelo estadístico seleccionado
Como resultado de los estudios y análisis anteriores,
se ha seleccionado para el ajuste de las leyes de frecuencia
de caudales máximos en el ámbito geográfico de la España peninsular la función de distribución de valores extremos generalizada (GEV) ajustada mediante el método de
los L-momentos (L-Mom), asumiendo un valor regional
para el L-CS en cada una de las regiones estadísticamente
homogéneas identificadas, y tomando un valor local para
el L-CV.
Como casos especiales, se ha seleccionado una función
Gumbel (caso particular de la GEV) ajustada por el procedimiento de los L-momentos en las regiones 21 y 23 de
la cuenca del Duero, y en el eje principal del Ebro hasta la
confluencia con el Segre. Por otra parte, como se expondrá
CEH1 174.indd 20
23/06/14 13:02
ET
Región 21
ET
Región 12
Región 31
Región 61
ET
Periodo de retorno
ET
Periodo de retorno
Región 81
Región 91
ET
Periodo de retorno
ET
Periodo de retorno
Periodo de retorno
Periodo de retorno
ET
Región 92
Periodo de retorno
Figura 7. Resultados del análisis de la capacidad predictiva de los distintos modelos estadísticos para una selección de regiones.
CEH1 174.indd 21
23/06/14 13:02
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑛𝑛𝑛𝑛
�
1=1
2
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
en el apartado 3.4., en las regiones situadas en el levante 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = función
de
distribución
original. Obteniendo posterior𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
y sureste peninsular, debido a su especial comportamienmente el valor
medio
del
error para todas las estaciones
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
to hidrológico, se ha seleccionado una función TCEV mede la región.
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
diante el procedimiento regional de ajuste que se expondrá
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁
en dicho apartado.
𝑁𝑁𝑁𝑁
�
𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 1
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 + �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �
[9]
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4
𝑍𝑍𝑍𝑍
𝑁𝑁𝑁𝑁 =
3.3. Análisis del método de regionalización en función
del número de datos
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅
4
1
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
=1 1 − �1
−
�
𝑁𝑁𝑁𝑁 Siendo 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 el𝛼𝛼𝛼𝛼 cuantil𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
de2 𝑇𝑇𝑇𝑇 años de periodo de retorno
1=1 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑒𝑒𝑒𝑒 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
Tal como se ha expuesto en los apartados anteriores,
de la estación 𝑖𝑖𝑖𝑖,−y 0.44
N el número de estaciones de aforo que
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 )1 = 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
y como resultado de los análisis de homogeneidad, se ha
forman𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
la
región.
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
2 �=
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 ∅𝛼𝛼𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖
seleccionado un esquema de regionalización basado en la
En la figura
de𝑛𝑛𝑛𝑛ejemplo,
se muestra el error
(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2 8, a título𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 𝑛𝑛𝑛𝑛
utilización de un valor regional del L-CS (regionalización
de cada uno
de
los
procedimientos
de
regionalización en
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑙𝑙𝑙𝑙
2
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 −
𝑅𝑅𝑅𝑅 (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑜𝑜𝑜𝑜�
𝑐𝑐𝑐𝑐
=del
𝑡𝑡𝑡𝑡
del parámetro de forma), y valores locales de la media y el (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 =función
número
de
datos
de
la
muestra
para la región
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
−10𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
4−𝑡𝑡𝑡𝑡)4𝑖𝑖𝑖𝑖
1𝑛𝑛𝑛𝑛 1 2 1
1=1 𝑍𝑍𝑍𝑍 =
2
L-CV, para el ajuste de las leyes de frecuencia de caudales
estadística 81.
1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 �
𝜎𝜎𝜎𝜎�∑
1
𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖que,
𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖
� para longitudes de
máximos.
Como resultado
se−observa
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
2
Sin embargo, cuando el número de datos de la serie es
registro
o
superiores
a
20
años,
la utilización del
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑙𝑙𝑙𝑙
−iguales
1) �
=
�
+
𝑙𝑙𝑙𝑙
1=1
reducido la estimación local del L-CV puede no ser lo sumétodo de regionalización
del parámetro de forma lleva
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2 menores,) principalmente
ficientemente precisa. En ese caso, aunque algunas de las ∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆a1 )errores
para los periodos de
=
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖Es decir,
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2 más�altos.
regiones identificadas no puedan considerarse completaretorno
la
utilización
de una estima𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 lleva a mejores resultados, ya que para
mente homogéneas respecto al comportamiento del L-CV,
ción local del L-CV
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄dichas
la estimación regional de este estadístico puede estar más 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑muestras
de esa longitud
estimaciones
se pueden
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 Para una longitud de
cercana al valor real que la estimación local a partir de los
considerar 1suficientemente
fiables.
1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 de
= entre
� 𝑟𝑟𝑟𝑟15 y 20 años, los resultados son muy paredatos. De esta forma, un esquema de regionalización baregistro
1
1 − 𝑁𝑁𝑁𝑁
0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
sado en índice de avenida, con valores regionales para el 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = cidos,
la� utilización de un
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �aunque𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 valor regional del L-CV
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
� + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅Para
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖mejores.
1=1 a resultados
L-CS y L-CV, puede ser más adecuado.
lleva
ligeramente
longitudes in𝑁𝑁𝑁𝑁
Con el objetivo de aclarar esta circunstancia, se ha reaferiores a 151 años,
el
método
del
índice
de
avenida
propor�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
�
lizado un análisis para determinar a partir de qué número 𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0ciona𝑀𝑀𝑀𝑀mejores
resultados
que
el
método
de
regionalización
𝑇𝑇𝑇𝑇 =
�
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖forma.
de datos el método del índice de avenida proporciona una
del parámetro1=1de
Es decir, para series cortas la es𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
local
del
L-CV
no
es 2suficientemente fiable, y remayor precisión que el esquema de regionalización del pa- 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜timación
1
2
1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 � regional a pesar de que la
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) precisa
= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟su𝛼𝛼𝛼𝛼estimación
sulta más
rámetro de forma. El análisis se ha llevado a cabo para las
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
región no se puede considerar
completamente homogénea
distintas regiones identificadas en el apartado 3.1.
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝑇𝑇𝑇𝑇
2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜1 +
𝑁𝑁𝑁𝑁
a ese
estadístico.
El procedimiento seguido ha consistido en ajustar una 𝜆𝜆𝜆𝜆3 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜respecto
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
Finalmente,
como
conclusión,
aunque el método refunción de distribución a cada estación de aforo de la re3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜
2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜
0 𝑁𝑁𝑁𝑁sido el de regionalización del pagional
seleccionado
ha
gión (a partir de los modelos estadísticos seleccionados en 𝜆𝜆𝜆𝜆4 = 20𝑜𝑜𝑜𝑜
1
𝑢𝑢𝑢𝑢2 =
rámetro
de(𝜆𝜆𝜆𝜆
forma
el apartado 3.2.) mediante el esquema regional propues1 )2 − (consistente
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 2 en la utilización de un valor
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
del L-CS para1=1
cada una𝑄𝑄𝑄𝑄de
to anteriormente, es decir, considerando un valor regional
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 las regiones y la esti𝑡𝑡𝑡𝑡2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2regional
/𝜆𝜆𝜆𝜆1
1
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
−
�1
−
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
mación local, a partir
del L-CS,
(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2 de los datos de la muestra, del L-CV
1 y valores locales del L-CV y la media. A partir
𝑇𝑇𝑇𝑇 de
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆un
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 −estas
�1 −funciones
�
1 )2 esquema de ajuste
y la media),
en adoptar valose han generado 10.000 regiones sintéticas
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 −basado
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1aparta𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖
res regionales para el L-CV y el L-CS (índice de avenida),
pero, al contrario que en el estudio expuesto en los
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑖𝑖𝑖𝑖
puede𝑄𝑄𝑄𝑄tener
un mejor comportamiento, con la consiguiendos
con el mismo número de datos
en∑todas
las
𝑖𝑖𝑖𝑖=1anteriores,
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑜𝑜𝑜𝑜 cuando
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
te reducción de(𝜆𝜆𝜆𝜆la1 )incertidumbre,
la serie de cauestaciones
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 que componen la región. Finalmente, a cada se2 = −10 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
𝑅𝑅𝑅𝑅
dales
máximos
disponible
es
de
longitud
reducida,
inferior
rie sintética generada se le ha vuelto a ajustar 𝑡𝑡𝑡𝑡una función
𝑛𝑛𝑛𝑛
4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅de distribución mediante
1
1 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
a
15
ó
20
datos.
dos
procedimientos:
tomando
un
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
1
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = �𝑢𝑢𝑢𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑖𝑖𝑖𝑖 �= (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 −�0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
=4 1 regional
− �1 − para
�
el L-CS y valores locales para𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡el4𝑅𝑅𝑅𝑅 L-CV
𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝑅𝑅𝑅𝑅valor
1=1
𝑇𝑇𝑇𝑇
3.4. Análisis de las funciones de distribución en el y𝜎𝜎𝜎𝜎la𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅media (regionalización del parámetro de forma), y to(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )2
levante y sureste
mando valores
regionales para el L-CS y el L-CV y un valor
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1peninsular
)2
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
𝑜𝑜𝑜𝑜
1
0
∅
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
local
para∑𝑁𝑁𝑁𝑁la media
(índice de avenida). 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞 ) = 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 −Estas
0.44 funciones
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
Como se ha expuesto anteriormente, las regiones cosde distribución se han comparado con
𝜆𝜆𝜆𝜆2 =levante
2𝑜𝑜𝑜𝑜1 −𝑄𝑄𝑄𝑄y𝑇𝑇𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜0sureste
+ 0.12
= 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
teras del
peninsular (regiones 72, 82 y 84)
la𝑛𝑛𝑛𝑛función
𝑅𝑅𝑅𝑅 de distribución original, utilizada para generar
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑛𝑛𝑛𝑛
presentan
un
comportamiento
hidrológico especial, con
las regiones
los (𝑄𝑄𝑄𝑄
dos
mé4 sintéticas, evaluando el error de
1
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑟𝑟𝑟𝑟 = y �
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
6𝑜𝑜𝑜𝑜
−
6𝑜𝑜𝑜𝑜
+
𝑜𝑜𝑜𝑜
dos
mecanismos
de
generación
de crecidas
muy diferenregionalización
(índice
de
avenida
regionaliza𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑅𝑅𝑅𝑅
1 todos
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜de
)𝑖𝑖𝑖𝑖𝜎𝜎𝜎𝜎−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
3
2
1
0
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡
1
1 − 0.35
1=1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 � precipitaciones
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = �con
1
ciados:
uno
relacionado
de
menor inde
forma)
para
distintas
longitudes
de
𝑛𝑛𝑛𝑛 ción del
(𝑄𝑄𝑄𝑄parámetro
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
1=1
1=1
tensidad
procedentes
de
sistemas
frontales,
que
generan
las series de datos. Para cada periodo de retorno 𝑇𝑇𝑇𝑇, de cada
𝜆𝜆𝜆𝜆4 = 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
2
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖)� y+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖crecidas más frecuentes pero con caudales no muy elevaestación 𝑖𝑖𝑖𝑖,−se0.44
ha calculado el error medio𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
o sesgo
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = (
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) = 2
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0con precipitaciones muy intensas de
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
+(0.12
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 ) de todo el conjunto de
la �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
varianza
simulaciones
dos; otro relacionado
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑛𝑛𝑛𝑛 +
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
realizadas, para ambos métodos de regionalización
sistemas
convectivos, que ocurren habitualmente en oto𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 y para
𝑛𝑛𝑛𝑛
cada longitud
de muestra considerada. Para
ño y generan crecidas
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 =cuantificar de
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1poco
− 𝑜𝑜𝑜𝑜0 frecuentes pero con caudales
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑅𝑅𝑅𝑅
= �
global la precisión de cada ajuste se
ha𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷calculado
el
muy elevados.
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑟𝑟forma
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1la estimación, para cada periodo
𝑍𝑍𝑍𝑍 = de retorno,
error
de
como
Las leyes de frecuencia de caudales máximos en esas
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑁𝑁𝑁𝑁 del sessuma de la desviación típica más el valor absoluto
zonas se caracterizan
por presentar dos ramas muy dife1
𝑁𝑁𝑁𝑁
2el valor del cuantil proporcionado
go,
dividido
por
por
la
renciadas
correspondientes
a ambos tipos de fenómenos,
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�
+
𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑁𝑁𝑁𝑁
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
CEH1 174.indd 22
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
23/06/14 13:02
Número de datos: 35
Error de precisión
Error de precisión
Error de precisión
Periodo de retorno
Error de precisión
Periodo de retorno
Error de precisión
Periodo de retorno
Error de precisión
Periodo de retorno
Número de datos: 5
Error de precisión
Periodo de retorno
Error de precisión
Periodo de retorno
Periodo de retorno
Periodo de retorno
Figura 8. Comparación del error de estimación de los cuantiles de caudal máximo en función del número de datos de la muestra para un esquema de regionalización basado en índice de avenida y en la regionalización del parámetro de forma. Región 81.
CEH1 174.indd 23
23/06/14 13:02
1 1𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑅𝑅𝑅𝑅 =
1−
1
�1
−
�1
−
1 1 −� de�modelos estadísticos...
𝑅𝑅𝑅𝑅 =𝑅𝑅𝑅𝑅 1=−1�1
−Análisis
−
�1 −y�selección
�𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇
lo que
requiere utilizar funciones de distribución mix𝑁𝑁𝑁𝑁∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
tas.
El 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
ajuste
de𝑖𝑖𝑖𝑖 ese tipo de funciones de distribución
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
=∑=𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∅∑
∅
∅
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
en𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
general,
una gran dificultad ya que los cau∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
= = 𝑁𝑁𝑁𝑁presenta,
𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
dales
de
la
segunda
rama
de la función, correspondiente
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
a eventos de baja probabilidad de ocurrencia, no suelen
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅suficientemente representados en muestras de re𝑡𝑡𝑡𝑡estar
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅
4
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡
ducida
De esta forma, suele ser imprescindi𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷4𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇longitud.
𝑍𝑍𝑍𝑍 𝑍𝑍𝑍𝑍
==
a
la
información
sobre avenidas históricas
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
𝑍𝑍𝑍𝑍 = 4ble𝜎𝜎𝜎𝜎4recurrir
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑡𝑡𝑡𝑡𝜎𝜎𝜎𝜎
4 𝑡𝑡𝑡𝑡 4 la segunda rama de la función (figura 9). En
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡para
𝑅𝑅𝑅𝑅𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅ajustar
4 4
aquellos casos en los que no se dispone de ese tipo de información, el ajuste de la función presenta una elevada
incertidumbre.
𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑖𝑖𝑖𝑖 0.44
− 0.44
)𝑖𝑖𝑖𝑖0.44
=− 0.44
𝐹𝐹𝐹𝐹 (𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖()𝑖𝑖𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞−
𝑖𝑖𝑖𝑖=
𝑛𝑛𝑛𝑛 0.12
+ 0.12
𝐹𝐹𝐹𝐹 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝐹𝐹𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 )(𝑞𝑞𝑞𝑞=𝑖𝑖𝑖𝑖 ) = 𝑛𝑛𝑛𝑛 +
𝑛𝑛𝑛𝑛 +𝑛𝑛𝑛𝑛0.12
+ 0.12
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁1 − �1
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
−
)𝑖𝑖𝑖𝑖1−
)−
−𝑅𝑅𝑅𝑅
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)1𝑡𝑡𝑡𝑡1−
)�𝑡𝑡𝑡𝑡 �1 − 1 � 𝑇𝑇𝑇𝑇 �
𝑛𝑛𝑛𝑛 1𝑛𝑛𝑛𝑛 1 (𝑄𝑄𝑄𝑄(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=
𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝑅𝑅𝑅𝑅
�1
−
1)
𝑟𝑟𝑟𝑟1 =(𝑄𝑄𝑄𝑄
�
�)𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
1𝑟𝑟𝑟𝑟 =
(𝑄𝑄𝑄𝑄
(𝑄𝑄𝑄𝑄
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇
=𝑖𝑖𝑖𝑖1−)−𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑄𝑄𝑄𝑄
�1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑅𝑅𝑅𝑅
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡 )�𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑟𝑟𝑟𝑟 =𝑟𝑟𝑟𝑟 =�𝑛𝑛𝑛𝑛�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜−
𝑇𝑇𝑇𝑇
1=1
1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄)𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖 )𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
1=11=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
∅
∑=
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 ∅
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
=
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟∑=
∅
𝑁𝑁𝑁𝑁
2 2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛 ∑ 𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
=𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖2�𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁�+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
=𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
=
+𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
=
�
+
�
+
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑍𝑍𝑍𝑍𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑡𝑡𝑡𝑡=
4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑍𝑍𝑍𝑍
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇
=
𝑍𝑍𝑍𝑍 =
4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4
=�=
�
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟=
𝑡𝑡𝑡𝑡
4
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡𝑡𝑡 4
Figura
84) ajustada uti𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁9. Ley de frecuencia en el río Júcar𝑖𝑖𝑖𝑖(región
− 0.44
𝑁𝑁𝑁𝑁 1lizando
𝑁𝑁𝑁𝑁1 información sobre avenidas
históricas.
