` ` y ux y u xu = ⇒ = + 0 2 3 0 2 3 = + − ⇒ = + − r r r re er er

Transcripción

Ecuaciones diferenciales
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales
Homogéneas y Reducibles a Homogéneas
1. a)Resolver: y ' =
y2
y
+
– 1
2
x
x
b) Determinar para que valores de “r” tiene soluciones de la forma y = e ,
rx
la ecuación
y ''' − 3 y '' + 2 y ' = 0
Solución
a) Hacemos el cambio:
y = ux ⇒ y ' = u + xu '
Reemplazando en la ecuación: u + xu’ = u
⇒ xu’ = u2 – 1 ⇒
⇒ 1n
2
+ u −1
1 u −1
du
dx
=
⇒ 1n
= 1nx + c1
2
2 n +1
u −1 x
u −1
u −1
= 2 1nx + c2 ⇒ 1n
= 1nx 2 + 1nc = 1n cx2
u +1
u +1
u −1
= cx 2
u +1
y
y−x
Pero u = , en (1):
= cx 2 ⇒ y − x = cx 2 ( x + y )
x
y+x
⇒
b) Para que y = e sea la solución es necesario y suficiente que ella y sus derivadas satisfagan
la ecuación diferencial dada.
rx
Así:
y = e rx ⇒ y ' = re rx ⇒ y" = r 2 e rx ⇒ y" ' = r 3 e rx
Reemplazando:
r 3 e rx − 3r 2 e rx + 2re rx = 0 ⇒ r 3 − 3r 2 + 2r = 0
⇒ r (r 2 − 3r + 2) = 0 ⇒ r (r − 1)(r − 2) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 1, r3 = 2
Luego los valores de r son: 0, 1 y 2
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
xdx − 1 − x 4
b)
xdy = y (1
dy = x 2 1 − x 4 dy
y
x2 + y2
)dx
Solución
a) xdx = x
⇒
2
1 − x 4 dy + 1 − x 4 dy = ( x 2 + 1) 1 − x 4 dy
x
( x 2 + 1) 1 − x 4
dx = dy ⇒ −
1 1− x 2
= y+c
2 1+ x 2
y
y
(1 +
)...(1)
x
x2 + y2
Hacemos y = ux ⇒ y ' = u + xu '
b) Tenemos: y ' =
Rojas Huachin Miryan
(Homogénea)
1
En (1): u + xu ' = u (1 +
⇒ xu ' =
⇒−
Pero u =
ux
u x +x
u2
u 2 +1
2
2
2
) = u (1 +
u
u 2 +1
)
u 2 +1
dx
du =
2
x
u
⇒
1+ u 2
+ 1n 1 + u 2 + u = 1nx + c
u
(2)
x2 + y2
x2 + y2 y
y
.En(2) : −
+ 1n
+ = 1nx + c
x
y
x
x
3. Resolver la ecuación diferencial:
(8x
+ y + 25 ) dx +
(7x
Solución
(1) puede escribirse como:
– 16 y + 140 ) dy = 0
(1)
dy
8 x + y + 25
=−
ecuación reducible a homogénea). Vemos que:
dx
7 x − 16 y + 140
8(-16) ≠ 1(7)
Encontramos la solución del sistema:
8 x + y + 25 = 0
7 x – 16 y + 140 = 0
que es x = -4, y = 7
u = x + 4 ⇒ du = dx
Hacemos el cambio de variables:
v = y – 7 ⇒ dv = dy
En la ecuación, reemplazamos:
8u − 32 + v + 7 + 25
8u + v
dv
=−
=−
du
7u − 28 − 16v − 112 + 140
7u − 16v
La cual es homogénea. Hacemos cambio:
z=
v
dv
dz
⇒ v = zu ⇒
= z +u
u
du
du
dz
8u + zu
8+ z
dz
8+ z
=−
=−
⇒u
=−
−z
du
7u − 16 zu
7 − 16 z
du
7 − 16 z
⎛ 8 + 8 z − 16 z 2 ⎞
dz 16 z 2 − 8 z − 8
dz
⎟⎟ ⇒ u
=
⇒u
= −⎜⎜
du
du
7 − 16 z
⎝ 7 − 16 z ⎠
En (2): z + u
⇒
du
7 − 16 z
1
7 − 16 z
du
⇒ −
dz =
dz =
2
u
8 (2 z + 1)( z − 1)
u
16 z − 8 z − 8
Por fracciones parciales:
1 ⎡ 10
3 ⎤
du
−
−
dz =
⎢
⎥
8 ⎣ 2 z + 1 z − 1⎦
u
2
(2)
Integrando: −
10
3
ln(2 z + 1) − ln( z − 1) = ln ( u ) + c1
16
8
⇒ −5ln(2 z + 1) − 3 ln( z − 1) = 8 ln ( u ) + c2 = 1n ( u 8 ) + 1n ( c ) = 1ncu 8
⇒ −1n(2 z + 1)5 ( z − 1)3 = 1n ( cu ) ⇒ (2 z + 1)5 ( z − 1)3 = ⎡⎣cu 8 ⎤⎦
8
Pero z =
v y−7
=
. En (3):
u x+4
[
⎛ 2 y + x − 10 ⎞ ⎛ y − x − 11 ⎞
