Sistemas Automáticos

Sistemas Automáticos
Tema 5
Lugar de las Raíces
Contenido
• Respuesta dinámica de un sistema
• Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado
• Definición de Lugar de las Raíces (LR)
• Ecuación Característica
• Criterio del Argumento
• Criterio del Módulo
• Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces
• Ejemplo
Respuesta Dinámica de un Sistema
Los ceros también
influyen a través de los
coeficientes (pesos) de
los modos transitorios
y(t)
El comportamiento dinámico de un
sistema viene dado por los polos de
la f.d.t. (raíces de la ecuación
característica)
Respuesta Dinámica de un Sistema
en Bucle Cerrado
C(s)
Planta
Regulador
+
-
(s)
K
U(s)
Captador
Ycap(s)
H(s)
La dinámica del sistema
viene dada principalmente por
las raíces de la ec. característica
Y(s)
G(s)
Problemas:
• Difícil si el orden de la
ec. caract. >=3
• Habitualmente,
necesario recalcularlos
en función de un
parámetro (ej.: K)
Definición de Lugar de las Raíces (LR)
Definición:
C(s)
El L.R. es el lugar geométrico en el
plano complejo que ocupan las raíces
de la ecuación característica cuando
varía el parámetro K
K=5
Planta
Regulador
+
-
(s)
K
U(s)
Y(s)
Captador
Ycap(s)
K=10
K=16
K=20
Ecuación Característica
El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de la
siguiente forma:
Criterio del Argumento
Criterio del Módulo
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Ejemplo:
s-p4
p4
s-p3
p3
s-z1
s-p2
z1 p2
s-p1
s
p1
pi
Todo punto s del LR debe
satisfacer esta condición
general.
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Puntos
finales del LR
Lugar en el eje real
Ramas Independientes
1
3
2
Simetría respecto al
eje real
4
Puntos de
comienzo del LR
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Im
pi
p1
p1
Re
z1
z1
p2
p2
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Reglas de Trazado
del Lugar de las Raíces
Planta
Regulador
C(s)
+
-
(s)
K
U(s)
Captador
Ycap(s)
Función de transferencia en bucle abierto:
Y(s)
2
1
4
-20
-10 -7 -5 -2
3
-20
-10 -7 -5 -2
-20
-10 -7 -5 -2
Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión
Asíntotas
Pto. dispersión
centroide
c=10
-20
-10 -7 -5 -2
Lugar de las Raíces final
+j14.439
-20
-10 -7 -5 -2
-j14.439
Lugares de las Raíces
básicos
LR básicos: 1 polo real
LR básicos: 2 polos reales
LR básicos: 2 polos complejos
LR básicos: 3 polos reales
LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)
LR básicos: 4 polos
LR básicos: 1 polo + 1 cero
LR básicos: 2 polos + 1 cero
LR básicos: 3 polos + 2 ceros
LR básicos: 3 polos + 1 cero
LR-i básicos: 1 polo
LR-i básicos: 2 polos reales
LR-i básicos: 3 polos reales
LR-i básicos: 1 polo real + 2 polos complejos
LR-i básicos: 2 polos reales + 1 cero
LR-i básicos: 3 polos reales + 1 cero
Planta
Regulador
C(s)
+
(s)
K
U(s)
Y(s)
-
Captador
Ycap(s)
Determinar el comportamiento del sistema realimentado en función
de la constante de tiempo, , del captador para K=1
Solución:
La ecuación característica será:
Reordenando términos…
El problema queda planteado en términos de un LR:
pequeñas:
El LR tiene 3 ceros…
comportamiento
oscilatorio
=0.688:
… y dos polos
polo doble
amort. crítico
=1:
3 polos reales
sobreamort.
T = 2.6 seg
Conclusión
Vemos cómo un captador lento
influye negativamente en el
comportamiento del lazo
ralentizándolo
=10:
3 polos reales
sobreamort.
muy lento
T = 32 seg.