)
(
=
𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
0.44𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀1𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖(−
𝑇𝑇𝑇𝑇1= ��
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) =
𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 =
−
0.44
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑀𝑀𝑀𝑀
=𝑇𝑇𝑇𝑇 =�𝑁𝑁𝑁𝑁�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
)
(
=
𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 representar
este comportamiento, se ha decidido
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐹𝐹𝐹𝐹 Para
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
utilizar una
función
de distribución
𝑛𝑛𝑛𝑛 de Valores Extremos
1
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �
de
Dos
Componentes
(TCEV),
de
cuatro
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜parámetros,
)𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟re-)𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑁𝑁𝑁𝑁
= 𝑁𝑁𝑁𝑁 �
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
sultado
de
la
composición
de
dos
funciones
Gumbel:
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
+
1
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
+
�
𝑀𝑀𝑀𝑀1𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀=
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑄𝑄𝑄𝑄
�
1=1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 +
𝑇𝑇𝑇𝑇1=��
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑁𝑁𝑁𝑁= � 1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄
=𝑇𝑇𝑇𝑇 =�𝑁𝑁𝑁𝑁�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑀𝑀𝑀𝑀
1 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢1=1
2
1=11=1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝛼𝛼𝛼𝛼 2 )
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝑖𝑖𝑖𝑖
[10]
=𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒
�−𝑒𝑒𝑒𝑒
�
1=1
1=11=1
2
1 1 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2 2 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
2 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼�2=
Donde
,
,
y
son
parámetros.
1
1
2
1
1
2
2
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
�𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
(
)
(
)
𝑟𝑟𝑟𝑟
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
�
𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥=∝=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
�𝑟𝑟𝑟𝑟
2𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
2 −
=
�
+
2
(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝛼𝛼𝛼𝛼 11 )función
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟2 desarrollada
𝛼𝛼𝛼𝛼
2=
2𝛼𝛼𝛼𝛼 1 𝑟𝑟𝑟𝑟−fue
Esta
para
caracterizar este tipo
� 2� �+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝐹𝐹𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑥𝑥𝐹𝐹𝐹𝐹)(=
𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
�𝑟𝑟𝑟𝑟
�𝑟𝑟𝑟𝑟
=
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 −
de fenómenos y es de uso habitual en países como Italia
donde se presenta una problemática
similar (Rossi et
2muy𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1
=
𝑟𝑟𝑟𝑟
�∑
� 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑜𝑜𝑜𝑜1 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑐𝑐𝑐𝑐 �
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖
�
(𝜆𝜆𝜆𝜆1(𝜆𝜆𝜆𝜆
)21 )=2al.,=
−10
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
)
1984).
𝑙𝑙𝑙𝑙 )1
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
−
�
1
1
2
2
1
1
1
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑟𝑟𝑟𝑟)𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑙𝑙
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆1(𝜆𝜆𝜆𝜆
)21=
)2 −10
= 𝑣𝑣𝑣𝑣−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)�
)�
(𝑡𝑡𝑡𝑡
1−
1(𝑡𝑡𝑡𝑡
2)
se
ha
dicho,
11)
1
1 2𝑄𝑄𝑄𝑄
1 en aquellos
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 casos en que no se dis=Como
(𝑙𝑙𝑙𝑙=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙
pone de información
histórica, el ajuste de este tipo de
1=1
de
distribución
una elevada in𝑢𝑢𝑢𝑢2 𝑢𝑢𝑢𝑢=2 =
(𝜆𝜆𝜆𝜆función
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
)
−
−
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 21 2
2 2 puede presentar
𝑢𝑢𝑢𝑢2 𝑢𝑢𝑢𝑢
=2 (𝜆𝜆𝜆𝜆
=1(𝜆𝜆𝜆𝜆
)21certidumbre.
−
)20.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
− 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑁𝑁𝑁𝑁 1 esa incertidumbre, se
Con
objeto de reducir
2 2𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇1 = �
𝑁𝑁𝑁𝑁 1 un procedimiento
ha desarrollado
de𝑟𝑟𝑟𝑟ajuste
consistente
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
1
𝑇𝑇𝑇𝑇
en ajustar
cada
rama
de
la
función,
correspondiente
a una
(𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
2 22�
2𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀)𝑇𝑇𝑇𝑇)(𝑡𝑡𝑡𝑡=
∝2∝
=2 =
(𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑡𝑡𝑡𝑡
función
de manera𝑖𝑖𝑖𝑖=1
independiente, obteniendo
1(𝜆𝜆𝜆𝜆
2 212)22)𝑁𝑁𝑁𝑁
2Gumbel,𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∝2 =
∝2(𝜆𝜆𝜆𝜆
=1(𝜆𝜆𝜆𝜆
)21posteriormente
)2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 la función conjunta mediante el producto
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2
𝑁𝑁𝑁𝑁
de las dos funciones Gumbel obtenidas.
𝑁𝑁𝑁𝑁 1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀me𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
La primera
rama
de
la
función
se
puede
estimar
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
1
�
+
𝑇𝑇𝑇𝑇
1
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖+
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑄𝑄𝑄𝑄=
𝜑𝜑𝜑𝜑diante
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇100
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑄𝑄𝑄𝑄los𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖datos
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖Gumbel
=𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑇𝑇𝑇𝑇𝜑𝜑𝜑𝜑
el100
ajuste
local
una+
función
a
=
�
𝑇𝑇𝑇𝑇 de
1
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄
=𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜑𝜑𝜑𝜑=𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝜑𝜑𝜑𝜑100
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇de
�𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑀𝑀100
muestra
(previa
𝑇𝑇𝑇𝑇la =
1=1 de los posibles valores
1=1 eliminación
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 el método de los L-M om,
anómalos
o1=1
outliers) mediante
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼
obteniendo
los
parámetros
y
.
La
estima1
1 de
−
1esa
0.35
−𝑟𝑟𝑟𝑟 forma
0.35
1
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛 1𝑛𝑛𝑛𝑛
(
)
2
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼21), correspondien𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
��
𝑥𝑥𝑥𝑥−
�)0.35
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜1𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜=𝑟𝑟𝑟𝑟1 =ción
1de
1�𝑥𝑥𝑥𝑥(0.35
−otros
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
dos
parámetros
(
y
(
)
𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹los
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑥𝑥𝑥𝑥
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
1
1
2
�
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛�(𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑥𝑥tes
�
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 =�𝑛𝑛𝑛𝑛�
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑖𝑖𝑖𝑖1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
asumiendo un
− 𝑟𝑟𝑟𝑟 2se realiza
�
𝑥𝑥𝑥𝑥la)segunda
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟 1 Gumbel,
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐹𝐹𝐹𝐹 a1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑛𝑛 función
valor regional del L-CV de la segunda rama [(t2)2] (tabla
1=11=1
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡 )𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑜𝑜𝑜𝑜 1 1𝑐𝑐𝑐𝑐 2 1
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
= −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆1Civil
)2174/2014
= (𝜆𝜆𝜆𝜆
−10
) (𝑡𝑡𝑡𝑡 )(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
1 )2 (𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜆𝜆1 𝜆𝜆𝜆𝜆=1 =
𝑜𝑜𝑜𝑜024𝑜𝑜𝑜𝑜| 0Ingeniería
𝑜𝑜𝑜𝑜 1 1𝑐𝑐𝑐𝑐 2 1
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜆𝜆𝜆𝜆1 =
𝜆𝜆𝜆𝜆1 𝑜𝑜𝑜𝑜=
𝑜𝑜𝑜𝑜
1 2
1 1 2 )1
0 0
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 20.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
2
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
=
2𝑜𝑜𝑜𝑜
2𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
1 2
2174.indd
2
1 1 02 0
CEH1
24
𝑢𝑢𝑢𝑢
= (𝜆𝜆𝜆𝜆 ) − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
=�
+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
11𝑟𝑟𝑟𝑟−
�1
− 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�� 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇 = = � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1 − �
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖�1 − 1 �
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=𝑁𝑁𝑁𝑁 1 −
∑ 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑟𝑟𝑟𝑟∅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟== 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁
=
∅
𝑁𝑁𝑁𝑁
+𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
1
�
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑀𝑀∅�
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟==
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑡𝑡1
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =1 4−𝑡𝑡𝑡𝑡�
4
𝑅𝑅𝑅𝑅 [(λ ) ], mediante una
5),
el𝑖𝑖𝑖𝑖=1
valor de la media
=
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑍𝑍𝑍𝑍𝑇𝑇𝑇𝑇 y
=estimando
� 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1𝑇𝑇𝑇𝑇 2
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − �1
−
�
1
4
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
regresión
de
los
estadísticos
correspondientes
a la
𝑖𝑖𝑖𝑖=1función
𝑍𝑍𝑍𝑍
=
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑇𝑇𝑇𝑇
2
�
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟 4−𝑡𝑡𝑡𝑡 4− 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑅𝑅
primera𝑍𝑍𝑍𝑍rama
= ((λ1)1 y (t2)1):
𝑡𝑡𝑡𝑡
4
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖1
∅𝜎𝜎𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 4𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
+
�
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
∅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁−
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑎𝑎𝑎𝑎0.44𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
∑=
=2𝑖𝑖𝑖𝑖 )=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
[11]
𝑀𝑀𝑀𝑀
�
𝑖𝑖𝑖𝑖 1�
𝑇𝑇𝑇𝑇1 )
1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=1
𝑇𝑇𝑇𝑇−10
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.44
+ 0.12
𝑄𝑄𝑄𝑄) 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1=1𝑛𝑛𝑛𝑛�
=
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
0.44 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑅𝑅𝑅𝑅 a, b y𝑖𝑖𝑖𝑖 c−exponentes
Siendo
que toman
los valores indi𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡
)𝐷𝐷𝐷𝐷=
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 1
𝑢𝑢𝑢𝑢2 =
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)21=1
𝑖𝑖𝑖𝑖−
1
2𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁
4
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
0.12
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
1𝑖𝑖𝑖𝑖 5
2)𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
cados
la(𝑄𝑄𝑄𝑄
tabla
para
cada
región
estadística.
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑍𝑍𝑍𝑍
= 1=1en𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
�
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸𝐸𝐸
�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡 �
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇 ==
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Finalmente,
parámetros
1( 2𝑟𝑟𝑟𝑟y(𝑄𝑄𝑄𝑄
)�𝑖𝑖𝑖𝑖 −obtienen
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡 me𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁𝐹𝐹𝐹𝐹�
(𝑄𝑄𝑄𝑄los
) 1 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2) se
(𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡4)2 )=
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑛𝑛𝑛𝑛2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟 = −�
1=1
1=1 1
𝛼𝛼𝛼𝛼 método
(𝑄𝑄𝑄𝑄del
)𝑖𝑖𝑖𝑖 −−
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟de
)𝛼𝛼𝛼𝛼
diante
∝2(=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡 2los� L-momentos
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 )𝑖𝑖𝑖𝑖 a partir
𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝜆𝜆𝜆𝜆aplicación
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 1
1 )2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑜𝑜𝑜𝑜
1=1
𝑟𝑟𝑟𝑟 −10
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎�
2
(𝜆𝜆𝜆𝜆1las
)2 =
(𝑡𝑡𝑡𝑡2(𝑄𝑄𝑄𝑄
)1𝑐𝑐𝑐𝑐y [13]:
de
expresiones
𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )21[12]
1=1
− 0.44� 1+ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀)𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖= =𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑒𝑒𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
2
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
(𝜆𝜆𝜆𝜆
= 𝑎𝑎𝑎𝑎−10
(𝑡𝑡𝑡𝑡= )�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆
−20.12
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 [12]
1 )1
2)
2 2𝑜𝑜𝑜𝑜(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1
𝑐𝑐𝑐𝑐 2 1
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
= −10
(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖1�)1+(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
2 )1𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
�
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑄𝑄𝑄𝑄
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 )𝑡𝑡𝑡𝑡
2 )12)−
𝑖𝑖𝑖𝑖 −0.35
(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
[13]
∝
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖2� 2
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟22==
�
1)
2𝑄𝑄𝑄𝑄𝑥𝑥𝑥𝑥
∝
=𝑛𝑛𝑛𝑛(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
1 )2 =
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 = 2
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙2
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑢𝑢𝑢𝑢
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
1𝑛𝑛𝑛𝑛 2)𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛1=12 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛�
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖1=
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = 1=1
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)2 −𝑄𝑄𝑄𝑄 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
1
Los1valores indicados
en la
tabla
5 para la región 72 po�∑
2 1
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇= 𝑜𝑜𝑜𝑜 =
𝑇𝑇𝑇𝑇 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑙𝑙𝑙𝑙
−
�
𝜆𝜆𝜆𝜆
�
+
1
0
drían
parcialmente
de
aplicación
1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖ser
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑙𝑙
2 2 𝑀𝑀𝑀𝑀 = �a𝑟𝑟𝑟𝑟 la región 73, cuyo
𝑇𝑇𝑇𝑇
=�
1)
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑙𝑙𝑙𝑙∝−𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁12)es
)22intermedio
1(𝜆𝜆𝜆𝜆
comportamiento
entre
el𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖de la región 71 y
2
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇1=
� 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟 2𝑙𝑙𝑙𝑙
∝
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
1=1
2
2
1
el
𝑁𝑁𝑁𝑁1 𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑛𝑛𝑛𝑛0.35
𝜆𝜆𝜆𝜆2de
= la
2𝑜𝑜𝑜𝑜
− 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
�72.
𝑁𝑁𝑁𝑁 0
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 2
𝑜𝑜𝑜𝑜
+� 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖==𝑛𝑛𝑛𝑛1� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖��𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1=1
+ la𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
1
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖de
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁 L-CV
Tabla 5.
y exponentes
para ajuste
regional
función
−
6𝑜𝑜𝑜𝑜
+
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑜𝑜𝑜𝑜0 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
2
1
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇𝑇𝑇
+
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
1
�
TCEV
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
�
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝜆𝜆𝜆𝜆1𝑇𝑇𝑇𝑇==
𝑜𝑜𝑜𝑜0𝑀𝑀𝑀𝑀𝜑𝜑𝜑𝜑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇=𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢𝑄𝑄𝑄𝑄2
1
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 a
Región
L-CV
b
c
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
1=1
1
2
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
�
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝜆𝜆𝜆𝜆4𝑇𝑇𝑇𝑇 = 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 −𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
72
-0.26
1.5846 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟1.2280
𝛼𝛼𝛼𝛼 2 �
�𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 0.8554
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
−𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜01
1 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
−
0.35 0.5659
𝛼𝛼𝛼𝛼 2𝑟𝑟𝑟𝑟 �
82 y 84
-0.24�𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 −2.6039
0.6861
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�
�
𝑡𝑡𝑡𝑡2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑜𝑜𝑜𝑜
1/𝜆𝜆𝜆𝜆
1
−𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑐𝑐�0.35
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥𝑥𝑥
1= 𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑁𝑁𝑁𝑁−10
)2 =
1 )1 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝜆𝜆𝜆𝜆(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑟𝑟𝑟𝑟 1==
+
𝑖𝑖𝑖𝑖
1 2 −�
6𝑜𝑜𝑜𝑜
6𝑜𝑜𝑜𝑜1 +
𝑜𝑜𝑜𝑜0
1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )1𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑀𝑀3 = 𝑛𝑛𝑛𝑛�
𝑐𝑐𝑐𝑐 LOS CUANTILES DE
𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡 )DE
𝑄𝑄𝑄𝑄CÁLCULO
𝑁𝑁𝑁𝑁(𝜆𝜆𝜆𝜆1=1
4.𝑇𝑇𝑇𝑇 ANÁLISIS
DEL
)
=
−10
𝑢𝑢𝑢𝑢 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1=1
)1 2− 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼 1 1 2 1
2
1 2
2
ALTO
PARTIR DEL
𝜆𝜆𝜆𝜆4 =
20𝑜𝑜𝑜𝑜3PERIODO
− 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + DE
12𝑜𝑜𝑜𝑜RETORNO
𝑜𝑜𝑜𝑜02 = (𝜆𝜆𝜆𝜆A
1 − 𝑢𝑢𝑢𝑢
1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
1
2
CUANTIL
DE
100
AÑOS
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑢𝑢𝑢𝑢1 =
𝑜𝑜𝑜𝑜
0
(𝜆𝜆𝜆𝜆)1𝛼𝛼𝛼𝛼)12 −
− 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 � 2
�𝑟𝑟𝑟𝑟
2 =(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜆𝜆𝜆𝜆𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
==(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
12 =
0)2 2 2
∝
1
𝑡𝑡𝑡𝑡2 =Como
𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1 se𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛indicó
2
anteriormente,
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2en algunos países se
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
2
2
𝑜𝑜𝑜𝑜 caudales
prefi
los
de alto periodo
de retorno
𝜆𝜆𝜆𝜆∝2estimar
=(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑜𝑜𝑜𝑜
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2ere
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑡𝑡𝑡𝑡2𝑜𝑜𝑜𝑜
)1𝑐𝑐𝑐𝑐0
2=
1 )121)1−
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑄𝑄𝑄𝑄2𝑇𝑇𝑇𝑇 )=
− 𝑜𝑜𝑜𝑜un0 procedimiento sencillo, consistente en
=mediante
𝜑𝜑𝜑𝜑2𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄1100
multiplicar el caudal de 100𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇años
= 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑄𝑄𝑄𝑄100) por un determi𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇 =(𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 ),
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
nado
factor
por
considerar
100
𝑟𝑟𝑟𝑟
− 6𝑜𝑜𝑜𝑜1 + 𝑜𝑜𝑜𝑜0que su estimación por los
1𝜆𝜆𝜆𝜆3 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜
1 −2 0.35
𝑛𝑛𝑛𝑛 tiene una gran
de1cálculo
incer�2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖−
� 6𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜3𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝜆𝜆𝜆𝜆procedimientos
=𝑛𝑛𝑛𝑛6𝑜𝑜𝑜𝑜
+�𝑜𝑜𝑜𝑜0 habituales
1
1 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑡𝑡𝑡𝑡puede
2 )2𝑛𝑛𝑛𝑛
tidumbre
y
conducir
a
obtener
resultados
muy
dis1=1
=
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑖𝑖𝑖𝑖
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛2� 𝑥𝑥𝑥𝑥 �1 − 0.35� 𝑛𝑛𝑛𝑛 1=1
pares. 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛 2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
4 =𝑛𝑛𝑛𝑛20𝑜𝑜𝑜𝑜3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜
1=1
𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆41 ==𝑜𝑜𝑜𝑜20𝑜𝑜𝑜𝑜
0
3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0
[14]
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
𝑜𝑜𝑜𝑜
1
0
𝑜𝑜𝑜𝑜𝜆𝜆𝜆𝜆
0 2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1
𝑡𝑡𝑡𝑡2𝑛𝑛𝑛𝑛1 −
=forma,
De 𝜆𝜆𝜆𝜆esta
la obtención
cuantiles de alto pe𝑡𝑡𝑡𝑡2 =
𝜆𝜆𝜆𝜆2 =de
2𝑜𝑜𝑜𝑜los
1 2 /𝜆𝜆𝜆𝜆11 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
riodo
retorno
a
partir
del
de
100
años
supondría una
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = de
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜆𝜆𝜆𝜆2 −
= 6𝑜𝑜𝑜𝑜
−𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝜆𝜆𝜆𝜆 =𝑛𝑛𝑛𝑛6𝑜𝑜𝑜𝑜
3
2 cálculo,
1
0
opción
de
además
de más sencilla, más controla1=1
ble, al evitar los posibles errores
derivados de un cálculo
𝜆𝜆𝜆𝜆3 =−6𝑜𝑜𝑜𝑜
6𝑜𝑜𝑜𝑜12𝑜𝑜𝑜𝑜
2 −+
1 + 𝑜𝑜𝑜𝑜
0
30𝑜𝑜𝑜𝑜
− 𝑜𝑜𝑜𝑜0
estadístico
2 gran
1incertidumbre.
𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆14 ==𝑜𝑜𝑜𝑜20𝑜𝑜𝑜𝑜
0 3 con una
𝜆𝜆𝜆𝜆4 =tipo
20𝑜𝑜𝑜𝑜3de− procedimiento
30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜sea
No obstante, para que este
0
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
+
12𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
4
3útil debe
2 suponer
1
0
verdaderamente
una
estimación
razona𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜆𝜆22 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜21 −1 𝑜𝑜𝑜𝑜0
ble del cuantil del periodo de
𝑡𝑡𝑡𝑡2 retorno
= 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1 de diseño (situándose dentro
de𝜆𝜆𝜆𝜆un
determinado
intervalo de confianza de la
𝑡𝑡𝑡𝑡2 =
/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜆𝜆3 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜2 − 6𝑜𝑜𝑜𝑜21 +1 𝑜𝑜𝑜𝑜0
estimación
proporcionada por los modelos estadísticos), y
no debe interpretarse como un coeficiente de seguridad en
𝜆𝜆𝜆𝜆4 cálculo.
= 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 −
+ 12𝑜𝑜𝑜𝑜1 −
𝑜𝑜𝑜𝑜0
el
Si 30𝑜𝑜𝑜𝑜
este2 cálculo
simplifi
cado no permite estimar
con suficiente aproximación los caudales de diseño, podría
suponer
la práctica la adopción de criterios de diseño
𝑡𝑡𝑡𝑡2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆en
1
heterogéneos al conducir a probabilidades de fallo diferentes entre unas presas y otras.
Con la finalidad de explorar la posibilidad de adoptar este procedimiento de cálculo simplificado en
23/06/14 13:02
España, se ha realizado el cálculo de las leyes de frecuencia de caudales máximos en las estaciones de aforos de distintas regiones. Para ello, se ha utilizado el
modelo estadístico y el esquema de regionalización seleccionado como resultado de los trabajos presentados
anteriormente. A partir de esas leyes de frecuencia, se
han obtenido los coeficientes que relacionan los cuantiles de 1.000, 5.000 y 10.000 años de periodo de retorno
con el de 100 años.
Este trabajo se ha llevado a cabo en un conjunto de regiones estadísticas seleccionadas de entre todas las identificadas en la España peninsular de tal forma que sean
representativas de la diversidad climática e hidrológica de
la península (regiones 12, 21, 31, 61, 81, 91 y 92). No se han
incluido en este análisis las regiones situadas en el levante
y sureste peninsular, dada su especial singularidad hidrológica.
Los resultados se presentan en la tabla 6, en la que se
indica el valor medio del coeficiente en cada región, para
los distintos periodos de retorno considerados, así como
su desviación típica. Ésta última con la finalidad de tener
una idea de la dispersión de los distintos valores obtenidos
en las estaciones respecto al valor medio. En primer lugar
se observa, cómo el valor de los coeficientes difiere sustancialmente entre unas regiones y otras, lo que indica que en
España, dada la gran variabilidad climática e hidrológica
entre unas zonas y otras del país, no parece posible fijar un
único coeficiente para todo el territorio, a diferencia de lo
que se hace, por ejemplo, en el caso de Finlandia. Los coeficientes varían en las regiones consideradas entre 1.35 y
2.28 para el periodo de retorno de 1.000 años, entre 1.60 y
3.98 para 5.000, y entre 1.71 y 5.06 para 10.000. Los valores más bajos (ligeramente superiores a los empleados en
Finlandia) corresponden a aquellas regiones con un comportamiento hidrológico menos extremo, con funciones de
distribución de caudales máximos poco sesgadas (regiones
21 y 91). Los más altos a las regiones mediterráneas, en
las que se produce un comportamiento más extremo con
distribuciones más sesgadas (regiones 61 y 92, y en menor
medida 81). Por último, las regiones 12 y 31 presentan un
comportamiento intermedio. Los valores obtenidos para
las regiones con comportamientos hidrológicos más parecidos son muy similares entre sí, lo que refuerza la validez
de los resultados.
Tabla 6. Factores de cálculo de los cuantiles a partir del Q100 para
los periodos de retorno de 1.000, 5.000 y 10.000 años en varias
regiones representativas
Región
φ1000
φ5000
correspondientes a cada estación dentro de una región son muy similares entre sí. Las desviaciones típicas son más elevadas en el caso de la región 81 y,
principalmente de la 92, aunque en ambos casos se
debe a la existencia de alguna estación aislada con valores anómalos. Esta circunstancia indica que la posible adopción de unos factores de cálculo medios por
región estadística tendría una considerable precisión.
Asimismo, puede considerarse que la utilización de
unos coeficientes medios regionales podría proporcionar robustez al cálculo al promediar las incertidumbres asociadas a cada ley de frecuencia.
A modo de ejemplo, se han aplicado los factores medios regionales al cálculo de los caudales de 1.000, 5.000
y 10.000 años de todas las estaciones incluidas en las regiones 21 y 92 (tablas 7 y 8, y figura 10). Se observa cómo
los valores estimados mediante los coeficientes medios regionales son muy similares a los proporcionados por la ley
de frecuencia de cada estación, a excepción de las estaciones 9123 y E9846 de la región 92. Asimismo, las diferencias
son mucho menores que el rango marcado por los intervalos de confianza del 67% (tomado como referencia), salvo
en los dos casos mencionados, por lo que ambas estimaciones podrían considerarse como estadísticamente equivalentes. Las diferencias son algo mayores cuanto mayor
es el periodo de retorno, y también algo mayores para la
región 92 con una población estadística más sesgada, aunque por esa misma razón también son mayores en ese caso
los intervalos de confianza. Estos resultados indican que el
procedimiento de cálculo simplificado, en principio, proporcionaría una precisión comparable al cálculo mediante
E.A. 2070
E.A. 9137
φ10000
Media
σ
Media
σ
Media
σ
12
1.56
0.03
2.05
0.06
2.30
0.07
21
1.35
0.02
1.60
0.04
1.71
0.05
31
1.65
0.03
2.19
0.18
2.47
0.21
61
2.28
0.04
3.92
0.10
4.92
0.14
81
1.89
0.10
2.83
0.27
3.35
0.39
91
1.40
0.03
1.70
0.06
1.83
0.07
92
2.27
0.21
3.98
0.61
5.06
0.90
Por otra parte, hay que destacar que las desviaciones típicas obtenidas son de muy pequeña magnitud, lo que pone de manifiesto que los valores
Figura 10. Contraste de los caudales de alto periodo de retorno
estimados a partir del caudal de 100 años con la ley de frecuencia
de caudales máximos y sus intervalos de confianza, para dos estaciones representativas de las regiones 21 y 92.
CEH1 174.indd 25
23/06/14 13:02
Tabla 7. Contraste de los cuantiles estimados a partir del Q100 con el intervalo de confianza del 67%. Región 21
Estación
Cuantil
Estimación φT·Q100
Intervalo confianza 67%
T100
T1000
T5000
T10000
T1000
T5000
T10000
T1000
T5000
T10000
2011
331
446
526
561
447
530
566
501
594
635
2034
32
44
53
56
43
51
55
49
59
62
2035
81
112
133
143
109
130
139
124
148
159
2065
63
87
103
110
85
101
108
99
118
127
2068
169
228
269
287
228
270
289
250
296
316
2069
1101
1455
1702
1808
1486
1762
1883
1595
1875
1995
2070
386
518
610
650
521
618
660
556
657
701
2071
975
1304
1533
1632
1316
1560
1667
1420
1676
1787
2074
1193
1575
1841
1956
1611
1909
2040
1683
1974
2100
2076
237
320
377
402
320
379
405
352
416
444
2078
147
197
233
248
198
235
251
217
258
275
2079
618
854
1018
1089
834
989
1057
938
1122
1201
2080
283
384
455
486
382
453
484
415
493
527
2082
165
222
261
277
223
264
282
240
283
301
2083
185
252
299
319
250
296
316
287
342
366
2103
1191
1638
1950
2085
1608
1906
2037
1870
2238
2396
2104
152
205
241
257
205
243
260
226
267
285
2122
326
434
509
541
440
522
557
464
547
582
E2012
108
147
175
186
146
173
185
161
193
205
E2013
192
258
304
324
259
307
328
282
334
357
E2014
271
369
438
467
366
434
463
405
483
515
E2029
4547
6446
7796
8384
6138
7275
7775
7115
8624
9281
E2030
256
342
403
429
346
410
438
379
448
478
E2032
589
795
940
1002
795
942
1007
924
1099
1174
el modelo estadístico, siendo mucho más simple de aplicar
y más controlable.
Como conclusión de lo expuesto, el cálculo de los cuantiles de alto periodo de retorno (1.000, 5.000 y 10.000 años)
mediante el procedimiento simplificado de multiplicar el
cuantil de 100 años por un determinado factor requeriría
fijar, en el caso de España, valores de los factores diferentes dependiendo de las condiciones hidrológicas de cada
zona. Con ese fin, podrían emplearse las regiones estadísticas identificadas en el apartado 3.1., que parecen presentar
una elevada homogeneidad en ese sentido. Con esa condición, dicho procedimiento simplificado tendría una precisión, en general, comparable a la proporcionada por la
aplicación de procedimientos estadísticos, dada la pequeña
dispersión de los coeficientes en cada región, siendo más
simple y controlable.
Asimismo, la adopción de unos coeficientes medios regionales puede proporcionar robustez al cálculo al promediar las incertidumbres asociadas a las leyes de frecuencia
concretas, aunque en algún caso, principalmente en las regiones con poblaciones más sesgadas, la adopción de ese
procedimiento de cálculo podría suponer una cierta simplificación.
5. CONCLUSIONES
La elevada seguridad exigible a las presas de mayor riesgo potencial puede requerir la adopción de elevados periodos de retorno de diseño y la consiguiente estimación de
los caudales máximos correspondientes. La estimación de
estos caudales lleva aparejada una elevada incertidumbre,
por lo que es conveniente incorporar a su cálculo todos los
procedimientos técnicos disponibles para reducirla, consistentes fundamentalmente en introducir información
adicional en el modelo estadístico (regionalización, información histórica, …), así como cuantificar la incertidumbre involucrada en los cálculos. Asimismo, es importante
hacer una buena selección del modelo estadístico (función
de distribución y procedimiento de ajuste) de tal forma que
se garantice tanto su capacidad para describir el comportamiento de la muestra, como para predecir de manera robusta los cuantiles de alto periodo de retorno.
Se han realizado trabajos para facilitar la aplicación
práctica de este tipo de técnicas.
Se ha analizado el esquema de regionalización más
adecuado a las características de las cuencas de la España
peninsular. La aplicación de técnicas de regionalización
requiere la definición previa de las regiones estadísticamente homogéneas, así como su grado de homogeneidad. De esta forma, se ha abordado la identificación y
delimitación de las regiones con homogeneidad estadística, respecto al comportamiento de los caudales máximos anuales, en el territorio de la España peninsular. Esta
identificación ha sido el resultado de un proceso iterativo consistente en la delimitación de regiones en base a
criterios de carácter geográfico, a las características físicas de las cuencas vertientes a las estaciones de aforos y
a las características estadísticas de las series de datos, y la
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Tabla 8. Contraste de los cuantiles estimados a partir del Q100 con el intervalo de confianza del 67%. Región 92
Estación
Cuantil
T100
Estimación φT·Q100
T1000
T5000
T10000
Intervalo confianza 67%
T1000
T5000
T10000
T1000
T5000
T10000
9017
3007
6571
11350
14363
6826
11968
15215
10092
17726
22540
9018
580
1318
2313
2943
1316
2307
2933
1613
2850
3633
9022
659
1591
2913
3774
1496
2623
3335
2011
3706
4810
9023
812
1850
3250
4133
1843
3232
4109
2259
3990
5082
9024
4007
8639
14992
19041
9096
15948
20275
13124
23226
29665
9032
432
995
1754
2235
981
1720
2187
1328
2361
3015
9033
677
1526
2670
3394
1538
2696
3427
1900
3350
4268
9040
1650
3739
6412
8060
3746
6567
8349
4468
7697
9689
9046
336
769
1353
1723
762
1336
1698
971
1721
2195
9047
549
1345
2477
3213
1246
2185
2778
1730
3202
4161
9095
281
652
1154
1471
637
1117
1420
825
1469
1876
9123
1067
1675
2221
2494
2422
4247
5399
1997
2674
3012
4196
9130
533
1283
2294
2934
1209
2121
2696
1823
3276
9135
100
232
411
524
227
397
505
306
545
697
9136
147
338
595
758
334
585
744
451
801
1022
9137
1256
2975
5276
6728
2851
4999
6355
4002
7136
9112
9143
149
321
553
700
338
593
754
445
778
990
1372
9144
199
428
736
931
451
791
1005
617
1079
9148
105
245
435
555
237
416
529
316
564
720
9172
889
2475
5044
6848
2018
3538
4498
3896
8005
10891
9196
541
1241
2185
2782
1227
2152
2736
1694
3009
3840
9198
72
160
280
356
163
286
363
209
370
472
E9832
188
433
764
973
427
749
952
572
1016
1297
E9833
191
440
777
990
434
760
966
588
1046
1335
E9846
2176
3854
5574
6504
4940
8660
11011
4584
6682
7815
E9858
1293
2930
5119
6500
2935
5146
6543
3736
6580
8373
E9862
1669
3975
7187
9258
3789
6643
8445
5186
9441
12183
posterior comprobación de la homogeneidad de las regiones identificadas mediante la aplicación de los tests estadísticos de Wiltshire y Hosking y Wallis. Como resultado
de ese proceso se han obtenido 29 regiones, a las que se
añaden los tramos de río correspondientes a los grandes
ejes fluviales. Los resultados de los test estadísticos, no
garantizan la homogeneidad respecto al coeficiente de
variación en todas las regiones, aunque sí en muchas de
ellas. Por ese motivo, se ha seleccionado un esquema de
regionalización basado en utilizar un valor regional únicamente para el coeficiente de sesgo (regionalización del
parámetro de forma), determinando el coeficiente de variación y la media a partir de la información local. Sin
embargo, los análisis realizados mediante simulaciones
de Monte Carlo (generando diferentes regiones sintéticas con distintos números de datos en las estaciones que
componen la región y ajustando posteriormente a cada
muestra sintética una función de distribución mediante
regionalización del parámetro de forma y mediante índice de avenida) indican que un esquema de ajuste basado
en adoptar valores regionales para el coeficiente de variación y el de sesgo (índice de avenida), puede tener un mejor comportamiento, con la consiguiente reducción de la
incertidumbre, cuando la serie de caudales máximos disponible es de longitud reducida, inferior a 15 ó 20 datos.
