Estructuras localmente conforme Kähler invariantes a izquierda en

Transcripción

Estructuras localmente conforme Kähler
invariantes a izquierda
en grupos de Lie
Autor: Marcos Origlia
Director: Dr. Adrián Andrada
Córdoba, marzo de 2012
1
2
Resumen
Nuestro objetivo es estudiar estructuras localmente conforme Kähler invariantes a
izquierda en grupos de Lie. En primer lugar se estudian las estructuras complejas y casi
complejas en variedades diferenciables, las variedades complejas y su relación con las estructuras casi complejas (integrabilidad). También estudiaremos métricas hermitianas,
Kähler y localmente conforme Kähler (l.c.K.). En la segunda parte nos concentraremos en
el estudio de métricas invariante a izquierda sobre grupos de Lie. Si estos grupos admiten
subgrupos discretos co-compactos (lattices), estas estructuras invariantes a izquierda inducen estructuras en el cociente. Finalmente se analizan álgebras de Lie con estructuras
l.c.K., con particular interés en aquellas que son bi-ivariantes o abelianas. Ası́ como
también álgebras de Lie de Vaisman. En particular, probaremos algunos resultados sobre
la existencia y no existencia de tales estructuras, y daremos algunos nuevos ejemplos.
Clasificación (Math. Subject Classification)
22E25, 53C55.
Palabras Claves
-Variedad Compleja
-Métricas localmente conforme Kähler
-Grupos de Lie
Contenidos
Introducción
5
CAPÍTULO 1. Estructuras complejas
1. Preliminares algebraicos
2. Estructuras casi complejas
3. Variedades Complejas
4. Variedades complejas y estructuras casi complejas. Integrabilidad
5. Métricas hermitianas y Kähler
6. Variedades localmente conforme Kähler
7
7
10
13
17
19
24
CAPÍTULO 2. Estructuras invariantes a izquierda sobre grupos de Lie
1. Grupos de Lie con estructura hermitiana invariante a izquierda
2. Grupos de Lie con métricas l.c.k. invariantes a izquierda
3. Cocientes por subgrupos discretos
4. Álgebras de Lie con estructuras l.c.K.
5. Un ejemplo de álgebra de Lie l.c.K. y unimodular
6. Estructuras Vaisman en álgebras de Lie
33
33
37
38
40
45
47
CAPÍTULO 3. Apéndice
1. Matrices de cambio de base complejas
2. Conexiones
3. Estructuras invariantes a izquierda
4. Campos de Killing
53
54
54
55
56
Referencias
57
3
Introducción
El objetivo de este trabajo es el estudio de ciertas variedades diferenciables, especı́ficamente aquellas que admiten estructuras localmente conforme Kähler (l.c.K.). Por una
variedad l.c.K. M , se entiende un par (J, g) tal que (M, J, g) es una variedad hermitiana
y existe un cubrimiento {Ui } por abiertos de M y una familia {fi } de funciones diferenciables fi : Ui → R tales que las métricas locales gi = exp(−fi )g|Ui son de Kähler, o
equivalentemente, existe una 1-forma cerrada θ tal que dω = θ ∧ ω, donde ω es la forma
fundamental, en tal caso θ se llama la forma de Lee. Una variedad de Kähler (M, J, g) es
una variedad hermitiana tal que su 2-forma fundamental ω es cerrada, o equivalentemente,
∇J = 0 donde ∇ es la conexión de Levi-Civita de M .
Luego nos concentramos en grupos de Lie que admiten estructuras l.c.K. invariantes
a izquierda, es decir un par (J, g) tal que J conmuta con las traslaciones a izquierda,
J ◦ dLa = dLa ◦ J, y g satisface g(dLa X, dLa Y ) = g(X, Y ) para todo a en el grupo y X, Y
campos diferenciables.
Concretamente nos interesan grupos de Lie unimodulares, es decir, grupos de Lie en
los que la medida de Haar es invariante a izquierda y a derecha, o equivalentemente, si G
es conexo tr(adX ) = 0 para todo X ∈ g. Este interés está fundamentado en un resultado
de Milnor que afirma que, si un grupo de Lie G admite lattices o (retı́culos) entonces G
es unimodular. Un lattice es un subgrupo Γ ⊂ G discreto tal que Γ\G es compacto. El
motivo de buscar grupos de Lie que admitan lattices es porque si consideramos un grupo
de Lie simplemente conexo con una estructura l.c.K. invariante a izquierda, entonces esta
va a resultar “esencialmente” de Kähler. En cambio Γ\G ya no es simplemente conexo
pues Π1 (Γ\G) = Γ, y admite una estructura hermitiana inducida por (J, g) que resulta
l.c.K. y no de Kähler.
