variedades ángulo-momento y variedades de contacto en

variedades ángulo-momento y variedades de contacto en

VARIEDADES ÁNGULO-MOMENTO Y VARIEDADES DE CONTACTO EN
DIMENSIONES ALTAS
Yadira Lizeth Barreto Felipe
Universidad del Mar, Bahı́as de Huatulco, Oax., [email protected]
RESUMEN:
Las variedades ángulo-momento mixtas son una generalización de las variedades ángulo- momento
que han sido estudiadas por S. López de Medrano, A. Verjovsky, V. Buchstaber, T. Panov, L.
Meersseman, F. Bosio y S. Gitler. Dichas variedades son compactas y de dimensión impar mayor
a tres. Aquı́ se demuestra que las variedades ángulo-momento mixtas son nuevos ejemplos de
variedades de contacto (para un estudio mas detallado del tema se puede consultar [3]).
1. INTRODUCCIÓN
La topologı́a de la intersección de cuádricas en Cn de la forma:
n
X
λ j |zj |2 = 0,
ρ(Z) :=
j=1
n
X
|zj |2 = 1,
j=1
m
con Z = (z1 , . . . , zn ), λ j = λ1j , . . . , λj ∈ Cm , m > 1, n > 2m y la n-tupla Λ = λ 1 , . . . , λ n
satisfaciendo una condición de admisibilidad, ha sido estudiada desde hace mas de 30 años por
varios matemáticos, entre los que destacan S. López de Medrano, A. Verjovsky, V. Buchstaber, T.
Panov, L. Meersseman, F. Bosio y S. Gitler (ver por ejemplo [4–6, 9, 12, 13]). Dichas intersecciones
(Λ,m,n)
son variedades de dimensión real 2n−2m−1, se denotan por M1
y se conocen como variedades
ángulo-momento o variedades ángulo-momento clásicas.
Las variedades ángulo-momento mixtas son una generalización de las variedades ángulo-momento
obtenidas por la intersección de las siguientes cuádricas no coaxiales, dichas intersecciones también
(Λ,m,n)
(Λ,1,n+s)
y M1
son variedades y se denotan por M1
, respectivamente (ver [3, 7]):
Para m = 1 y s ≥ 1:
s
X
wr2 +
r=1
n
X
λj |zj |2 = 0,
s
X
|wr |2 +
r=1
j=1
n
X
|zj |2 = 1,
j=1
donde λj ∈ C para toda j ∈ {1, . . . , n}.
Para m > 1:
w2 +
n
X
m
X
λ j |zj |2 = 0,
j=1
k=1
|wk |2 +
n
X
|zj |2 = 1,
j=1
2
donde w 2 = w12 , . . . , wm
∈ Cm con wk ∈ C, k ∈ {1, . . . , m} y λj = λ1j , . . . , λm
∈ Cm
j
para toda j ∈ {1, . . . , n}.
1
Por otro lado, uno de los problemas fundamentales de la topologı́a de contacto es saber cuales
variedades admiten una estructura de contacto sobre ellas. En dimensión tres toda variedad admite
una estructura de contacto (ver [10, 11]).
S. J. Altschuler en [1] introdujo, para dimensión tres, el concepto de confoliaciones conductivas;
esto es, confoliaciones que tienen la propiedad de propagar “contacto” a todos los puntos de una
variedad por medio de caminos con ciertas caracterı́sticas. Estas ideas fueron generalizadas para
dimensiones mayores a tres por S. J. Altschuler en conjunto con L. F. Wu en [2].
Se utilizará este método para construir una estructura de contacto sobre las variedades ángulomomento mixtas, cabe mencionar que dicha construcción es en cierto sentido explı́cita. Concluyendo
de este modo, que las variedades ángulo-momento mixtas son nuevos ejemplos de variedades de
contacto en dimensión mayor a tres.
Notación: Se denotará por Kα , Kdα , Kβ , Kdβ al núcleo de α, dα, β, dβ, respectivamente.
Observación 1. Se fijará una métrica riemanniana g sobre las variedades ángulo-momento mixtas
y denotaremos por ∗ al operador de Hodge para la métrica riemanniana g. Las proposiciones 2 y 4,
ası́ como los lemas 1, 2 y 3 de la siguiente sección, son independientes de la elección de la métrica
riemanniana.
Las demostraciones ası́ como un estudio más detallado de los resultados que a continuación se
presentan pueden consultarse en [3].
