AN´ALISIS ASINT´OTICO. (POSGRADO) Texto: Peter Miller, Applied

AN´ALISIS ASINT´OTICO. (POSGRADO) Texto: Peter Miller, Applied

ANÁLISIS ASINTÓTICO.
(POSGRADO)
PROF. JESÚS ADRIÁN ESPÍNOLA
CORREO: [email protected].
Texto: Peter Miller, Applied Asymptotic Analysis, Graduate Studies in Mathematics 75. Ed. AMS.
Modalidad: Posgrado.
Semestre: 2011-2: Enero-Mayo 2011.
Salón: L-6. Horario: Martes y jueves. 9:30-11:00am.
TEMARIO.
(0) Introducción y ejemplos.
(a) Ecuación de Schrödinger de la partı́cula libre.
(b) Ecuación lineal de Korteweg-deVries (KdV).
(c) Ecuación de Burguers.
(d) Aproximación de integrales.
(e) Temas de Análisis Asintótico.
(1) Conceptos fundamentales.
(a) Preliminares.
(b) Naturaleza de las aproximaciones asintóticas.
(c) Raı́ces de ecuaciones algebraicas (Root finding).
PARTE A: Asintótica de integrales.
(2) Integrales del tipo de Laplace. Método de Laplace.
(a) Integración formal término-a-término.
(b) Integración por partes.
(c) El lema de Watson.
(d) El método de Laplace.
(3) Integrales del tipo de Fourier. El método de la fase estacionaria.
(a) Integración por partes.
(b) Contribuciones no locales.
(c) Contribuciones interiores.
(d) Aplicaciones: Ondas dispersivas. Partı́culas libres en la Mecánica
Cuántica.
(4) El método del descenso más rápido (The method of the steepest
descends).
(a) Deformación de contornos en el plano complejo.
(b) Puntos silla.
(c) Asintótica a tiempos largos (lı́mite cuando t → ∞) de soluciones de
ecuaciones de difusión.
(5) Aplicaciones.
(a) Ecuación de Schrödinger de la partı́cula libre.
(b) Ecuación de Burguers (lı́mite cuando t → ∞).
(c) Ecuación lineal de Korteweg-deVries (KdV) (lı́mite cuando t → ∞).
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PARTE B: Análisis Asintótico de Ecuaciones Diferenciales.
(6) ?Asintótica de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias,
lineales y de segundo orden.?
(7) Asintótica de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias con
respecto de parámetros.
(a) Perturbación regular.
(b) Perturbación singular.
(i) El método de WKB.
(ii) Asintótica de series de potencias de f (x, λ).
(iii) Puntos de cambio (Turning points).
(iv) Regla de cuantización de Bohr-Sommefeld.
(8) Asintótica de problemas lineales con valores en la frontera.
(a) Existencia de soluciones asintóticas.
(b) Una solución exacta y capas lı́mite (boundary layers).
(c) Soluciones exteriores. (Outer solutions).
(d) Asintótica y soluciones interiores y capas lı́mite. (Inner asymptotics
and solutions, and boundary layers).
(e) Ejemplos. Dinámica de fluidos.
(f) El método de escalas múltiples.
(9) Asintótica de fenómenos oscilatorios.
(a) ?Teorı́a de perturbación en Álgebra Lineal y problemas de valores
propios.?
(b) ?Condiciones de frontera periódicas y la ecuación de Mathieu.?
(c) oscilaciones débilmente no lineales.
(i) Solcuiones periódicas cerca del equilibrio.
(ii) Un estudio (approach) perturbativo a no linealidades cúbicas
débiles y términos seculares.
(iii) Eliminación de términos seculares: coordenadas ”estiradas” (stretched
coordinates) y el método de Poincaré-Lindstead.
(10) Ondas débilmente no lineales.
(a) Derivación de ecuaciones diferenciales parciales universales usando el
Método de Escales Múltiples.
(b) Lı́mites de dispersión cero en las ecuaciones de Korteweg-deVries (KdV)
y no lineal de Schrödinger (NLS).
(Nota: Las secciones con el sı́mbolo de estrella, ?, serán temas tentativos.)
DESCRIPCIÓN Y OBJETIVOS DEL CURSO.
El objetivo de este curso es encontrar, explorar y entender soluciones asintóticas
a integrales y ecuaciones diferenciales, y su teorı́a de pertubación. Este curso puede
considerarse como el curso de Matemáticas Aplicadas II.
La idea principal de estas técnicas es explotar y presentar las ventajas de considerar parámetros pequeños en la formulación de problemas diversos para cuyo
análisis sea simplificado, obteniendo ası́ un mejor entendimiento del problema en
cuestión.
Ejemplos.
(1) Supongamos que queremos calcular las raı́ces de
x3 − x + 1 = 0,
para || 1. Por supuesto podemos usar la fórmula de las ecuaciones
cúbicas, pero ¿qué hacer si el primer término es x5 ? ¡Serı́a mucho mejor
usar y explotar el hecho de que x5 es pequeño!