Como la estructura l.c.K. es invariante a izquierda podemos definir una estructura
locamente conforme Kähler en g, es decir un par (J, h· , · i) hermitiano tal que dω = θ ∧ ω
para alguna θ ∈ g∗. De esta manera podemos analizar las estructuras a nivel del álgebra.
Hay dos casos de particular interés. En primer lugar aquellas álgebras de Lie con
estructuras l.c.K. con J bi-invariante, es decir J[X, Y ] = [JX, Y ] para todo X, Y ∈ g. Su
importancia radica en que, en este caso G admite una estructura de grupo de Lie complejo,
o sea, las operaciones de grupo (multiplicar e invertir) son holomorfas.
En segundo lugar J es una estructura compleja abeliana si [JX, JY ] = [X, Y ] para
todo X, Y ∈ g. En este caso el grupo de Lie asociado es una variedad compleja pero
no admite estructura de grupo de Lie complejo pues sólo las traslaciones a izquierda son
holomorfas. Por último estudiamos álgebras de Lie de Vaisman con estructuras abelianas,
un álgebra de Lie se dice de Vaisman si admite una estructura l.c.K. tal que su forma de
Lee θ es paralela con respecto a la conexión de Levi-Civita.
Para llevar a cabo este objetivo, el trabajo se organizó de la siguiente manera: en el
Capı́tulo 1 se desarrollaron los conceptos básicos de estructuras complejas, comenzando
5
6
INTRODUCCIÓN
por estructuras complejas en espacios vectoriales, y luego estructuras casi complejas en
variedades diferenciables. También se estudiaron las variedades complejas y su relación con
las variedades casi complejas (integrabilidad). Se continuó con las variedades hermitianas y
de Kähler, donde se presentaron algunos ejemplos. El capı́tulo concluye con las variedades
localmente conforme Kähler, de las que se dio algunó ejemplos, se determinó una fórmula
eplı́cita para la forma de Lee de una tal variedad y se estudió la conexión de Weyl asociada.
En el Capı́tulo 2 comenzamos definiendo estructuras hermitianas invariantes a izquierda
en un grupo de Lie, luego se introducen los cocientes por subgrupos discretos y se prueba
que una estructura l.c.K. en G induce de manera natural una estructura l.c.K. en Γ\G.
Luego se analizan álgebras de Lie con estructuras l.c.K. bi-invariantes, probando que si
G es un de Lie complejo con una estructura l.c.K. entonces G no es unimodular. Además
se encontraron nuevos ejemplos de álgebras de Lie solubles unimodulares equipadas con
estructuras l.c.K.
Finalmente se estudiaron estructuras de Vaisman en un álgebra de Lie con J abeliana,
y se prueba que si (g, J, h· , · i) es de Vaisman con J abeliana entonces g = h2n−1 × R donde
h2n−1 es el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 2n − 1.
CAPÍTULO 1
Estructuras complejas
1. Preliminares algebraicos
En esta sección daremos algunos resultados de álgebra lineal que usaremos en las secciones siguientes, estudiando en particular algunas estructuras adicionales sobre espacios
vectoriales reales, como productos escalares y estructuras complejas.
Definición 1.1. Sea V un espacio vectorial real. Una estructura compleja J sobre V
es un endomorfismo J : V → V tal que J 2 = − Id.
Observación. Si J es una estructura compleja, entonces J ∈ GL(V ).
Ejemplo 1.2. Si V es un espacio vectorial complejo y lo consideramos como espacio vectorial sobre R entonces la aplicación v → iv define una estructura compleja.
Recı́procamente tenemos el siguiente resultado:
Lema 1.3. Si V es un espacio vectorial real con una estructura compleja J, entonces
V admite una estructura de espacio vectorial complejo.
Demostración. Definimos sobre V la siguiente operación: (a+ib)v = av+bJv, a, b ∈
R. Luego la R-linealidad de J y el hecho que J 2 = − Id, muestran que esta operación
define una estructura de C-módulo sobre V .
Lema 1.4. Si J es una estructura compleja sobre un espacio vectorial real V , entonces
dimR V = 2n y existen x1 , . . . , xn ∈ V tales que {x1 , . . . , xn , Jx1 , . . . , Jxn } es una base de
V.
