Funciones de Legendre - Fórmulas

Funciones de Legendre - Fórmulas
Agustı́n Nieto
Departamento de Fı́sica
Universidad de Oviedo
18 de mayo de 2010
Resumen
Se dan fórmulas relacionadas con los polinomios de Legendre, las funciones asociadas de Legendre
y los armónicos esféricos.
1.
Polinomios de Legendre
1.1.
Definición
Pl (z) ≡
[l/2]
1 X
(2l − 2n)! z l−2n
(−1)n
l
2 n=0
(l − n)! n! (l − 2n)!
|z| ≤ 1 y l = 0, 1, 2, . . .
(1)
con [l/2] = l/2 para l par y [l/2] = (l − 1)/2 para l impar. Algunos polinomios de Legendre:
1.2.
P0 (z)
=
1
(2)
P1 (z)
=
(3)
P2 (z)
=
P3 (z)
=
P4 (z)
=
P5 (z)
=
z
1
(3z 2 − 1)
2
1
(5z 3 − 3z)
2
1
(35z 4 − 30z 2 + 3)
8
1
(63z 5 − 70z 3 + 15z)
8
(4)
(5)
(6)
(7)
Ecuación Diferencial de Legendre
Los polinomios de Legendre satisfacen la ecuación diferencial de Legendre:
(1 − z 2 )u00 (z) − 2zu0 (z) + l(l + 1)u(z) = 0 .
Pl (cos θ) satisface la ecuación de Legendre
1 d
d Pl (cos θ)
sen θ
+ l(l + 1)Pl (cos θ) = 0 .
sen θ dθ
dθ
1.3.
(8)
(9)
Propiedades
1. Fórmula de Rodrigues
Pl (z) =
1
l
2 l!
1
d
dz
l
(z 2 − 1)l
(10)
Funciones de Legendre – A.Nieto
2
2.
Pl (z = 1)
Pl (z = −1)
Pl (z = 0)
=
=
1
(11)
l
(−1)
(
0
=
(12)
l impar
(2k − 1)!!
2k k!
(−1)k
l = 2k par
(13)
3. Paridad de Pl (z)
Pl (−z) = (−1)l Pl (z)
(14)
4. Función generatriz
g(z, t) ≡ (1 − 2zt + t2 )−1/2 =
∞
X
Pl (z) tl
|z| ≤ 1 y |t| < 1
(15)
l=0
5. Algunas relaciones de recurrencia
(l + 1)Pl+1 (z) + l Pl−1 (z)
=
(2l + 1)zPl (z)
(16)
0
0
Pl+1
(z) + Pl−1
(z)
= Pl (z) + 2z Pl0 (z)
(17)
0
Pl+1
(z)
=
(18)
−
0
Pl−1
(z)
0
Pl+1 (z)
0
Pl−1
(z)
(2l + 1)Pl (z)
Pl0 (z)
= (l + 1)Pl (z) + z
= −l Pl (z) + z Pl0 (z)
(19)
(20)
(t2 − 1)l
dt ,
(t − z)l+1
(21)
6. Formas integrales de los polinomios de Legendre
a) Integral de Schläfli
1 1
Pl (z) = l
2 2πi
I
C
donde C es un contorno cerrado alrededor de z.
b) Integral de Laplace
Pl (z) =
1
2π
Z
2π
(z +
p
z 2 − 1 cos θ)l dθ
(22)
0
7. Desarrollo del potencial coulombiano en polinomios de Legendre
∞
X rl
1
<
=
P (cos γ) ,
l+1 l
|r1 − r2 |
r
>
l=0
(23)
donde r< ≡ mı́n{r1 , r2 } y r> ≡ máx{r1 , r2 } y γ = (r\
1 , r2 ) es el ángulo entre r1 y r2 :
cos γ = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 cos(φ1 − φ2 ) .
1.4.
(24)
Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre
El conjunto {Pl (z)} con l = 0, 1, 2, . . . es ortogonal en el intervalo −1 ≤ z ≤ 1:
Z
+1
Pl (z)Pl0 (z) dz =
−1
2
δl l 0 .
2l + 1
(25)
Por lo tanto, toda función razonablemente regular.en −1 ≤ z ≤ 1 se puede desarrollar en serie de
polinomios de Legendre
∞
X
f (z) =
cl Pl (z) ,
(26)
l=0
Funciones de Legendre – A.Nieto
3
con
2l + 1
cl =
2
+1
Z
Pl (z) f (z) dz .
(27)
−1
De forma similar, el conjunto {Pl (cos θ)} con l = 0, 1, 2, . . . es ortogonal en el intervalo 0 ≤ z ≤ π:
Z π
2
Pl (cos θ)Pl0 (cos θ) sen θ dθ =
δl l0 .