Se han determinado los modelos estadísticos (función de distribución y procedimiento de ajuste) de caudales máximos anuales con un mejor comportamiento en las
distintas zonas de la España peninsular, tanto por su capacidad de representar adecuadamente el comportamiento estadístico de las muestras en el rango de los bajos periodos de
retorno, como por su robustez al extrapolar a altos periodos
de retorno, reduciendo la sensibilidad del modelo a la variabilidad aleatoria en los estadísticos existente entre unas
muestras y otras. Este estudio ha partido de las regiones con
comportamiento estadístico homogéneo identificadas en
este trabajo, así como del esquema de regionalización seleccionado. En primer lugar, se ha analizado la capacidad descriptiva de una serie de modelos estadísticos de uso habitual
para representar el comportamiento estadístico de los caudales máximos. Se ha realizado una primera aproximación a
las funciones de distribución más adecuadas para cada zona
mediante el diagrama de L-momentos, que permite identificar aquellas funciones con capacidad para representar el
comportamiento estadístico de una determinada muestra
conociendo el valor de sus L-momentos. Como resultado, la
función Gumbel podría ser adecuada para algunas regiones
del Duero y la cabecera del Ebro, y las funciones de valores
Extremos Generalizada (GEV) y Log-Normal parecen apropiadas para un gran número de regiones. Posteriormente, se
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han cuantificado las diferencias entre los resultados proporcionados por los distintos modelos y los datos muestrales,
observándose cómo uno de los modelos que presenta errores menores en todas las regiones es la función GEV ajustada
mediante L-momentos.
La capacidad predictiva de los modelos se ha analizado mediante simulaciones de Monte Carlo, y se ha centrado en los periodos de retorno superiores a 100 años. Se ha
comprobado que los modelos estadísticos considerados,
junto con el esquema de regionalización adoptado, son
capaces de reproducir en cada región unas características
estadísticas similares a las que tienen los datos observados, por lo que se puede considerar que los resultados obtenidos a partir de las simulaciones matemáticas reflejan
adecuadamente el comportamiento real de cada región.
Se han generado 10.000 regiones sintéticas similares a las
observadas, es decir, con el mismo número de estaciones
y con un número de datos en cada estación igual al número de datos registrados en las estaciones reales. Posteriormente, se ha ajustado a cada una de las series sintéticas
generadas los distintos modelos estadísticos seleccionados, con el esquema de regionalización adoptado, es decir, tomando un valor regional para el coeficiente de sesgo
de cada región sintética y los valores locales de la media
y el coeficiente de variación. Como resultado, el modelo estadístico que presenta una mejor capacidad predictiva, en el conjunto de todas las regiones, es la función
GEV ajustada mediante L-momentos, modelo que presenta también un muy buen comportamiento en cuanto a
su capacidad descriptiva.
En consecuencia, se ha seleccionado para el ajuste de
las leyes de frecuencia de caudales máximos en el ámbito
geográfico de la España peninsular la función de distribución de valores extremos generalizada (GEV) ajustada mediante el método de los L-momentos, asumiendo un valor
regional para el L-CS en cada una de las regiones estadísticamente homogéneas identificadas, y tomando un valor local para el L-CV. Como casos especiales, se ha seleccionado
una función Gumbel (caso particular de la GEV) ajustada
por el procedimiento de los L-momentos en algunas regiones de la cuenca del Duero, y en el eje principal del Ebro
hasta la confluencia con el Segre.
Los modelos estadísticos de las regiones costeras del levante y sureste peninsular se han estudiado independientemente, ya que estas zonas presentan un comportamiento
hidrológico especial con dos mecanismos de generación de
crecidas muy distintos. Las leyes de frecuencia de caudales máximos en esas zonas se caracterizan por presentar
dos ramas muy diferenciadas correspondientes a ambos
tipos de fenómenos, lo que requiere utilizar funciones de
distribución mixtas. Se ha seleccionado para estas zonas
una función de Valores Extremos de Dos Componentes
(TCEV). El ajuste de este tipo de funciones de distribución
presenta, en general, una gran incertidumbre, siendo necesario recurrir a información sobre avenidas históricas para
ajustar la segunda rama de la función. Con objeto de reducir esa incertidumbre, se ha desarrollado un procedimiento de ajuste regional consistente en ajustar cada rama de la
función, correspondiente a una función Gumbel, de manera independiente, obteniendo posteriormente la función
conjunta mediante el producto de las dos funciones Gumbel obtenidas. La primera rama de la función se estima
mediante el ajuste local de una función Gumbel a los datos de la muestra. La segunda asumiendo un valor regional
del L‑CV y estimando el valor de la media mediante una
regresión función de los estadísticos correspondientes a la
primera rama.
Por último, una vez seleccionados los modelos estadísticos y las técnicas de regionalización más adecuadas,
y en base a la información generada en esos estudios, se
ha explorado la posibilidad de establecer el cálculo de los
cuantiles de alto periodo de retorno (1.000, 5.000 y 10.000
años), dentro del ámbito de la España peninsular, mediante la multiplicación del cuantil de 100 años por un determinado factor. Como conclusión del estudio, la aplicación
de ese procedimiento simplificado en el caso de España
requiere adoptar valores de los factores diferentes en las
distintas regiones, dependiendo de las condiciones hidrológicas de cada una. Dicho procedimiento tendría una precisión, en general, comparable a la proporcionada por la
aplicación de procedimientos estadísticos, dada la pequeña
dispersión de los coeficientes en cada región, siendo más
simple y controlable.
6. AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido realizado en el marco del Convenio
“Asistencia técnica, investigación y desarrollo tecnológico
en materia de gestión del dominio público hidráulico y explotación de obras”, firmado entre la Dirección General del
Agua y el CEDEX, y del Acuerdo de encomienda de gestión por el Ministerio de Medio Ambiente al CEDEX para
la realización de “Asistencia técnica, investigación y desarrollo tecnológico en materias competencia de la Dirección
General del Agua (2007-2011)”.
Lara Incio Caballero, Personal de Investigación del
Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX, ha colaborado en la preparación de este artículo.
Apéndice A. L-momentos
Existen diferentes métodos para estimar los parámetros
de una función de distribución. Los métodos más utilizados son el método de los Momentos (Mom), el de los L-momentos (L-Mom) y Máxima Verosimilitud (ML, en inglés).
Mom es un procedimiento sencillo y se fundamenta en el
cálculo de los estadísticos tradicionales: media, coeficiente
de variación (CV) y coeficiente de sesgo (CS). Este método es apropiado para funciones de distribución simétricas,
como la función normal, pero proporciona peores resultados en el caso de funciones de distribución sesgadas, como
las utilizadas para caudales máximos. Por otra parte, L-mom
es especialmente adecuado en el caso de distribuciones sesgadas, ya que fue creado con dicho fin (Hosking y Wallis,
1997). Finalmente, ML es un procedimiento más complejo
que se fundamenta en el cálculo del máximo del funcional
de verosimilitud, para lo que se requiere la aplicación de métodos numéricos. Para algunos tipos de funciones presenta
problemas de convergencia, y sus resultados tienen una gran
dependencia de la muestra concreta utilizada, por lo que, en
ocasiones, conduce a resultados poco robustos.
Los L-momentos (L-Mom) se basan en el cálculo de
combinaciones lineales de los momentos ponderados probabilísticamente (PWM, en inglés) (Hosking, 1990). El
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23/06/14 13:02
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 −
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢
Z ≤ 1.64
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗𝑗𝑗3∑=
𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 =
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢
2
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
4
4 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
2 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 )
𝑁𝑁𝑁𝑁
[𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )]
∑𝑗𝑗𝑗𝑗
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠
1 ∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗
𝐷𝐷𝐷𝐷 = 1�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑢𝑢𝑢𝑢
1
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
2
2
𝑗𝑗𝑗𝑗
+
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸𝐸𝐸
�
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
2
� 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
3 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥𝑇𝑇𝑇𝑇 =𝑣𝑣𝑣𝑣 =�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 3
∑
𝑗𝑗𝑗𝑗 1
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1=11=1 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
2 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥𝑥𝑥1 <𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯
<𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
1
2
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑉𝑉𝑉𝑉
=3 𝑣𝑣𝑣𝑣= �
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢
− 𝑡𝑡𝑡𝑡�3 � + �𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � �
𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛)1 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑗𝑗��𝑡𝑡𝑡𝑡
1
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
𝑁𝑁𝑁𝑁
(∑
)
4
4
2
2
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 )
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
22
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑖𝑖𝑖𝑖 1)1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
�
2 2�
� 𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1 −
=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 �
𝛼𝛼𝛼𝛼 11 11 −
𝛼𝛼𝛼𝛼
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠
− 2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑟𝑟𝑟𝑟
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝛼𝛼𝛼𝛼 22 2 �
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝛼𝛼𝛼𝛼 2−�
)2𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼 11 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 −
=
(𝑛𝑛𝑛𝑛
1)
�
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
�
𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑡𝑡𝑡𝑡
�𝑟𝑟𝑟𝑟
2
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
2
1 𝑗𝑗𝑗𝑗) 2 𝑁𝑁𝑁𝑁
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖2 = �𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 ,𝑛𝑛𝑛𝑛𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(∑
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�
−
)
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1 𝑛𝑛𝑛𝑛
1
1=1 Z ≤ 1.64
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1(𝑖𝑖𝑖𝑖)
−𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗2 (𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠2
∑
+
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
�
𝐷𝐷𝐷𝐷
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
Z
≤
1
.
64
1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖 1𝑡𝑡𝑡𝑡 −�
PWM
de−10
orden
) )se
de la
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 /𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑣𝑣∑
𝑐𝑐𝑐𝑐 estima 2a partir de los
𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝜆𝜆𝜆𝜆
))2 =
(𝜆𝜆𝜆𝜆1r))1(𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜b(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1𝑗𝑗𝑗𝑗 =
r2 )
1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇datos
𝑎𝑎𝑎𝑎
+ �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝛼𝛼𝛼𝛼�𝑖𝑖𝑖𝑖2�𝑡𝑡𝑡𝑡� 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗− 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 )2 [25]
(𝜆𝜆𝜆𝜆
= −10
1 𝜆𝜆𝜆𝜆=
(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑣𝑣𝑣𝑣𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
3 =
3 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑥𝑥𝑥𝑥
1
2
∑𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑣𝑣𝑣𝑣�2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆11 ))11𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑡𝑡𝑡𝑡
))n111𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ordenados
1 )2
2 = −10
2
1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖==𝑢𝑢𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅�
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆
𝐸𝐸𝐸𝐸
muestra
de
longitud
de
forma
ascendente
1
2
1
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑚𝑚𝑚𝑚
(𝜆𝜆𝜆𝜆11 ))22 =
= −10
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
=
�
1
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖1 2 1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛 1=1
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑗𝑗𝑗𝑗 ∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 et
1=1𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝑄𝑄𝑄𝑄
al.,
1979):
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑇𝑇𝑇𝑇1 =
<
𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑇𝑇𝑇𝑇=𝑄𝑄𝑄𝑄
<100
⋯𝑄𝑄𝑄𝑄< 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛) (Landewehr
𝑁𝑁𝑁𝑁
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢𝑢𝑢
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
2
1
2
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
11
𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢 2 4 2 (𝑡𝑡𝑡𝑡 )
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
))2 −
4
2
1
2
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
−
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
𝑚𝑚𝑚𝑚
2
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
Con
igual
al
número
de
estaciones
que
pertenecen
a 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�2 + �𝑡𝑡𝑡𝑡
2
2
2
1
2
2
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
𝑗𝑗𝑗𝑗
=
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
1
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼𝛼𝛼
2
1 −∝
2𝑁𝑁𝑁𝑁 2
𝑟𝑟𝑟𝑟 =2 (𝜆𝜆𝜆𝜆
� 1 )2 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
=, 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑢𝑢𝑢𝑢22 = (𝜆𝜆𝜆𝜆11𝑛𝑛𝑛𝑛)22 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼22 𝑟𝑟𝑟𝑟 ∑ 1 𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
1 1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖+1 , …
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 ) 2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑗𝑗𝑗𝑗 −2 (∑𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
… , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑄𝑄𝑄𝑄1 , …1, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄1𝑖𝑖𝑖𝑖+−1 ,0.35
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑣𝑣𝑣𝑣
�
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 la2región,
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗 −
2dado
∑𝑗𝑗𝑗𝑗𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛y𝑗𝑗𝑗𝑗=
por:
�
)] 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + �𝑡𝑡𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�3 � �
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
𝛼𝛼𝛼𝛼 1𝑁𝑁𝑁𝑁𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑁𝑁𝑁𝑁 )
=
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝛼𝛼𝛼𝛼 2 � 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 =
[15]
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = �1𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1−
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =
1)𝑗𝑗𝑗𝑗 �
=−(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝐻𝐻𝐻𝐻=(𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑡𝑡𝑡𝑡
−∑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖 2
=
2�)
2 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖 )𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 ) 2
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑚𝑚
∝
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
2
(∑
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑥𝑥𝑥𝑥
2 𝑀𝑀𝑀𝑀(𝜆𝜆𝜆𝜆=
1
1 𝐷𝐷𝐷𝐷 = �
∝
)2 (𝑡𝑡𝑡𝑡
2)
2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
�
𝑛𝑛𝑛𝑛 ) 1
1
𝑇𝑇𝑇𝑇 1=1
∝
= (𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑥𝑥222=
1=1
�
2)
2
∑𝑛𝑛𝑛𝑛−1
1 )2
2 (𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑗𝑗𝑗𝑗
∝
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣−
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 = −10∑
(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑢𝑢𝑢𝑢1𝑗𝑗𝑗𝑗)1𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑛𝑛 2
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
∝22 =
= (𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆11 ))22𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖
�∑
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖 �
2
1
2
11
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1)𝑙𝑙𝑙𝑙�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1
−
�
2
2
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑚𝑚𝑚𝑚
2
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑚𝑚𝑚𝑚
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�3 � + �
𝑉𝑉𝑉𝑉
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙
2
2
∑
3
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1) 𝑉𝑉𝑉𝑉1 =
2
2
(∑
)
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑙𝑙
1=1
1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑
∝2 =
)2 −𝑉𝑉𝑉𝑉1)
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜆𝜆𝜆𝜆1𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑜𝑜𝑜𝑜𝜑𝜑𝜑𝜑𝑒𝑒𝑒𝑒0 𝑇𝑇𝑇𝑇L-mom
𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝜆𝜆𝜆𝜆
=Z1(𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝑄𝑄𝑄𝑄
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖−��𝑡𝑡𝑡𝑡𝑣𝑣𝑣𝑣3 =−
� �+ �𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 �𝑖𝑖𝑖𝑖=1� 𝑛𝑛𝑛𝑛[26]
Los
de la muestra
( 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 ) se estiman 𝑢𝑢𝑢𝑢mediante
las
1
.3𝑗𝑗𝑗𝑗64
100
𝑣𝑣𝑣𝑣≤
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2=�
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡�3𝑚𝑚𝑚𝑚
∑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
∑�
2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
2 𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
1)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
+
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑅𝑅𝑅𝑅
1=1
1
�
2
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
ecuaciones
16
a
19,
adoptando
las
mismas
unidades
de
me
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡
(∑
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑉𝑉𝑉𝑉1 = 𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑗𝑗𝑗𝑗− 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1
𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇 =𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁 �
− 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 � 𝑁𝑁𝑁𝑁
1 𝑗𝑗𝑗𝑗
∑1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑖𝑖𝑖𝑖
2 𝑛𝑛𝑛𝑛−1
dida
de la
𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑖𝑖𝑖𝑖 = que
2𝑜𝑜𝑜𝑜1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 los
− 1=1
𝑜𝑜𝑜𝑜datos
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟muestra.
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥∑2∑
⋯𝑣𝑣𝑣𝑣<=𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛𝑛�∑
0 1 − 0.35
𝑁𝑁𝑁𝑁 Finalmente, los coeficien2
𝑗𝑗𝑗𝑗 <
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑ (∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
1
1
𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
�
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑟𝑟𝑟𝑟
−
1)
�
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
1�
1−
− 0.35
0.35�𝑟𝑟𝑟𝑟 1
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑁𝑁𝑁𝑁
1
22 22
2 a los
1 de𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑖𝑖𝑖𝑖
=adimensionales
−
�
𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
tes
de
L-mom
(
),
análogos
de
los
En
donde
es
el
coeficiente
de
variación
la
se𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
=
1
1
−
0.35
−
�
∝
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
𝑖𝑖𝑖𝑖
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
̅
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 � +2 �𝑡𝑡𝑡𝑡3 1−2𝑡𝑡𝑡𝑡3𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑛𝑛𝑛𝑛 �
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑅𝑅𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
1�
0.35
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ��1 −𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑛𝑛𝑛𝑛
2 = �
1 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙1=1
�
�� 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
1 ∑
2
𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖 �
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖se
1=1
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
�−𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥convencionales,
𝑜𝑜𝑜𝑜
= estimación
(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) � de la varianza
momentos
estiman mediante las ecua- 2 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 rie
, …1)𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝑄𝑄𝑄𝑄�
, … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛 , 1y 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 la
𝑄𝑄𝑄𝑄1−
𝑣𝑣𝑣𝑣 =
=
(𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 1𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1
𝑖𝑖𝑖𝑖
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖−
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑟𝑟𝑟𝑟3 =
=𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
6𝑜𝑜𝑜𝑜1=1
6𝑜𝑜𝑜𝑜
+
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝛼𝛼𝛼𝛼01 −𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1=1
2
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟
�
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢
1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 ∑
1
2
2 coeficientes
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 2de
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1=1a 22:
ciones
20
de
los
cada uno de los
1=𝑡𝑡𝑡𝑡1=1
2 variación de1=1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖𝑖𝑖)
̅
�
� 𝑛𝑛𝑛𝑛media
−
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
3
̅
2
1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 −∑𝑡𝑡𝑡𝑡 � 𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑉𝑉𝑉𝑉1 =
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄∑100
𝑥𝑥𝑥𝑥elementos
𝜆𝜆𝜆𝜆1 =
= 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜0
∑�
la serie.𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖1𝑖𝑖𝑖𝑖=1 n-1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢de
𝜆𝜆𝜆𝜆
2
1
0
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑜𝑜𝑜𝑜
1
20𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑁𝑁𝑁𝑁
2
2 2
1
0
4 =
3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜
11−𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
𝑜𝑜𝑜𝑜
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1
0
𝑜𝑜𝑜𝑜
1 𝑛𝑛𝑛𝑛 [𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉medio
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 ) de𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
=
[16]
Por
último,
el (∑
valor
coeficientes
de
𝜆𝜆𝜆𝜆1 =(𝜆𝜆𝜆𝜆𝑜𝑜𝑜𝑜10)2 = −10 𝑉𝑉𝑉𝑉(𝜆𝜆𝜆𝜆=
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜−
𝑠𝑠𝑠𝑠1 es
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
�
�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)−
)]
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
�
� ∑𝑗𝑗𝑗𝑗 los
𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖 =
3 1 1 𝑁𝑁𝑁𝑁2 1
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
1
̅
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
4
3
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
1𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛pertenecen𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗a la región, 𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑛𝑛
− 1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 que
𝑒𝑒𝑒𝑒 de
𝑖𝑖𝑖𝑖 )
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑛𝑛𝑛𝑛∑
variación
las
estaciones
pon1
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
−
1)
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1=1
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
2𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
1
1 − 0.35𝑗𝑗𝑗𝑗
2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1
0
1
𝜆𝜆𝜆𝜆
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉 ) 𝑛𝑛𝑛𝑛2 𝑗𝑗𝑗𝑗2𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 =
2𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
0
1
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
2𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡𝜆𝜆𝜆𝜆2222 =
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1
1
0
=
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
�
𝑜𝑜𝑜𝑜
21−
1 𝑜𝑜𝑜𝑜0
[17]
derados
varianza
correspondiente
1por
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑉𝑉𝑉𝑉 =
𝑖𝑖𝑖𝑖
2 una de ellas:
1=1
�4 � ̅ �2̅ 2 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∑�𝑗𝑗𝑗𝑗a 2cada
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡�1�la
+
−(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡−
𝜆𝜆𝜆𝜆2 =
=𝑢𝑢𝑢𝑢22𝑜𝑜𝑜𝑜
2𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
3
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖2��𝑡𝑡𝑡𝑡
=1 (𝜆𝜆𝜆𝜆
4 �𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 )02 − 0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼2
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛
−𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝑡𝑡𝑡𝑡 �+ �𝑡𝑡𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡3 �𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 �
=
𝑛𝑛𝑛𝑛�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅3=𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 3 ��
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
1=1∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
∑1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
Z1 ≤ 1.64
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜆𝜆𝜆𝜆
= 6𝑜𝑜𝑜𝑜
− 6𝑜𝑜𝑜𝑜
+ 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝜆𝜆𝜆𝜆
1
22 2
2
= 6𝑜𝑜𝑜𝑜
6𝑜𝑜𝑜𝑜222 −
+𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅000 = [18]
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
Z1𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
≤ 𝑗𝑗𝑗𝑗1�
.64
𝜆𝜆𝜆𝜆
̅
̅
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�
𝑉𝑉𝑉𝑉2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖= ∑
�
= 6𝑜𝑜𝑜𝑜
6𝑜𝑜𝑜𝑜11(𝑡𝑡𝑡𝑡+
+2 )𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜200
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
3 𝑁𝑁𝑁𝑁
3
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 /𝜆𝜆𝜆𝜆
∝2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑢𝑢𝑢𝑢
1
2
𝑥𝑥𝑥𝑥11 1< 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑖𝑖𝑖𝑖)2 < ⋯
𝑁𝑁𝑁𝑁 3 2
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 = 1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁3𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
+
12𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
̅� < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
− 𝑡𝑡𝑡𝑡[27]
𝑅𝑅𝑅𝑅
2
2 22𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡
4
3
2
1
0
1𝑥𝑥𝑥𝑥 <
[19]
𝑛𝑛𝑛𝑛 �
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
+
12𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
12
1 𝑥𝑥𝑥𝑥 < ⋯ (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑁𝑁𝑁𝑁(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
4
3
2
1
0
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
+
12𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
∑
4
3
2
1
0
𝜆𝜆𝜆𝜆
∑
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
̅
�
�
�
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
+
12𝑜𝑜𝑜𝑜
−
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑗𝑗𝑗𝑗
3
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 3
3
3
4 1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 3 2 ∑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜∑
𝑁𝑁𝑁𝑁
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖3+1/𝜆𝜆𝜆𝜆
, … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑄𝑄𝑄𝑄1 ,1… , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡−
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
3 1=
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
2 21 2
2
1
1
4
4
2
2 2 2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑄𝑄𝑄𝑄
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖) , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄
[20]
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 =
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
2
1
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
= 𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆1
̅
�
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
�
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1 −�
=
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
3
3
4
3
4
3
2 1
1
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 2
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
Se espera
el estadístico
de una
𝑡𝑡𝑡𝑡22 =
= 𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 S siga la
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖que
𝑥𝑥𝑥𝑥 1
2 2
1 distribución
2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝜆𝜆𝜆𝜆3 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜2 −[𝑉𝑉𝑉𝑉
6𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖𝑖𝑖 1−+𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑜𝑜𝑜𝑜0 𝑖𝑖𝑖𝑖 )] ∑1𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑡𝑡𝑡𝑡4 =̅ 𝜆𝜆𝜆𝜆
2
/𝜆𝜆𝜆𝜆
2
�
2
4
2
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
2
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
3
2
2𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠libertad,
𝑖𝑖𝑖𝑖 2 forma que
3
[21]
función
m�𝑡𝑡𝑡𝑡- 1(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
grados
de
de tal
𝑥𝑥𝑥𝑥 1con
𝑉𝑉𝑉𝑉1𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
�
−(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡̅�−
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
3
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
3 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆12
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑡𝑡𝑡𝑡3𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜆𝜆𝜆𝜆 )/𝜆𝜆𝜆𝜆
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
1 − 0.35 𝑟𝑟𝑟𝑟
2 𝑛𝑛𝑛𝑛−
=1=1𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 −
𝑡𝑡𝑡𝑡�=
𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � � 2
𝑉𝑉𝑉𝑉=
𝐷𝐷𝐷𝐷 �
= 𝑖𝑖𝑖𝑖�
𝑡𝑡𝑡𝑡 región
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
3∑
3 � 3+ �𝑡𝑡𝑡𝑡
4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )la
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑚𝑚𝑚𝑚
�
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
será
homogénea
si
se
cumple
que
,
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑒𝑒𝑒𝑒
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
Z ≤𝑛𝑛𝑛𝑛1.64
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
2
𝜆𝜆𝜆𝜆4 = 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + donde
12𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅1 − p𝑜𝑜𝑜𝑜∑
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 − 1) 1
0
𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
< 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
(𝑖𝑖𝑖𝑖) con-2 2(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1=1 [22]
de 𝑛𝑛𝑛𝑛significancia.
En caso
𝜆𝜆𝜆𝜆 /𝜆𝜆𝜆𝜆
� �
𝑉𝑉𝑉𝑉3 = el𝑁𝑁𝑁𝑁nivel𝑡𝑡𝑡𝑡4�
𝑡𝑡𝑡𝑡 = representa
4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4
4 /𝜆𝜆𝜆𝜆2
2
= 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖4��𝑡𝑡𝑡𝑡
/𝜆𝜆𝜆𝜆23 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�3𝑁𝑁𝑁𝑁�1 𝑅𝑅𝑅𝑅+ �𝑡𝑡𝑡𝑡4 𝐷𝐷𝐷𝐷−=𝑡𝑡𝑡𝑡�4�
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑡𝑡𝑡𝑡
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 de
trario, la1hipótesis
será
y la re-2𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 2
𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑖𝑖𝑖𝑖) homogeneidad
1 rechazada
2 2 𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
Z ≤ 1.64
2
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑛𝑛𝑛𝑛=𝑡𝑡𝑡𝑡)]
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
�
�
∑
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
�
[𝑉𝑉𝑉𝑉
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑗𝑗
̅
�
3
4
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛
��𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑡𝑡𝑡𝑡 � +3 �𝑡𝑡𝑡𝑡3∑𝑁𝑁𝑁𝑁− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛3 � � 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑉𝑉𝑉𝑉2 =𝑅𝑅𝑅𝑅será
4
𝜆𝜆𝜆𝜆1 =
𝑜𝑜𝑜𝑜0 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
coincide
con )la22 media convencional; 𝑡𝑡𝑡𝑡2 =
o 𝜆𝜆𝜆𝜆L‑coefigión
3
2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖heterogénea.
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠
∑=
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡=
𝑠𝑠𝑠𝑠 )
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
)2
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑗𝑗𝑗𝑗 a−otros
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠 estadísticos
ciente
(L-CV)
cuantifica
la
dispersión
de
la
Este
test
también
se
puede
aplicar
𝑣𝑣𝑣𝑣
∑
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
=�
�de variación
𝑛𝑛𝑛𝑛
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )]∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑛𝑛𝑛𝑛=𝑡𝑡𝑡𝑡�
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛
[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 = el
𝑡𝑡𝑡𝑡al
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1variación
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 por ejemplo,
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 coeficiente
𝑗𝑗𝑗𝑗 como,
muestra
tomar valores comprendidos entre
0 y 1,
distintos
de
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = y2𝑜𝑜𝑜𝑜puede
𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅∑=
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
3
2
)
cuando todos los𝑥𝑥𝑥𝑥 2datos de la muestra son positivos; 𝑡𝑡𝑡𝑡3 =
o 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2 coeficiente
de
sesgo.
∑
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
1 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1 ,Z… ≤, 𝑄𝑄𝑄𝑄1𝑛𝑛𝑛𝑛.64
𝑣𝑣𝑣𝑣
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 2 2
𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡� �2𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑣𝑣𝑣𝑣
− 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
+𝑣𝑣𝑣𝑣=
�𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � �
𝑉𝑉𝑉𝑉3 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝜆𝜆𝜆𝜆[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖 )]
L‑coeficiente
(L‑CS) mide la simetría de la mues𝑢𝑢𝑢𝑢
3
3
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 =
=𝜆𝜆𝜆𝜆3𝑛𝑛𝑛𝑛 = 6𝑜𝑜𝑜𝑜2 −de6𝑜𝑜𝑜𝑜sesgo
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
+
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
1
0
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
tra y puede tomar𝐷𝐷𝐷𝐷 valores
entre -1 𝑥𝑥𝑥𝑥y21; y𝑡𝑡𝑡𝑡4 𝑡𝑡𝑡𝑡=4 =
Apéndice C.𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
Test𝑖𝑖𝑖𝑖 )de Hosking y𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗Wallis
𝑣𝑣𝑣𝑣 =
− 1)
< 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑚𝑚𝑚𝑚comprendidos
4 /𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜆𝜆4𝜆𝜆𝜆𝜆/𝜆𝜆𝜆𝜆
2 2 Z ≤ 1.64
2
[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑚𝑚𝑚𝑚
)]
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖1
(∑ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1 )
< 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑥𝑥𝑥𝑥32/𝜆𝜆𝜆𝜆
<2⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
o L‑coeficiente de curtosis (L-CK) mide la forma picuda o
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥𝑥𝑥𝑥31 =
− 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 �
𝜆𝜆𝜆𝜆∑
30𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜0 datos, pudiendo𝐷𝐷𝐷𝐷adoptar
𝑁𝑁𝑁𝑁 de2 homogeneidad
𝑣𝑣𝑣𝑣
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉 )∑ Hosking
3−
aplanada
distribución
El 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
test
y𝑛𝑛𝑛𝑛 Wallis
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 la
∑4 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗=𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣de
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗20𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅 2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜1de−los
< 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
∑
2 )𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡= (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) � 𝑖𝑖𝑖𝑖de
𝑖𝑖𝑖𝑖 )] [1997],
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑜𝑜𝑜𝑜)𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
−
𝑗𝑗𝑗𝑗=
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑜𝑜𝑜𝑜1
𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑖𝑖𝑖𝑖=1
Z
≤
.
64
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
<
⋯
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐻𝐻𝐻𝐻
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝑖𝑖𝑖𝑖 el grado de heterogenei𝑣𝑣𝑣𝑣
=
valores𝑚𝑚𝑚𝑚
comprendidos entre -1 y 1.
basado
en
L-momentos,
estima
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1
1=1
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡4 =𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑢𝑢𝑢𝑢4𝑗𝑗𝑗𝑗 /𝜆𝜆𝜆𝜆∑2
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 −
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 de estaciones con𝑚𝑚𝑚𝑚el objetivo
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗de un 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 son independientes de la escala
Además,
dad
grupo
de
evaluar
si
𝑡𝑡𝑡𝑡2 = 𝜆𝜆𝜆𝜆2 /𝜆𝜆𝜆𝜆los
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅 de los
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
1)
�
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
Z
≤
1
.
64
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑖𝑖−
𝑛𝑛𝑛𝑛
+
1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
2
<1 ⋯ 𝑖𝑖𝑖𝑖<
1
1
2puede
datos, lo que significa que(∑
si se 𝑛𝑛𝑛𝑛−1
estandarizan
los valores de
la
región
ser
considerada
homogénea. El test utiliza
2
1 )
2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗
2 1=1
1
(∑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
)�
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )∑
1
(∑
−
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1 )
� valores de 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 que𝑢𝑢𝑢𝑢 en
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1 para
Z
≤
1
.
64
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 − los 𝑛𝑛𝑛𝑛mismos
una muestra obtendremos
los
valores
de
los
L-momentos
de
las
muestras
com𝑢𝑢𝑢𝑢
=
𝑢𝑢𝑢𝑢
2
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
[𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
2
𝑗𝑗𝑗𝑗
−
�
−
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖 <=
𝑗𝑗𝑗𝑗 =
− 1)
𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑥𝑥2, 𝑄𝑄𝑄𝑄
<𝑛𝑛𝑛𝑛 ⋯
< 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗𝑗𝑗𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜1+
, 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑄𝑄𝑄𝑄los
, 𝑄𝑄𝑄𝑄
,…
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 probar
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 muestra
= (𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑛𝑛𝑛𝑛 −
− 1)
1)
�
1 ,𝑒𝑒𝑒𝑒…𝑗𝑗𝑗𝑗si
𝑖𝑖𝑖𝑖−1datos
𝑠𝑠𝑠𝑠 1
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖<𝑄𝑄𝑄𝑄=
la
original.
observados
una región homo(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1)de�
𝑛𝑛𝑛𝑛
1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =dentro
𝑛𝑛𝑛𝑛
)
1=1
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖 de un mismo
1=1
𝑡𝑡𝑡𝑡3 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖
génea
proceden
patrón
regional,
o
de
forma
2
1=1
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
⋯
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑅𝑅𝑅𝑅𝐷𝐷𝐷𝐷 <
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑚𝑚𝑚𝑚
− 1)𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡 2 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑥𝑥 general,
Apéndice B. Test de Wiltshire
si
se
puede
asumir
que
determinados
paráme1
∑𝑗𝑗𝑗𝑗∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 más
𝑣𝑣𝑣𝑣 =
∑𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑣𝑣𝑣𝑣 =
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗.64
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑅𝑅𝑅𝑅≤de
tros
la
función
de
distribución
relativos
a
los
coeficien𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
2
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
Z
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑗𝑗𝑗𝑗
4
4 2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡𝐷𝐷𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
𝑡𝑡𝑡𝑡3 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆∑2𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑥𝑥𝑥𝑥
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 2
1
test de𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗Wiltshire [1986] analiza la homogeneidad de
tes de curtosis,
son
dentro de
=
𝑉𝑉𝑉𝑉1 sesgo
= 𝑁𝑁𝑁𝑁 y variación
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
− constantes
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢̅�𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜El
𝑠𝑠𝑠𝑠 =
1
2
=
∑1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛 2 𝑥𝑥𝑥𝑥
1 coeficiente de variación en una región, me∑
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 𝑖𝑖𝑖𝑖 2
1
los valores
la
región.
Para
ello,
compara
las
variaciones
de
los
L-mo𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 del
∑
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
(∑
)
1
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
⋯
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑗𝑗𝑗𝑗2 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗1
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑛𝑛−1
∑𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑛𝑛−1
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )
(∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
) �
1
𝑡𝑡𝑡𝑡4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆2 𝑢𝑢𝑢𝑢
1 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 −
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑣𝑣𝑣𝑣1=
− estaciones
� observadas,𝑢𝑢𝑢𝑢con
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
diante
la
cuantificación
del
estadístico
:
mentos
en
las
las
variaciones
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑛𝑛𝑛𝑛
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣=𝑗𝑗𝑗𝑗 =
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
1)
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
1)
�
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑅𝑅
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
esperadas
caso
región homogénea.
