1 Espacios vectoriales

1
Espacios vectoriales
1.1
Combinaci¶
on lineal. Vectores L.D y Vectores L.I
)
!
!
!
2¡
x +¡
y = 3¡
w
¡
!
¡
!
!
Exercise 1 Hallar x e y tales que ¡
siendo ¡
w (1; 2; 3)
!
!
!
!
x ¡¡
y =¡
w +¡
v
!
y¡
v = (1; 0; 1)
!
!
Exercise 2 Idem ¡
x e ¡
y tales que
Ã
2
3
!
!
y¡
v =
Ã
¡1
0
!
)
!
!
!
2¡
x +¡
y = 3¡
w
!
siendo ¡
w =
¡
!
!
!
!
x ¡¡
y =¡
w +¡
v
!
Exercise 3 >El vector ¡
x = (2; 3) es combinaci¶on lineal de los vectores
¡
!
¡
!
w (1; 2) y v (2; 4) ?
!
Exercise 4 >El vector ¡
x = (3; 4) es combinaci¶on lineal de los vectores
¡
!
¡
!
¡
!
x1 (1; 2) , x2 (2; 4) y x3 (1; 5) ?
!
Exercise 5 >El vector ¡
x = (1; 2; 1) es combinaci¶on lineal de los vectores
¡
!
¡
!
!(3; 2; 0) ?
x1 (1; ¡1; 1) , x2 (2; 3; ¡1) y ¡
x
3
!(1; 2; 5)
!(1; ¡1; 0) , ¡
x
Exercise 6 >Son linealmente independientes los vectores ¡
x
1
2
¡
!
y x3 (5; 4; 2) ?
!(1; 1; 1; 1) , ¡
!(0; 1; 0; 1) , ¡
!(0; 1; 0; 1)
!(1; 0; 1; 0) , ¡
x
x
x
Exercise 7 > Los vectores ¡
x
1
2
3
4
son L.I ?
!(¡2; 3; 0) , ¡
!(¡4; 11; ¡2)
!(1; 2; ¡1) , ¡
Exercise 8 Demuestra que los vectores ¡
x
x
x
1
2
3
no son L.Dependientes. Determina la relaci¶on entre ellos
!(3; 3; 4) , ¡
!(1; ¡1; 2) y ¡
!(2; 1; 3)
Exercise 9 Idem con los vectores ¡
x
x
x
1
2
3
0
B
!B
Exercise 10 Dados los vectores ¡
x
1 B
@
lar los valores de x e y para que ¶estos
1
1
0
1
0
1
3
C
B
B
1 C ¡
¡1 C
C ¡
!B
!B
C, x
B
C
;
x
2
3 B
@ y A
@
0 A
x
¡1
sean L. Dependientes
¡3
5
x
¡4
1
C
C
C .HalA
1.2
Sistema generador y Base de un espacio vectorial.
Componentes de un vector en una base
!(1; ¡2; 3) , ¡
! = (2; 3; ¡1) , ¡
! = (1; 5; 2)
Exercise 11 >Los vectores ¡
x
x
x
1
2
3
3
forman un sistema generador de < ?. >Forman base?
!
Exercise 12 Dado el vector ¡
x (1; ¡1; 1) ,> se puede escribir como C.Lineal
de los vectores del problema anterior?. En caso a¯rmativo, determina las
!
componentes de ¡
x en la base anterior
!(1; ¡2; 3) , ¡
!(2; 3; ¡1) , ¡
!(1; 5; ¡4) forman
Exercise 13 Los vectores ¡
x
x
x
1
2
3
3
un sistema generador de < ?. >Forman base?
!
Exercise 14 Dado el vector ¡
x (2; 1; 1) ,> se puede escribir como C.Lineal
de los vectores del problema anterior?. > De cu¶antas maneras?
!