TEORÍA
s
P
n
P
Consideremos la 1-forma real α = i
wr dw̄r − w̄r dwr +
zj dz̄j − z̄j dzj
j=1
(Λ,1,n+s) r=1
(Λ,1,n+s)
al espacio tangente TX M1
con X ∈ M1
es no trivial.
!
la cual, restringida
Proposición 1. Sean m = 1, n > 3 y s ≥ 1. Entonces
(Λ,1,n+s)
1. Si X ∈ M1 es tal que w12 + · · · + ws2 6= 0, el núcleo de dα en X es un subespacio de
(Λ,1,n+s)
T M1
de dimensión real uno.
(Λ,1,n+s)
2. Si X ∈ M1 es tal que w12 + · · · + ws2 = 0, el núcleo de dα en X es un subespacio de
(Λ,1,n+s)
T M1
de dimensión real tres.
Los vectores en Kdα (X)|TM(Λ,1,n+s) son de la forma
1
v (T, µ; X) = −i 2T w̄1 + µw1 , . . . , 2T w̄s + µws , 2< (T λ1 ) + µ z1 , . . . , 2< (T λn ) + µ zn
donde T ∈ C y µ ∈ R.
(Λ,1,n+s)
Sea Ws el conjunto de puntos X = w1 , . . . , ws , z1 , . . . , zn ∈ M1
tales que w12 +· · ·+ws2 = 0.
(Λ,1,n+s)
Entonces, Ws es una subvariedad analı́tica real de M1
de codimensión real 2s. Dicha variedad
es singular si s > 1 y cuando s = 1 es una variedad ángulo-momento de dimensión 2n − 3.
2
(Λ,1,n+s)
En el conjunto de puntos X = w1 , . . . , ws , z1 , . . . , zn ∈ M1
tales que w12 + · · · + ws2 6= 0,
la dimensión de Kα (X) ∩ Kdα (X) es cero. Se sigue que la 1-forma α es una forma de contacto en
(Λ,1,n+s)
M1
− Ws .
(Λ,1,n+s)
En el conjunto de puntos X = w1 , . . . , ws , z1 , . . . , zn ∈ M1
donde w12 + · · · + ws2 = 0 y asumiendo µ = 0, tenemos que Kα (X)∩Kdα (X) es un subespacio de dimensión real dos parametrizado
por T ∈ C.
(Λ,1,n+s)
Proposición 2. Considerando una orientación apropiada de M1
, α es una confoliación
positiva:
(Λ,1,n+s)
1. ∗ α ∧ d(α)n+s−2 > 0 para X ∈ M1
tal que w12 + · · · + ws2 6= 0.
2. ∗ α ∧ d(α)n+s−2 = 0 para X ∈ Ws .
(Λ,1,n+s)
3. El conjunto de puntos X ∈ M1
tales que ∗ α ∧ d(α)n+s−2
= 0 es un conjunto analı́ti-o
n
(Λ,1,n+s)
(Λ,1,n+s) co real de codimensión real dos en M1
dado por W = X ∈ M1
w12 + · · · + ws2 = 0 .
Lema 1. Sea X ∈ W1 . Entonces
(Λ,1,n+1)
1. Existe una curva suave parametrizada γ : [−1, 1] → M1
tal que |γ 0 (x)| =
6 0 para toda
x ∈ [−1, 1].
⊥
2. γ(0) = x y γ 0 (0) ∈ ker(τ ) (x).
⊥
3. Si x ∈ [−1, 1] con x 6= 0 y γ(x) ∈
/ W1 , γ 0 (x) ∈ ker(τ ) (γ(x)) = Kα (γ(x))).
Lema 2. Sean m = 1, n > 3, s > 1 y Λ una configuración admisible. Sea
n
o
(Λ,1,n+s) n+s−2 W = X ∈ M1
(X) = 0 ,
α ∧ d(α)
el conjunto analı́tico real de codimensión real dos, donde α es una confoliación positiva sobre
(Λ,1,n+s)
M1
. Entonces α es una confoliación conductiva.
(Λ,1,n+s)
El conjunto abierto VW = M1
− W es conexo pues W es de codimensión real dos. Este
conjunto es el conjunto donde la forma α es de contacto. De la proposición 2 y lemas 1 y 2 se
(Λ,1,n+s)
sigue que la 1-forma α define una confoliación conductiva sobre M1
en el sentido de J. S.
Altschuler y L. F. Wu [2].
m
P
n
P
Consideremos ahora la 1-forma real β = i
wr dw̄r − w̄r dwr +
zj dz̄j − z̄j dzj
j=1
(Λ,m,n) r=1
(Λ,m,n)
tringida al espacio tangente TX M1
con X ∈ M1
es no trivial.
