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UNA RAYITA PARA EVITAR UNA PESADILLA:
EL FENÓMENO DE GIBBS
Enrique Chicurel Uziel
E. Chicurel-Uziel, Discontinuous Functions Represented by Exact, Closed, Continuous
Parametric Equations, Proceedings of the American Conference on Applied
Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA, January 27-29, 2010, pp. 173178. On line.
E. Chicurel-Uziel, Dirac delta representation by exact parametric equations. Application
to impulsive vibration systems, Journal of Sound and Vibration, Vol. 205, Issues 1-2,
August 2007, pages 134-150.On line.
LA PESADILLA
Cuando una función discontínua se expande en series de Fourier, aparecen
oscilaciones espurias en los puntos de discontinuidad introduciendo un error de 9%
que no disminuye por más que se aumente el número de términos de la serie. Esto se
conoce como el fenómeno de Gibbs.
J. Fourier
1768-1830
J. W. Gibbs
1839-1903
ALGUNOS ANTECEDENTES
1913, L. Fejér, desarrolla su método de promedios.
1913 a la fecha, Muchos investigadores proponen una gran variedad de métodos que van
disminuyendo la gravedad de los efectos del fenómeno de Gibbs.
1942, G. C. Danielson, C. Lanczos, método de factores σ, muy citado por investigadores
posteriores.
Hacia 1990 surge un grupo encabezado por D. Gottlieb en la Universidad de Brown que,
entre otros métodos, propone uno que utiliza los polinomios de Gegenbauer.
2003, Aparece el artículo:
B. D. Shizgal, Jae-Hun Jung, Towards the resolution of the Gibbs Phenomena, Journal
of Computational and Applied Mathematics, Vol. 161, No. 1, 2003, pp. 41-65.
que utiliza el método inverso de los polinomios de Gegenbauer.
Durante un tiempo se consideró que el problema del fenómeno de Gibbs había
quedado totalmente resuelto por este método.
2005, Aparece el artículo:
J.P. Boyd, Trouble with the Gegenbauer reconstruction for defeating Gibbs´
phenomenon in the diagonal limit of Gegenbauer polynomial approximations, Journal
of Computational Physics, Vol. 204, No.1, 2005, pp. 253-264
que señala serias limitaciones del método de los polinomios de Gegenbauer
En todos los métodos anteriores primero se establece la
serie de Fourier y después, la misma, se reconstruye.
Es decir que se trata de un post procesamiento.
En este trabajo se utiliza un enfoque totalmente diferente.
Si el problema es la discontinuidad…
¡Eliminémosla!
Pero sin alterar las características básicas de la función
Escalón unitario de Heaviside
O. Heaviside
1850-1925
h(x,a) = 0
h(x,a) = 1
x<a
x≥a
h(x,a) se utilizará como un “switch”
para prender o apagar funciones
Ejemplo: función compuesta DISCONTíNUA
y(x) = 2 + 0.5(x-3) 2
y(x) = 4
3 ≤ x<7
7 ≤ x < 11
L= 8
Se puede representar con una sola ecuación:
y(x) = [ h(x,3) – h(x,7) ] [ 2 + 0.5(x-3) 2 ] + [ h(x,7) – h(x,11) ] (4)
EXPANSIÓN EN SERIES DE FOURIER CONVENCIONAL
y(x) = [ h(x,3) – h(x,7) ] [ 2 + 0.5(x-3) 2 ] + [ h(x,7) – h(x,11) ] (4)

