Suma de fracciones

Transcripción

Suma de fracciones

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA
página 37
página 38
SUMA DE FRACCIONES
CONCEPTO
Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones
algebraicas se realizan bajo los mismos principios que en la Aritmética se utilizan, o sea, para la
suma y resta, sacando común denominador; para la multiplicación, multiplicando numeradores con
numeradores y denominadores con denominadores; y para la división, multiplicando "en cruz".
Por esta razón, para el estudio de cada una de estas operaciones con fracciones algebraicas, se hará
un recordatorio del proceso respectivo que se emplea en la Aritmética, para que el alumno traslade
cada uno de los procesos aritméticos a los algebraicos, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas.
SUMA
La suma de fracciones está basada en la ley fundamental de la suma que dice que "solamente
cosas iguales se pueden sumar y el resultado debe ser de esas mismas cosas". O sea que cosas
diferentes no se pueden sumar. Es de sentido común que no se pueden sumar cuadernos más piojos.
Además, que si se suman plumas más plumas el resultado son plumas, no camiones.
Por esa razón, de entrada no se puede sumar un medio más un tercio porque son cosas diferentes:
la primera son mitades y la otra son terceras partes, que al final de cuentas son cosas diferentes. Para
poder efectuar esta suma, la Aritmética hace un truco muy simple para reducir ambas fracciones a
"cosas iguales" (fracciones equivalentes).
Se sabe que
1
2
3
1
2
1
1
=
= , y por otra parte
=
+
, de manera que sumar
(cosas dife2
4
6
3
6
2
3
rentes) es lo mismo que sumar
3
2
+
(ya cosas iguales).
6
6
El proceso conocido como "sacar común denominador" es un procedimiento mecanizado para
reducir las fracciones que se desean sumar a fracciones equivalentes; en otras palabras, es convertir
cosas diferentes que no se pueden sumar a cosas iguales que ya se puedan sumar.
1
1
y , entre ellas hay un número infinito
2
3
de comunes denominadores, como son, por ejemplo, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, etc. Pero de todos
ellos hay uno que es el más pequeño, el 6, por lo que a ése se le llama mínimo común denominador.
Cuando se tienen dos fracciones como las anteriores
Se procura entonces obtener el mínimo común denominador, en vez de cualquier otro común
denominador, solamente porque al trabajar con cantidades más pequeñas el trabajo se minimiza,
pero no porque sea falso ni incorrecto. Es decir, se podría hacer la suma de la siguiente forma
página 39
1
1
12
8
20
+
=
+
=
2
3
24
24
24
lo cual es verdadero, solamente que es más complicado que haciéndolo con el mínimo común denominador, el 6.
Un común denominador es al final de cuentas un múltiplo de todos los denominadores, por lo que
se trata de un "común múltiplo". Si se refiere al mínimo común denominador entonces se habla del
mínimo común múltiplo (se abrevia m.c.m.) de todos esos denominadores.
COMÚN DENOMINADOR: REGLA ARITMÉTICA
Para sacar el mínimo común denominador de fracciones aritméticas (o mínimo común múltiplo
de todos los denominadores):
Cada denominador se factoriza en sus factores primos;
el mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores primos diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente.
Ejemplo 1: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones
5
24
Solución:
*
*
*
*
*
+
17
60
+
13
225
Los factores primos de 24 son 23 × 3.
Los factores primos de 60 son 22 × 3 × 5.
Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 23, 32 y 52
El mínimo común denominador es 23 × 32 × 52 = 1800.
Ejemplo 2: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8, 12 y 18.
Solución:
*
*
*
*
*
Los factores primos de 8 son 23.
Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 23 y 32
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 23 × 32 = 72.
REGLA ALGEBRAICA
Por lo que se dijo la página anterior, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio
que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las
reglas del Álgebra ya conocidas.
página 40
SUMA DE FRACCIONES
De manera que para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas (que es lo
mismo que el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores), por translación de la
regla Aritmética se obtiene la siguiente regla algebraica:
Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas
Cada denominador se factoriza (factorización total);
El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente.
Debe entenderse que lo anterior es aplicable tanto a denominadores que sean monomios como a
los que sean polinomios. Para facilitar el trabajo de comprensión y aprendizaje, se dividirá en dos
partes: la primera cuando se trata de denominadores monomios; la segunda, cuando éstos son polinomios. Pero el procedimiento es el mismo en ambos casos.