8
⎟ = c( x + 4)
⎜
⎟ ⎜
x+4 ⎠ ⎝ x+4 ⎠
⎝
5
3
4. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
a)
ax 2 + 2bxy + cy 2 + y ' ( bx 2 + 2cxy + fy 2 ) = 0
b)
2x + 2 y – 1 + y ' ( x + y − 2) = 0
Solución:
ax 2 + 2bxy + cy 2
bx 2 + 2cxy + fy 2
Sea y = ux ⇒ y ' = u + xu '
a) tenemos que: y ' = −
En (1): u + xu ' = −
ax 2 + 2bx 2 u + cx 2 u 2
a + 2bu + cu 2
=
−
bx 2 + 2cx 2 u + fx 2 u 2
b + 2cu + fu 2
⇒ xu ' = −
a + 2bu + cu 2 + bu + 2cu 2 + fu 3
a + 2bu + cu 2
−
u
=
−
b + 2cu + fu 2
b + 2cu + fu 2
⇒ xu ' = −
fu 3 + 3cu 2 + 3bu + e
fu 2 + 2cu + b
dx
⇒
du = −
2
3
2
x
fu + 2cu + b
fu + 3cu + 3bu + a
1
⇒ 1n( fu 3 + 3cu 2 + 3bu + a ) = −1nx + c1
3
⇒ 1n( fu 3 + 3cu 2 + 3bu + a ) = −31nx + c 2
⇒ 1n( fu 3 + 3cu 2 + 3bu + a) + 1nx 3 = c 2 = 1nc
⇒ ( fu 3 + 3cu 2 + 3bu + a) x 3 = c
(2)
y
, en (2): fy 3 + 3cxy 2 + 3bx 2 y + ax 3 = c
x
2x + 2 y −1
b) Vemos que: y ' =
(1)
x+ y−2
Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio u = x + y ⇒ u ' = 1 + y '
− 2u + 1 + u − 2
2u − 1
2u − 1
En (1): u '−1 =
+ 1 ⇒ u' =
⇒ u' = −
u−2
u−2
u−2
Pero u =
3
−1
]
−1
(3)
u +1
u−2
⇒
du = −dx ⇒ u − 31n(u + 1) = − x + c..(2)
u−2
u +1
1
Pero u = x + y , en (2): x + y − 3 1n ( x + y + 1) = (2 x + y − c)
3
⇒ u' = −
5. Resolver la E.D.
Solución:
Tenemos que: x
( 2x
( 2x
2
+ 3 y 2 x − 7 x ) dx –
3
( 3x y +
2
2 y 3 − 8 y ) dy = 0
+ 3 y 2 – 7 ) dx – y ( 3 x 2 + 2 y 2 – 8 ) dy = 0
x 2 = z ⇒ 2 xdx = dz ⇒ xdx =
Hacemos el cambio:
1
dz
2
y 2 = u ⇒ 2 ydy = du ⇒ ydy =
En (1):
( 2z
Como
cambio. z
1
du
2
1
1
+ 3u − 7 ) ⋅ dz – ( 3z + 2u – 8 ) ⋅ du = 0
2
2
du 2 z + 3u − 7
⇒
=
dz 3z + 2u − 8
2(2)
≠
3(3),
entonces
= v + h , u = r + k , donde
( h, k )
hacemos
(2)
el
es la solución del
sistema:
2 z + 3u − 7 = 0⎫
⎬ ⇒ h = 2, k = 1
3z + 2u − 8 = 0 ⎭
Luego z = v + 2
⇒ dz = dv; u = r + 1 ⇒ du = dr
dr 2v + 4 + 3r + 3 − 7 2v + 3r
…. (3)
=
=
dv 3v + 6 + 2r + 2 − 8 3v + 2r
dr
dt
=t +v
Sea r = tv ⇒
dv
dv
dt 2 + 3t
dt 2v + 3tv 2 + 3t
En (3): t + v
=
⇒v
=
=
−t
dv 3 + 2t
dv 3v + 2tv 3 + 2t
En (2):
⇒v
⇒
(Homogéneo)
dt 2 + 3t − 3t − 2t 2
dt 2 − 2t 2
⇒v
=
=
dv
dv 3 + 2t
3 + 2t
3 + 2t
dv
5
1
dt =
⇒ − 1n(1 − t ) + 1n(1 + t ) = 1nv + c1
2
v
4
4
2 − 2t
⇒ −5 1n(1 − t ) + 1n(1 + t ) = 41nv + c 2 ⇒ 1n
⇒ 1n
1+ t
= 1nv 4 + 1n c
(1 − t ) 5
1+ t
1+ t
= 1n cv 4 ⇒
= cv 4
5
(1 + t )
(1 − t ) 5
(4)
4
(1)
Pero t
= rv =
u −1 y 2 −1
=
,v = z −2 = z2 −2
z − 2 x2 − 2
y 2 −1
2
2
2
4
x 2 − 2 = c( x 2 − 2) 4 ⇒ ( x + y − 3)( x − 2) = c( x 2 − 2) 4
En (4):
( x 2 − y 2 − 1) 5
y 2 −1 5
(1 − 2
)
x −2
1+
⇒
x2 + y2 −3
=c
( x 2 − y 2 − 1) 5
6. Resolver las E.D.:
a)
b)
(y
– 1n ( x ) ) dx + xy 3 dy = 0
2
( tan ( x ) – cot g ( y )
Solución:
a) Tenemos que:
(y
2
+ 3) sec2 ( x ) dx –
( 3 tan ( x )
+ cot an ( y ) + 1) cos ec 2 ( y ) dy = 0
− 1n ( x ) ) + xy 3 . y ' = 0 ⇒ xy 3 y '+ y 2 = 1n ( x )
⇒ xy 2( yy' ) + y 2 = 1nx
Hacemos u = y ⇒ u ' = 2 yy ' ⇒ yy ' =
2
En (1): xu.
