Leonhard Euler, su personalidad y su obra
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Leonhard Euler, su personalidad y su obra
Leonhard Euler, su personalidad y su obra Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ Uno de los mas importantes matemáticos de todas las épocas, si no el mas importante, es sin duda Leonhard Euler, el cual desarrolló su extensa obra (recogida en 80 volúmenes) en el siglo XVIII. No obstante la variedad de la temática de su obra, nos limitaremos a mencionar su invención del concepto de función y tratar su mas conocido aporte, la Fórmula de Euler. La fórmula o ecuación de Euler se expresa así: eix = cos x + i.senx la cual evidentemente es de gran utilidad exponenciales en trigonométricas y viceversa. (1) para transformar igualdades Para la comprobación de (1) propongo ejecutar los siguientes pasos, comenzando por introducir la variable y así: y = cos x + i.senx y continuar como sigue. dy = −senx + i cos x dx dy 2 = i senx + i cos x dx dy = i(cos x + isenx) dx o sea: 1 dy dy = iy → = idx → Lny = ix.Lne → Lny = Lneix dx y entonces: y = eix eix = cos x + isenx que es lo que queríamos comprobar. Una variante muy importante de (1) es la fórmula de Moivre que viene a ser la de Euler para nx: einx = cosnx + isennx aplicada a determinar las n raíces y potencias de los números complejos. escritos en la forma polar z = r(cos a + isena) donde z es un número compleio, r es el módulo del radio vector y a es el ángulo. Abraham De Moivre (1667-1754) La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler, aplicando las leyes de la exponenciación ix n (e ) Entonces resulta e inx = einx = cos(nx) + isen(nx) Además, de las igualdades "$ ix e = cos x + isenx # −ix %$ e = cos x − isenx se obtienen cos x = ( eix + e−ix ) / 2, senx = ( eix − e−ix ) / 2i 2 Leonhard Euler, por Jakob Emanuel Handmann (hacia 1756). Deutsches Museum, Munich (Wikipedia) Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ [email protected] 3