MATEMÁTICAS III Grado en Ingeniería Química Examen inicial. 27
Transcripción
MATEMÁTICAS III Grado en Ingeniería Química Examen inicial. 27
MATEMÁTICAS III Grado en Ingeniería Química Examen inicial. 27 de Mayo de 2014 Ejercicio 1 a) Si es una curva parametrizada por () con velocidad (), vectores tangente unitario y normal unitario , entonces la aceleración verifica = + , donde = (kk) = kk2 ( )2 + ( )2 = kk2 Calcular las componentes tangencial , normal y la curvatura de la espiral cónica () = ( cos sen ) ∈ R b) Hallar los puntos más bajo y más alto de la curva definida por la intersección de las superficies ( − 1)2 + 2 = 1 2 + 2 + 2 = 4 a) En primer lugar, obtenemos () = 0 () = (cos − sen sen + cos 1) y kk = por lo que p 2 + 2 (kk) = √ 2 + 2 Derivando el vector velocidad obtenemos la aceleración = () = (−2 sen − cos 2 cos − sen 0) y kk = por lo que r q 2 2 = kk − ( ) = 4 + 2 − 2 = 2 + 2 r p 4 + 2 8 + 52 + 4 2 + 2 La curvatura de la espiral cónica es r √ 8 + 52 + 4 8 + 52 + 4 1 = = 2 = 2 + 2 2 2+ kk (2 + 2 )3/2 1 b) Calculamos los extremos de ( ) = , sujeto a las restricciones ( ) = ( − 1)2 + 2 − 1 = 0 ( ) = 2 + 2 + 2 − 4 = 0 mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Resolvemos el sistema ∇ ( ) = ∇ ( ) + ∇ ( ) cuyas ecuaciones son 0 = 2 ( − 1) + 2 0 = 2 + 2 = 2 ( + ) 1 = 2 La segunda ecuación implica que + = 0, o bien = 0. Si = − entonces la primera ecuación implica que = 0, por lo que también = 0, lo que contradice la tercera ecuación. En consecuencia, = 0. Usando las dos restricciones obtenemos ( − 1)2 − 1 = 0 2 + 2 − 4 = 0 La primera ecuación implica 0 = 2 − 2 = ( − 2), luego = 0 o bien = 2. Si = 0 la segunda ecuación tiene dos soluciones = ±2, por lo que obtenemos los puntos 1 = (0 0 −2) 2 = (0 0 2) Si = 2 la segunda ecuación implica = 0, que proporciona 3 = (2 0 0). Entonces el punto más bajo de la curva es 1 y el más alto 2 . 2 MATEMÁTICAS III Grado en Ingeniería Química Examen inicial. 27 de Mayo de 2014 Ejercicio 2 a) Sea el sólido acotado inferiormente por el plano = 3 y superiormente por la esfera 2 + 2 + 2 = 25. Sea la superficie cerrada que es la frontera de . Calcular el volumen de y el área de . b) Calcular el flujo del campo vectorial ¡ ¢ ( ) = 2 2 2 2 a través de la superficie del apartado a) orientada por la normal exterior. a) La intersección del plano = 3 y la esfera 2 + 2 + 2 = 25 es la circunferencia 2 + 2 = 16 en el plano = 3. Entonces o n p = ( ) ∈ R3 : 2 + 2 ≤ 16 3 ≤ ≤ 25 − 2 − 2 Calculamos el volumen ZZZ = vol ( ) = = = ZZ ZZ 2 +2 ≤16 Z √25−2 −2 3 ³p ´ 25 − 2 − 2 − 3 2 +2 ≤16 2 Z 4 ³p Z 0 0 ´ 25 − 2 − 3 ¸4 ∙µ ¶ ¢ 1 ¡ 32 2 3/2 25 − − − = 3 2 0 0 ¸ ∙µ ¶ ³ ´ 1 3/2 3/2 9 − 25 − 24 = 2 − 3 ∙ ¸ ¢ 1¡ 3 3 = 2 5 − 3 − 24 3 ¶ µ 26 52 98 − 24 = 2 = = 2 3 3 3 Z 2 La superficie , frontera de , es la unión de la porción de la esfera situada encima del plano = 3, que denotamos 1 y del círculo 2 + 2 ≤ 16 en el plano = 3 que denotamos 2 . Por tanto el área a (2 ) = 16 y calculamos ZZ q p a (1 ) = 1 + 2 + 2 donde ( ) = 25 − 2 − 2 2 +2 ≤16 3 Dado que 1 + 2 + 2 = 1 + 2 + 2 25 = 25 − 2 − 2 25 − 2 − 2 tenemos ZZ a (1 ) = = 5 p = 25 − 2 − 2 2 + 2 ≤16 Z 2 h 0 Z 0 2 Z 0 4 5 √ 25 − 2 ¡ ¢1/2 i4 5 − 25 − 2 = 10 (5 − 3) = 20 0 En conclusión, a () = a (1 ) + a (2 ) = 36 a) Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, el flujo exterior es ZZ ZZZ ZZZ · = div = (2 + 2) ZZ = 2 +2 ≤16 ZZ = 2 +2 ≤16 = = ZZ 2 +2 ≤16 2 Z 4 Z 0 0 Z √25−2 −2 2 ( + ) 3 £ 2 ¤√25−2 −2 ( + ) 3 £ ¤ ( + ) 25 − 2 − 2 − 9 ¡ ¢ (cos + sen ) 16 − 2 ¸4 163 5 − (cos + sen ) = 3 5 0 0 ¶ µ 5 Z 2 45 4 − = (cos + sen ) 3 5 0 2 = 45 [sen − cos ]2 0 = 0 15 Z 2 ∙ 4