Hacemos
En (2):
⇒
(1)
1
u'
2
u'
du
1
+ u = 1nx ⇒ xu. + u = 1nx
dx
2
2
x = e V ⇒ dx = e V .dv. Ademas : 1nx = v
1 V
1 du
du
+ u = v ⇒ u. + u = v
e .u. V
2
2 dv
e .dv
du
v −u
1 du v − u
......(3)
=
⇒
= 2.
u
dv
u
2 dv
Sea u
= tv ⇒
En (3): t + v
⇒ v.
(2)
(Homogénea)
du
dt
=t +v
dv
dv
1− t
1− t
dt
v − tv
dt
=2
= 2.
⇒v
=2
−t
dv
tv
t
dv
t
dt 2 − 2t − t 2
t
dv
dt = −
=
⇒ 2
dv
t
v
t + 2t − 2
⎡
⎤
3 −1
3 +1
dv
⇒⎢
dt +
dt ⎥ = −
v
2 3 (t + 1 + 3 ) ⎦
⎣ (2 3 )(t + 1 − 3 )
⇒
3 +1
3 −1
1n(t + 1 + 3 ) = −1nv + c1
1n(t + 1 − 3 ) +
2 3
2 3
5
[
⇒ 1n[(t + 1 −
⇒ 1n (t + 1 − 3 )
3)
⇒ (t + 1 − 3 )
Pero t
=
3 −1
3 −1
3 −1
.(t + 1 + 3 )
3 +1
.(t + 1 + 3 )
3 +1
.(t + 1 + 3 )
3 +1
] = −2 31nv + c
] = 1nv + 1nc = 1ncv
2
−2 3
= cv −2
−2 3
3
(4)
u y2
=
; v = 1nx
v 1nx
2
y2
3 −1 y
En (4): (
+ 1 − 3)
(
+ 1 + 3 ) 3 +1 )c(1nx) − 2 3
1nx
1nx
2
2
b) Tenemos: (tgx − cot gy + 3) sec x − (3tgx + cot gy + 1 = cos ec y. y ' = 0......(1)
2
Sea u = cot gy ⇒ u ' = − cos ec y. y '
2
En (1): (tgx − u + 3) sec x + (3tgx + u + 1)u ' = 0
(2)
2
Ahora sea: v = tgx ⇒ dv = sc xdx
En (2): (v − u + 3) dv + (3v + u + 1) du = 0 ⇒
Como: 1(1) ≠ 3(-1), hacemos:
⎧ v −u +3 = 0
⇒ v = −1,
⎨
⎩3v + y + 1 = 0
Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2
En (3):
En (4) : r + t
⇒
u=2
⇒ dv = dt, dz = du
dz
t −1− z − 2 + 3
t−z
=−
=−
3t − 3 + z + 2 + 1
3t + z
dt
z = rt ⇒
Ahora sea
⇒t
du
v−u +3
=−
..........(3)
3v + u + 1
dv
(4)
dz
dr
= r +t
dt
dt
dr
t − rt
dr
1− r
=−
⇒ r +t
=−
⇒
dt
3t + rt
dt
3+ r
1− r
1 − r + 3r + r 2
dr
dr
r 2 + 2r + 1
=−
−r = −
⇒t
=−
3+ r
3+ r
r +3
dt
dt
dt
r +3
2
= −1nt + c ⇒
dr = − ⇒ 1n(r + 1) −
2
t
r +1
(r + 1)
⇒ 1nt (r + 1) −
Pero t =
2
=c
r +1
(5)
z u − 2 cot gy − 2
=
=
, r = tgx + 1
r v +1
tgx + 1
6
⎡ cot gy − 2
⎤
2
)(tgx + 2)⎥ −
=c
⎣ tgx + 1
⎦ tgx + 2
En (5): 1n ⎢(
Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales
7. Resolver: (x41n(x) – 2xy) dx + 3x2y2dy = 0
Solución
La ecuación puede escribirse como:
dv
x 41nx − 2 xy 3
dy
x 21nx − 2 2
=−
⇒
=
−
y +
y
dx
3x 2 y 2
dx
3
3x
⇒
x 21nx − 2
dy 2
(Bernoulli)
−
y=−
y
dx 3 x
3
Multiplicamos (1) por y2: y
2
(1)
x2
dy 2 3
−
y = − 1nx
dx 3 x
3
Hacemos: u = y ⇒ u ' = 3 y ' y ⇒ y . y ' =
3
2
2
(2)
1
u'
3
1
2
x2
2
u '− u = − 1nx ⇒ u '− u = − x 21nx
3
3x
3
x
(3)
2
1
− 21nx
Sea F.I. = e ∫ − dx = e
= e1nx − 2 = x − 2 = 2
(4)
En (2):
x
Ahora: (3)x(4):
→ u.
