Ejemplos de cálculo de la forma canónica de Jordan

Ejemplos de cálculo de la forma canónica de Jordan

Ejemplos de cálculo de la forma
canónica de Jordan
Objetivo: aprender a calcular la forma canónica de Jordan a partir de la
dimensiones de los subespacios. Sin calcular la matriz de cambio de base. En
otro cuaderno aprenderemos a calcular la matriz de cambio de base.
Teorema de descomposición de Jordan
La siguiente proposición introduce la noción de subespacios generalizados, así
como el número de bloques de Jordan jk de tamaño k Jk(l)
2
Ejemplos JNF.nb
Ejemplo 1. Matriz de 3x3.
In[60]:=
Quit@D
n = 3;
Ejemplos JNF.nb
3
A=8
80, 3, 1<, 82, -1, -1<, 8-2, -1, -1<<;
A êê MatrixForm
0 3 1
2 -1 -1
-2 -1 -1
Polinomio característico
K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;
P = Det@K@lDD êê Factor
-H-2 + lL H2 + lL2
Raíces li con multiplicidades mi. Suma de multiplicidade algebraicas suman la
dimensión 3.
l1 = 2; m1 = 1; l2 = -2; m2 = 2;
Vector propio asociado a l1
ü Raíz l1=2. Simple.
K1 = K@l1D
88-2, 3, 1<, 82, -3, -1<, 8-2, -1, -3<<
d1 = n - MatrixRank@K1D
1
Un sólo bloque de Jordan 1x1
H2)
4
Ejemplos JNF.nb
ü Raíz l2=-2. Doble.
K2 = K@l2D
882, 3, 1<, 82, 1, -1<, 8-2, -1, 1<<
d1 = n - MatrixRank@K2D
1
Un único valor propio. La única posiblidad es un bloque de Jordan del
tipo:
K
-2 1
O
0 -2
Forma canónica de la matriz:
2 0 0
0 -2 1 .
0 0 -2
Verifiquemos:
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
-2 1 0
0 -2 0
0 0 2
Ejemplo 2. Matriz de 3x3.
Quit@D
Ejemplos JNF.nb
5
n = 3;
A=8
8-2, 1, -1<, 8-1, -1, 0<, 80, 1, -3<<;
A êê MatrixForm
-2 1 -1
-1 -1 0
0 1 -3
Polinomio característico
K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;
P = Det@K@lDD êê Factor
-H2 + lL3
Una sóla raíz de multiplicidad 3.
l1 = -2; m1 = 3;
K1 = K@l1D;
d1 = n - MatrixRank@K1D
1
d2 = n - [email protected]
2
d3 = n - [email protected]
3
6
Ejemplos JNF.nb
d4 = n - [email protected]
3
p = 3; d0 = 0;
j3 = d3 - d2
1
Un bloque de Jordan de tamaño 3. Aquí finalizaría el cálculo. Sin embargo
continuemos:
j2 = d2 - d1 - j3
0
j1 = d1 - d0 - j2 - j3
0
La forma canónica de Jordan de la matriz A es:
-2 1 0
0 -2 1
0 0 -2
Verifiquemos:
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
-2 1 0
0 -2 1
0 0 -2
Ejemplo 3. Matriz de 3x3.
Ejemplos JNF.nb
7
Ejemplo 3. Matriz de 3x3.
Quit@D
n = 3;
A=8
8-2, 0, 1<, 80, -1, 0<, 8-1, 0, 0<<;
A êê MatrixForm
-2 0 1
0 -1 0
-1 0 0
Polinomio característico
K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;
P = Det@K@lDD êê Factor
-H1 + lL3
l1 = -1; m1 = 3;
Vector propio asociado a l1
K1 = K@l1D;
d1 = n - MatrixRank@K1D
2
8
Ejemplos JNF.nb
d2 = n - [email protected]
3
d3 = n - [email protected]
3
p = 2; d0 = 0;
j2 = d2 - d1
1
j1 = d1 - d0 - j2
1
Para la raíz l1=-1. Triple.
1 bloque de Jordan de tamaño 2
1 bloque de Jordan de tamaño 1.