Demostración. Como J 2 = − Id, entonces
0 ≤ det(J 2 ) = (−1)dimR V ,
(1)
y por lo tanto dimR V es par. Para la segunda parte, consideramos a V como espacio
vectorial complejo de dimensión n. Sea {x1 , . . . , xn } una base de V como espacio vectorial
complejo. Luego {x1 , . . . , xn , Jx1 , . . . , Jxn } es una base real de V . En efecto si
n
X
ak xk +
k=1
n
X
bk Jxk = 0,
k=1
con ak , bk ∈ R, por la demostración del Lema 1.3, bk Jxk = ibk xk . Luego queda
n
n
n
X
X
X
ak xk +
ibk xk =
(ak + ibk )xk = 0.
k=1
k=1
k=1
Como x1 , . . . , xn es base de V como espacio vectorial complejo, tenemos que ak + ibk = 0
para k = 1, . . . , n. Por lo tanto ak = bk = 0 para k = 1, . . . , n.
7
8
1. ESTRUCTURAS COMPLEJAS
Definición 1.5. Si V es un espacio vectorial real, la complexificación de V es el espacio
vectorial complejo V ⊗R C, que será denotado por V C .
Lema 1.6. Si V es un espacio vectorial real, entonces V está naturalmente incluido en
V C . Además todo elemento v de V C se puede escribir de la forma v = x + iy para ciertos
x, y ∈ V .
Demostración. La función v → v ⊗ 1 determina la inclusión de V en V C . Para la
segunda parte notemos que si v ∈ V C , entonces existe una cantidad finita de vj ∈ V y
zj ∈ C tales que:
X
X
X
X
X
X
v=
v j ⊗ zj =
vj ⊗ (xj + iyj ) =
vj ⊗ xj +
vj ⊗ iyj =
vj xj ⊗ 1 +
vj yj ⊗ i.
P
P
Entonces v = x + iy, con x = vj xj , y =
vj yj .
La conjugación compleja en V C es el endomorfismo real definido por
z = x + iy → z = x − iy,
x, y ∈ V.
Si J es una estructura compleja en V , podemos extenderla C-linealmente a V C , mediante
J(v + iw) = Jv + iJw.
La seguiremos denotando por J y ası́ sigue valiendo J 2 = − Id. Claramente los autovalores
de J en V C son i y −i, y denotaremos los autoespacios asociados por V 1,0 y V 0,1 , es decir,
V 1,0 = {v ∈ V C : Jv = iv} y
V 0,1 = {v ∈ V C : Jv = −iv}.
Lema 1.7. Sea V un espacio vectorial real dotado con una estructura compleja J.
Entonces V 1,0 = {v − iJv : v ∈ V }, V 0,1 = {v + iJv : v ∈ V } y tenemos la siguiente
descomposición
(2)
V C = V 1,0 ⊕ V 0,1 .
Además la conjugación compleja en V C induce un isomorfismo R-lineal entre V 1,0 y V 0,1 .
Demostración. Sean v, w ∈ V tal que J(v + iw) = i(v + iw), entonces se deduce que
Jv = −w y por lo tanto V 1,0 = {v −iJv : v ∈ V }. Análogamente V 0,1 = {v +iJv : v ∈ V }.
Luego V 1,0 ∩ V 0,1 = 0, y la inclusión canónica V 1,0 ⊕ V 0,1 → V C es biyectiva, con inversa
1
1
v → (v − iJv) + (v + iJv).
2
2
1,0
Para la segunda parte, si v ∈ V
entonces v = v1 −iJv1 para algún v1 ∈ V , luego tenemos
que v = v1 − iJv1 = v1 + iJv1 ∈ V 0,1 , es decir, la conjugación compleja intercambia los
factores de V C .
Ahora veremos cómo aplicar lo anterior a V ∗ , el espacio dual de V . Para ello tenemos
el siguiente resultado:
Proposición 1.8. Sea V un espacio vectorial real, dotado con una estructura compleja
J. Entonces V ∗ admite de manera natural una estructura compleja J ∗ dada por
(J ∗ λ)v = λ(Jv),
para todo v ∈ V . Además J ∗ induce la descomposición
(3)
donde V ∗ 1,0
V ∗ C = V ∗ 1,0 ⊕ V ∗ 0,1 ,
respectivamente V ∗ 0,1 es el anulador de V 0,1 respectivamente V 1,0 .
1. PRELIMINARES ALGEBRAICOS
9
Demostración. Claramente J ∗ es un endomorfismo de V ∗ tal que J ∗ 2 = − Id. Consideramos la complexificación de V ∗ , luego por el Lema 1.7 tenemos
V ∗ C = V ∗ 1,0 ⊕ V ∗ 0,1 ,
con V ∗ 1,0 = {λ − iJ ∗ λ : λ ∈ V ∗ } y V ∗ 0,1 = {λ + iJ ∗ λ : λ ∈ V ∗ }. Para la última parte, sea
λ ∈ V ∗ 1,0 y v ∈ V 0,1 , entonces
λ(v) = (λ1 − iJ ∗ λ1 )(v1 + iJv1 ) = λ1 (v1 ) + iλ1 (Jv1 ) − i(J ∗ λ1 )v1 + (J ∗ λ1 )(Jv1 ) = 0.
