1. Para una línea sin pérdidas de impedancia característica de 50

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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
ELO250 Campos Electromagnéticos
Solución Certamen 02
1. Para una línea sin pérdidas de impedancia característica de 50 [ ohms] determinar:
a) Una expresión para el módulo del fasor del voltaje |V(z’)| en la línea, si ésta está
terminada en una carga ZL puramente resistiva, en función del módulo del fasor
voltaje en la carga |VL|. z’ es la coordenada de un punto de la línea medida desde la
carga hacia el generador.
b) Gráficas de |V(z’)| /|VL | en función de la distancia en unidades de longitud de onda,
cuando ZL es 100 y cuando es 10. Indicando los valores de los máximos y mínimos
de cada gráfica y cuándo se producen. Realizar la gráfica según se indica en el
diagrama.
|V(z’)| /|VL|
z’/λ
1,5
0
Solución:
Para el fasor del voltaje en una línea de impedancia característica Z0 y terminada en una
carga ZL , se tiene:
( j ( θ − 2 β z´ ) )
1
( j β z´ )
Γ
IL ( Z L + Z 0 ) e
(1 + Γ e
)
2
Donde el coeficiente de reflexión en la carga queda dado por:
ZL − Z0
Γ :=
ZL + Z0
V ( z´ ) :=
Para líneas sin pérdidas y con IL = VL / ZL, y si además ZL y Z0 son reales: Γ es real
positivo si ZL > Z0 ; y Γ es real negativo si ZL < Z0 . Entonces puede escribirse:*-//
1 VL ( ZL + Z0 ) e
V ( z´ ) :=
2
El módulo de e
( j β z´ )
(1 + Γ e
( -2 j β z´ )
ZL
)
(1)
( β z´ j )
es uno.
( −2 j β z´ )
La expresión: Vm = 1 + Γ e
puede visualizarse, en el siguiente diagrama:
1
ΓL
θ
2βz´
Vm
Prof. Leopoldo Silva Bijit
29-05-2003
1
Donde el ángulo de ΓL es 0° ó 180°.
Entonces, se tiene:
|1+ Γ cos(- 2βz´ ) +jΓ sen(- 2βz´ )| = ( [1+ Γ cos(- 2βz´ )]2 + [Γ sen(- 2βz´ )]2 )1/2
Vm = (1+ 2Γ cos( 2βz´ ) + Γ2 )1/2 ;
Obteniendo el módulo del fasor del voltaje |V(z’)| según:
1 V L ( ZL + Z0 )
Vmod :=
2
1 + 2 Γ cos ( 2 β z´ ) + Γ 2
ZL
Evaluando con los datos cuando ZL es 100:
V100 :=
3
4
10 2
π z´ 
+ cos  4

9 3
λ 

Con gráfica, que ilustra que es máximo en la carga y en múltiplos de λ/2. Los mínimos se
producen λ/4, 3λ/4,…
Evaluando con los datos cuando ZL es 10:
V10 := 3
13 4
π z´ 
− cos 4

9 3
λ 

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2
Con gráfica, que ilustra que es mínimo en la carga y en múltiplos de λ/2. Los máximos se
producen ahora en λ/4, 3λ/4,…
El siguiente diagrama ilustra las ondas en la línea, para ZL = 10.
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3
2. Empleando el diagrama de Smith:
a) Calcular la impedancia vista en el punto 1, hacia las líneas de impedancias
características Zo1 y Zo2 .
b) Determinar el coeficiente de reflexión y la razón de onda estacionaria en el punto 1.
c) Determinar, al menos, dos valores de x, para tener impedancia de entrada en el
punto 2, puramente resistiva.
Indique en el diagrama los puntos de interés y haga referencia a éstos en su desarrollo
escrito.
l1 = 3,152λ
l3 = xλ
R1 = 75
Zo1 = 150
2
Zo3 = 75
1
Z o2 = 50
R2 = 75
l2 = 8,191λ
Solución:
Para la línea 1 ZL es menor que Z0 , resultando un ángulo de 180º para el coeficiente de
reflexión. Esto ubica el punto 1, en el diagrama siguiente. Luego desplazándose 0,152
unidades de longitud de onda se llega al punto 2, ya que cada media longitud de onda se da
una vuelta completa al diagrama.
Para la línea 1, resulta una impedancia
admitancia de Y1 = 0,0045 – j0,0031
Z1 = 149,8 + j 106,0, lo cual equivale a una
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4
Z1
Y1
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5
Para la línea dos, ZL es mayor que Z0 , resultando un ángulo de 0º para el coeficiente de
reflexión. Esto ubica el punto 1, en el diagrama siguiente. Luego desplazándose 0,191
unidades de longitud de onda se llega al punto 2, ya que cada media longitud de onda se da
una vuelta completa al diagrama.
Para la línea 2, resulta una impedancia
admitancia de Y2 = 0,0257 + j0,0072
Z2 = 36,06 - j 10,07, lo cual equivale a una
Y2
Z2
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Si se suman las admitancias resulta una carga equivalente de Y = 0,0302 + j0,0041
Lo cual equivale a una impedancia de: Zt = 32,51-j4,41. Punto que se indica en el siguiente
diagrama como punto 1.
Resultando un coeficiente de reflexión: Γ = 0,4 ∠ -171,87º
Y una razón de onda estacionaria (ROE) S = 2,3
El primer cruce con el círculo x = 0 se obtiene con x = 0,012 obteniéndose una impedancia
de entrada en el punto 2 de Zin = 32,52.
Otra solución se obtiene con x = 0,262, lo cual da una impedancia de entrada en el punto 2
de Z = 172,98.
Los puntos en el diagrama se ilustran en las gráficas siguientes.
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7
Zin =173,74
Zt
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8
Zin = 32,38
Zt
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