grafica de regiones convexas y solución por método gráfico de un

grafica de regiones convexas y solución por método gráfico de un

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA
UNAN-MANAGUA
FAREM - CARAZO
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Laboratorio #1
GRAFICA DE REGIONES CONVEXAS Y SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO
DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Profesor: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés.
Fecha: Agosto 2010
Objetivos del laboratorio:

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
Determinar regiones convexas acotadas y no acotadas, haciendo uso de herramientas de
software que permitan visualizar los vértices de las regiones convexas.
Obtener los puntos críticos de las regiones convexas obtenidas, resolviendo los sistemas de
ecuaciones con el apoyo del software.
Hacer uso de los siete pasos para la solución de un problema de programación lineal (PPL) y
resolver los problemas de programación lineal por métodos gráficos.
Obtener la solución óptima de un problema de programación lineal (PPL) por el método gráfico.,
haciendo uso de la herramienta de software WINQSB.
Resolver problemas de programación lineal con más de dos restricciones a través del Método
Gráfico.
Introducción
Si su Derive no está configurado para unir los puntos con líneas, configúrelo antes, de la siguiente
manera. Haga clic en el menú de opciones
1. Dentro del menú de opciones haga clic en el submenú pantalla
2. En la ventana emergente “Mostrar opciones”, haga clic en la ceja Puntos
3. En el botón de opciones de conectar haga clic en “Si”
I.
Gráfica los siguientes puntos y únalos.
a. (0,2), (0,0), (2,0),(2,2), (0,2)
Para graficar usar Derive en modo gráfica 2D.
Ingrese los datos de la forma siguiente [[0,2],[0,0],[2,0],[2,2],[0,2]]
Luego haga clic en el icono de representación gráfica.
II.
Gráfica las siguientes regiones x≤2,y≤2,x≥0,y≥0.
Para graficar use Derive en modo gráfico 2D
Ingrese los datos de la forma siguiente x≤2∧y≤2∧x≥0∧y≥0.
Observe la región que se obtuvo.
Podrá observar que los gráficos obtenidos en (I) y (II) son los siguientes.
Ahora usted podrá resolver de manera independiente lo que se le pide, esto es encontrar los vértices
de la región convexa formada por la intersección de las inecuaciones indicadas.
III.
2x+y≤22 , x + y ≤13, 2x+5y ≤50 , x≥0, y≥0
Graficar la región convexa y muestre los vértices con sus valores.
Hacerlo paso a paso.
1.
Primero ingrese 2x+y≤22 (asegúrese de cambiar el mínimo y máximo de los rangos)
Visualice la región que se generó.
2. Ahora x + y ≤13, verá que la región ha cambiado con respecto a vista en (1)
3. Como puede ver las regiones se interceptan gráficamente se puede ver el punto donde
lo hacen, pero se puede calcular algebraicamente usando, el sistema de ecuaciones,
para lo cual nos vamos a la ventana Algebra.
4. Hacemos clic en el menú Resolver, donde elegimos sistema haciendo clic en dicha
opción, mostrándose una ventana emergente, que nos pedirá cuantas ecuaciones tiene
el sistema y de digitaremos 2. A continuación se nos mostrará otra ventana donde
ingresaremos las ecuaciones a resolver.
2x+y=22
x + y =13
5. Una vez ingresada las ecuaciones cuyas variables son x e y. presionamos el botón de
resolver y nos mostrará los resultados x=9 , y=4.
6. Para que solo se muestre la región acotada con las dos inecuaciones graficas en 1 y 2.
para lo cual procedemos a ingresarlas de la siguiente manera: 2x + y ≤ 22 ∧ x + y ≤ 13
7. Graficamos la tercer inecuación 2x+5y≤50. Puede verse que al introducir esta nueva
inecuación se produce un acotamiento en la parte superior, al cortar la región formada
en el paso 6, que tiene como frontera superior a x+y=13. Para conocer donde es el
punto de intersección resolvemos el sistema de ecuaciones.
2x+5y=50
x + y =13
8. Una vez ingresada las ecuaciones cuyas variables son x e y. presionamos el botón de
resolver y nos mostrará los resultados x=5 , y=8.
9. Solo nos queda graficar las inecuaciones x≥0 y y≥0. Las que podemos hacer en este
momento. 2·x + y ≤ 22 ∧ x + y ≤ 13 ∧ 2·x + 5·y ≤ 50 ∧ x≥0 ∧ y≥0
10. La gráfica que se mostrará es la siguiente.
(0,10)
(5,8)
(9,4)
(0,0)
IV.
(11,0)
Haga de forma similar como en el caso III y encuentre las regiones con sus vértices en los
cuatro problemas planteados a continuación.
a) 5x+y ≥20
X+y ≥12
X+3y≥18
x≥0
y≥0
b) 2x+y≤8
X+3y≤12
x≥0
y≥0
c) 3x+y≤21
X+y≤9
X+3y≤21
x≥0
y≥0
d) X+2y≤10
3x+y≤15
x≥0
y≥0
Parte II: Resuelva los siguientes problemas por el método grafico.
Problema 1:
La compañía INTEL produce dos dispositivos para computadoras, (producto 1 y producto 2) y requiere partes de
metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar
para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidades
de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2
unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 componentes
eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 2 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de
$3.00
a) formule un modelo de programación lineal.
b) Utilice el método grafico para resolver este modelo.
c) ¿Cuál es la ganancia total que resulta?
Unidades de Material para cada
dispositivo
Materiales
Producto 1
Producto 2
Total de unidades
disponibles de cada
material
Ganancias por unidad
1. Variables de decisión
2. Función Objetivo
3. Restricciones
4. Formule el modelo matemático del PPL.
Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la
función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.
Forma estándar del modelo:
5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.
6. Soluciones factibles.
Valores permitidos  x1 , x 2  de
la región factible
Función Objetivo
Soluciones factibles
(SBF)
7. Solución(es) óptima(s):
Problema 2:
Una fábrica produce y vende dos productos. Dicha compañía obtiene U$12 de ganancia por cada unidad
que vende del producto 1, y de U$4 por cada unidad de su producto 2. Los requerimientos en términos
de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se
enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos departamentos han
estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el próximo mes: 800
horas en el departamento A, 600 horas en el departamento B y 2000 horas en el departamento C.
Suponiendo que la compañía esté interesada en maximizar las ganancias, desarrolle el modelo de
programación lineal correspondiente
Producto 1
Producto 2
Departamento A
1
1
Departamento B
2
1
Departamento C
3
2
Utilidades netas
U$12
U$4
Horas disponibles
1. Variables de decisión
2. Función Objetivo
3. Restricciones
4. Formule el modelo matemático del PPL.
Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la
función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.
Forma estándar del modelo:
5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.
6. Soluciones factibles.
Valores permitidos  x1 , x 2  de
la región factible
Función Objetivo
Soluciones factibles
(SBF)
7. Soluciones óptimas:
Problema 3:
Un laboratorio de Cómputos, almacena, al menos 300 Computadoras de un tamaño y 400 de un
segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de computadoras almacenadas no debe exceder
de 1200. Determine las cantidades posibles de estos dos tipos de computadoras que pueden
almacenarse.
Restricciones
Tipo de Computadoras
Computadora 1
Computadora 2
Tipos de Computadoras
1. Variables de decisión
2. Función Objetivo
3. Restricciones
Total Computadoras
4. Formule el modelo matemático del PPL.
Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la
función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.
Forma estándar del modelo:
5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.
6. Soluciones factibles.
Valores permitidos  x1 , x 2 
de la región factible
7. Soluciones óptimas:
Función Objetivo
Soluciones factibles
(SBF)