Exercise 15 Dado el vector ¡
x (2; 1; 1) ,> se puede escribir como C.Lineal
de los vectores del ejercicio 13?
!(1; 1; 1) , ¡
!(2; ¡3; 2) , ¡
!(1; ¡4; 3) comExercise 16 Dados los vectores ¡
x
x
x
1
2
3
!
prueba que si forman base de <3 .Obt¶en las componentes del vector ¡
x (2; 1; 1)
con respecto a dicha base
!(1; 1; 1) , ¡
!(2; ¡3; 2) , ¡
!(1; ¡4; 1) comExercise 17 Dados los vectores ¡
x
x
x
1
2
3
3
prueba que no forman base de < .> Cu¶ales son los u
¶nicos vectores de <3 que
se pueden escribir como C. Lineal de ¶estos y cu¶ales no?.
1.3
Problemas de cambio de base
!(1; 2; ¡1); ¡
!(2; ¡1; 3); ¡
! = (1; ¡3; 5)g
Exercise 18 Dada la base de <3 , ¯ = f¡
x
x
x
1
2
3
!
!
y dado el vector ¡
v cuyas componentes en esta base son ¡
v (2; ¡3; 5)¯ : Halla
las componentes de ese vector con respecto a la base can¶onica
!
Exercise 19 Dada la base anterior y el vector ¡
x cuyas componentes en la
¡
!
base can¶onica son x (3; ¡2; 1):Determina las componentes de ese vector con
respecto a la base ¯
!(1; 2; ¡1); ¡
!(2; ¡1; 3); ¡
! = (1; ¡3; 5)g
Exercise 20 Dadas las bases de <3 ¯ = f¡
x
x
x
1
2
3
0
!(1; ¡1; 1); ¡
!(2; ¡3; 1); ¡
! = (1; ¡2; 3)g Determina las componentes
y ¯ = f¡
u
u
u
1
2
3
0
!
de un vector ¡
x con respecto a la base ¯ si sabemos que sus componentes en
!
la otra base son ¡
x (2; ¡1; 3)¯
2
Exercise 21 Dadas las dos bases del ejercicio anterior. Determina las com!
ponentes de un vector ¡
x con respecto a la base ¯ si sabemos que sus com!
ponentes en la otra base son ¡
x (1; 1; 2)¯ 0
0
!; ¡
! ¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
Exercise 22 Dadas las bases de <3 ¯ = f¡
x
1 x2 ; x3 g y ¯ = f u1 ; u2 ; u3 g
¡
!
¡
!
¡
!
u1 = x1 ¡ x2
¡
!=¡
!+¡
!
u
x
x
determina las ecuaciones de cambio de base
tal que
2
2
3
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
u3 = x1 + x2 + x3
0
!; ¡
! ¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
Exercise
23 Dadas las bases de <3 ¯ = f¡
x
1 x2 ; x3 g y ¯ = f u1 ; u2 ; u3 g tal
8
¡
!=¡
!¡¡
!
>
u
x
x
1
1
2
<
¡
!
¡
!
¡
!
! determina las ecuaciones de cambio de base
x
que > u2 = x1 + 2 x2 + ¡
3
: ¡
! = 2¡
!+¡
! + 3¡
!
u
x
x
x
3
1
2
3
!(1; 2; ¡1); ¡
!(2; ¡1; 3); ¡
! = (1; ¡3; 5)g
Exercise 24 Dadas las bases de <3 ¯ = f¡
x
x
x
1
2
3
0
!(1; ¡1; 1); ¡
!(2; ¡3; 1); ¡
! = (1; ¡2; 3)g :Determina las ecuaciones
y ¯ = f¡
u
u
u
1
2
3
!
!
de cambio de base. Si las componentes de un vector ¡
x son ¡
x (2; 4; 3)¯ (base
0
¯) halla sus componentes en la otra base (base ¯ )
Exercise 25 Dadas las bases del problema anterior y las componentes de un
0
!