DENOMINADORES MONOMIOS
Ejemplo 3: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones
Solución:
*
*
*
*
5
7
+
2a 4
6 ab 2
Los factores de 2a 4 (primer denominador) son 2 × a 4.
Los factores de 6ab 2 (segundo denominador) son 2 × 3 × a × b 2.
Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 2, 3, a 4 y b 2
El mínimo común denominador es 2 × 3 × a 4 × b 2 = 6a 4b 2.
Ejemplo 4: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8abc, 6b 3 y 9a 2.
Solución:
*
*
*
*
*
Los factores de 8abc son 23 × a × b × c.
Los factores de 6b3 son 2 × 3 × b 3.
Los factores de 9a 2 son 32 × a 2.
Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 23, 32, a 2 y b 3.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 23 × 32 × a 2 × b 3 = 72a 2b 3.
página 41
EJERCICIO 13
Obtener el m.c.m. de las siguientes cantidades:
1)
4)
7)
10)
13)
4a2; 3ab3
6a; 8b; 27c
125a3; 10ab; 4a2b3
16b2; 2a7b; a5b5c5
7x6; 11c3; a3b6
2)
5)
8)
11)
14)
ab3; 5a3c
10a2; 25ab2; 2a2b2
35b2; 25a3bc2; 7a2c4
81c4; 6a; 2a3b3c2
27d9; 9a8c2; a5d5
3)
6)
9)
12)
15)
14a3c2; 21b2c2
63a4c2; 49a2b3; ab6
6a4c; a2b2c2; 9ab6c3
5ab4; 7a4c; 3x2y7
72y2; 27a3x3; 4a6y7
SUMA DE FRACCIONES: REGLA ARITMÉTICA
Para efectuar la suma de fracciones aritméticas:
Se obtiene el mínimo común denominador;
Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado
obtenido se multiplica por su numerador respectivo;
Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar;
Se efectúa la suma del numerador obtenido.
Ejemplo 5:Efectuar la suma de fracciones
5
17
13
+
+
24
60
225
Solución: El mínimo común denominador es 23 × 32 × 52 = 1800. Se escribe:
13
17
5
+
+
=
225
60
24
*
1800
Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 1800 ÷ 24
= 75
El 75 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 75 × 5 = 375.
En ese momento se lleva escrito
5
17
13
375 +
+
+
=
24
60
225
1800
*
Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 1800 ÷ 60
= 30
El 30 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 30 × 17 = 510. En ese
momento se lleva escrito
página 42
SUMA DE FRACCIONES
5
24
*
+
17
60
+
13
225
=
375 + 510
1800
Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador resulta
1800 ÷ 225 = 8
El 8 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 8 × 13 = 104. En ese momento se lleva escrito
5
17
13
375 + 510 + 104
+
+
=
24
60
225
1800
*
Efectuando la suma del numerador obtenido:
5
17
13
375 + 510 + 104
989
+
+
=
=
24
60
225
1800
1800
REGLA ALGEBRAICA
Por lo que se dijo en páginas anteriores, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente
las reglas del Álgebra ya conocidas.
Para efectuar la suma de fracciones algebraicas:
# Se obtiene el mínimo común denominador;
# Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo;
# Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar;
# Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes.
Debe entenderse que lo anterior es aplicable a denominadores que sean monomios como a los que
sean polinomios, aunque de momento sólo se vean los primeros.
Ejemplo 6: Efectuar la suma de fracciones
5
7
+
2
4a
6ab
Solución:
página 43
El mínimo común denominador de 4a 2 y 6ab es 22 × 3 × a 2 × b = 12a 2b. Se escribe:
5
7
+
=
2
4a
6ab
12a 2 b
* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta
12a 2b ÷ 4a 2 = 3b.
El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b × 5. En ese momento
se lleva escrito
5 ( 3b )
5
7
+
=
2
4a
6ab
12a 2 b
* Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta
12a 2b ÷ 6ab = 2a.