ASINTÓTICA
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(2) El flujo de aire alrededor de un ala de avión es no viscoso lejos del ala, en el
sentido de que las fuerzas viscosas son muy pero muy pequeñas comparadas
con las inerciales. Muy cerca del ala, las fuerzas viscosas son ya considerables, porque la velocidad relativa del aire respecto al ala es practicamente
cero (es decir, el aire se ”pega” al ala). ¿Cómo puede uno tomar ventaja
que lejos del ala el flujo sea armónico mientras cerca del ala el flujo es considerablemente viscoso? Para tal efecto, primero consideraremos modelos
sencillos antes de atacar el problema por completo.
Por ejemplo: Un modelo simple de capa lı́mite está dado por la siguiente
ecuación diferencial:
d2
2 y − y = 0,
dx
con condiciones de frontera y(0) = A, y(1) = B, donde A y B son constantes, y 1. Resuelvan la ecuación diferencial (la cual es lineal y de
coeficiones constantes).
Si este problema les pareció interesante, analicen ahora qué pasa para la
ecuación
d
d2
2 y + y y − y = 0,
dx
dx
con condiciones de frontera y(0) = A, y(1) = B, donde 1.
(3) La ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica,
∂
~2 ∂ 2
ψ=−
ψ + V (x)ψ,
∂t
2m ∂x2
describe el movimiento de una partı́cula microscópica de masa m sujeta a
fuerzas conservativas con potencial V (x). La constante ~ es la constante
de Planck cuyo valor es estimado por ~ = 1.054 × 10−34 J·seg, valor extremadamente pequeño. ¿Qué sucede si ~ → 0+ ? La ecuación se convierte
entonces en una ecuación singular. Ası́ pues, ¿cómo se comportan las soluciones? ¿Qué es lo que uno esperarı́a suceda? ¿Puede uno describir el
comportamiento de sus soluciones?
(4) Algunos sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales se pueden representar como la evolución de dos operadores lineales L y P , y sus conmutadores.
En muchas ocasiones, dichas ecuaciones también dependen de parámetros
pequeños, como 1, donde las ecuaciones toman la forma
i~
Lt − Bx + [L, B] = 0.
Nuevamente, cuando → 0+ , el sistema se vuelve singular. ¿Deja el sistema de ser completamente integrable? ¿Cómo se comportan ahora las
soluciones? ¿Aún tenemos solitones en el sistema?
(5) En el curso aprenderemos a estimar integrales de la forma
1
Jn (x) =
π
Zπ
Z1
cos(x sin t − nt) dt,
0
I(x) =
e
ixt2
0
Z1
dt,
K(x) =
2
e−x sin
t
dt.
0
Nótese que estas integrales son funciones de x. ¿Cómo se comportan estas
integrales cuando x → 0? Es decir, ¿existe una función elemental (o composición de funciones elementales) tal que describa el comportamiento de
dichas integrales para x → 0? (Cabe señalar que Jn (x) es la función de
Bessel de orden n).
(6) Veremos cómo en cualquier situación donde ondas de longitud larga y
pequeñas amplitudes, el modelo universal es la ecuación de Korteweg-deVries
ut − 6uux + uxxx = 0.
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De igual modo, donde paquetes de onda de amplitud pequeña y oscilando
a frecuencias muy altas, y propagandose en una sola dirección, la ecuación
universal es la ecuación no lineal de Schrödinger:
iut = −uxx − |u|2 u.
Los modelos se construyen en base a una técnica llamada de escalas multiples, la cual también aprenderemos en clase.
Será de gran utilidad tener una idea de cuántos alumnos quisieran tomar el curso,
sea como inscritos u oyentes. Los interesados mandeme un correo a [email protected],
con tı́tulo ”Asintótica”. No olviden incluir su nombre y su área de interés.
Evaluación.
El curso será evaluado únicamente con tareas asignadas consistentemente a lo
largo del semestre. Aproximadamente, una tarea semanal, resultando un total de
10 a 12 tareas.
Bibliografı́a.
References
[1] TEXTO: Miller, Peter. Applied Asymptotic Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Vol.
75. Ed. AMS. 2006. (Se encuentra en la Biblioteca del CIMAT).
[2] Murray, J.D. Asymptotic Analysis, Applie Mathematical Sciences, Vol. 48 Springer . (1984).
[3] Bender, C.M. and Orszag, S.A. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers:
Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer. (1999).
[4] Ablowitz, M. and Fokas, A. Complex Variables: Introduction and Applitations. 2nd edition.
Cambridge Text in Applied Mathematics. (2003).
[5] Evans, L. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19. Ed.
AMS. 1997.
[6] Kevorkian, J. and Cole, J.D. Multiple Scales and Singular Perturbation Methods. Applied
Mathematical Sciences, Vol. 114. Ed. Springer. 1996.
[7] Buijn, N.G. de, Asymptotics Methods in Analysis. Ed. Dover. 1981.
[8] Friedman, B. Principles and Techniques of Applied Mathematics. Ed. John Wiley & Sons.
1956. (Éste más bien es un texto de Principios y Técnicas de las Matemáticas Aplicadas, mas
que un texto de Asintótica.)
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