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1para
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+
,…
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛de una
𝑄𝑄𝑄𝑄1𝜆𝜆𝜆𝜆,𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖…
𝑡𝑡𝑡𝑡3 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2 𝑁𝑁𝑁𝑁
1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡el
𝑖𝑖𝑖𝑖
2 2
1=1
1
2
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 )2
1=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 −
𝑁𝑁𝑁𝑁 + �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) −
1
2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
̅
�
La
comparación
se
puede
realizar
mediante
tres
me2
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
1
2
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
1
3
[23]
𝑅𝑅𝑅𝑅
1
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑉𝑉𝑉𝑉
2
=� /𝜆𝜆𝜆𝜆 �
(∑𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
∑1𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑉𝑉𝑉𝑉11𝑡𝑡𝑡𝑡=
� 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡
�𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) −
− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡̅̅��
4==∑𝜆𝜆𝜆𝜆𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 de heterogeneidad:
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑉𝑉𝑉𝑉1 ,𝑡𝑡𝑡𝑡=𝑖𝑖𝑖𝑖que
− 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�
−𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
� � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡la(𝑖𝑖𝑖𝑖)dispersión
didas
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑗𝑗𝑗𝑗4 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁 cuantifica
𝑛𝑛𝑛𝑛2𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 /𝜆𝜆𝜆𝜆𝑢𝑢𝑢𝑢2𝑗𝑗𝑗𝑗
3/𝜆𝜆𝜆𝜆=
𝑡𝑡𝑡𝑡4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆∑4𝑡𝑡𝑡𝑡1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
1=1
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
2 𝑖𝑖𝑖𝑖3𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) �
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1=1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡4 𝑛𝑛𝑛𝑛
=𝑗𝑗𝑗𝑗 𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆2
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑗𝑗𝑗𝑗
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) −
del L-coeficiente𝑛𝑛𝑛𝑛 de variación (L-CV), 𝑉𝑉𝑉𝑉2 =que𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢
∑𝑗𝑗𝑗𝑗∑regional
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
2
𝑢𝑢𝑢𝑢
2
1=1
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜Donde
)
1
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑒𝑒𝑒𝑒
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗𝑁𝑁𝑁𝑁es
− 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
el 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
coeficiente
de variación de
la estación
j. 𝑠𝑠𝑠𝑠 = cuantifica
la dispersión
del𝑁𝑁𝑁𝑁L-CV y del L-coeficiente
de ses𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑠𝑠𝑠𝑠 )
𝑡𝑡𝑡𝑡3𝑢𝑢𝑢𝑢=𝐷𝐷𝐷𝐷=
𝜆𝜆𝜆𝜆=𝑜𝑜𝑜𝑜3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣𝑣𝑣
/𝜆𝜆𝜆𝜆
1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
2
2 2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=
1
𝑡𝑡𝑡𝑡42(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
= 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑗𝑗𝑗𝑗4−
/𝜆𝜆𝜆𝜆
1
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
�
2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2 ∑1
2
1
𝑗𝑗𝑗𝑗 es
𝑁𝑁𝑁𝑁� +
1
2
2
�
�
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
)
2∑
la
varianza
de
la
muestra
correspondiente
a
,
que
go
(L-CS),
y
que
cuantifica
la
dispersión
del
L-CS
y
del
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
∑
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢
2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
3
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗2=
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
4
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅̅� + �𝑡𝑡𝑡𝑡
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑣𝑣𝑣𝑣�
��=𝐷𝐷𝐷𝐷 ��= �
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜆𝜆𝜆𝜆=𝑖𝑖𝑖𝑖 31 � 𝑛𝑛𝑛𝑛 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�2 + �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑡𝑡� �2 �2
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
3
�
3
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
3
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
3
∑
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖por:
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=12
viene dada
L-coeficiente
de tal forma,
que se pue- 13
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑗𝑗𝑗𝑗
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗de curtosis (L‑CK),
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4 ∑
/𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )2
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗los datos observados
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 −
𝑉𝑉𝑉𝑉
de
evaluar
si
en
diferentes
estaciones
𝑣𝑣𝑣𝑣
3
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
=
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 una2misma
𝑢𝑢𝑢𝑢=𝑗𝑗𝑗𝑗 =𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗
1provienen
2 de
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
distribución
de probabilidad re-𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 )∑
1 (∑
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 /𝜆𝜆𝜆𝜆𝑣𝑣𝑣𝑣
2𝑡𝑡𝑡𝑡̅� ∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉�
𝑉𝑉𝑉𝑉=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑖𝑖𝑖𝑖)
−
1 𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑛𝑛𝑛𝑛 [24]
11 = −𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑙𝑙𝑙𝑙�
̅
3
3 𝑢𝑢𝑢𝑢2𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
2
2
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
−
)
2
�
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚1
𝑗𝑗𝑗𝑗2 2
∑1=1
2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡 =
1 𝑗𝑗𝑗𝑗 � 𝑛𝑛𝑛𝑛
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2
2 2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛gional:
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
−
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�
�� 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑉𝑉
�� (𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 1) �
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
�33 �� +
�44=
4
3
= ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑉𝑉𝑉𝑉33 �
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣
−
�
�
4
3
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
�
𝑢𝑢𝑢𝑢
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑗𝑗𝑗𝑗
3
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡4
3
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛
(∑la
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
1
Siendo
de
serie
registrada
en
la
estación
𝑛𝑛𝑛𝑛 longitud
𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑡𝑡𝑡𝑡4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑣𝑣𝑣𝑣 =
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 la
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
2
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1 −
�
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
∑
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡
− (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡̅� 2 22 2
[28] 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
j𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣,𝑗𝑗𝑗𝑗 y==𝑣𝑣𝑣𝑣 (𝑛𝑛𝑛𝑛
la𝑚𝑚𝑚𝑚−
varianza
de los valores𝑛𝑛𝑛𝑛 del coeficiente
1 1𝑉𝑉𝑉𝑉1 =
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2𝑡𝑡𝑡𝑡̅�2[𝑉𝑉𝑉𝑉
1) � (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑣𝑣𝑣𝑣 = de variación
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛
)]
−
�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
=
�
−
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
̅
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉 = ∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 −
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
( 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑛𝑛𝑛𝑛)𝑗𝑗𝑗𝑗−en∑
la
región:
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖� =+ �𝑡𝑡𝑡𝑡3 3− 𝑡𝑡𝑡𝑡3 � � ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 2 ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑠𝑠𝑠𝑠 )𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 1
𝑅𝑅𝑅𝑅)
2
𝑢𝑢𝑢𝑢
=1𝑣𝑣𝑣𝑣 =∑𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝐷𝐷𝐷𝐷 = � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
(∑
)
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝑁𝑁𝑁𝑁
(∑𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1 )2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 =
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 1
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 ∑
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
− 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
� −(∑ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
1
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
� 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 1
1
1 ) 2 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1 𝑛𝑛𝑛𝑛−1
(∑
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
∑
Ingeniería
Civil
174/2014
|
29
2
−
�
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
2
1
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) � 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗∑=
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1) �
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣∑
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢�
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 2��𝑡𝑡𝑡𝑡2 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + 2�𝑡𝑡𝑡𝑡1223 2− 𝑡𝑡𝑡𝑡�3 � �
1𝑉𝑉𝑉𝑉2𝑁𝑁𝑁𝑁= 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁 �(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑗𝑗𝑗𝑗1)
𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣=𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑛𝑛𝑛𝑛 −
𝑗𝑗𝑗𝑗 1=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑣𝑣𝑣𝑣1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
2 = (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) �𝑉𝑉𝑉𝑉3 = 1
Z
≤
1
.
64
�
�
𝑣𝑣𝑣𝑣
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
�
�
4
3
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
− 𝑡𝑡𝑡𝑡3 � + �𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡4 � �
𝑉𝑉𝑉𝑉3 = 𝑁𝑁𝑁𝑁∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 =[𝑉𝑉𝑉𝑉
(∑ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 )
[𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 −
)]𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
1
−11=1
𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 )]
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
− 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 �
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐻𝐻𝐻𝐻
∑𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁 1=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
= 𝑣𝑣𝑣𝑣 =
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑢𝑢𝑢𝑢
)
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
1)
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
Z ≤ 1.64
𝑗𝑗𝑗𝑗
)
𝑗𝑗𝑗𝑗 29
2
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑁𝑁𝑁𝑁1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
CEH1∑
174.indd
23/06/14 13:02
𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 ) 1
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�
(∑𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1 𝑛𝑛𝑛𝑛)
∑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑜𝑜𝑜𝑜 +∑ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )2 1
= 𝑁𝑁𝑁𝑁
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆1 )𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑁𝑁𝑁𝑁
+
1
2 )𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
1=
+
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛�
�
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝑇𝑇𝑇𝑇
1
�
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇
+
1
𝑚𝑚𝑚𝑚
�
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
− (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑟𝑟𝑟𝑟 =
�
1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 )
1=1
𝑄𝑄𝑄𝑄)]
𝑁𝑁𝑁𝑁[𝑉𝑉𝑉𝑉
−
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢2 = (𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
1 2
2 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛−1 −
�
1 𝑗𝑗𝑗𝑗) 2 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑛𝑛𝑛𝑛
1 𝑣𝑣𝑣𝑣 =(∑
1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗
(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
1)
�
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
�
𝑗𝑗𝑗𝑗− ∑
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛−
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣 =
𝑣𝑣𝑣𝑣 =
1=1
)�
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑚𝑚𝑚𝑚∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
1=1
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)21
∑�
2
𝑉𝑉𝑉𝑉1 =
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜�𝑡𝑡𝑡𝑡
− 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 =(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑡𝑡𝑡𝑡 1
−
)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
̅ 𝜆𝜆𝜆𝜆 /𝜆𝜆𝜆𝜆
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉∑
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
𝑗𝑗𝑗𝑗 1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 1 ) 2 𝑖𝑖𝑖𝑖
1
∑3𝑗𝑗𝑗𝑗 � 3 2
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
∑
=
∑
(∑
(∑1𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑙𝑙1=1
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑛𝑛𝑛𝑛−1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 de
1− �1 −
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
1
�
Análisis
modelos
estadísticos...
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 y𝑛𝑛𝑛𝑛 selección
1
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗
−
−
�
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑇𝑇𝑇𝑇
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
3 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁−
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =𝑡𝑡𝑡𝑡3(𝑛𝑛𝑛𝑛=−𝜆𝜆𝜆𝜆31)
1𝑡𝑡𝑡𝑡�
/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑡𝑡𝑡𝑡3𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗==𝜆𝜆𝜆𝜆13(𝑛𝑛𝑛𝑛
/𝜆𝜆𝜆𝜆
2𝑡𝑡𝑡𝑡41)=�
𝜆𝜆𝜆𝜆41/𝜆𝜆𝜆𝜆2
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 2
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1 − 𝑁𝑁𝑁𝑁
�1 − �
REFERENCIAS
𝑁𝑁𝑁𝑁2
1
1=1
1
𝑣𝑣𝑣𝑣 1 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑇𝑇𝑇𝑇 (𝑖𝑖𝑖𝑖)(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅2𝑖𝑖𝑖𝑖
1− 𝑡𝑡𝑡𝑡� �2∅�2 =(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 2𝑛𝑛𝑛𝑛[29]
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�2 + �𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁��𝑡𝑡𝑡𝑡2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗2 =𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑁𝑁𝑁𝑁= 𝜆𝜆𝜆𝜆 3/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑢𝑢𝑢𝑢
3
3
̅
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
̅
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
4
4
2
1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆𝜆𝜆 /𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑖𝑖𝑖𝑖 3
∑
3 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 2
𝑡𝑡𝑡𝑡4 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆𝑛𝑛𝑛𝑛
2𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖1
4 𝑁𝑁𝑁𝑁 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
1 2 ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
2 ∑
𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡4𝑁𝑁𝑁𝑁=
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
� � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )
Acreman, M.C. y Sinclair, C.D. (1986). Classification of
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑉𝑉𝑉𝑉−𝑁𝑁𝑁𝑁�1
= − 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡̅� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∅1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑇𝑇
1∑𝑗𝑗𝑗𝑗 1𝑗𝑗𝑗𝑗 ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
22
𝑡𝑡𝑡𝑡4(𝑖𝑖𝑖𝑖)=𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆
1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 2 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢�
𝑁𝑁𝑁𝑁
drainage
basins according to their physical characteristics; an
̅�∅𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑅𝑅𝑅𝑅
−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡2−
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 ) ∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠2∑=
∑
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑁𝑁𝑁𝑁𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 1(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
−
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖=(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 −𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜1𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝑇𝑇 1
𝑗𝑗𝑗𝑗=𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗�
𝐷𝐷𝐷𝐷
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
1
application
for flood frequency analysis in Scotland. Journal of
𝑁𝑁𝑁𝑁
4
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
2
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜̅𝐷𝐷𝐷𝐷
� =1=1
1
2
∑
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑛𝑛𝑛𝑛
∅
𝐷𝐷𝐷𝐷 = � (𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑𝑗𝑗𝑗𝑗=
2 2
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=12 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡�
2 = (𝑖𝑖𝑖𝑖)
1 ∑−𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑢𝑢𝑢𝑢�𝑍𝑍𝑍𝑍
1 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
2 2 2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
3
2�𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡�3𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠=
+
𝑉𝑉𝑉𝑉
[30]
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑗𝑗𝑗𝑗 4
3 =
)
1 (𝑖𝑖𝑖𝑖)𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑗𝑗𝑗𝑗4�𝑗𝑗𝑗𝑗𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛�+
3 𝑗𝑗𝑗𝑗 −
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 �
̅
�
Hydrology,
84.
pp. 365-380.
�
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
∑∑
𝑛𝑛𝑛𝑛 1=
3
3
𝑡𝑡𝑡𝑡 4 4
3 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 =3
2 24
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑇𝑇𝑇𝑇∑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝐷𝐷𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛
�
Adamowski,
K. (2000) Regional analysis of annual maximum
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
4𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + �𝑡𝑡𝑡𝑡
−
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉2𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 �
�
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗
3
𝑍𝑍𝑍𝑍2 = (𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑣𝑣𝑣𝑣1 2 2 23
1𝑡𝑡𝑡𝑡4𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝜆𝜆𝜆𝜆4 /𝜆𝜆𝜆𝜆∑2𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖=1(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 𝑖𝑖𝑖𝑖 −
𝑁𝑁𝑁𝑁
(∑
)
̅
�
and
partial
duration
flood data by nonparametric and L-moment
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉2 =𝑢𝑢𝑢𝑢 =
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑙𝑙𝑙𝑙
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑡𝑡𝑡𝑡 1
� = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡4−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
4
2𝑛𝑛𝑛𝑛−1 − 3 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡𝑡𝑡=
2
𝑗𝑗𝑗𝑗∑2𝑁𝑁𝑁𝑁 1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛𝐷𝐷𝐷𝐷𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑇𝑇2(𝑖𝑖𝑖𝑖)2 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛=𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 3en la�
1 Journal of Hydrology, 229. pp. 219-231.
𝑁𝑁𝑁𝑁 estación
̅
̅
�
∑
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
methods.
es
el
valor
del
L-CV
,
es
el
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
4
𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑉𝑉𝑉𝑉1−=𝑡𝑡𝑡𝑡̅� 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
+𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑗𝑗𝑗𝑗 =Donde
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
3 (𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) �
2
2 2
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∑1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝜆𝜆𝜆𝜆3𝑗𝑗𝑗𝑗/𝜆𝜆𝜆𝜆
1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡3𝑖𝑖𝑖𝑖 =𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
∑𝑍𝑍𝑍𝑍1=1
)𝑗𝑗𝑗𝑗 =
2(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑢𝑢𝑢𝑢 del
=𝑅𝑅𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑡𝑡𝑡𝑡=𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛=
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑣𝑣𝑣𝑣 =�
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )2en la
�30.12
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖��𝑡𝑡𝑡𝑡1 𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2000a. Guidelines on Assessment of Consequenvalor
medio
L-CV
región
−+𝑡𝑡𝑡𝑡el
�
�va-+ �𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 �ANCOLD,
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑡𝑡𝑡𝑡∑
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 1=1
3 = 2 𝑁𝑁𝑁𝑁homogénea,
3 es
𝑚𝑚𝑚𝑚
2
𝑁𝑁𝑁𝑁
1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑗𝑗=
2
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡el4 �𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖=1
/𝜆𝜆𝜆𝜆medio
𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
4−
2 � � del L-CS
∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗en
1=
𝑣𝑣𝑣𝑣
�
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
0.44
ses
of
Dam
Failure.
Australian National Committee on Large
lor
del
la
estación
,
es
valor
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑉𝑉𝑉𝑉3𝑣𝑣𝑣𝑣𝑁𝑁𝑁𝑁 =L-CS
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
∑
𝑗𝑗𝑗𝑗
4
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
3
2 ) = (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑗𝑗𝑗𝑗 2
𝑗𝑗𝑗𝑗 2
𝑗𝑗𝑗𝑗
1 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑗𝑗𝑗𝑗= ∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
=
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 𝑡𝑡𝑡𝑡4 del
1
4 /𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑛𝑛𝑛𝑛 en la es𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝜆𝜆𝜆𝜆L-CK
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛=+
𝑁𝑁𝑁𝑁
�
�
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
Dams.
la
región
homogénea,
es
el
valor
𝑚𝑚𝑚𝑚
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉3 =𝑣𝑣𝑣𝑣 =𝑁𝑁𝑁𝑁2 en
�
�
0.12
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
2
4
3
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉2(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2 2
𝑚𝑚𝑚𝑚
1
1 (𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑄𝑄𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜22)𝑖𝑖𝑖𝑖 − (𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑡𝑡𝑡𝑡 12 2)
𝑗𝑗𝑗𝑗 2∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣
2
∑ 1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚𝑚𝑚
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∑
(∑
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1+ �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛 −
𝑛𝑛𝑛𝑛y
𝑡𝑡𝑡𝑡̅� 𝑗𝑗𝑗𝑗 +medio
�𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑉𝑉𝑉𝑉−
=
𝑡𝑡𝑡𝑡�3 �L-CK
�𝑁𝑁𝑁𝑁 en
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡�3𝑛𝑛𝑛𝑛−1
� �
� ANCOLD,
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡la
=𝑖𝑖𝑖𝑖región
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 𝑉𝑉𝑉𝑉2−=𝑡𝑡𝑡𝑡�3 �𝑖𝑖𝑖𝑖=1
+ �𝑡𝑡𝑡𝑡
�el−valor
�es
𝑖𝑖𝑖𝑖−
−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗𝑗𝑗�−
0.44
2000b. Guidelines on Selection of Acceptable
homo)]
𝑜𝑜𝑜𝑜�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠̅�)𝑛𝑛𝑛𝑛−1
−3 −
2del
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
4 𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑁𝑁𝑁𝑁tación
𝑁𝑁𝑁𝑁
4𝑣𝑣𝑣𝑣[𝑉𝑉𝑉𝑉
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚 [𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 −3𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
∑𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑞𝑞𝑞𝑞
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐷𝐷𝐷𝐷
=
�
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
)
3
=
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖= =
𝑖𝑖𝑖𝑖 2
2 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
)
1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐻𝐻𝐻𝐻 = (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
−
1)
�
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑛𝑛 + 0.12
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
Flood
Capacity
for Dams. Australian National Committee on
génea.
1𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 )= (𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
2
1
(∑
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡𝑡𝑡3∑
𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
1
=
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖3)𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
/𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡2 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
1𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
(𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑛𝑛𝑛𝑛
1𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1(𝑄𝑄𝑄𝑄
= )�
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑙𝑙𝑙𝑙 )𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖 −
(∑
∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑅𝑅𝑅𝑅 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
−
𝑙𝑙𝑙𝑙�
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1 )
1 𝑟𝑟𝑟𝑟
1 1=1(∑
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡 L-momentos
𝑛𝑛𝑛𝑛� 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖 ) )� 𝑛𝑛𝑛𝑛∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 Estas
=
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
Large
Dams.
medidas
de
la
variabilidad
de
los
𝑢𝑢𝑢𝑢
−
−
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡=
𝑁𝑁𝑁𝑁
=
2
𝑛𝑛𝑛𝑛 2
) 𝑁𝑁𝑁𝑁 1 )𝑛𝑛𝑛𝑛−1
34/𝜆𝜆𝜆𝜆
22�
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡34�
=𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆∑
/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 𝑖𝑖𝑖𝑖�
1
𝑗𝑗𝑗𝑗1)
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =𝑛𝑛𝑛𝑛1 (𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁
−21(∑
1)
Baker,
V.R. (1987) Paleoflood hydrology and extraordinary
observados
son
comparadas
con
la
espe𝑙𝑙𝑙𝑙 variabilidad
𝑛𝑛𝑛𝑛1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗
2𝑛𝑛𝑛𝑛
2� + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅
=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑡𝑡𝑡𝑡 =
1
2 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀�𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
−
1
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
−
(𝑄𝑄𝑄𝑄
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 2 2
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
1=1
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝜆𝜆𝜆𝜆
/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛
4
4
2
�
�
�
�
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
=
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
�
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉3 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑁𝑁𝑁𝑁=
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1=1
1=1
Z=≤�
1en
.64𝑖𝑖𝑖𝑖una
flood
events.
Journal of Hydrology, 96.
rable
región
Esta
última
variabili3 1)homogénea.
3
4[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
4
4
𝑣𝑣𝑣𝑣
3
3
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
(𝑛𝑛𝑛𝑛
−
�
)]𝑗𝑗𝑗𝑗
−
Z ≤)𝑖𝑖𝑖𝑖1.64
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚1= 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑄𝑄𝑄𝑄/𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
=de 𝑖𝑖𝑖𝑖∑
2)2
2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
4 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
2mediante
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 Carlo
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
−
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
Biedermann,
R. et al. (1988) Safety of Swiss dams against
dad
se 4estima
simulaciones
Monte
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
̅
1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑉𝑉1 =1=1
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
=
�
+
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖 )]𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐷𝐷𝐷𝐷 =[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖 =
)𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗de �
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛⋯�
1𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 ∑
−
)
1=1
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
floods:
design
criteria
and design flood. 16º Congreso Internaciode
una
región
homogénea
con
un
número
estaciones
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢< 𝑥𝑥𝑥𝑥 < ⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥
[𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 −∑𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑥𝑥𝑥𝑥𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷)]
=�
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑗𝑗𝑗𝑗2 𝑢𝑢𝑢𝑢∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖 )2
2 𝑛𝑛𝑛𝑛 1 ∑
21
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑗𝑗𝑗𝑗longitud
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(∑
) 𝑁𝑁𝑁𝑁
−
)
𝑗𝑗𝑗𝑗 =
𝑗𝑗𝑗𝑗ellas
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
nal
de
Grandes
Presas.
ICOLD. Vol. IV. San Francisco.
igual
a
la
región
real
y
cada
una
de
con
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠𝑠𝑠
)]
=
�
+
− 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 ∑𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗
−𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷)= �
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠 = �𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑚𝑚
1 ∑𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑄𝑄𝑄𝑄las
1
1=
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
∑
,
…
,
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
Blöschl,
G.
and
Sivalapan,
M. (1997) Process controls on reigual
a
longitudes
observadas.
Las
muestras
simula𝑢𝑢𝑢𝑢
1
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
Z
≤
1
.
64
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
∑
𝑣𝑣𝑣𝑣∑
−
1) �
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−
, … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛∑
𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑢𝑢𝑢𝑢, …
=1 , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+
𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑟𝑟𝑟𝑟,𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
2𝑛𝑛𝑛𝑛2
(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )
1
21
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗 =𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠1 =
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚 de𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢generan
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 kappa
𝑁𝑁𝑁𝑁 cuatro
(𝑖𝑖𝑖𝑖)1 𝑛𝑛𝑛𝑛̅ 𝑄𝑄𝑄𝑄
gional
flood
frequency:
Coefficient
of variation and basin scale.
das
mediante
una
función
�
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉22 =se
�
1=1
Z 𝑁𝑁𝑁𝑁≤𝑗𝑗𝑗𝑗1.64𝑛𝑛𝑛𝑛�
1 1
𝑖𝑖𝑖𝑖 ∑
3
𝑗𝑗𝑗𝑗
2 1
3
2
(𝑖𝑖𝑖𝑖) −
𝑥𝑥𝑥𝑥 �∑𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀
(∑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙̅�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
) Resources Research, 33 (12). pp. 2967-2980.
𝑉𝑉𝑉𝑉1 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑁𝑁𝑁𝑁 =de𝑛𝑛𝑛𝑛dos
� 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=
2 general
𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑖𝑖𝑖𝑖1�𝑡𝑡𝑡𝑡
Water
parámetros,
más
que
las
funciones
y
tres
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑛𝑛𝑛𝑛
Z ≤ 1𝑟𝑟𝑟𝑟.64
𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯ <∑𝑥𝑥𝑥𝑥1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1�
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖=
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉Bocchiola
𝑁𝑁𝑁𝑁 1que se utilizan
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑄𝑄𝑄𝑄
(∑
𝑁𝑁𝑁𝑁
D, De Michele, C. and Rosso, R. (2003) Review of
La
función
2 [𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑛𝑛 2 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1
[𝑉𝑉𝑉𝑉parámetros
)]
)]
−
𝑛𝑛𝑛𝑛<𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 ⋯
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=−(𝑛𝑛𝑛𝑛𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
− 1)
�𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�normalmente.
1
1
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
−
�
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
1
∑
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
−𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛1)
𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥1𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 −
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛 advances in index flood estimation. Hydrology and Earth
2partir
̅𝑖𝑖𝑖𝑖� −
𝑉𝑉𝑉𝑉1 =kappa
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑄𝑄𝑄𝑄
�
𝑡𝑡𝑡𝑡=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛𝑛
−�
𝑡𝑡𝑡𝑡̅�
=
𝑗𝑗𝑗𝑗ajusta
𝑀𝑀𝑀𝑀
�
𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝑚𝑚𝑚𝑚
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 1)
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷𝐷𝐷𝑛𝑛𝑛𝑛<
1𝐻𝐻𝐻𝐻=
𝑖𝑖𝑖𝑖, �𝑡𝑡𝑡𝑡
∑
recent
se
a
de
los
valores
medios,
ponde𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑢𝑢𝑢𝑢
1=1
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑖𝑖𝑖𝑖
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
−
1)
1=1
𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 <∑⋯
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖+21) 2
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)1𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑗𝑗𝑗𝑗∑
1𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑁𝑁𝑁𝑁 12 (𝑖𝑖𝑖𝑖)∑1=1
1=1<=
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛 System Sciences,1 7(3). pp. 283-296.
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 2𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1la 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑁𝑁𝑁𝑁
rados
longitud
series,
�𝑛𝑛𝑛𝑛3las
=
−4𝑡𝑡𝑡𝑡̅� −de
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁+��𝑡𝑡𝑡𝑡
−
�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡�4los
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅3 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=1𝑄𝑄𝑄𝑄
� �1L-momentos
2 2
1=1
, por
…∑
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑉𝑉𝑉𝑉
, 𝑄𝑄𝑄𝑄
, 3… �
,de
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖=1
11
𝑖𝑖𝑖𝑖��𝑡𝑡𝑡𝑡+
1
⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 + 2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑡𝑡𝑡𝑡
∑
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑅𝑅𝑅𝑅∑
𝑗𝑗𝑗𝑗 1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
̅
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+ �𝑡𝑡𝑡𝑡Burn,
− 𝑡𝑡𝑡𝑡�D.H.
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3 � � (1990) Evaluation of regional flood frequency
= , 𝑄𝑄𝑄𝑄 �
𝑟𝑟𝑟𝑟…𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑡𝑡𝑡𝑡
(
).
3
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖
,
𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … ,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖observados
𝑗𝑗𝑗𝑗1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑡𝑡𝑡𝑡3 = 𝜆𝜆𝜆𝜆3 /𝜆𝜆𝜆𝜆2
−1 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖+1
2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑚𝑚𝑚𝑚
11𝑁𝑁𝑁𝑁 )∑
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
1=1
𝑗𝑗𝑗𝑗 2𝑢𝑢𝑢𝑢 2 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2(∑
analysis
with a region of influence approach. Water Resources
𝑥𝑥𝑥𝑥
1 Z ≤
1+
.1
64
2(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2 2
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖+1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛Z ≤ 1.64
1𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖=1= 1 �
𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗 2
2−
+
�
−
�
̅
�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑡𝑡𝑡𝑡
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1 𝑛𝑛𝑛𝑛 3
2 �𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡��𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡̅� +𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑡𝑡𝑡𝑡= −
𝑖𝑖𝑖𝑖
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
∑
3
=
̅
�
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
=
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑠𝑠𝑠𝑠
(∑
)
𝑗𝑗𝑗𝑗
=
�
𝑀𝑀𝑀𝑀
1
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛
2 13 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑁𝑁𝑁𝑁 3 𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑖𝑖𝑖𝑖
3Research, 26 (10). pp. 2257-2265.
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖−
3
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑥𝑥𝑥𝑥
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
(𝑛𝑛𝑛𝑛
1)
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
2
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛∑
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
−
�𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2∑(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 𝑡𝑡𝑡𝑡4 =
𝑛𝑛𝑛𝑛−1∑
2𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡1)
1𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑁𝑁𝑁𝑁 2 2 𝛼𝛼𝛼𝛼 1
2 𝑛𝑛𝑛𝑛−
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝑠𝑠𝑠𝑠 =
(∑
𝐷𝐷𝐷𝐷 <
<𝑁𝑁𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑢𝑢𝑢𝑢=
− 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼𝛼𝛼22 � CEDEX
(2009)
=(𝑛𝑛𝑛𝑛
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡̅�𝑛𝑛𝑛𝑛−1
�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑚𝑚𝑚𝑚
1𝑛𝑛𝑛𝑛4𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥��𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡𝑡𝑡�
̅�1=1
2 2 Asistencia técnica, investigación y desarrollo
𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝜆𝜆𝜆𝜆<1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅⋯
=
=1
𝑛𝑛𝑛𝑛−
�𝑡𝑡𝑡𝑡1)
−
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛−1
1=1
2�
31� ��𝑟𝑟𝑟𝑟[31]
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
�
𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 𝑉𝑉𝑉𝑉
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
⋯
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
3𝑛𝑛𝑛𝑛1 −
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖+
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
−
�
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛�
1
2
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑅𝑅𝑅𝑅
∑
�
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
=
�
𝑡𝑡𝑡𝑡
3
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑚𝑚𝑚𝑚
4
3
tecnológico
en materia de gestion de dominio público hidráuli𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑇𝑇𝑇𝑇
(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖=1
−𝑖𝑖𝑖𝑖1)𝑁𝑁𝑁𝑁 �1=1
∑𝑁𝑁𝑁𝑁2 𝑛𝑛𝑛𝑛 1𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =
1
𝑁𝑁𝑁𝑁 1 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇,𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁1 𝛼𝛼𝛼𝛼 22𝑖𝑖𝑖𝑖=1 2𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗,𝛼𝛼𝛼𝛼2𝑄𝑄𝑄𝑄
1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
−1)𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠 )2 𝑄𝑄𝑄𝑄1 , … , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−1 ,𝑡𝑡𝑡𝑡1𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅1=1
−
)+1 ,�… , 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑟𝑟𝑟𝑟
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
co
y
explotación
de obras. Cálculo de la avenida de proyecto y
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
2
2
2
1=1
1
2
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐷𝐷𝐷𝐷
�
�)4 � =
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑐𝑐𝑐𝑐
−
� −
𝑉𝑉𝑉𝑉3 =�𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
=𝑁𝑁𝑁𝑁 3�
𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
2 )1
4� (𝜆𝜆𝜆𝜆
−10
∑�
�4�𝑡𝑡𝑡𝑡
�3 �𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑖𝑖𝑖𝑖)
+
=𝑡𝑡𝑡𝑡43 �𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑉𝑉𝑉𝑉+𝑡𝑡𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢
�
𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑖𝑖𝑖𝑖11𝑡𝑡𝑡𝑡��𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑡𝑡𝑡𝑡
+
𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � � para el diseño de presas. Informe para la Dirección Ge𝑉𝑉𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡𝑡3−
�se
2 3 un
1 )�𝑡𝑡𝑡𝑡
1̅ (𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑗𝑗3 𝑢𝑢𝑢𝑢− 𝑡𝑡𝑡𝑡�
1(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑉𝑉𝑉𝑉3 = ∑𝑁𝑁𝑁𝑁Con
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁
3�
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
4 2−
𝑁𝑁𝑁𝑁
extrema
esta
función
kappa
regional
genera
núme𝑖𝑖𝑖𝑖
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
∑
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 2∑𝑁𝑁𝑁𝑁2 2 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑖𝑖𝑖𝑖)1
2
𝑖𝑖𝑖𝑖 1𝑖𝑖𝑖𝑖 − =
1 𝛼𝛼𝛼𝛼(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑗𝑗𝑗𝑗 2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛[𝑉𝑉𝑉𝑉
2 2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖∑)]
2
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑖𝑖𝑖𝑖)�2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖) � 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒
𝛼𝛼𝛼𝛼=
1=1
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑠𝑠𝑠𝑠de
1series
2 �
𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑥𝑥)
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑢𝑢en
=
�𝑟𝑟𝑟𝑟
−−
𝑡𝑡𝑡𝑡los
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁
−𝑛𝑛𝑛𝑛la
𝑡𝑡𝑡𝑡�
�𝑡𝑡𝑡𝑡�13 �sitios
ro
elevado
cada
uno
región
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� neral del Agua del Ministerio de Medio Ambiente, y Medio Ru𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
−
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛̅�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥��𝑡𝑡𝑡𝑡
+ 𝑎𝑎𝑎𝑎3�𝑡𝑡𝑡𝑡3de
�∑
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
𝐻𝐻𝐻𝐻2𝑖𝑖𝑖𝑖 =
3�
3𝑅𝑅𝑅𝑅
4𝑡𝑡𝑡𝑡�
𝑖𝑖𝑖𝑖�
4 de
𝑗𝑗𝑗𝑗 �
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐
∑
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
)
=
−10
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
(𝑡𝑡𝑡𝑡
)
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖
=
𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝜆𝜆𝜆𝜆
)
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
2
1
2
1
1
1=1
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
𝑖𝑖𝑖𝑖
homogénea, 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
con longitudes
𝑁𝑁𝑁𝑁a 1las
2
2 de las
2 ral y Marino.
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑣𝑣𝑣𝑣 de serie similares
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
2 𝑁𝑁𝑁𝑁 − 1) (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑁𝑁𝑁𝑁
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 ∑(𝑖𝑖𝑖𝑖)
=
= 𝐷𝐷𝐷𝐷 <un
𝑖𝑖𝑖𝑖 observadas.