El 2a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 2a × 7. En ese momento
se lleva escrito
5 ( 3b ) + 7 ( 2a )
5
7
+
=
2
4a
6ab
12a 2 b
* Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta
5 ( 3b ) + 7 ( 2a )
5
7
+
=
4a 2
6ab
12a 2 b
=
15b + 14a
12a 2 b
* Como no aparecieron términos semejantes, no se puede efectuar la suma del numerador obtenido, de manera que la respuesta es lo escrito en el paso anterior, es decir:
5
7
15b + 14a
+
=
2
4a
6ab
12a 2b
Ejemplo 7:
Efectuar la suma de fracciones
2b + 1 5a 2 + 2
+
8b 2
6a 2 b
página 44
Solución:
SUMA DE FRACCIONES
El mínimo común denominador de 8b 2 y 6a 2b es 23 × 3 × a 2 × b 2 = 24a 2b 2. Se escribe:
2b + 1 5a 2 + 2
+
=
8b 2
6a 2 b
24a 2 b 2
24a 2b 2 ÷ 8b 2 = 3a 2.
El 3a 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3a 2(2b + 1). En ese momento se lleva escrito
3a 2 ( 2b + 1)
2b + 1 5a 2 + 2
+
=
8b 2
6a 2 b
24a 2 b 2
24a 2b 2 ÷ 6a 2b = 4b.
El 4b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 4b(5a 2 + 2). En ese momento se lleva escrito
3a 2 ( 2b + 1) + 4b ( 5a 2 + 2 )
2b + 1 5a 2 + 2
+
=
8b 2
6a 2 b
24a 2 b 2
3a 2 ( 2b + 1) + 4b ( 5a 2 + 2 )
2b + 1 5a 2 + 2
+
=
8b 2
6a 2 b
24a 2 b 2
=
6a 2 b + 3a 2 + 20a 2 b + 8b
24a 2 b 2
* Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es:
2b + 1 5a 2 + 2
26a 2b + 3a 2 + 8b
+
=
8b 2
6a 2b
24a 2b 2
Solución:
página 45
5a 2 − 3 3b 2 − b
ab + 2a
+
+
3
2
6a
9ab
2a 2 b
* El mínimo común denominador de 6a 3, 9ab 2 y 2a 2b es 2 × 32 × a 3 × b 2 = 18a 3b 2 Se escribe:
5a 2 − 3 3b 2 − b
ab + 2a
+
+
=
3
2
6a
9ab
2a 2 b
18a 3b 2
18a 3b 2 ÷ 6a 3 = 3b 2.
El 3b 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b 2(5a 2 - 3). En ese momento se lleva escrito
3b 2 ( 5a 2 − 3 )
5a 2 − 3 3b 2 − b
ab + 2a
+
+
=
6a 3
9ab 2
2a 2 b
18a 3b 2
18a 3b 2 ÷ 9ab 2 = 2a 2.
El 2a 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 2a 2(3b 2 - b). En ese momento se lleva escrito
3b 2 ( 5a 2 − 3 ) + 2a 2 ( 3b 2 − b )
5a 2 − 3 3b 2 − b
ab + 2a
+
+
=
6a 3
9ab 2
2a 2 b
18a 3b 2
* Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador, resulta
18a 3b 2 ÷ 2a 2b = 9ab.
El 9ab obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 9ab(ab + 2a). En ese
momento se lleva escrito
3b 2 ( 5a 2 − 3 ) + 2a 2 ( 3b 2 − b ) + 9ab ( ab + 2a )
5a 2 − 3 3b 2 − b
ab + 2a
+
+
=
6a 3
9ab 2
2a 2 b
18a 3b 2
página 46
SUMA DE FRACCIONES
3b 2 ( 5a 2 − 3 ) + 2a 2 ( 3b 2 − b ) + 9ab ( ab + 2a )
5a 2 − 3 3b 2 − b
ab + 2a
+
+
=
6a 3
9ab 2
2a 2 b
18a 3b 2
=
15a 2 b 2 − 9b 2 + 6a 2 b 2 − 2a 2 b + 9a 2 b 2 + 18a 2 b
18a 3b 2
5a 2 − 3
3b 2 − b
ab + 2a
30a 2b 2 − 9b 2 + 16a 2b
+
+
=
6a 3
9ab 2
2a 2b
18a 3b 2
página 47
EJERCICIO 14
Efectuar la suma de las siguientes fracciones:
1)
2a
5b
+
3
6a b
9b 2
2)
a2
7b
+
3
4b
10 a 2
3)
x2
5y3
+
4 x 2 y 18 y 4
4)
5c 2
7a 3
+
14ac 3
21a 4c
6)
x 2 − ab 2
2 ab 3 − 3
+
60b 2 x 2
15 ab 5
8)
5 + xy 3
2 ax 2 − 3
+
72 xy 3
6 ax 2
5)
1− a
5b 2 + ax
+
2a 2
6 ab 2 x
7)
b 4 c 2 + 8b 3 c
2 a 2 bc 3 − 9 a 2 b 2 c 4
+
25b 3c
35 a 2 bc 3
9)
2 a 3b 3 + 3a 2 b
ab 3 c 3 + 6
b 4c 2 + 1
+
+
18 a 3b
12 abc 3
30b 2 c 2
10)
3ax 2 + y
4axy 3 + 2 y 2
2a 4 + 1
+
+
50 x 2
20 xy 3
10a 4 xy
11)
3a 2b 2 + 3ab
2c 2 + 3c
2 + 3acd 2
+
+
49 ab 2
14bc 2
35cd 2
12)
a2 + 2
1 − 3ab
2b 2 + 5
+
+
6a 2
9 ab
12b 2
página 48
SUMA DE FRACCIONES
DENOMINADORES POLINOMIOS