Ası́ V ∗ 1,0 es el anulador de V 0,1 . Análogamente V ∗ 0,1 es el anulador de V 1,0 .
Denotaremos V1,0 = V ∗1,0 y V0,1 = V ∗0,1 .
Si V es un espacio vectorial real de dimensión n su álgebra exterior está dada por:
V
V =
n
M
Vr
V.
r=0
Análogamente,
está dada por:
V
V
C
denota el álgebra exterior del espacio vectorial complejo V C , la cual
V
(4)
VC =
n
M
Vr
VC
r=0
Si V está dotado con una estructura compleja J, entonces su dimensión real es 2n, y
V se descompone en V C = V 1,0 ⊕ V 0,1 , con V 1,0 y V 0,1 subespacios vectoriales complejos
de dimensión n. Luego definimos
Vp,q
Vp 1,0 Vq 0,1
V =
V ⊗ V .
C
Si {e1 , . . . , en } es una base de V 1,0 , entonces por el Lema 1.7 {e1 , . . . , en } es una base de
V 0,1 . El conjunto de elementos
ej1 ∧ · · · ∧ ejp ∧ ek1 ∧ · · · ∧ ekq , 1 ≤ j1 < · · · < jp ≤ n, 1 ≤ k1 < · · · < kq ≤ n,
Vp,q
Vp,q
forma una base de
V sobre C. Decimos que un elemento de
V es de grado (p, q).
Luego tenemos los siguientes hechos:
Proposición 1.9. [12] Para un espacio vectorial real V dotado con una estructura
compleja J tenemos:
Vp+q C
Vp,q
V
(i)
V es un subespacio de
Vk C L
Vp,q
(ii)
V = p+q=k
V
Vp,q
Vq,p
(iii) La conjugación compleja induce un isomorfismo entre
V y
V , es decir,
Vp,q
Vq,p
V =
V.
Consideraremos ahora productos internos compatibles con una estructura compleja J.
Definición 1.10. Un producto interno hermitiano sobre un espacio vectorial real V
con una estructura compleja J es un producto interno h· , · i que satisface,
hJv, Jwi = hv, wi,
para todo v, w ∈ V .
10
Notar que dado un espacio producto interno (V, h· , · i) con una estructura compleja J,
entonces h· , · i es hermitiano si y sólo si J es antisimétrica.
Ejemplo 1.11. Sea V un espacio vectorial real de dimensión dos con una orientación
fija. Si h· , · i es un producto interno en V , entonces existe una estructura compleja natural
en V compatible con el producto interno, definida como sigue: para cada 0 6= v ∈ V , sea
Jv ∈ V el único vector tal que hv, Jvi = 0, ||Jv|| = ||v||, y {v, Jv} está positivamente
orientada. Es decir, J es una rotación en sentido antihorario en π2 , por lo que J 2 = − Id.
Luego, J es una estructura compleja en V , y h· , · i resulta un producto interno hermitiano.
Proposición 1.12. Sea h· , · i un producto interno hermitiano en un espacio vectorial
real V con una estructura compleja J. Entonces podemos extender h· , · i a una forma
bilineal compleja simétrica en V C , que satisface:
(i) hZ, W i = hZ, W i, para Z, W ∈ V C ,
(ii) hZ, Zi > 0, para todo Z ∈ V C no nulo,
(iii) hZ, W i = 0, para Z ∈ V 1,0 y W ∈ V 0,1 .
Recı́procamente, toda forma bilineal, compleja y simétrica que satisface (i), (ii) y (iii) es
la extensión de un producto interno hermitiano en V .
2. Estructuras casi complejas
En esta sección aplicaremos los resultados de la sección 1 al espacio tangente de una
variedad diferenciable.
Sea M una variedad diferenciable real. Una estructura casi compleja J sobre M , es
un tensor diferenciable de tipo (1,1) J : T M → T M tal que en cada punto p ∈ M, Jp :
Tp M → Tp M es una estructura compleja en Tp M . Si M es una variedad diferenciable
equipada con una estructura casi compleja J, entonces decimos que (M, J) es una variedad
casi compleja.
En el próximo resultado se establece una restricción para la existencia de estructuras
casi complejas.