(28)
2l
+1
0
Por lo tanto, toda función razonablemente regular.en 0 ≤ z ≤ π se puede desarrollar en serie de polinomios
de Legendre
∞
X
f (θ) =
cl Pl (cos θ) ,
(29)
l=0
con
cl =
2.
2l + 1
2
π
Z
Pl (cos θ) f (θ) sen θ dθ .
(30)
0
Funciones Asociadas de Legendre
2.1.
Definición
Plm (z)
2 m/2
≡ (1 − z )
d
dz
m
Pl (z)
|z| ≤ 1
(31)
con l = 0, 1, 2, . . . y −l ≤ m ≤ +l. Claramente,
Plm (z) =
1
(1 − z 2 )m/2
l
2 l!
d
dz
l+m
(z 2 − 1)l .
(32)
Algunas funciones asociadas de Legendre son (con z = cos θ):
P11 (z)
=
P21 (z)
P22 (z)
=
P31 (z)
=
P32 (z)
P33 (z)
=
=
(1 − z 2 )1/2 = sen θ
2 1/2
3z(1 − z )
2
(33)
= 3 cos θ sen θ
2
3(1 − z ) = 3 sen θ
3
3
(5z 2 − 1)(1 − z 2 )1/2 = (5 cos2 θ − 1) sen θ
2
2
15z(1 − z 2 ) = 15 cos θ sen2 θ
2 3/2
3
15(1 − z )
= 15 sen θ
5
5
(7z 3 − 3z)(1 − z 2 )1/2 = (7 cos3 θ − 3 cos θ) sen θ
P41 (z) =
2
2
15
15
2
2
2
P4 (z) =
(7z − 1)(1 − z ) =
(7 cos2 θ − 1) sen2 θ
2
2
P43 (z) = 105z(1 − z 2 )3/2 = 105 cos θ sen3 θ
P44 (z)
=
=
2 2
4
105(1 − z ) = 105 sen θ
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
2.2.
Ecuación Asociada de Legendre
Las funciones asociadas de Legendre satisfacen la ecuación asociada de Legendre:
m2
(1 − z 2 )u00 (z) − 2zu0 (z) + l(l + 1) −
u(z) = 0 .
1 − z2
Plm (cos θ) satisface la ecuación asociada de Legendre
1 d
d Plm (cos θ)
m2
sen θ
+ l(l + 1) −
Plm (cos θ) = 0 .
sen θ dθ
dθ
1 − z2
(44)
(45)
Funciones de Legendre – A.Nieto
2.3.
4
Propiedades
1.
Pl0 (z)
=
Pl (z)
Pl−m (z)
=
(−1)m
(46)
(l − m)! m
P (z)
(l + m)! l
m>0
(47)
2.
Plm (z
= 1)
Plm (z = −1)
Plm (z = 0)
=
=
=
3. Paridad de Plm (z)
1
0
m=0
m 6= 0
(−1)l
0
(48)
m=0
m 6= 0


(−1)(l−m)/2

0
(49)
(l + m − 1)!!
(l − m)!!
l + m par
(50)
l + m impar
Plm (−z) = (−1)l+m Plm (z)
(51)
4. Función generatriz (no es muy usada)
∞
X
(1 − z 2 )m/2
(2m)!
m
=
Pl+m
(z) tl
g(z, t) ≡ m
2 m! (1 − 2zt + t2 )m+1/2
l=0
|z| ≤ 1 y |t| < 1
(52)
5. Algunas relaciones de recurrencia
Plm+1 (z) + [l(l + 1) − m(m − 1)]Plm−1 (z)
=
m
m
(l + m)Pl−1
(z) + (l − m + 1)Pl+1
(z)
=
m+1
Pl+1
(z)
2.4.
m+1
Pl−1
(z)
=
Plm+1 (z) − (l + m)(l − m + 1)Plm−1 (z)
=
−
2mz
P m (z)
(1 − z 2 )1/2 l
(2l + 1)zPlm (z)
2 1/2
(53)
(54)
Plm (z)
(2l + 1)(1 − z )
d
2 (1 − z 2 )1/2 Plm (z)
dz
(55)
(56)
Ortogonalidad de las Funciones Asociadas de Legendre
El conjunto {Plm (z)} con l = |m|, . . . , ∞ es ortogonal en el intervalo −1 ≤ z ≤ 1:
Z
+1
Plm (z)Plm
0 (z) dz =
−1
2 (l + m)!
δl l 0 .
2l + 1 (l − m)!
(57)
Por lo tanto, toda función razonablemente regular.en −1 ≤ z ≤ 1 se puede desarrollar en serie de funciones
asociadas de Legendre
∞
X
f (z) =
cl Plm (z) ,
(58)
l=|m|
con
cl =
2l + 1 (l − m)!