!
la cual, res-
Proposición 3. Sean m > 1 y n > 2m. Entonces
(Λ,m,n)
1. Si X = w1 , . . . , wm , z1 , . . . , zn ∈ M1
es talque wr 6= 0 para toda r = 1, . . . , m, el
(Λ,m,n)
núcleo de dβ en el punto X es un subespacio de T M1
de dimensión real uno.
3
(Λ,m,n)
2. Si X ∈ M1
es tal que ` coordenadas wrson iguales
a 0 para `, r ∈ {1, . . . , m}, el núcleo
(Λ,m,n)
de dβ en el punto X es un subespacio de T M1
de dimensión real 2` + 1 .
Los vectores v ∈ Kdβ (X)|TM(Λ,m,n) son de la forma:
1
−i 2w̄1 T 1 + µw1 , . . . , 2w̄m T m + µwm ,
2<
m
X
!
k
Tk λ1
!
+ µ z1 , . . . , 2<
k=1
m
X
!
k
Tk λn
!
+ µ zn ,
k=1
donde Tk ∈ C para toda k ∈ {1, . . . , m} y µ ∈ R.
(Λ,m,n)
Sea W` el conjunto de puntos X = w1 , . . . , wm , z1 , . . . , zn ∈ M1
tal que ` coordenadas wk
(Λ,m,n)
son iguales a cero para `, k ∈ {1, . . . , m}. W` es una subvariedad analı́tica real de M1
de
codimensión real 2`.
(Λ,m,n)
En el conjunto de puntos X ∈ M1
donde todas las coordenadas wk son distintas de cero,
la forma β es una forma de contacto. Si µ = 0 y ` coordenadas wk son iguales a cero con `, k ∈
{1, . . . , m}, tenemos que Kβ (X) ∩ Kdβ (X) es un subespacio de dimensión real 2` parametrizado
por ` números complejos.
(Λ,m,n)
Proposición 4. Para la orientación apropiada de M1
, β es una confoliación positiva:
(Λ,m,n)
1. ∗ β ∧ (dβ)n−1 (X) > 0 para X = w1 , . . . , wm , z1 , . . . , zn ∈ M1
con wk 6= 0 para toda
k ∈ {1, . . . , m}.
2. ∗ β ∧ (dβ)n−1 (X) = 0 siempre que X ∈ W` con ` ∈ {1, . . . , m}.
(Λ,m,n)
3. El conjunto de puntos X ∈ M1
(Λ,m,n)
real de codimensión real dos en M1
tal que ∗ β ∧ (dβ)n−1 (X) = 0, es un conjunto analı́tico
(Λ,m,n)
dado por Σ = X ∈ M1
w
.
.
.
w
=
0
.
1
m
Lema 3. Sean m > 1, n > 2m y Λ una configuración admisible. Sea
(Λ,m,n) n−1
Σ = X ∈ M1
(X) = 0 ,
∗ β ∧ (dβ)
el conjunto analı́tico real de codimensión real dos, donde β es una confoliación positiva sobre
(Λ,m,n)
M1
. Entonces β es una confoliación conductiva.
(Λ,m,n)
El conjunto abierto VΣ = M1
− Σ es conexo pues Σ es de codimensión real dos. Este conjunto
es el conjunto donde la forma β es de contacto. La proposición 4 y el lema 3 implican que la 1-forma
(Λ,m,n)
β define una confoliación conductiva sobre M1
en el sentido de J. S. Altschuler y L. F. Wu.
RESULTADOS
Ya se mostró que las 1-formas α y β definen confoliaciones conductivas sobre las variedades ángulo(Λ,1,n+s)
(Λ,m,n)
momento mixtas M1
y M1
, respectivamente. Este hecho nos permite enunciar los
siguientes resultados (para más detalle se puede consultar [3]):
4
Teorema 1. Sean m = 1, n > 3, s > 1 y Λ = λ1 , . . . , λn una configuración admisible, con
(Λ,1,n+s)
λj ∈ C. Las variedades M1
admiten estructuras de contacto.
Teorema 2. Sean m > 1, n > 3 tal que n > 2m y Λ = λ1 , . . . , λm una configuración admisible
(Λ,m,n)
en Cm . Las variedades ángulo-momento mixtas M1
asociadas a Λ, son variedades de contacto.
CONCLUSIONES
Las variedades ángulo-momento mixtas son nuevos ejemplos de variedades de contacto en dimensión
mayor a tres con una topologı́a muy rica.
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5