Forma canónica de la matriz A:
-1 1 0
0 -1 0
0 0 -1
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
-1 1 0
0 -1 0
0 0 -1
Ejemplo 4. Matriz de 3x3.
Ejemplos JNF.nb
9
Ejemplo 4. Matriz de 3x3.
Quit@D
n = 3;
A=8
8-5 ê 2, 0, 1 ê 2<, 81 ê 2, -2, -1 ê 2<, 8-1 ê 2, 0, -3 ê 2<<;
A êê MatrixForm
-5
2
1
2
-1
2
0
-2
0
1
2
-1
2
-3
2
Polinomio característico
K@l_D = A - l IdentityMatrix@3D;
P = Det@K@lDD êê Factor
-H2 + lL3
ü Raíz l1=-2; Triple.
l1 = -2; m1 = 3;
K1 = K@l1D
::-
1
2
, 0,
1
1
1
1
1
>, : , 0, - >, :- , 0, >>
2
2
2
2
2
10
Ejemplos JNF.nb
d1 = n - MatrixRank@K1D
2
d2 = n - [email protected]
3
d3 = n - [email protected]
3
p = 2; d0 = 0;
j2 = d2 - d1
1
j1 = d1 - d0 - j2
1
Para l1=-2. Doble
1 bloque de Jordan de tamaño 2
1 bloque de Jordan de tamaño 1.
Forma canónica de Jordan de la matriz A:
-2 1 0
0 -2 0
0 0 -2
Verifiquemos:
Ejemplos JNF.nb
11
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
-2 0 0
0 -2 1
0 0 -2
Ejemplo 5. Matriz de 4x4.
Quit@D
n = 4;
A=8
81, 0, 0, 0<, 82, 1, 0, 0<, 83, 4, 1, 0<, 85, 6, 7, 1<<;
A êê MatrixForm
1
2
3
5
0
1
4
6
0
0
1
7
0
0
0
1
Polinomio característico
K@l_D = A - l IdentityMatrix@4D;
P = Det@K@lDD êê Factor
H-1 + lL4
ü Raíz l1=1. Cuádruple.
l1 = 1; m1 = 4;
12
Ejemplos JNF.nb
K1 = K@l1D
880, 0, 0, 0<, 82, 0, 0, 0<, 83, 4, 0, 0<, 85, 6, 7, 0<<
d1 = n - MatrixRank@K1D
1
d2 = n - [email protected]
2
d3 = n - [email protected]
3
d4 = n - [email protected]
4
d5 = n - [email protected]
4
p = 4; d0 = 0;
j4 = d4 - d3
1
Para la raíz l1=1. Cuádruple.
Un bloque de Jordan de tamaño 4.
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
Para la raíz l1=1. Cuádruple.
Ejemplos JNF.nb
13
Un bloque de Jordan de tamaño 4.
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
No hace falta seguir. Sin embargo:
j3 = d3 - d2 - j4
0
j2 = d2 - d1 - j3 - j4
0
j1 = d1 - d0 - j2 - j3 - j4
0
Verificamos
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
Ejemplo 6. Matriz de 4x4.
Quit@D
Dimensión
14
Ejemplos JNF.nb
n=4
4
A=
2 -1 0 1
0 3 -1 0
0 1 1 0
0 -1 0 3
882, -1, 0, 1<, 80, 3, -1, 0<, 80, 1, 1, 0<, 80, -1, 0, 3<<
K@l_D = A - l IdentityMatrix@4D
882 - l, -1, 0, 1<, 80, 3 - l, -1, 0<,
80, 1, 1 - l, 0<, 80, -1, 0, 3 - l<<
P = Det@K@lDD êê Factor
H-3 + lL H-2 + lL3
Valores propios y multiplicidades
l1 = 3; m1 = 1;
l2 = 2; m2 = 3;
ü Valor propio l1=3. Simple
K1 = K@l1D;
d1 = n - MatrixRank@K1D
1
Ejemplos JNF.nb
15
p = 1; d0 = 0; H* Dimension
Ker I = 80< *L
de KernelHA-l1L0 =
Un bloque de Jordan de tamaño 1.
j1 = d1 - d0
1
H3L
ü Valor propio l2=2. Doble
K2 = K@l2D
880, -1, 0, 1<, 80, 1, -1, 0<, 80, 1, -1, 0<, 80, -1, 0, 1<<
d1 = n - MatrixRank@K2D
2
d2 = n - [email protected]
3
d3 = n - [email protected]
3
Así p = 2;
p = 2; d0 = 0;
16
Ejemplos JNF.nb
j2 = d2 - d1
1
j1 = d1 - d0 - j2
0
1 bloque de Jordan de tamaño 2
1 bloque de Jordan de tamaño 1.