Como se dijo en páginas anteriores, el proceso para sumar fracciones es el mismo para las fracciones aritméticas que para las algebraicas, y en éstas últimas es el mismo para aquellas que contienen
denominadores monomios que para las que contienen denominadores polinomios.
Para efectuar una suma de fracciones algebraicas con denominadores polinomios, se siguen entonces exactamente las mismas reglas aplicadas a los denominadores monomios, de las páginas 40 y
42, las cuales son:
Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas
#
Cada denominador se factoriza (factorización total);
#
El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente.
Para efectuar la suma de fracciones algebraicas:
#
Se obtiene el mínimo común denominador;
#
Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo;
#
Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar;
#
Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes.
Significa que cuando se trate de denominadores polinomios, éstos deben factorizarse primero para
poder aplicar el proceso.
3a + 5
2b + 7
5
+ 2
+
2
2
2
a −b
a + 2 ab + b
a−b
Solución:
* Factorizando el primer denominador a 2 - b 2, (diferencia de cuadrados, página 16):
página 49
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
* Factorizando el segundo denominador a + 2ab + b , (trinomio de la forma
2
2
ax 2 + bxy + cy 2 , página 26):
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2.
Entonces:
3a + 5
2b + 7
5
3a + 5
2b + 7
5
+ 2
+
=
+
+
2
2
2
2
a −b
a + 2ab + b
a−b
a−b
(a + b) (a - b) (a + b)
* El mínimo común denominador de (a - b)(a + b), (a + b) 2 y (a - b) es (a + b)2(a - b). Se
escribe:
3a + 5
2b + 7
5
+
+
=
2
a−b
( a + b )( a - b ) ( a + b )
(a + b) (a − b)
2
* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene
(a + b) 2(a - b) ÷ (a + b)(a - b) = a + b.
Este (a + b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador),
es decir (a + b)(3a + 5). En ese momento se lleva escrito
( a + b ) ( 3a + 5 )
3a + 5
2b + 7
5
+
+
=
2
2
a−b
(a + b) (a - b) (a + b)
(a + b) (a − b)
* Dividiendo ahora el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene
(a + b) 2 (a - b) ÷ (a + b) 2 = a - b.
Este (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador),
es decir (a - b)(2b + 7). En ese momento se lleva escrito
( a + b ) ( 3a + 5 ) + ( a − b ) ( 2b + 7 )
3a + 5
2b + 7
5
+
+
=
2
2
a−b
(a + b) (a - b) (a + b)
(a + b) (a − b)
* Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que
(a + b) 2 (a - b) ÷ (a - b) = (a + b) 2.
página 50
SUMA DE FRACCIONES
Este (a + b) 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador),
es decir (a + b) 2(5). En ese momento se lleva escrito
3a + 5
2b + 7
5
+
+
=
2
a−b
( a + b )( a - b ) ( a + b )
( a + b )( 3a + 5 ) + ( a − b )( 2b + 7 ) + ( a + b ) ( 5 )
2
(a + b) (a − b)
2
=
*
Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta
3a + 5
2b + 7
5
+
+
=
2
a−b
(a + b) (a - b) (a + b)
=
=
*
3a 2 + 3ab + 5a + 5b + 2ab − 2b 2 + 7 a − 7b + 5 ( a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) (a − b)
2
3a 2 + 3ab + 5a + 5b + 2ab − 2b 2 + 7 a − 7b + 5a 2 + 10ab + 5b 2
(a + b) (a − b)
2
Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es:
3a + 5
2b + 7
5
8a 2 + 15ab + 12a − 2b + 3b 2
+
+
=
2
( a + b )( a - b ) ( a + b ) 2 a − b
(a + b) (a − b)
NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo.