Proposición 2.1. Si M admite una estructura casi compleja, entonces dim M es par
y M es orientable.
Demostración. Como consecuencia del Lema 1.4 tenemos que dim M es par. Para
la segunda parte, si J es una estructura casi compleja en M , entonces para cada p ∈
M podemos elegir una base de Tp M de la forma {v1 , . . . , vn , Jv1 , . . . , Jvn } (ver Lema
1.4), y cualquier otra base de Tp M de esta forma difiere de la anterior en una matriz
de determinante positivo. En efecto, sea {w1 , . . . , wn , Jw1 , . . . , Jwn } otra base de Tp M ,
entonces existen ajk , bjk ∈ R tales que
X j
X j
wj =
ak vk +
bk Jvk ,
y ası́ la matriz de cambio de base es
P =
A −B
.
B A
2. ESTRUCTURAS CASI COMPLEJAS
11
Como det P = | det(A + iB)|2 y P es inversible tenemos que det P > 0 (Ver Apéndice
Proposición 1.1). Luego para dar una orientación a M consideramos la familia de todos
los sistemas coordenados (U, φ) tales que para todo p ∈ U la base {∂/∂xi }2n
i=1 de Tp M
tiene la misma orientación que {v1 , . . . , vn , Jv1 , . . . , Jvn }. Esto determina una orientación
en M .
Ejemplo 2.2. Las esferas S 2 y S 6 admiten una estructura casi compleja. En efecto,
sean p ∈ S 2 ⊂ R3 y h· , · i el producto interno canónico de R3 . Identificamos el espacio
tangente Tp (S 2 ) con el subespacio {v ∈ R3 : hp, vi = 0} de R3 . Luego definimos J por
J(v) = p × v, donde × es el producto cruz de R3 . Por cálculo directo tenemos que
J 2 (v) = p × (p × v) = −v. Por lo tanto J es una estructura casi compleja en S 2 .
Ahora construiremos una estructura casi compleja en S 6 usando los números de Cayley
u octoniones. Un número de Cayley es un par ordenado de cuaterniones x = (q1 , q2 ). El
conjunto de todos los números de Cayley forma un álgebra no asociativa con la suma y la
multiplicación dadas por:
(q1 , q2 ) + (q10 , q20 ) = (q1 + q10 , q2 + q20 )
(q1 , q2 )(q10 , q20 ) = (q1 q10 − q 02 q2 , q20 q1 + q2 q 01 ),
donde el conjugado de un número de Cayley se define por x = (q 1 , −q2 ). Ası́ xx =
(q1 q 1 + q 2 q2 , 0) y |x|2 = q1 q 1 + q 2 q2 . Un número de Cayley x = (q1 , q2 ) es real si q1 es real y
q2 = 0, y es puramente imaginario si q1 es un cuaternion imaginario puro. Sea U el espacio
vectorial real de dimensión 7 formado por los números de Cayley puramente imaginarios.
Se define un producto interno ( , ) y un producto cruz × en U que generalizan el producto
interno y el producto cruz de R3 (considerando a R3 como el espacio de cuaterniones
imaginarios puros), de la siguiente manera:
−(x, x0 ) = la parte real de xx0 , x, x0 ∈ U,
x × x0 = la parte puramente imaginaria de xx0 ,
x, x0 ∈ U.
Se puede ver que si x, x0 , x00 ∈ U , entonces
(5)
xx = −(x, x) = −|x|2 ,
x × x0 = −x0 × x,
(x × x0 , x00 ) = (x, x0 × x00 ).
Sea S 6 = {x ∈ U : |x| = 1}. Identificamos el espacio tangente Tx (S 6 ) con el subespacio
{y ∈ U : (x, y) = 0} de U . Definimos J en Tx (S 6 ) por
J(y) = x × y,
y ∈ Tx (S 6 ).
Por (5) se ve que x × y ∈ Tx (S 6 ). Además
J 2 (y) = x × (x × y) = x(x × y) + (x, x × y) = x(x × y) =
= x(xy) + x(x, y) = x(xy) = (xx)y = −|x|2 y = −y,
entonces J 2 = − Id. Ası́ J define una estructura casi compleja en S 6 . La cual no es
Observación. S 2 y S 6 son las únicas esferas que admiten una estructura casi compleja. En efecto, la no existencia de una estructura casi compleja en S 4k para k ≥ 1 y
S 2n para n ≥ 4 fue probado por Wen [27] y conjuntamente por Borel y Serre [6] respectivamente. Por otro lado, Kirchhoff [14] demostró que si S n admite una estructura casi
compleja, entonces S n+1 es paralelizable, y Adams [1] demostró que S n+1 es paralelizable
sólo para n + 1 = 1, 3 y 7. El resultado de Adams combinado con el de Kirchhoff implican
el resultado de Wen, Borel y Serre.