Pero
x
d ⎡ 1⎤
1
u. 2 ⎥ = −1x ⇒ u. 2 = − ∫ 1nx + c
⎢
dx ⎣ x ⎦
x
1
= −[x 1nx − x ] + c ⇒ u = − x 31nx + x 3 + cx 2
x2
u = y3. Quede: y3 = -x31nx + x3 + cx2
8. Resolver: yy’ = ctg x (sen x-y2)
Solución
yy’ = cosx – (cotgx)y2 ⇒ y’ + (cotgx)y = (cosx)y-1 (Bernoulli)
⇒ yy’ + (ctgx)y2 = cosx. Sea u = y2 ⇒ u’ = 2yy’ ⇒ yy’ =
⇒
1
u’
2
1
u’ + (cotgx) u = cosx ⇒ u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.)
2
F.I. = e ∫
2 ctgxdx
[
=e
2
cos x
∫ senx dx
= e 21n ( senx ) = e1n ( senx ) = ( senx) 2
]
2
(1) x.F.P.: u ( senx) ' = 2 cos x( sen x) ⇒ u ( sen x) =
2
2
2
= 2 ∫ sen 2 x cos xdx + c
7
(1)
9. Resolver: 2senxy’ + y cosx = y3 (x cosx-senx)
Solución
cos x
x cosx - senx 3
.y =
.y
2 senx
2 senx
Tenemos: y '+
1
1
1
⇒ y '+ ctgx. y = ( x cotgx - ) y 3
2
2
2
(Bernoulli)
(1)
-3
Multiplicamos por y , nos queda:
1
1
1
y −3 . y '+ ctgx. y − 2 = x ctgx 2
2
2
(2)
1
⇒ u ' = −2 y −3 . y ' ⇒ y −3 y ' = − u '
2
1
1
1
1
En (2): − u '+ ctgx.u = x cotgs 2
2
2
2
Cambio: u = y
−2
⇒ u '−cgx.u = 1 − x cotgx (lineal)
(3)
−1
− ctgxdx
1
= −1( senx ) = e1n ( senx ) = e1n ( senx ) = ( senx) −1 =
F .I . = e ∫
senx
d ⎡ 1
ctgx
1
⎤
−x
.u ⎥ =
Ahora (3) x F.I.:
⎢
dx ⎣ senx ⎦ senx
senx
⇒
1
cos x
dx
.u = ∫ cos ecxdx − ∫ x
senx
sen 2 x
⇒
1
x
.u =
+ c ⇒ i = x + c senx
senx
senx
Pero u = y
10.
−2
=
1
1
, nos queda: 2 = x + c senx
2
y
y
Resolver
sec2ydy – tg3ydx = -x tg ydx
Solución
sec2y
dy
− tg 3 y = xtgy
dx
(1)
Sea u = tgy ⇒ u’ = sec2y.y’
(2)
(2) en (1): u’ – u3 = xu ⇒ u’ + xu = u3
(Bernoulli)
⇒ u-3u’ + xu-2 = 1. De (3).
Sea z = u-2 ⇒ z’ = -2u-3u’ ⇒ En (3): −
F .I . : e ∫
1
z’ = u-3 u’
2
1
z’ + xz = 1 ⇒ z’-2xz = -2 (E.D.L.)
2
− 2 xdx
[ ]
= e − x . Ahora (4) x F.I. : ze - x ' = −2e − x
2
⇒ ze − x = −2 ∫ e − x dx + c ⇒ z = −2e x
2
(4)
2
2
2
∫e
− x2
2
dx + ce x
8
e
(5)
Pero z = u-2 ∧ u = tgy ⇒ z = (tgy)-2 =
(6) en (5): ctg
11.