Ejemplo 2:
Efectuar la suma de fracciones
a+b
4
a+b
+
+
2
2
2
2a − ab − b
3a − 3ab − 5a + 5b
6a + 3ab − 10a − 5b
2
Solución:
*
Factorizando el primer denominador 2a 2 - ab - b 2, (trinomios de la forma ax 2 +bxy +cy2,
página 26):
página 51
2a 2 - ab - b2 = (a - b)(2a + b).
*
Factorizando el segundo denominador 3a 2 - 3ab - 5a + 5b (agrupación, pág. 13):
3a 2 - 3ab - 5a + 5b
*
Factorizando el tercer denominador 6a 2 + 3ab - 10a - 5b (agrupación, pág 13):
6a 2 + 3ab - 5a - 5b
*
= 3a(a - b) - 5(a - b)
= (a - b)(3a - 5).
= 3a(2a - b) - 5(2a - b)
= (2a + b)(3a - 5).
Entonces:
a+b
4
a+b
+
+
=
2
2
2
2a − ab − b
3a − 3ab − 5a + 5b
6a + 3ab − 10a − 5b
2
=
*
a+b
4
a+b
+
+
( a − b )( 2a + b ) ( a − b )( 3a − 5 ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
El mínimo común denominador de (a - b)(2a + b), (a - b)(3a - 5) y (2a + b)(3a - 5) es (a b)(2a + b)(3a - 5). Se escribe:
a+b
4
a+b
+
+
=
( a − b )( 2a + b ) ( a − b ) ( 3a − 5 ) ( 2a + b ) ( 3a − 5 )
=
*
( a − b ) ( 2a + b ) ( 3a − 5 )
Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene
(a - b)(2a + b)(3a - 5) ÷ (a - b)(2a + b) = 3a - 5.
Este (3a - 5) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (3a - 5)(a + b). En ese momento se lleva escrito
a+b
4
a+b
+
+
=
( a − b )( 2a + b ) ( a − b )( 3a − 5 ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
=
( 3a - 5 )( a + b )
( a − b )( 2a + b )( 3a − 5 )
página 52
SUMA DE FRACCIONES
*
Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene
(a - b)(2a + b)(3a - 5) ÷ (a - b)(3a - 5) = 2a + b.
El (2a + b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 4(2a + b). En ese momento se lleva escrito
a+b
4
a+b
+
+
=
( a − b )( 2a + b ) ( a − b )( 3a − 5 ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
=
*
( 3a - 5 )( a + b ) + 4 ( 2a + b )
( a − b ) ( 2a + b ) ( 3a − 5 )
Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que
(a - b)(2a + b)(3a - 5) ÷ (2a + b)(3a - 5) = (a - b).
El (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador),
es decir (a - b)(a + b). En ese momento se lleva escrito
a+b
4
a+b
+
+
=
( a − b )( 2a + b ) ( a − b )( 3a − 5 ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
=
*
( 3a - 5 )( a + b ) + 4 ( 2a + b ) + ( a - b )( a + b )
( a − b )( 2a + b )( 3a − 5 )
Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta
a+b
4
a+b
+
+
=
( a − b )( 2a + b ) ( a − b )( 3a − 5 ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
3a 2 − 5a + 3ab − 5b + 8a + 4b + a 2 − b 2
=
( a − b ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
*
Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es:
a+b
4
a+b
+
+
=
( a − b )( 2a + b ) ( a − b )( 3a − 5 ) ( 2a + b )( 3a − 5 )
página 53
=
4a 2 + 3a + 3ab − b − b 2
( a − b )( 2a + b )( 3a − 5 )
Solución:
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
2
2
2
45a x + 15 a
3x − 5 x − 2
5 ax − 10 a
* Factorizando el primer denominador 45a 2x + 15a 2 (factor común, página 11):
45a 2x + 15a 2 = 15a2(3x + 1)
* Factorizando el 2º denominador 3x 2 - 5x - 2 (trinomios de la forma ax 2 + bx + c:
3x 2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2)
* Factorizando el tercer denominador 5ax - 10a (factor común, página 11):
5ax - 10a = 5a(x - 2)
* Entonces:
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
2
2
45a x + 15a
3x − 5 x − 2
5ax − 10a
=
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
2
15a ( 3 x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
* El mínimo común denominador de 15a 2(3x + 1), (3x + 1)(x - 2) y de 5a(x - 2) es
15a 2(3x + 1)(x - 2). Se escribe:
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
15a ( 3 x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
=
15a 2 ( 3 x + 1) ( x − 2 )
* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene
página 54
SUMA DE FRACCIONES
15a 2(3x + 1)(x - 2) ÷ 15a 2(3x + 1) = x - 2.