La forma canónica de Jordan es:
3
0
0
0
0
2
0
0
0
1
2
0
0
0
0
2
Verifiquemos
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
2
0
0
0
0
2
0
0
0
1
2
0
0
0
0
3
Ejemplo 7. Matriz de 4x4.
n = 4;
Ejemplos JNF.nb
17
A=
2 -4 2 2
-2 0 1 3
-2 -2 3 3
-2 -6 3 7
882, -4, 2, 2<, 8-2, 0, 1, 3<,
8-2, -2, 3, 3<, 8-2, -6, 3, 7<<
K@l_D = A - l IdentityMatrix@4D
882 - l, -4, 2, 2<, 8-2, -l, 1, 3<,
8-2, -2, 3 - l, 3<, 8-2, -6, 3, 7 - l<<
P = Det@K@lDD êê Factor
H-4 + lL2 H-2 + lL2
l1 = 4; m1 = 2;
l2 = 2; m2 = 2;
ü Raíz l1=3. Doble.
K1 = K@l1D
88-2, -4, 2, 2<, 8-2, -4, 1, 3<,
8-2, -2, -1, 3<, 8-2, -6, 3, 3<<
d1 = n - MatrixRank@K1D
1
Un solo valor propio linealmente independiente. La única posibilidad es
K
4 1
O
0 4
18
Ejemplos JNF.nb
ü Raíz l2=2. Doble.
K2 = K@l2D
880, -4, 2, 2<, 8-2, -2, 1, 3<,
8-2, -2, 1, 3<, 8-2, -6, 3, 5<<
d1 = n - MatrixRank@K2D
2
Dos valores propios linealmente independientes. Caso diagonalizable
K
2 0
O. Se sigue que la forma canónica de Jordan es:
0 2
4
0
0
0
1
4
0
0
0
0
2
0
0
0
. Verifiquemos:
0
2
jnf = JordanDecomposition@AD;
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
4
0
0
0
1
4
Ejemplo 8. Matriz de 6x6.
Quit@D
Ejemplos JNF.nb
19
A=
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
880, 1, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 2, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 1<,
80, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0<<
Como la matriz es triangular superior, se sigue que l1=0 es la única raíz de
multiplicidad 6.
l1 = 0; m1 = 6;
n = 6;
K1 = A;
d1 = n - MatrixRank@K1D
3
d2 = n - [email protected]
5
d3 = n - [email protected]
6
d4 = n - [email protected]
6
20
Ejemplos JNF.nb
p = 3; d0 = 0;
j3 = d3 - d2
1
j2 = d2 - d1 - j3
1
j1 = d1 - d0 - j2 - j3
1
Para l1=0:
1 bloque de Jordan de tamaño 3
1 bloque de Jordan de tamaño 2
1 bloques de Jordan de tamaño 1.
La dimensión es la correcta: 1x3 + 1 x 2 + 1x1=3+2+1=6.
La forma canónica es:
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
Ejemplo 10. Matriz de 7x7.
Quit@D
Observe que la siguiente matriz NO está en la forma canónica debido al 1 en la
posición (1,7)
Ejemplos JNF.nb
21
A=
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
0
0 ;
0
0
3
n = 7;
K@l_D = A - l IdentityMatrix@7D;
P = Det@K@lDD êê Factor
-H-3 + lL2 H-2 + lL5
Raíces y multiplicidades:
l1 = 3; m1 = 2;
l2 = 2; m2 = 5;
ü Raíz l1=3. Doble.
K1 = K@l1D;
d1 = n - MatrixRank@K1D
2
Caso diagonalizable.
2 bloques de tamaño 1.