Resolver: x
2 y ) ce x
2
− 2e x
2
∫e
− x2
1
= ctg 2 y
2
tg y
(6)
dx
dy
⎛y⎞
− y − y 1n ⎜ ⎟ = x 3 y (1n( y / x)) 2
dx
⎝x⎠
Solución:
Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x3y 1n2(y/x)
Dividendo entre xy, tenemos:
xy '− y 1 ⎛ y ⎞
− 1n⎜ ⎟ = x 2 1n 2 ( y / x)
xy
x ⎝ x⎠
Sea u = 1n (y/x) ⇒ u ' =
En (1): u '−
(1)
( xy '− y ) / x 2 xy '− y
=
y/x
xy
1
u = x 2u 2
x
(Bernoulli)
(2)
1 -1 2
u =x
x
−2
Hacemos cambio: z = u − 1 ⇒ z ' = −u .u ' ⇒ u − 2.u ' = − z '
Multiplicando por u-2, queda: u-2.u’ -
En (3): − z '−
(3)
1
1
z = x 2 ⇒ z '+ z = − x 2 (Lineal)
x
x
(4)
1
F.I. = e
∫ x dx
(4) x F.I.:
= e1nx = x
x4
x3 c
d
[ z.x] = x 3 ⇒ zx = −
+c⇒ z = − +
dx
4
4 x
ro z = u-1 =
1
1
x3 x
=
, nos queda: 11n( y / x) = −
+
u 1n( y / x)
4 c
Exactas y Reducibles a Exactas
12. La Ecuación diferencial:
(2 y + 3 x 2 y 3 )dx + (3 x + 5 x 3 y 2 )dy = 0
Puede ser resuelta utilizando un factor integrante de la forma xm yn. determinar este factor y resolver
la ecuación diferencial propuesta.
Solución
Si u = xmyn es un F.I., entonces:
(2y+3x2y3) xmyndx + (3x+5x3y2)xmyndy = 0 es exacta.
⇒ M * = 2 x n y n +1 + 3 x m + 2 y n +3 ⇒
(1)
∂M *
= 2(n + 1) x m y n + 3(n + 3) x m + 2 y n + 2
∂y
9
N * = 3 x m +1 y n + 5 x m +3 y n + 2 ⇒
∂N *
= 3(m + 1) x m y n + 5(m + 3) x m+ 2 y n + 2
∂Z
= 3(m+1)xmyn + 5(m+3)xm+2yn+2
⇒ [2(n + 1) − 3(m + 1)]x m y n + [3(n + 3) − 5(m + 3)]x m + 2 y n + 2 = 0
⎧ 2(n + 1) − 3(m + 1) = 0 ⇒ 2n − 3m = 1 ⎫
⇒⎨
⎬ ⇒ m = −9, n = −13
⎩3(n + 3) − 5(m + 3) = 0 ⇒ 3n − 5m = 6⎭
Luego el factor es: u = x-9 y-13
-9 -12
-7 -10
-8 -13
-6 -11
En (1): (2x y +3x y )dx + (3x y +5x y )dy = 0
⇒ M* = nx-9y-12+3x-7y-10 ∧ N* = 3x-8y-13 + 5x-6y-11
Sea F(x,y) = c la solución. Entonces:
De:
∂F
∂F
= M *Λ
= N*
∂X
∂Y
∂F
−9 −12
=2x-9y-12+3x-7y-10 ⇒ F(x,y) = ∫ 2 x y dx +
∂X
+ ∫ 3 x −7 y −10 dx + h( y )
⇒ F ( x, y ) =
2 x −8 −12 3 x −6 −10
1
y +
y + h( y ) = − x −8 y −12 −
4
−8
−6
−
Ahora:
1 −6 −110
x y
+ h( y )....(α )
2
∂F
1
1
=N* ⇒ − (-12)x-8y-13 - (-10)x-6y-11 + h’(y)=N*
∂Y
4
2
⇒ 3 x −8 y −13 5 x −6 y −11 + h' ( y ) = 3 x −8 y −13 + 5 x −6 y −11 ⇒ h' ( y ) = 0
⇒ h( y ) = k
En (α): F(x,y) = -
1 -8 -12 1 -6 -10
x y - x y +k=c
4
2
1
1
⇒ − x −8 y −12 − x −6 y −10 = c
4
2
10
13.
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
a) (y+xy2)dx + (x-x2y)dy = 0
b) (3y2-x)dx+(2y3-6xy)dy= 0
Solución
utilizando un factor integrante de la forma
a) Aplicamos factor integrante:
u' ( z)
Luego:
=
u( z)
En (1):
⇒
∂M
∂N
= 1 − 2 xy
= 1 + 2 xy,
∂Y
∂X
∂M ∂N
−
4 xy
∂Y ∂X =
....(1)
∂Z
∂Z
∂Z
∂Z
( x − x 2 y)
N
− ( y + xy 2 )
−M
∂Y
∂X
∂Y
∂X
∂Z
= y,
∂X
Sea z = xy ⇒
ϑ(x + y 2 )
⇒
∂Z
=x
∂Y
u' ( z)
4 xy
4 xy
2
e
==
=
=−
=−
2
2
2 2
u( z)
xy
z
( x − x y ) y − ( y + xy ) x − 2 x y
2
u' ( z)
= − ⇒ ln u ( z ) = −2 ln z ⇒ u ( z ) = z − 2
u( z)
z
⇒ u ( x, y ) =
1
1
...