El (x - 2) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es
decir (x - 2)(6a 2). En ese momento se lleva escrito
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
15a ( 3x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
=
( x - 2 ) 6a 2
15a 2 ( 3 x + 1) ( x − 2 )
* Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene
15a 2(3x + 1)(x - 2) ÷ (3x + 1)(x - 2) = 15a 2.
El 15a 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es
decir 15a 2(2x - 1). En ese momento se lleva escrito
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
15a ( 3x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
=
( x - 2 ) 6a 2 + 15a 2 ( 2 x - 1)
15a 2 ( 3 x + 1) ( x − 2 )
* Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que
15a 2(3x + 1)(x - 2) ÷ 5a(x - 2) = 3a(3x + 1).
El 3a(3x + 1) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador),
es decir 3a (3x + 1)(a + 5). En ese momento se lleva escrito
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
15a ( 3x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
=
( x - 2 ) 6a 2 + 15a 2 ( 2 x - 1) + 3a ( 3x + 1) ( a + 5 )
15a 2 ( 3x + 1) ( x − 2 )
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
15a ( 3x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
página 55
6a 2 x − 12a 2 + 30a 2 x − 15a 2 + 3a ( 3ax + a + 15 x + 5 )
=
15a 2 ( 3 x + 1) ( x − 2 )
6a 2 x − 12a 2 + 30a 2 x − 15a 2 + 9a 2 x + 3a 2 + 45ax + 15a
=
15a 2 ( 3 x + 1) ( x − 2 )
6a 2
2x − 1
a+5
+
+
=
2
15a ( 3 x + 1)
( 3 x + 1) ( x − 2 ) 5a ( x − 2 )
45a 2 x − 24a 2 + 45ax + 15a
=
15a 2 ( 3 x + 1) ( x − 2 )
página 56
SUMA DE FRACCIONES
EJERCICIO 15
Efectuar la suma de las siguientes fracciones:
1)
5
2x − 3
+
x − 3x − 4
x +1
2)
13
4y
+
y + 12 y + 27
y+3
3)
4
5x − 7
+
4 x + 12 x + 9
2x + 3
4)
15 a
7
+
2
9a − 1
3a + 1
5)
5a − 7
8
+
2
4 a + 12 a + 9
2a + 3
6)
3b + 11
2 ab 2 + 5
+
60b 2 − 12b
30 ab 3 − 6 ab 2
7)
13
5x + 9
+
5 ax − 5bx
10 ax 2 − 10bx 2
8)
2y − 5
10 x + 9
+
2
2
2
27 xy − 9 abxy
24 x y − 8abxy 2
9)
4x − 3
11
17
+
+
2
2
6 ax − 3 x
2 ax − x
12 a − 6
10)
2
7
8 x − 11
+
+
2
10 x − 35
30 x + 10
6 x − 19 x − 7
11)
9 ax + 1
3 a + 10
2 x − 11
+
+
7 ax − x − 28 a + 4
7a − 1
x−4
12)
2x + 9
5 x 2 − 17
3a + 16
+
+ 2
2
2
ax − 4 x
ax + 4 x
a − 16
13)
5
3a − 4
6a 2 + 1
+ 2
+
a+2
a − 2a + 4
a3 + 8
14)
5x + 6
10 x 2
2
+ 3
+
x + 3x + 9
x − 27
x−3
15)
3
9b − 1
20 b 2
+
+
4 b + 12
2 b 2 − 6 b + 18
b 3 + 27
2
2
2
2

Suma de fracciones

Transcripción

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