12
Ejemplo 2.3. Toda superficie orientable M en R3 admite una estructura casi compleja.
En efecto, para p ∈ M y v ∈ Tp (M ), definimos J(v) como el único vector tal que hv, Jvi =
0, ||Jv|| = ||v||, y {v, Jv} está positivamente orientada, donde h· , · i es el producto interno
canónico de R3 . Esta J define una estructura casi compleja en M . Observemos que este
hecho lo podemos generalizar a toda variedad riemanniana, orientable, de dimensión dos.
Notar que la construcción de la estructura casi compleja en S 2 del Ejemplo 2.2 es un caso
particular de este.
Sea M una variedad casi compleja, con estructura casi compleja J. Denotaremos a
Tp M por Tp , por simplicidad. Para cada p ∈ M , sea (Tp )C la complexificación del espacio
tangente en p, y a sus elementos los llamamos vectores tangentes complejos. Por el Lema
1.7 tenemos que:
(Tp )C = (Tp )1,0 ⊕ (Tp )0,1
donde (Tp )1,0 y (Tp )0,1 son los autoespacios de J correspondientes a los autovalores i y −i
respectivamente.
Un campo vectorial complejo es una asignación C ∞ , Z : M → (T M )C , tal que Zp ∈
(Tp )C . El campo complejo Z se dice de tipo (1, 0) si Zp ∈ (Tp )1,0 y de tipo (0, 1) si
Zp ∈ (Tp )0,1 , para todo p ∈ M . Observemos que si Z es un campo vectorial complejo de
tipo (1, 0) entonces, por el Lema 1.7, su conjugado Z es un campo vectorial complejo de
tipo (0, 1), y por el mismo Lema, es inmediato que:
Proposición 2.4. Un campo vectorial complejo Z en una variedad casi compleja
(M, J) es de tipo (1, 0) ó (0, 1) si y sólo si Z es de la forma Z = X − iJX ó Z = X + iJX
respectivamente, para algún X ∈ X(M ).
Por la Proposición 1.8 tenemos que:
(Tp∗ )C = (Tp∗ )1,0 ⊕ (Tp∗ )0,1 = (Tp )1,0 ⊕ (Tp )0,1
donde (Tp )1,0 y (Tp )0,1 son los anuladores de (Tp )0,1 y (Tp )1,0 , respectivamente.
Dada una variedad diferenciable M consideramos su k-fibrado exterior, dado por
[ Vk
Vk
M=
Tp∗ .
p∈M
E k (M ),
A sus secciones las denotaremos por
que es el espacio de k-formas diferenciables
(reales) en M , y E(M ) representará el espacio de todas las formas diferenciables en M ,
es decir,
n
M
E(M ) =
E k (M ).
k=1
Si ahora (M, J) es una variedad casi compleja, podemos hacer lo mismo para (Tp∗ )C ,
y tenemos:
[ Vk
Vk
M
=
(Tp∗ )C .
C
p∈M
k
A sus secciones las denotaremos por AV(M ) y llamaremos
espacio de
Vr ∗ 1,0 A(M
Vs ) ∗al0,1
r,s ∗
las formas complejas en M . Definimos
Tp =
(Tp ) ⊗
(Tp ) , con p ∈
consideramos el fibrado bigraduado
Vr,s
M=
[ Vr,s
p∈M
Tp∗ .
todas
M, y
3. VARIEDADES COMPLEJAS
13
Denotaremos por Ar,s (M ) a sus secciones, a las que llamaremos formas complejas de tipo
(r, s). Por la Proposición 1.8, una 1-forma compleja w es de tipo (1, 0) (respectivamente
(0, 1)) si y sólo si w(Z) = 0 para todo vector complejo Z de tipo (0, 1) (respectivamente
(1, 0)).
Observación. Si w ∈ Ar,s (M ), entonces w(Z1 , . . . , Zr+s ) = 0, si Z1 , . . . , Zr+s son
vectores complejos de los cuales más de r son de tipo (1, 0), o más de s son de tipo (0, 1).
Proposición 2.5. Si (M, J) es una variedad casi compleja, entonces
M Vr,s
M
Vk ∗ C
(Tp ) =
Tp∗ y Ak (M ) =
Ar,s (M )
r+s=k
Más aún,
Vr,s
Tp∗ =
Vs,r
r+s=k
Tp∗ y Ar,s (M ) = As,r (M ).