=
2
( xy ) 2
z
(2)
Multiplicando la ecuación original por el factor integrante; nos queda:
y + xy 2
x − x2 y
dx
+
dy = 0
x2 y2
x2 y2
Sea F(x,y)=c
la cual es exacta.
la solución, entonces se verifica que:
∂F y + xy
∂F x − x 2 y
= 2 2 Λ
= 2 2
∂X
∂Y
x y
x y
2
De
∂F
1
1
1 1
1
= 2 + ⇒ F ( x, y ) = ∫ 2 dx + ∫ dx + h( y )
∂X x y x
y x
x
→ F ( x, y ) = −
1
+ 1nx + h( y )...
xy
(3)
∂F
1
x − x2 y
1
= 2 + h' ( y ) = 2 2 ⇒ 2 + h' ( y ) =
∂Y xy
x x
xy
1
1
= 2 −
y
xy
1
⇒ h' (y) = − ⇒ h( y ) = − ln y....
y
1
1
x
+ 1nx − 1ny = c ⇒ − + 1n = c
(4) en (3): F ( x, y ) = −
xy
xy
y
Ahora de (3):
11
(4)
b) Tenemos que
∂N
∂N
= −6 y
= 6 y,
∂X
∂Y
∂M ∂N
−
12 y
∂Y ∂X =
∂Z
∂Z
∂Z
∂Z
N
− (3 y 2 − x)
−M
(2 y 3 − 6 xy )
∂Y
∂X
∂Y
∂X
u' ( z)
Sabemos que:
=
u( z)
Por dato: z = x + y ⇒
2
En (1):
Luego:
∂Z
∂Z
= 2y
= 1,
∂Y
∂X
u' ( z)
12 y
12 y
3
=
=
=− 3
3
2
3
u ( z ) (2 y − 6 xy ).1 − (3 y − x).2 y − 4 y − 4 xy
y +x
u' ( z)
3
= − ⇒ 1nu ( Z ) = −31nz = 1nz −3 ⇒
u( z)
z
1
⇒ u ( z ) = z −3 = 3
z
Es decir: u ( x, y ) =
1
(x + y 2 )3
Multiplicando la ecuación original por el factor integrante, tenemos:
3y 2 − x
2 y 3 − 6 xy
dx
+
dy = 0
(x + y 2 )3
(x + y 2 )3
Sea F(x, = c
la cual es exacta.
la solución, entonces se verifica que
∂F
3y 2 − x
∂F 2 y 3 − 6 xy
=
=
y
∂X ( x + y 2 ) 3
∂Y ( x + y 2 ) 3
De
3y 2 − x
3y 2
x
∂F
=
=
−
2 3
2 3
∂X ( x + y )
(x + y )
(x + y 2 )3
⇒ F ( x, y ) = 3 y 2 ∫
x
1
3
dx − ∫
dx = − y 2 ( x + y 2 ) − 2 +
2 3
2 3
2
(x + y )
(x + y )
+
⇒ F ( x, y ) =
De (2):
1
1
− y 2 ( x + y 2 ) − 2 + h( y )
2
2
x+ y
1
2y2
−
+ h( y )...
x + y 2 (x + y 2 )2
(2)
2y
2[2 y ( x + y 2 ) 2 .2( x + y 2 ).2 y ]
∂F
=−
−
+ h' ( y ) =
∂Y
(x + y 2 )2
(x + y 2 )4
12
=
2 y 3 − 6 xy
(x + y 2 )3
⇒ h' ( y ) = 0 ⇒ h( y ) = 0...
(3) en (2): F ( x, y ) =
14.
(3)
2
1
2y
−
=c
2
x+ y
( x + yy 2 ) 2
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
Sabiendo que u = x-3 f(y/x) es un factor integrante.
(x2y + y3 - xy) dx + x2dy = 0
Solución
Multiplicando por el factor integrante:
⎡ y ⎛ y ⎞3 y ⎤
1
⎢ + ⎜ ⎟ − 2 ⎥ f ( y / x)dx + f ( y / x)dy = 0... (1) tenemos que es exacta.