2 (l + m)!
Z
+1
Plm (z) f (z) dz .
(59)
−1
De forma similar, el conjunto {Plm (cos θ)} con l = |m|, . . . , ∞ es ortogonal en el intervalo 0 ≤ z ≤ π:
Z π
2 (l + m)!
δl l 0 .
Plm (cos θ)Plm
(60)
0 (cos θ) sen θ dθ =
2l
+ 1 (l − m)!
0
Funciones de Legendre – A.Nieto
5
Por lo tanto, toda función razonablemente regular.en 0 ≤ z ≤ π se puede desarrollar en serie de funciones
asociadas de Legendre
∞
X
f (θ) =
cl Plm (cos θ) ,
(61)
l=|m|
con
cl =
2l + 1 (l − m)!
2 (l + m)!
Z
π
Plm (cos θ) f (θ) sen θ dθ .
(62)
0
Además {Plm (z)} con m = −l, . . . , +l es también ortogonal en el intervalo −1 ≤ z ≤ 1 con función
peso ρ(z) = (1 − z 2 )−1 :
Z +1
0
(l + m)!
1
dz =
Plm (z)Plm (z)
δm m 0 .
(63)
2
1
−
z
m!
(l − m)!
−1
De forma similar, {Plm (cos θ)} con m = −l, . . . , +l es ortogonal en el intervalo 0 ≤ z ≤ π:
Z π
0
(l + m)!
Plm (cos θ)Plm (cos θ) dθ =
δm m0 .
m!
(l − m)!
0
3.
3.1.
Armónicos Esféricos
Definición
s
Ylm (θ, φ) ≡ (−1)m
2l + 1 (l − m)! m
P (cos θ) eimφ ,
4π (l + m)! l
con l = 0, 1, 2, . . . y m = −l, . . . , +l. Algunos armónicos esféricos:
r
1
0
Y0 (θ, φ) =
4π
r
3
0
cos θ
Y1 (θ, φ) =
4π
r
3
Y1±1 (θ, φ) = ∓
sen θ e±iφ
8π
r
5
Y20 (θ, φ) =
(3 cos2 θ − 1)
16π
r
15
±1
Y2 (θ, φ) = ∓
sen θ cos θ e±iφ
8π
r
15
±2
Y2 (θ, φ) =
sen2 θ e±2iφ
32π
3.2.
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
Propiedades
1.
Yl−m (θ, φ)
Ylm (π
− θ, φ + π)
=
=
(−1)m [Ylm (θ, φ)]∗
(−1)
l
Ylm (θ, φ)
(72)
(73)
2. Teorema de Adición de los Armónicos Esféricos.
Pl (cos γ) =
+l
X
4π
Ylm (θ1 , φ1 ) [Ylm (θ2 , φ2 )]∗ ,
2l + 1
(74)
m=−l
donde r1 y r2 son dos vectores cuyas coordenadas esféricas son respectivamente (r1 , θ1 , φ1 ) y
(r2 , θ2 , φ2 ) y γ = (r\
1 , r2 ) es el ángulo que forman (24).
Funciones de Legendre – A.Nieto
6
3. El desarrollo del potencial coulombiano en armónicos esféricos se puede obtener insertando (74)
en (23):
+l
∞
l
X
X
r<
4π
1
=
Ylm (θ1 , φ1 ) [Ylm (θ2 , φ2 )]∗ ,
(75)
l+1 2l + 1
|r1 − r2 |
r
>
m=−l
l=0
donde r< ≡ mı́n{r1 , r2 } y r> ≡ máx{r1 , r2 }.
3.3.
Ortogonalidad de los Armónicos Esféricos
El conjunto {Plm (cos θ)eimφ } es ortogonal y completo. Por lo tanto, el conjunto
{Ylm (θ, φ)}
también es ortogonal y completo ya que
Z π
Z 2π
0
(θ, φ)]∗ Ylm (θ, φ) = δll0 δmm0
dθ sen θ [Ylm
dφ
0
(76)
(77)
0
0
y
∞ X
+l
X
[Ylm (θ0 , φ0 )]∗ Ylm (θ, φ) = δ(cos θ − cos θ0 )δ(φ − φ0 ) .
(78)
l=0 m=−l
Toda función f (θ, φ) “razonable” en 0 ≤ φ < 2π y 0 ≤ θ ≤ π se puede escribir como
∞ X
+l
X
f (θ, φ) =
clm Ylm (θ, φ) ,
(79)
dθ sen θ [Ylm (θ, φ)]∗ f (θ, φ)
(80)
l=0 m=−l
con
Z
clm =
2π
Z
dφ
0
0
π