docMC-2142 Clase 2 Profesor Andres Clavijo. Flexion en
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MC-2142 Clase 2 Profesor Andres Clavijo. Flexion en
Mecánica de Materiales II: Flexión en Vigas Asimétricas Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar Universidad Simón Bolívar Contenido • Introducción • Vigas asimétricas a flexión • Ejes principales de Inercia • Circulo de Mohr • Ejercicio Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Viga de sección asimétrica sometida a la acción de un momento flector MR Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Vista de la sección transversal de la viga y MY MR dA y Mx x x Eje Neutro Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Viga antes de ser sometida a la acción del momento MX - (Plano YZ) y S2 S1 MX MX e y f z Eje neutro dz lef = l0 = Longitud inicial Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Acción del momento MX - (Plano YZ) dθ le ' f ' = l f = Longitud final ρ MX S2 S1 MX e’ Eje neutro f’ y dz Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Viga antes de ser sometida a la acción del momento MY - (Plano XZ) x S2 S1 MY MY e x f z Eje neutro dz lef = l0 = Longitud inicial Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Acción del momento MY - (Plano XZ) dθ le ' f ' = l f = Longitud final ρ MY S2 S1 MY e’ Eje neutro f’ x dz Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Vista de la sección transversal de la viga y MY MR dA y MX x X Eje Neutro Centro geométrico Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Conclusión: •El origen del sistema principal de inercia está ubicado en el centro geométrico de la sección transversal. Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio y’ y MY MR MY’ dA MX’ MX θ x’ x y y’ x Eje Neutro x’ Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Sean 2 sistemas de coordenadas XY y X’Y’: x ⋅ Cosθ y ⋅ Senθ y y ⋅ Cosθ x ⋅ Senθ y θ x x Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Momentos Principales de Inercia: Un sistema principal de inercia es aquel en el que los valores de inercia son los valores máximos y mínimos. Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Conclusiones: •Para los Ejes Principales de Inercia la orientación viene dada por θ. •El producto de inercia es cero para los Ejes Principales de Inercia. Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ixy Ejercicio Círculo de Mohr de la Inercia (Método gráfico) (I , I ) x 2θ I2 xy I1 Ix + I y I 2 (I y ,− I xy ) I 12 = I xx + I yy 2 Ix − Iy + (I xy )2 +− 2 Universidad Simón Bolívar 2 Introducción Ixy Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia (I , I ) x Ejercicio y xy x 2θ θ I1 I2 I Círculo de Mohr de la Inercia (Método gráfico) (I y ,− I xy ) Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio En resumen: I1 = I2 = Ix + Iy 2 Ix + Iy 2 Ix − Iy + (I xy )2 + 2 2 Ix − Iy + (I xy )2 − 2 tg (2θ ) = − 2 2 ⋅ I xy Ix − Iy Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Conclusiones: •Todo eje de simetría es un Eje Principal de Inercia •Todo eje perpendicular a un eje de simetría que pase por el centro geométrico es un Eje Principal de Inercia Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Ejemplo: Eje de simetría Ejes principales de inercia Centro geométrico Eje perpendicular Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio 200 Kgf y 2500 mm z 5000 mm Determine los ejes principales así como los momentos aplicados: Perfil L-65x7x65 Perfil I-160 Sección transversal Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Procedimiento: Ejercicio y y1 I2 x1 I1 M1 y12 y2 θ x xx12 M x2 M2 Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Pasos para la resolución del problema: •Cálculo de la sección transversal más crítica •Ubicación del centro geométrico del perfil compuesto y0 y1 x1 y2 17,85 cm x2 y 8 cm x0 x 1,85 cm 3,7 cm Universidad Simón Bolívar Introducción Ejes Principales de Inercia Vigas a flexión Ejercicio Pasos para la resolución del problema: •Traslado de las inercias •Perfil I •Perfil L y1 x1 y12 y2 x21 x2 Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Pasos para la resolución del problema: •Traslado de las inercias •Perfil L (Detalle importante) Para el sistema x1y1, existe un producto de Inercia Ix1y1 que hay que trasladar porque no son ejes principales de inercia. y1 θ x1 Eje perpendicular Eje de simetría Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Pasos para la resolución del problema: •Cálculo de las inercias principales I1 = I2 = Ix + Iy 2 Ix + Iy 2 y Ix − Iy + (I xy )2 + 2 2 Ix − Iy + (I xy )2 − I1 2 tg (2θ ) = − 2 2 ⋅ I xy Ix − Iy x θ M Universidad Simón Bolívar I2 Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Pasos para la resolución del problema: •Cálculo de los Momentos I2 M1 I1 θ M M2 Universidad Simón Bolívar Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio Pasos para la resolución del problema: •Cálculo del eje neutro •Visualización de los puntos mas críticosI2 A •Cálculo de los esfuerzos M 2 ⋅ I1 tg (β ) = M1 ⋅ I 2 θ β M M ⋅y M ⋅x σA = 1 A + 2 A I1 I2 Eje Neutro M1 I1 xA yA xB yB M2 B σB = M 1 ⋅ y B M 2 ⋅ xB + I1 I2 Universidad Simón Bolívar