x
x ⎥⎦
⎢⎣ x ⎝ x ⎠
En esta nueva ecuación, podemos considerar a u1 = f(y/x) como un nuevo factor integrante, es decir
tenemos que:
⎡ y ⎛ y ⎞3 y ⎤
1
⎢ + ⎜ ⎟ − 2 ⎥ dx + dy = 0..... (2) con u1 = f(y/x) es exacta. Como el nuevo factor integrante es
x
x ⎥⎦
⎣⎢ x ⎝ x ⎠
u1 = f(y/x), tenemos que se cumple
u'
=
u
∂M ∂N
−
∂Y ∂X
donde u = u(z)…
∂Z
∂Z
N
−M
∂X
∂Y
(3)
∂z
y
y Yz 1
=− 2,
=
Sea z = ⇒
∂y
x
x 3y x
∂M 1 3 y 2 1
y ⎛ y⎞
y
+⎜ ⎟ − 2 ⇒
= + 3 − 2
∂Y
x ⎝x⎠
x x
x
x
3
Además M =
N=
∂N
1
1
⇒
=− 2
∂x
x
x
1 3y 2
+ 3
u'
x
x
Reemplazando en (3):
=
=
y
y 3 y⎤1
u 1
⎡y
(− ) − ⎢ + ( ) − 2 ⎥.
x x2
x
x ⎦ x
⎣x
=−
Pero z =
1 + 3( y / x) 2
y
y
+ ( )3
x
x
1 + 3z 2
y
u' ( z)
⇒ 1nu ( z ) = −1n( z + z 3 )
⇒
=−
3
x
u( z)
z+z
13
⇒ u( z) =
1
1
...
⇒ u ( y / x) =
3
y
y
z+z
+ ( )3
x
x
(4)
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
y 3 y⎤
1
1
1
⎡y
Ahora (2) x (4): ⎢ + ( ) − 2 ⎥ ⎢
⎥ dx + ⎢
⎥ dy = 0
y 3⎥
x
x⎢y
x ⎦⎢ y + ( y )3 ⎥
⎣x
+( )
x ⎥⎦
x ⎥⎦
⎣⎢ x
⎣⎢ x
Sea M = 1 −
(5)
1/ x
1
,N =
2
1 + ( y / x)
y + y3 / x2
Se debe cumplir que F(x,y)=c es la solución, donde
M =
∂F
∂Z
∧ N =
∂X
∂Y
Trabajando con:
M =
⎡
1/ x ⎤
∂F
∂F
1/ x
= 1−
→ F ∫ ⎢1 −
dx + g ( y )
→
2
2 ⎥
∂X
∂X
1 + ( y / x)
⎣ 1 + ( y / x) ⎦
→ F = ∫ dx − ∫
1/ x
x
dx + g ( y ) = x − ∫ 2
dx + g ( y )
2
1 + ( y / x)
x + y2
1
→ F = ( x, y ) = x − ( x 2 + y 2 ) + g ( y )...(α )
2
∂F
...(6)
∂Y
∂F
1
2y
y
=− . 2
+ g ' ( y) = − 2
+ g'
De (α):
2
∂Y
2 x +y
x + y2
1
y
=− 2
+ g ' ( y)
En (6):
3
2
y+ y /x
x + y2
Ahora usando: N =
⇒ g ' ( y) =
x2
y
x2 + y2
1
+
=
= ⇒ g ( y ) = 1ny...(7)
2
2
2
2
2
2
y( x + y ) x + y
y( x + y ) 2
1
1n(x2+y2) + 1ny
2
1
La solución es: F(x,y)=c, es decir: x- 1n(x2+y2)+1ny=c
2
(7) en (α): F(x,y) = x -
15.
(x2y2 +1)dx + 2x2dy = 0
Solución:
Vemos que: N = x2y2 + 1 ⇒
∂N
∂M
= 2 x 2 y, N = 2 x 2 ⇒
= 4 x (no es exacta).
∂Y
∂X
Haremos la fórmula y calcularemos un factor integrante:
14
∂M ∂N
−
2x 2 y − 4x
u' ( z)
∂y
∂x
...
=
=
∂Z
∂Z
∂z
∂z
u( z)
2x 2
N
−m
− ( x 2 y 2 + 1)
∂X
∂Y
∂x
∂y
Sea z = xy ⇒
En (1):
⇒
∂z
= y,
∂x
(1)
∂z
=x
∂y
u' ( z)
2x 2 y − 4x
2 xy − 4
2 xy − 4
2z − 4
= 2
=
=
=
2 2
2 2
2 2
u ( z ) 2 x y − ( x y + 1) x 2 xy − x y − 1 5 xy − x y − 1 2 z − z 2 − 1
2( z − 2)
2( z − 1 − 1)
2( z − 1)
2
u' ( z)
+
=− 2
=
=−
2
2
u( z)
( z − 1)
( z − 1)
( z − 1) 2
z − 2z + 1
⇒ 1nu ( z ) = −21n( z − 1) −
⇒ u( z) = e
1n ( z −1) − 2
2
2
⇒ 1nu ( z ) = 1n( z − 1) −2 . −
z −1
z −1
2
2
−
−
−2
2
−
= e1n ( z −1) .e z −1 = ( z − 1) − 2 .e z −1
z −1
Luego: u(x,y)=(xy-1)-2e-(2/xy-1) es el factor integrante buscado. Multiplicando la ecuación diferencial por
el factor integrante, se convierte en exacta:
(x2y2+1)(xy-1)-2e-2(xy-1)-1 dx+2x2(xy-1)-2e-2(xy-1)-1dy=0….