Demostración. Sigue de la Proposición 1.9.
Si d : E k (M ) → E k+1 (M ) representa la derivada exterior de formas diferenciales,
entonces consideraremos su extensión C-lineal a las formas complejas, d : Ak (M ) →
Ak+1 (M ), a la cual seguiremos denotando por d. Se tiene el siguiente resultado:
Proposición 2.6. Si Ap,q (M ) es el espacio de formas complejas de grado (p, q) sobre
una variedad casi compleja M , entonces
d(Ap,q (M )) ⊂ Ap+2,q−1 (M ) ⊕ Ap+1,q (M ) ⊕ Ap,q+1 (M ) ⊕ Ap−1,q+2 (M ).
Demostración. Es consecuencia de que A(M ) está localmente generado por A0,0 (M ),
y A0,1 (M ), y de que d(A0,0 (M )) ⊂ A1,0 (M ) ⊕ A0,1 (M ), d(A1,0 (M )) ⊂ A2,0 (M ) ⊕
1,1
A (M ) ⊕ A0,2 (M ) y d(A0,1 (M )) ⊂ A2,0 (M ) ⊕ A1,1 (M ) ⊕ A0,2 (M ).
A1,0 (M )
3. Variedades Complejas
Las variedades complejas son espacios topológicos que son localmente como Cn . En
algún sentido las variedades complejas son más rı́gidas que las variedades diferenciables,
de una manera similar a la relación que hay entre funciones holomorfas y funciones diferenciables.
Repasamos algunas nociones del análisis complejo de varias variables.
Definición 3.1. Una función f = u + iv de un abierto U de Cn en C se dice holomorfa
si la ecuación de Cauchy-Riemann se cumple para todas las coordenadas zk = xk + iyk , es
decir,
∂u
∂v
∂u
∂v
=
,
=−
, k = 1, . . . , n.
∂xk
∂yk
∂yk
∂xk
Equivalentemente, una función f es holomorfa si las funciones inducidas
U ∩ {(z1 , . . . , zi−1 , z, zi+i , . . . , zn ) : z ∈ C} → C
son holomorfas para todo i = 1, . . . , n, y z1 , . . . , zi−1 , zi+i , . . . , zn ∈ C fijos.
14
Observemos que si definimos
∂
∂
1
∂
,
=
−i
∂zk
2 ∂xk
∂yk
entonces f es holomorfa si y sólo si
∂f
∂z k
∂
1
=
∂z k
2
∂
∂
+i
∂xk
∂yk
,
= 0 para k = 1, . . . , n.
Una función f : U ⊂ Cn → Cm , se dice holomorfa si todas sus funciones coordenadas
f1 , . . . , fm son holomorfas.
Definición 3.2. Un atlas holomorfo en una variedad diferenciable es un atlas {(Ui , φi )}
de la forma φi : Ui → φi (Ui ) ⊂ Cn , tal que las funciones de transición φij = φi ◦ φj−1 :
φj (Ui ∩ Uj ) → φi (Ui ∩ Uj ) son holomorfas. El par (Ui , φi ) se llama una carta holomorfa.
Definición 3.3. Una variedad compleja M de dimensión n es una variedad real de
dimensión 2n junto con un atlas holomorfo.
Definición 3.4. Sea M una variedad compleja de dimensión compleja n y sea N ⊂ M
una subvariedad diferenciable de dimensión real 2k. Entonces decimos que N es una
subvariedad compleja de M si existe un atlas de holomorfismos {(Ui , φi )} de M tal que
φi (Ui ∩ N ) ' φi (Ui ) ∩ Ck .
Definición 3.5. Una función f : M → C en una variedad compleja M , se dice
holomorfa si f ◦ φ−1 : φi (Ui ) → C es holomorfa para toda carta holomorfa (Ui , φi ).
Definición 3.6. Sean M y N dos variedades complejas. Una función f : M → N es
holomorfa si para todo par de cartas holomorfas (U, φ) y (U 0 , φ0 ) de M y N , respectivamente, la función φ0 ◦ f ◦ φ−1 es holomorfa.
Ejemplo 3.7. Cn es el ejemplo básico de una variedad compleja.