( x − 3) 2 
y ( x) = [ h( x,3) − h( x,7)]  2 +
 + [ h( x,7) − h( x,11)] (4)
2 

∞
y ( x) F =
∑
n= 1
nπ x
bn sin
L
2
bn =
L
∫
L
y ( x) sin
0
2 
bn = 
L

+
∫
∫
bn = bn (n)
7
3
nπ x
dx
L

( x − 3) 2 
nπ x
2
+
sin
dx


2
L


11
(4) sin
7
L= 8
nπ x
dx
L
EXPANSIÓN EN SERIES DE FOURIER PARAMÉTRICA
LA RAYITA, Vínculos
Para darle existencia analítica a los vínculos recurrimos a la PARAMETRIZACIÓN
El parámetro u
HL HL
es la distancia a lo largo del desplazamiento de las coordenadas:
desplazamientos en “x” de las funciones componentes más
desplazamientos en “y “ de los vínculos
yy xx
bb
12
12
∆ u1 = ∆ y ab
cc
10
10
∆ u 2 = ∆ xbc
∆ u3 = − ∆ ycd
88
∆ u 4 = ∆ xde
∆ u3
∆ u5 = − ∆ yef
66
∆ u4
dd
44
∆ u2
bb
22
ee
∆ u5
∆ u1
aa
22
ff
44
66
88
10
10
12
12
xx
El parámetro u
y
12
es la distancia a lo largo del desplazamiento de las coordenadas:
desplazamientos en x de las funciones componentes más
desplazamientos en y de los vínculos
10
° u=6
8
6
u=10
4
2
u=2
.
u=6
u=0
2
4
6
8
10
12
x
Establecimiento gráfico de las funciones paramétricas
HL
Coordenada vs parámetro,
C vs P
HL HL
xx(u)
u
Función vinculada
yy(x)
x
8
HL
c
8
u=6
4 a
x u
c
HL
8
d
4
bu=2
5
e
15
u=6
10
20
5 6
y(u)
y u
u=16
u=12
2
20
d
e
12
15 16
u
c
10
u
10
8
6
a
2
15 16
b
2
2
12
d
2
12
6
4
f
6
10
6
e
10
b
12
10
12
u=20 f
4
6
8
10
12
x
4
2
b
a
f
2
5
6
10
Funciones paramétricas
CONTÍNUAS
L=20
20
u
Establecimiento analítico de las ecuaciones paramétricas
Gráficas de
Coordenadas vs. parámetro,
C vs P
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONTíNUAS
obtenidas a partir de las gráficas
C vs P
x(u ) = [ h(u,0) − h(u ,2)] (3)
Graficación de las
ecuaciones paramétricas
para checar la validez de
las mismas
+ [ h(u,2) − h(u ,6)] (u + 1)
+ [ h(u,6) − h(u ,12)] (7)
+ [ h (u,12) − h(u,16)] (u − 5)
+ [ h(u,16) − h(u ,20)] (11)
+ [ h(u,20)] (u − 9)
y (u ) = [ h(u,0) − h(u ,2)] (u )

(u − 2) 2 
+ [ h(u,2) − h(u ,6)]  2 +

2 

+ [ h(u,6) − h(u ,12)] (− u + 16)
+ [ h (u,12) − h(u,16)] (4)
+ [ h(u,16) − h(u ,20)] (− u + 20)
Se obtiene
la función vinculada,
por lo tanto, las
ecuaciones paramétricas
están correctas.
Expansión paramétrica en serie de Fourier
∞
y (u ) F =
∑
n= 1
nπ u
bn sin
L
pero se requiere, además, la ecuación paramétrica de la x:
x(u ) = [ h(u ,0) − h(u ,2)] (3)
+ [ h(u ,2) − h(u ,6)] (u + 1)
+ [ h(u ,6) − h(u ,12)] (7)
+ [ h (u ,12) − h(u,16)] (u − 5)
+ [ h(u ,16) − h(u,20)] (11)
+ [ h(u ,20)] (u − 9)
Determinación de los coeficientes de la serie de Fourier:
∞
x(u ) = [ h(u,0) − h(u,2)] (3)
+ [ h(u ,2) − h(u ,6)] (u + 1)
+ [ h(u ,6) − h(u ,12)] (7)
+ [ h (u ,12) − h(u ,16)] (u − 5)
+ [ h(u ,16) − h(u ,20)] (11)
+ [ h(u ,20)] (u − 9)
y (u ) F =
∑
bn sin
n= 1
2
bn =
L
∫
bn =
L
y (u ) sin
0

(u − 2) 2 
+ [ h(u ,2) − h(u ,6)]  2 +

2 

+ [ h(u ,6) − h(u ,12)] (− u + 16)
+ [ h (u ,12) − h(u ,16)] (4)
+ [ h(u ,16) − h(u ,20)] (− u + 20)
nπ u
du
L
2 2
nπ u
du
 ∫ 0 u sin
L
L
nπ u
du
∫ 2 
L
12
nπ u
+ ∫ (− u + 16) sin
du
6
L
16
nπ u
+ ∫ 4 sin
du
12
L
20
nπ u 
+ ∫ (− u + 20) sin
du 
16
L