(2)
Se F(x,y,=c l solución general de (2), entonces se cumple que:
∂F
= M 1 ..... (3)
∂X
De (4):
∂F
= N 1 ....(4)
∂Y
−1
∂F
= 2 x 2 ( xy − 1) − 2( xy −1) ⇒
∂y
⇒ F = ∫ 2 x 2 ( xy − 1) −2 e −2 ( xy −1) .dy + h( x) = xe −2 ( xy −1) + h( x)....(5)
−1
De (4):
−1
[
]
−1
−1
∂Z
= e − 2 ( xy −1) + xe − 2 ( xy −1) 2( xy − 1) − 2 . y + h' ( x)
∂X
Remplazando en (3):
−1
−1
e − ( xy −1) + 2 xy ( xy − 1) −2 e −2 ( xy −1) + h' ( x) = ( x 2 y 2 + 1)( xy − 1) −2 e − ( 2 / xy −1)
−1
⇒ e − 2 ( xy −1) +
⇒ h' ( x ) =
2 xy
x 2 y 2 + 1 − 2 ( xy −1) −1
− 2 ( xy −1
+
'
(
)
=
e
h
x
e
( xy − 1) 2
( xy − 1) 2
−1
x 2 y 2 − 2 xy + 1 − 2 ( xy −1) −1
e
− e − 2 ( xy −1)
2
( xy − 1)
15
⇒ h' ( x ) =
−1
( xy − 1) 2 − 2 ( xy −1) −1
e
− e − 2 ( xy −1) = 0 ⇒ h( x) = 0
2
( xy − 1)
Reemplazando en (5), la solución general es:
−1
xe −2 ( xy −1) = c
16.
Demostrar que si M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial no exacta y que:
∂N ∂M
−
a = ∂x ∂Y
xM − yN
donde R depende sólo de xy (léase x por y), entonces u(xy) es un factor integrante de dicha ecuación.
Encontrar una fórmula general para dicho factor y aplicando éste, resolver la ecuación:
2
6
x
3y
(3 x + )dx + ( + )dy = 0
y
y
x
Solución
∂M ∂N
−
u' ( z)
Y
∂X ...(1)
∂
La fórmula del factor integrante es:
=
∂
Z
∂Z
u( z)
N
−M
∂Y
∂X
∂z
∂z
Sea z = xy ⇒
= y, = x
∂x
∂y
∂N ∂N ∂N ∂M
−
−
u ' ( z ) ∂Y ∂X
∂
X
∂Y R....
=
=
En (1)
u( z)
Ny − Mx
xM − yN
Como R = R(xy) = R(z), en (2):
u' ( z)
= R ( z ) ⇒ 1nu ( z ) = ∫ R ( z )dz
u( z)
⇒ u ( z ) = e ∫ R ( z ) dz ...(3) factor integrante buscado.
Resolviendo la ecuación diferencial dada:
M = 3x +
6
∂M
⇒
= −6 y − 2 ,
y
∂Y
n=
x 2 3y
∂N 2 x 3 y
+
⇒
=
−
y
x
∂x
y x2
x 3y 6
−
+
y x2 y2
2x3 y − 3y 3 + 6x 2
1 1
En (2). R =
=
=
− ...(4)
2
3
2
3
6x
3y
xy (2 x y + 6 x − 3 y ) xy 2
2
2
3x +
−x −
y
x
2
Luego el factor integrante es u(x,y) = xy
A continuación multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta}:
(3x2y+6x)dx+(x3+3y2)dy = 0, donde M1 = 3x2y + 6x, N1 = x3 + 3y2
Ahora sea F(x,y) = c la solución general, donde:
∂F
= M 1 ....(5)
∂x
y
∂F
= N 1 ....(6)
∂y
16
De (5):
∂F
= 3 x 2 y + 6 x ⇒ F ( x, y = ∫ (3 x 2 y + 6 x)dx + g ( y )
∂x
⇒ F ( x, y ) = x 3 y + 3 x 2 + h( y )........(7)
De (7):
∂F
= x 3 + h' ( y ).En(6) : x 3 + h' ( y ) = x 3 + 3 y 2
∂y
⇒ h' ( y ) = 3 y 2 ⇒ h( y ) = y 3
3
2
3
En (7): F(x,y)=x y + 3x + y
La solución general es: x3y + 3x2 + y3 = c
Bibliografía
• Ecuaciones Diferenciales 1
Cesar Saal R. (1998)
Felix Carrillo C.(1998)
[email protected]
Fac. Ingeniería Industrial- UNMSM
17

` ` y ux y u xu = ⇒ = + 0 2 3 0 2 3 = + − ⇒ = + − r r r re er er

Transcripción

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