K
3 0
O
0 3
22
Ejemplos JNF.nb
ü Raíz l2=2. Quíntuple.
K2 = K@l2D;
d1 = n - MatrixRank@K2D
2
Dos vectores linealmente independientes. El bloque no es diagonalizable.
d2 = n - [email protected]
4
d3 = n - [email protected]
5
d4 = n - [email protected]
5
p = 3; d0 = 0;
j3 = d3 - d2
1
j2 = d2 - d1 - j3
1
Ejemplos JNF.nb
23
j1 = d1 - d0 - j2 - j3
0
Para la raíz l2= 2, quíntuple:
1 bloque de Jordan de tamaño 3
1 bloque de Jordan de tamaño 2
0 bloques de Jordan de tamaño 1. Forma canónica de Jordan del bloque:
2
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
2
Forma canónica de Jordan de la Matriz es:
3
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
2
Verifiquemos
jnf = JordanDecomposition@AD;
24
Ejemplos JNF.nb
Part@jnf, 2D êê MatrixForm
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
3
Ejemplo 9. Matriz de 10x10.
Quit@D
Polinomio característico
n = 10;
Ejemplos JNF.nb
25
A=
7 1 -2 1 1 -2 1 1
2 8 -1 -1 2 -1 -1 2
2 2 5 -1 2 -1 -1 2
2 -1 2 5 2 -1 -1 2
1 -2 1 1 7 -2 1 1
-1 -1 2 -1 2 5 2 -1
-2 1 1 -2 1 1 7 -2
-2 1 1 -2 1 1 1 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
-2 1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-2 1
-1 2
1 1
1 1
6 0
0 6
887, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1<,
82, 8, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1<,
82, 2, 5, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1<,
82, -1, 2, 5, 2, -1, -1, 2, -1, -1<,
81, -2, 1, 1, 7, -2, 1, 1, -2, 1<,
8-1, -1, 2, -1, 2, 5, 2, -1, -1, 2<,
8-2, 1, 1, -2, 1, 1, 7, -2, 1, 1<,
8-2, 1, 1, -2, 1, 1, 1, 4, 1, 1<,
80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6<<
K@l_D = A - l IdentityMatrix@10D;
P = Det@K@lDD êê Factor
H-6 + lL10
l1 = 6; m1 = 10;
K1 = K@l1D;
Encontrar valores propios
Definamos los subespacios generalizados asociados al valor propio l:
Ei HlL = N HA - lLi , i=1,2,3,... observe que
E1 HlL Õ E2 HlL Õ ... Õ Ep HlL = Ep+1 HlL Õ R 10 con dimensiones
d1 < d1 < ... < dp = dp+1 =. .. § 10
En nuestro caso:
26
Ei HlL = N HA - lLi , i=1,2,3,... observe que
Ejemplos JNF.nb
E1 HlL Õ E2 HlL Õ ... Õ Ep HlL = Ep+1 HlL Õ R 10 con dimensiones
d1 < d1 < ... < dp = dp+1 =. .. § 10
En nuestro caso:
d1
d2
d3
d4
=
=
=
=
n - MatrixRank@K1D
n - [email protected]
n - [email protected]
n - [email protected]
6
9
10
10
p = 3; d0 = 0;
Calculemos la sucesión de números jk, empezando con j3 ya que p=3 en
nuestro caso, tenemos
j3 = d3 - d2
j2 = d2 - d1 - j3
j1 = d1 - d0 - j2 - j3
1
2
3
Podemos enconces concluir que hay:
1 bloque de Jordan de tamaño 3
2 Bloques de Jordan de tamaño 2
3 bloques de Jordan de tamaño 1
Observe que 1 x 3 + 2 x 2 + 3 x1 = 3+4+3= 10, el tamaño correcto de la matriz
de Jordan
Ejemplos JNF.nb
Podemos enconces concluir que hay:
1 bloque de Jordan de tamaño 3
2 Bloques de Jordan de tamaño 2
3 bloques de Jordan de tamaño 1
Observe que 1 x 3 + 2 x 2 + 3 x1 = 3+4+3= 10, el tamaño correcto de la matriz
de Jordan
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
6
27