+
y (u ) = [ h(u ,0) − h(u,2)] (u )
nπ u
L
6
2+
(u − 2)2 
2 
sin
Expansión directa
en series de Fourier
Viciada por el
10 términos
30 términos
100 términos
fenómeno de Gibbs,
i.e.,oscilaciones espurias
en los brincos
Error = 9%
por más términos
que tenga la serie
Expansión
paramétrica
en series de Fourier
No hay oscilaciones espurias, i. e., no hay fenómeno de Gibbs
Convergencia más rápida
Ascenso y descenso verticales
HL
HL HL
yy(x)
x
8
12
HL
c
8
6
u=6
4 a
x u
x=u+1
b
2
8
d
4
bu=2
5
e
15
u=6
10
20
3
d
u=x+5
5 6
12
15 16
d
e
12
15 16
u
20
c
10
u
10
8
6
a
2
f
u=x-1
y(u)
y u
u=16
u=12
2
2
c
HL
12
6
4
e
2
10
6
x=u-5
10
b
12
10
xx(u)
u
u=20 f
4
6
7
8
10
11
12
x
4
2
b
a
f
2
5
6
10
20
u
HL
u
20
x u
12
e
8
6
4
f
16
x=u-5
10
x=u+1
c
u=x+5
d
12
a b
2
2
5 6
10
12
15 16
20
u
6
u=x-1
y (u ) =
∞
∑
n= 1
bn sin
nπ u
L
2
3
y ( x) DF =

bn 
n= 1

∞
∑
7
x
11
[ h( x,3) − h( x,7)] sin nπ ( x − 1)
+ [ h( x,7) − h( x,11)] sin
L
nπ ( x + 5) 

L

y ( x ) DF =

b
∑n = 1 n 

∞
[ h( x,3) − h( x,7)] sin nπ ( x − 1)
+ [ h( x,7) − h( x,11)] sin
L
nπ ( x + 5) 

L

y ( x) DF =

bn 
n= 1

∞
∑
[ h( x,3) − h( x,7)] sin nπ ( x − 1)
L
nπ ( x + 5) 
+ [ h( x,7) − h( x,11)] sin

L

10 términos
30 términos
y (u ) =
∞
∑
n= 1
10 términos
bn sin
30 términos
nπ u
L
100 términos
Con la parametrización, primero se modifica la función original,
después se establece la serie de Fourier.
Se trata de un preprocesamiento.
El fenómeno de Gibbs no se eliminó, sino que, simplemente,
nunca surgió.
E. Chicurel-Uziel, Discontinuous Functions Represented by Exact, Closed, Continuous
Parametric Equations, Proceedings of the American Conference on Applied
Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA, January 27-29, 2010, pp. 173178. On line.
E. Chicurel-Uziel, Dirac delta representation by exact parametric equations. Application
to impulsive vibration systems, Journal of Sound and Vibration, Vol. 205, Issues 1-2,
August 2007, pages 134-150.On line.
Con esto se resuelve el problema
del Fenómeno de Gibbs, pero para
una sola variable independiente,
no he podido aplicarlo en problemas
con dos variables independientes.
Se agradece el apoyo prestado para elaborar
esta presentación a:
M. en I. Filiberto Gutiérrez Martínez
Carlos Gómez Monroy
Dr. Francisco Godínez
Dr. Jorge Rosas
Se agradece el apoyo prestado para elaborar
esta presentación a:
M. en I. Filiberto Gutiérrez Martínez
Carlos Gómez Monroy
Dr. Francisco Godínez
Dr. Jorge Rosas
estoica
Gracias por su atención.
Determinar la temperatura de una barra metálica sujeta a la aplicación
súbita de una fuente de calor distribuida a lo largo de la misma,
manteniendo los extremos a cero grados centígrados.
k
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HL
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0.2
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HL
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0
1
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Q
Solución convencional que no muestra el
proceso instantáneo del calentamiento inicial.
0.75
0.5
0.25
0
0
0.2
Las oscilaciones en la temperatura inicial son
espurias debidas al fenómeno de Gibbs.
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rcL2
0.4
Solución paramétrica que sí muestra el proceso
instantáneo del calentamiento inicial.
No hay fenómeno de Gibbs.