!
vector ¡
x son ¡
x (1; ¡1; 1)¯0 (base ¯ ) halla sus componentes en la otra base
(base ¯)
1.4
Subespacios vectoriales .Ecuaciones param¶
etricas
o cartesianas de un subespacio
Exercise 26 Indica, de los siguientes subconjuntos de <3 cu¶al es subespacio
vectorial de ¶este
H = f(x; y; z)= ¡ x + y + z = 0g
(
)
(
)
x¡z = 2
H1 = (x; y; z)=
y+z =0
x¡z = 0
H2 = (x; y; z)=
y+z =0
H3 = f(x; y; z)= ¡ x + y = 1g
H4 = f(x; y; z)=x2 ¡ y 2 = 0g
3
H5 = f(x; y; z)=x = y = zg 1
)
(
x¡y =0
es un subespaExercise 27 Demuestra que H = (x; y; z; t)=
y+z =0
cio vectorial de <4 : Determina una base de ¶este; as¶³ como su dimensi¶on
1
La condici¶on x = y = z es ()
½
x¡z = 0
y¡z = 0
4
()
½
x¡y = 0
()
y¡z =0
½
x¡y = 0
x¡z = 0
Exercise 28 Encontrar una base de los siguientes subespacios
8
>
<
9
>
x=t¡s ,
=
H1 = >(x; y; z) y = t + s
s; t 2 <>
:
;
z =t+s
8
>
<
9
>
x = 2t ¡ s ,
=
H2 = >(x; y; z) y = ¡t + 3s
s; t 2 <>
:
;
z = t + 2s
1.4.1
Subespacios engendrados por combinaciones lineales. Sistemas de vectores equivalentes
Exercise 29 Sean S = f(1; 1; 0)(0; 1; 1)g y T = f(1; 0; 1)(0; 1; 0)g :Hallar las
ecuaciones param¶etricas e impl¶³citas de los subespacios L(S) y L(T )
8
>
>
>
<
Exercise 30 Dado el subespacio vectorial de <4, H = >(x; y; z; w)
>
>
:
, x = r ¡ 2s ¡ t
: Determina sus ecuaciones impl¶³citas asi como una base de ¶este
3
8
>
<
Exercise 31 Idem para el subespacio vectorial de < , J = >(x; y; z)
:
y =s+t
r; s; t 2 < >
z = r + 3s + 4t
>
>
;
w = r + 2s + 3t
,
x=r¡s
y = r + 2s + 3t r; s; t 2 <
z =s+t
Exercise 32 Sean S = f(1; 2; 1)(1; 3; 2)g y T = f(1; 1; 0)(3; 8; 5)g :Demuestra
que S y T son sistemas equivalentes (engendran el mismo subespacio)
!(1; 2; ¡4; 3; 1)
Exercise 33 Por el m¶etodo de Gauss, determina de los vectores ¡
u
1
¡
!(2; 5; ¡3; 4; 8) ¡
!(6; 17; ¡7; 10; 22) ¡
!(1; 3; ¡3; 2; 0)
u
u
u
2
3
4
El m¶aximo n¶
umero de vectores linealmente independientes
Dos bases distintas del subespacio engendrado por ellos
>Cu¶al es la relaci¶on de dependencia entre los vectores dados?
Ecuaciones param¶etricas e impl¶³citas del subespacio engendrado por ellos
5
9
>
>
>
=
!(1; 2; ¡4)
Exercise 34 Por el m¶etodo de Gauss, determina de los vectores ¡
u
1
¡
!
¡
!
u2 (2; 5; ¡3) u3 (6; 13; ¡10)
El m¶aximo n¶
umero de vectores linealmente independientes
Dos bases distintas del subespacio engendrado por ellos
>Cu¶al es la relaci¶on de dependencia entre los vectores dados?
Ecuaciones param¶etricas e impl¶³citas del subespacio engendrado por ellos
6