TALLER 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

TALLER 1. ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
M.Sc. Luis Eduardo López M.
1. Compruebe que las siguientes funciones (explı́citas o implı́citas) constituyen
soluciones de las ecuaciones diferenciales correspondientes
p
a) y = sin−1 (xy) es solución de xy ′ + y = y ′ 1 − x2 y 2
b) y = x tan x es solución de xy ′ = y + x2 + y 2
xy
c) x2 = 2y 2 ln y es solución de y ′ = 2
x + y2
y
d ) y = e x es solución de y ′ =
y2
xy − x2
2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por le método de variables
separables
dy
= e3x+2y
dx
dy
1
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
b)
dx
c) (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0
a)
d ) y ′ + y 2 sin x = 0
3. Utilizando el método de homogéneas resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
y
y
a) (x + ye x )dx − xe x dy = 0 con y(1) = 0
b) (y + x cot xy )dx − xdy = 0
p
dy
y 2 − xy)
= y, con y(1) = 1
dx
d ) (x − y cos xy )dx + x cos xy dy = 0
c) (x +
4. Resuelva las siguientes ecuaciones de coeficientes lineales
a) (x − y − 5)dx − (x + y − 1)dy = 0
b) (2x + y)dx − (4x + 2y − 1)dy = 0
5. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas
a) (2xy 2 + yex )dx + (2x2 y + ex − 1)dy = 0
b) (y 2 cos x − 3x2 y − 2x)dx + (2y sin x − x3 + ln y)dy = 0 con y(0) = e
c)
8y 2 − x2
4y 2 − 2x2
dx
+
dy = 0
4xy 2 − x3
4y 3 − x2 y
(También se puede resolver por el método de homogéneas)
1
6. Determine el valor de n para que la ecuación diferencial sea exacta y resuélvala
a) (xy 2 + nx2 y)dx + (x3 + x2 y)dy = 0
b) (x + ye2xy )dx + nxe2xy dy = 0
7. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales hallando previamente un factor integrante
a) (2xy 2 − 2y)dx + (3x2 y − 4x)dy = 0
√ p
2
2
2
b) 2xy ln ydx + (x + y y + 1)dy = 0 con y 32 = 1
c) (2wz 2 − 2z)dw + (3w2 z − 4w)dz = 0
d ) ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0 con y(0) = 0
8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
a) (6 − 2rθ)
dθ
+ θ2 = 0
dr
b) (x + 1)y ′ + (2x − 1)y = e−2x con y(0) =
2
3
c) (ey − 2xy)y ′ = y 2
d ) y − xy ′ = y ′ y 2 ey
e) xy ′ + 2 = x3 (y − 1)y ′
9. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la sustitución de
Bernoulli
dx
+ x3 = t cos t
a) tx2
dt
x
con y(0) = 0
b) y ′ = 2
x y + y3
c) xy ′ + y = x4 y 3 con y(1) = 1
10. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a
una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se
observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especı́menes.
¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
11. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo
medio de vida de 3.3 horas. Si al principio habı́a 1 gramo de plomo, ¿cuánto
tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %?
12. Al inicio habı́a 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad disminuyó el 3 %. Si la razón de desintegración, en cualquier
momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente. Calcule la
cantidad que queda después de 2 horas.
2
13. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior,
donde la temperatura del aire es 50 F. Después de un minuto, el termómetro
indica 550 F, y después de cinco minutos marca 300 F. ¿Cuál era la temperatura del recinto interior?
14. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 700 F
y se lleva al exterior, donde la temperatura es 100 F. Pasado medio minuto
el termómetro indica 500 F. ¿Cuál es la lectura del termómetro al cabo del
primer minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a
150 F?
15. Un tanque en el que se disuelven 2 libras de sal contiene 10 galones de
salmuera. Se bombea en el tanque más salmuera que contiene disuelta 1
libra de sal a razón de 3 gal/min. La mezcla se bate y bien revuelta se deja
salir a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de sal en el tanque en
función del tiempo.
16. Un tanque contiene 40 galones de agua purificada. Fluye hacia éste salmuera
con 3 libras de sal por galón a una razón de 2 gal/min. El producto completamente mezclado ahora se escapa a una razón de 3 gal/min.
a) Determine la cantidad de sal que contiene el tanque cuando la cantidad
de salmuera se ha reducido 20 galones
b) ¿Cuándo alcanza su máximo punto la cantidad de sal en el tanque?
17. Un conejo parte del origen y corre por el eje y con una velocidad de a m/s.
Al mismo tiempo un perro corre a una velocidad de b m/s saliendo del punto
(c, 0) en persecución del conejo. ¿Cuál es la trayectoria del perro?
a) Suponga que a < b. ¿Qué distancia recorre el conejo antes de que el
perro lo atrape?
b) Ahora suponga que a = b. ¿Cuánto se aproxima el perro al conejo?
18. Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que
memoriza está definida por
dA
= k1 (M − A) − k2 A,
dt
k1 , k2 > 0
donde A(t) es la cantidad de material memorizado en el tiempo t, M es la
cantidad total por memorizar y M −A es la cantidad que resta por memorizar.
Halle A(t) y grafique la solución. Suponga que A(0) = 0. Determine el valor
lı́mite de A cuando t → +∞ e interprete el resultado.
3