HOJA 5 – Problema 7 Sea la ecuación integral de Fredholm

HOJA 5 – Problema 7 Sea la ecuación integral de Fredholm

JUAN FERNANDO BRAVO PAREDES
PEDRO JOSÉ MUÑOZ REYES
ÁNGEL HIERRO GARDETA
HOJA 5 – Problema 7
Sea la ecuación integral de Fredholm:
− , = − ≤ ≤ ≤ , = − ≤ ≤ ≤ con núcleo:
a) Halla los autovalores y las autofunciones del problema homogéneo correspondiente.
b) Determina la solución del problema inhomogéneo si λ = 1 y g(x) = x
a) Halla los autovalores y las autofunciones del problema homogéneo correspondiente:
El núcleo es simétrico, así que las autofunciones que encontremos en un intervalo serán las mismas que en
el otro:
k(x,y) = k(y,x)
Resolvemos la ecuación homogénea:
= , = 1 − + 1 − ⇒
= 1 − + 1 − Es una ecuación de Volterra, hay que derivar aplicando la regla de Leibniz:
#
%
&
'
#
" , = " , + " , &
− " , '
$
$ %
Derivamos nuestra ecuación:
= − + 1 − 1. ) + 1 − + −11 − )
= 1 − − = − − Y como:
= + Tendremos:
= − Derivamos de nuevo:
*
= −1 = − *
La ecuación diferencial que obtenemos es entonces de la forma:
++ + = 0
Transformamos este problema en un problema de Sturn-Liouville para poderlo resolver, para ello
buscamos dos condiciones de contorno:
= 0, = 0
.. .. / 0121.ℎ4/5: = 1, = 0
∈ 0,1,
,
= 0 = 1 − 0 + 0 1 − = 0 ⇒ 0 = 0
= 1 = 1 − 1 + . 1 1 − = 0 ⇒ 1 = 0
La solución de este problema de Sturn-Liouville es:
<= = >= ?@==A
78598:.19:/;:
7859B'492/;:
= = =AC ,
= = , C, D, …
Estas autofunciones y autovalores son los mismos que para la ecuación Integral:
= , Pero hemos de normalizar:
F GH GH = 1 = F GH *
↓
↓
k(x,y)
k(y,x)
(porque el núcleo es simétrico)
Así pues:
*
*
F 7H ;/:* :I = 7H F * −
JKL *HM
*
= 7H * * = 1 ⟹ >= = √C
Por lo tanto, las autofunciones y autovalores del problema homogéneo serán:
GH = √2 ;/::I
H = :I* ,
: = 1,2,3, …
b) Determina la solución del problema inhomogéneo si λ = 1 y g(x) = x
Resolvemos ahora la ecuación no homogénea:
− , = Utilizamos el método de desarrollo en serie de autofunciones. Sabemos que el núcleo resolvente se puede
expresar como:
T
= R + S
HU
GH GH R
H − Sustituyendo resulta:
T
T
HU
HU
2 ;/::I ;/::I
2 ;/::I ;/::I = + 1 S
= + S
:I* − 1
:I* − 1 Resolvemos la integral:
;/::I − :I .9;:I
;/::I − :I .9;:I ;/: 0 − 0 cos 0
V =
;/::I = −
*
:I
:I*
:I*
=−
:I cos :I
cos :I −−1H −1HZ
=
−
=
=
:I*
:I
:I
:I
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, se obtiene que la solución del problema inhomogéneo
(si λ = 1 y g(x) = x ) es:
T
= + S
HU
2 −1HZ
;/::I
:I :I* − 1