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥𝑥𝑥∑
1 y González, J. (2014) Caracterización estadística
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖1En
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗general,
𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
Chacón, M.
series
conjunto
de
entre
500
y
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑅𝑅𝑅𝑅
= 𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝜆𝜆𝜆𝜆1𝑁𝑁𝑁𝑁)∑1𝑜𝑜𝑜𝑜𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑡𝑡𝑡𝑡2 )1𝑐𝑐𝑐𝑐
2 2
1
2
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝜆𝜆𝜆𝜆=
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
)2 =𝑡𝑡𝑡𝑡 simulaciones
−10
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
11000
𝑢𝑢𝑢𝑢
=
(𝜆𝜆𝜆𝜆
)
−
1
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗es
𝑁𝑁𝑁𝑁
extremas. En: Metodología para la
comprobar
∑
2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁 suficiente
2 𝑁𝑁𝑁𝑁
�la𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖homo��𝑡𝑡𝑡𝑡
�𝑡𝑡𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�de
� precipitaciones
𝑉𝑉𝑉𝑉2 𝑁𝑁𝑁𝑁=
(𝑡𝑡𝑡𝑡
3 � las
2 )2 − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + regional
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡1(𝑖𝑖𝑖𝑖)2 𝑅𝑅𝑅𝑅2 para
Z ≤∑1𝑁𝑁𝑁𝑁
.64
𝑛𝑛𝑛𝑛∝𝑖𝑖𝑖𝑖22 =
2 2
1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 𝑖𝑖𝑖𝑖1(𝜆𝜆𝜆𝜆 )
1 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
2∑
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑖𝑖𝑖𝑖=1∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
2
̅
�
�
�
[𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑁𝑁𝑁𝑁
)]
evaluación
del
riesgo
hidrológico
de presas y priorización de me𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
geneidad
la𝑁𝑁𝑁𝑁=región.
Se
calcula
el
valor
de
en
cada
una
̅
−
=
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
�
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑉𝑉𝑉𝑉3 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑉𝑉𝑉𝑉1 de
�
�
=𝑡𝑡𝑡𝑡 �
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
3
4
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
4
3
𝑁𝑁𝑁𝑁
2
1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖∑𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛0.5772𝛼𝛼𝛼𝛼
2𝐻𝐻𝐻𝐻 = ∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛∑𝑖𝑖𝑖𝑖el𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖 ∑1=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑢𝑢𝑢𝑢2de
= las
(𝜆𝜆𝜆𝜆∑
𝑖𝑖𝑖𝑖 de los resultados
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖=1
didas
correctoras.
Colegio
de
Ingenieros
de Caminos, Canales y
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
regiones
valor
medio
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 simuladas,
̅
1)
2−
2𝑖𝑖𝑖𝑖=1
)
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
𝑣𝑣𝑣𝑣
=
2
2
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑥𝑥𝑥𝑥 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯
<∑
1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
2
∝𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑖𝑖𝑖𝑖=
(𝜆𝜆𝜆𝜆simulaciones,
)]
𝑖𝑖𝑖𝑖
1)
2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1
𝑖𝑖𝑖𝑖 −1=1
𝑁𝑁𝑁𝑁su desvia)]
Puertos.
pp.
297-348.
de1 [𝑉𝑉𝑉𝑉𝐻𝐻𝐻𝐻
en
el[𝑉𝑉𝑉𝑉
conjunto
,
y
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑉𝑉𝑉𝑉1=
=
�𝑖𝑖𝑖𝑖de
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡
−𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡2̅�[𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑁𝑁𝑁𝑁)]
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
2 2
𝑄𝑄𝑄𝑄1𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑄𝑄100 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖
∑1=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖 =de estas
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁 2,)𝑄𝑄𝑄𝑄
)𝑄𝑄𝑄𝑄.−A𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
= medidas
�
− 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � � 2 1L. (1987) Investigation and regionalization of
𝑉𝑉𝑉𝑉3𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉
ción
estándar
partir
se𝑛𝑛𝑛𝑛1obtiene
(𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�3 � + �𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖=1
4Cheng-Zheng,
2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖+
[𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
𝑁𝑁𝑁𝑁)
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
∑
)
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
2
2
1
2
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
−
1
1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖(∑ ∝2𝑄𝑄𝑄𝑄
𝜆𝜆𝜆𝜆
1
∑
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
2
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1 )
𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
)=1 )2𝑉𝑉𝑉𝑉2 𝑙𝑙𝑙𝑙=
1𝑛𝑛𝑛𝑛−1
� � + �𝑡𝑡𝑡𝑡4(𝑖𝑖𝑖𝑖)floods
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
Zel
1.64𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖�3(∑
= permite
𝐻𝐻𝐻𝐻2 𝑖𝑖𝑖𝑖 que
�
− 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � in� China. Journal of Hydrology, 96. pp. 41-51.
𝑉𝑉𝑉𝑉
la
determinar
de
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛−1
𝑡𝑡𝑡𝑡1=𝑅𝑅𝑅𝑅medida
− 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�𝑛𝑛𝑛𝑛 +�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
�𝑡𝑡𝑡𝑡
� 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑛𝑛𝑛𝑛homoge𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 1
3≤grado
3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡3historical
31= −
𝑁𝑁𝑁𝑁 1 𝑄𝑄𝑄𝑄�
� ∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁
−
�
2
=
𝜑𝜑𝜑𝜑
𝑄𝑄𝑄𝑄
∑
2
𝑛𝑛𝑛𝑛−1 −
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
2
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
100
)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛región:
𝑛𝑛𝑛𝑛 neidad
𝑛𝑛𝑛𝑛 1 − 0.35
1� 𝑖𝑖𝑖𝑖1𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝑁𝑁 � 𝑛𝑛𝑛𝑛
CNEGP (1997) Guía técnica de seguridad de presas: Nº4.
de𝑉𝑉𝑉𝑉2𝑖𝑖𝑖𝑖=1
una
= 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑥𝑥𝑥𝑥 2
𝑖𝑖𝑖𝑖 − 1) �
�
3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡3 �2 �𝑥𝑥𝑥𝑥 �
�
1 𝑁𝑁𝑁𝑁
2
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 = (𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖
1.64 ∑
(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑛𝑛𝑛𝑛2�
𝑛𝑛𝑛𝑛 Z ≤ 1.64 Z 𝑉𝑉𝑉𝑉≤ =
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖=1 �
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
Z
≤
1
.
64
̅
�
Avenida
de Proyecto. Comité Nacional Español de Grandes Pre𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
<
⋯
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
1=1
1=1
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
1
2
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
3 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖1=1
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜑𝜑𝜑𝜑 𝑇𝑇𝑇𝑇2𝑄𝑄𝑄𝑄100 ∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1 −𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅0.35
𝑁𝑁𝑁𝑁 1
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑚𝑚𝑚𝑚 −
=
sas.
Madrid.
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒[𝑉𝑉𝑉𝑉
Z
≤
1
.
64
∑
− 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
2
2𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
1 𝑖𝑖𝑖𝑖<)]
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 �
� (𝑖𝑖𝑖𝑖)∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 = �(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑥𝑥𝑥𝑥1⋯
<𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑥𝑥=2 < ⋯
[32]
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑥𝑥 <−
…4=
, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑄𝑄𝑄𝑄−
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛
� �𝑛𝑛𝑛𝑛𝑄𝑄𝑄𝑄
CNEGP (2005) Guía técnica de seguridad de presas: Nº1. Se+𝑡𝑡𝑡𝑡,𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑡𝑡
� 21 ,1…
𝑉𝑉𝑉𝑉
�𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖+
𝑥𝑥𝑥𝑥1 <𝐻𝐻𝐻𝐻𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖2 =
<
𝑥𝑥𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖=1
− 1𝑡𝑡𝑡𝑡�4, 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁 1 � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
13
2𝑡𝑡𝑡𝑡3<
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗 ⋯21 < 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑛𝑛𝑛𝑛 3< 𝑥𝑥𝑥𝑥∑
1=1
2
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑛𝑛
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
)
1 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∑0𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑛𝑛𝑛𝑛
∑
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑅𝑅𝑅𝑅 1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑗𝑗𝑗𝑗
1
−
0.35
�3 � + �𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � �
𝑖𝑖𝑖𝑖=1� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡
guridad
de Presas. Comité Nacional Español de Grandes Presas.
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑉𝑉𝑉𝑉3𝑥𝑥𝑥𝑥 =< 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑢𝑢𝑢𝑢
3
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑁𝑁𝑁𝑁
<
2 2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
2 2
1 𝑄𝑄𝑄𝑄2𝑖𝑖𝑖𝑖+
�
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖, �𝑄𝑄𝑄𝑄1𝑖𝑖𝑖𝑖−∑
𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑛𝑛𝑛𝑛�1𝑖𝑖𝑖𝑖 ⋯
,𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉
…<
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛=
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
1 ,, …
…1𝑛𝑛𝑛𝑛,,𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛�
𝑄𝑄𝑄𝑄1
, 𝑄𝑄𝑄𝑄�𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑄𝑄𝑄𝑄1 , 𝑟𝑟𝑟𝑟… , 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖−
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
Colegio
de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid.
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜��𝑡𝑡𝑡𝑡
−,𝑡𝑡𝑡𝑡�
−−,𝑡𝑡𝑡𝑡�𝑄𝑄𝑄𝑄
�
�−1𝑥𝑥𝑥𝑥+
�
1, …
𝑛𝑛𝑛𝑛
1𝑉𝑉𝑉𝑉3𝑄𝑄𝑄𝑄=
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1 , 𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
+
1, …
3
4
4
3
[𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖
1=1
∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆𝜆𝜆1 = 𝑜𝑜𝑜𝑜0
∑𝑗𝑗𝑗𝑗
𝜆𝜆𝜆𝜆2𝑖𝑖𝑖𝑖 =será
𝑜𝑜𝑜𝑜hete𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 Cuánto
0
𝑁𝑁𝑁𝑁, 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑢𝑢𝑢𝑢
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
=
𝐻𝐻𝐻𝐻
CNPC
(2011)
Catálogo Nacional de Inundaciones Históricas.
mayor
sea
el
valor
de
,
mayor
la
𝑗𝑗𝑗𝑗
2
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑄𝑄𝑄𝑄
[𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
∑
Z ≤𝑥𝑥𝑥𝑥1.64𝑅𝑅𝑅𝑅 1 𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑖𝑖𝑖𝑖−
𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑖𝑖+1 2 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑖𝑖
) 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
−
𝑥𝑥𝑥𝑥 2 rogeneidad
𝑥𝑥𝑥𝑥el valor de 𝐻𝐻𝐻𝐻 es
𝑒𝑒𝑒𝑒 negativo,
𝑖𝑖𝑖𝑖1)
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑡𝑡𝑡𝑡 =de la∑región.
=
Dirección
General
de Protección Civil y Emergencias. Ministerio
Si
la
re𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖2𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜆𝜆𝜆𝜆1 𝜆𝜆𝜆𝜆= 𝑜𝑜𝑜𝑜0
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
) + 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑅𝑅𝑅𝑅 2 𝑁𝑁𝑁𝑁∑𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝜆𝜆𝜆𝜆homogénea.
=(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖6𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖𝑖𝑖 1 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0 En𝑁𝑁𝑁𝑁 general,
𝑖𝑖𝑖𝑖
2 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝑁𝑁𝑁𝑁
del
Interior.
NIPO:
126-11-149-1.
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
6𝑜𝑜𝑜𝑜
−
gión
es
altamente
se
consideran
2𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑚𝑚𝑚𝑚
3
2
1
0
∑
<
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒⋯ <−
<𝐷𝐷𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥−
<
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛1)
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐷𝐷𝐷𝐷 <1 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 −
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
2 𝑅𝑅𝑅𝑅
2𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥
∑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅1) (𝑖𝑖𝑖𝑖)
2
𝑥𝑥𝑥𝑥1𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑡𝑡𝑡𝑡 1)= umbrales:
Cohn,
T.A.
and
Stedinger, J.R., 1987. Use of historical inforlos
siguientes
̅
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅�
𝑉𝑉𝑉𝑉
=
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
Z
≤
1
.
64
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑛𝑛𝑛𝑛=𝑖𝑖𝑖𝑖11)6𝑜𝑜𝑜𝑜 ∑−𝑁𝑁𝑁𝑁1=16𝑜𝑜𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 +
𝜆𝜆𝜆𝜆2 = 2𝑜𝑜𝑜𝑜1𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝑜𝑜𝑜𝑜0𝐷𝐷𝐷𝐷 < ∑
(𝑚𝑚𝑚𝑚
−
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2,𝑖𝑖𝑖𝑖=1
mation
in
a
maximum-likelihood
framework. Journal of Hydro𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑜𝑜𝑜𝑜
=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
3
2
1
0
Z
≤
1
.
64
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
[𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖−1
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖𝑖𝑖+1𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑖𝑖𝑖𝑖
= la [𝑉𝑉𝑉𝑉
logy,
Vol.
96,
nº
1-4.
pp.
215-223.
• 𝐻𝐻𝐻𝐻𝑖𝑖𝑖𝑖 <1
región
es
aceptablemente
homogénea
)]
𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑅𝑅𝑅𝑅
) es𝑖𝑖𝑖𝑖probablemente
1=
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
Cunnane, C. (1988) Methods and merits of regional flood fre𝜆𝜆𝜆𝜆3 𝑥𝑥𝑥𝑥=2 6𝑜𝑜𝑜𝑜
− 𝐻𝐻𝐻𝐻
6𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖1<2
+la
𝑜𝑜𝑜𝑜0−
•𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖2 1<
región
heterogénea
[𝑉𝑉𝑉𝑉
)]
𝜆𝜆𝜆𝜆
=
20𝑜𝑜𝑜𝑜
−
30𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑥𝑥𝑥𝑥−2 𝑜𝑜𝑜𝑜<
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑥𝑥12𝑜𝑜𝑜𝑜
2
2 2
4
3
2+
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
1 <
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
𝑡𝑡𝑡𝑡1(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝜆𝜆𝜆𝜆02⋯
/𝜆𝜆𝜆𝜆
2
2 1< 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑖𝑖𝑖𝑖)
)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖
2 =
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑖𝑖𝑖𝑖
=� la región𝑉𝑉𝑉𝑉es
̅
�
quency
analysis. Journal of Hydrology, 100. pp. 269-290.
definitivamente
heterogénea.
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑡𝑡𝑡𝑡̅� + �𝑡𝑡𝑡𝑡3 •−𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑡𝑡𝑡𝑡�3𝑖𝑖𝑖𝑖�>2
�
𝑛𝑛𝑛𝑛
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
+
�𝑡𝑡𝑡𝑡
−
𝑡𝑡𝑡𝑡
�
�
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
2 =
𝑖𝑖𝑖𝑖
3
3 𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑖𝑖𝑖𝑖−1 𝑖𝑖𝑖𝑖+1
∑𝑁𝑁𝑁𝑁
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 −
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 1) 𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝜆𝜆𝜆𝜆
Dalrymple,
T. (1960) Flood frequency analyses. Manual of
=1
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑖𝑖𝑖𝑖
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
Z
≤
1
.
64
1
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆𝜆𝜆4 = 20𝑜𝑜𝑜𝑜3 − 30𝑜𝑜𝑜𝑜2 + 12𝑜𝑜𝑜𝑜
1−
0
𝑡𝑡𝑡𝑡2 =
𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑜𝑜𝑜𝑜/𝜆𝜆𝜆𝜆
2
hydrology: Part 3. Flood-flow techniques. U.S. Geological Survey.
En algunos
no2 se 1podrá 𝑥𝑥𝑥𝑥ajustar
una función kaZ𝜆𝜆𝜆𝜆 ≤ 1.casos,
64
𝑖𝑖𝑖𝑖 1
2
1Water Supply Paper, 1543-A.
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅 a Zlos
ppa
regionales,
𝑥𝑥𝑥𝑥fundamentalmente
.264
𝑥𝑥𝑥𝑥 ≤<21𝑥𝑥𝑥𝑥L-momentos
2𝑡𝑡𝑡𝑡 =
2
2 2
1
2 < ⋯ < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚
2
2 /𝜆𝜆𝜆𝜆1 1�
−
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
�
DEFRA (2002) Research Contract Reservoir safety – Floods
� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑡𝑡𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡𝑡𝑡3 � +cuando
�𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡4𝑥𝑥𝑥𝑥�es<
� demasiado
en
a 𝑡𝑡𝑡𝑡�3.� En
�relación
+ estos
�𝑡𝑡𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡𝑡𝑡�4 � �
𝑒𝑒𝑒𝑒 3 −
3 =
𝑥𝑥𝑥𝑥2 < ⋯𝑉𝑉𝑉𝑉<
𝑥𝑥𝑥𝑥grande
1
𝑛𝑛𝑛𝑛∑𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
1)
𝐷𝐷𝐷𝐷 < función
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − logística
=1
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
and
reservoir safety integration. Department for Environment
casos,
se
recomienda
la
utilización
de
una
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑥𝑥𝑥𝑥11< 𝑥𝑥𝑥𝑥2 <
𝑥𝑥𝑥𝑥1𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖𝑖𝑖−⋯
1 <𝑖𝑖𝑖𝑖+
Food
and Rural Affaire (DEFRA).
generalizada
las
simulaciones.
, 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖−realizar
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄1 , …para
𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑖𝑖𝑖𝑖+1
2
𝑁𝑁𝑁𝑁
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
(𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑥𝑥𝑥𝑥
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
,
…
,
𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄𝑄𝑄
∑𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
1
30 | Ingeniería
𝑥𝑥𝑥𝑥 2Civil 174/2014 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑁𝑁𝑁𝑁
∑
2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖
2
1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐷𝐷𝐷𝐷
<
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐷𝐷𝐷𝐷 < 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒2 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
𝑅𝑅𝑅𝑅
2
𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 )] CEH1 174.indd 30 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖<𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1)
𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑛𝑛
23/06/14 13:02
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CEH1 174.indd 31
23/06/14 13:02
CEH1 174.indd 32
23/06/14 13:02

Análisis y selección de modelos estadísticos para el ajuste

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