Ejemplo 3.8. El espacio proyectivo complejo CP n . Es una de las variedades complejas
compactas más importantes. CP n es el conjunto de rectas por el origen en Cn+1 , o equivalentemente, CP n = (Cn+1 − {0})/C∗ , donde C∗ actúa por multiplicación en Cn+1 . Denotaremos la clase de (z0 , z1 , . . . , zn ) por [z0 , z1 , . . . , zn ]. Dotamos a CP n con la topologı́a
cociente. Consideramos los abiertos Ui = {[z0 , z1 , . . . , zn ] : zi 6= 0} ⊂ CP n y las funciones
zi−1 zi+1
zn
z0
n
,...,
,
,...,
φi : Ui → CP , [z0 , z1 , . . . , zn ] 7−→
zi
zi
zi
zi
Luego las funciones de transición φij = φi ◦ φ−1
j : φj (Ui ∩ Uj ) → φi (Ui ∩ Uj ) están dadas
por
wj−1 1 wj
wi−1 wi+1
wn
w1
,...,
,
,...,
, ,
,...,
,
φij (w1 , . . . , wn ) =
wi
wi
wi
wi wi wi
wi
las cuales son biyectivas y holomorfas sobre su dominio de definición y entonces (Ui , φi )
son cartas complejas.
Ejemplo 3.9. El toro complejo. Sea M el cociente Cn /Z2n , donde Z2n ⊂ Cn con
la inclusión natural. Dotamos a M con la topologı́a cociente de π : Cn → M . Esta
función π es localmente inyectiva, por lo que podemos tomar abiertos U ⊂ Cn tales que
U ∩(U +(a1 +ib1 , . . . , an +ibn )) = ∅, para todo (a1 +ib1 , . . . , an +ibn ) ∈ Z2n . Estos abiertos
determinan un atlas de holomorfismos en M . Por ejemplo podrı́amos tomar U = B (z)
con = (1/2, . . . , 1/2) y z ∈ Z2n .
3. VARIEDADES COMPLEJAS
15
Ejemplo 3.10. Variedades de Hopf. Consideramos Z actuando en Cn − {0} por
(z1 , . . . , zn ) 7→ (λk z1 , . . . , λk zn )
para k ∈ Z y λ 6= 0 con |λ| =
6 1. La acción es libre y discreta. La variedad compleja
cociente M = (Cn − {0})/Z es difeomorfa a S 1 × S 2n−1 .
3.1. Relación entre variedades complejas y estructuras casi complejas.
Notar que Cn admite de manera natural una estructura casi compleja, en efecto, sea
(z1 , . . . , zn ) un sistema coordenado en Cn , sea zk = xk + iyk , definimos jn por
jn (∂/∂xk ) = ∂/∂yk ,
jn (∂/∂yk ) = −∂/∂xk .
Esto define una estructura casi compleja en Cn .
Ahora veremos un resultado que nos dice cómo se comporta esta estructura compleja
canónica de Cn con las funciones holomorfas.
Proposición 3.11. Una función f de un abierto de Cn en Cm preserva la estructura
compleja, es decir, df ◦ jn = jm ◦ df , si y sólo si f es holomorfa.
Demostración. Sea f = (f1 , . . . , fm ) con fk = uk + iv k , k = 1, . . . , m. Luego f es
holomorfa si y sólo si se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂uk
∂v k
=
,
∂xj
∂yj
∂uk
∂v k
=−
,
∂yj
∂xj
j = 1, . . . , n,
k = 1, . . . , m.
Por otro lado tenemos que df satisface:
X
m m X
∂
∂v k
∂uk
∂
∂
df
+
,
=
∂xj
∂xj ∂xk
∂xj ∂yk
k=1
df
∂
∂yj
k=1
m m X
X
∂uk
∂
∂v k
∂
=
+
,
∂yj ∂xk
∂yj ∂yk
k=1
k=1
para j = 1, . . . , n. Luego de la definición de jn y jm , resulta que df ◦ jn = jm ◦ df si y sólo
si f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
En particular las funciones de transición preservan la estructura casi compleja de Cn .
Además la manera natural de darle una estructura casi compleja a Cn induce el siguiente
resultado.
Proposición 3.12. Toda variedad compleja M admite de manera natural una estructura casi compleja J.
Demostración. Si dimC M = n, la idea es tranferir la estructura casi compleja de Cn
a través de los sistemas coordenados. Sea (U, φU ) un sistema coordenado de M , definimos
(6)
JU = dφ−1
U ◦ jn ◦ dφU .
16
Basta ver que esta estructura no depende de los sistemas coordenados. Sea (V, φV ) otro
sistema coordenado tal que U ∩ V 6= ∅, entonces φV ◦ φ−1
U es holomorfa, ası́:
JV = dφ−1
V ◦ jn ◦ dφV
−1
= dφ−1
V ◦ jn ◦ d(φV ◦ φU ) ◦ dφU
−1
= dφ−1
V ◦ d(φV ◦ φU ) ◦ jn ◦ φU
= dφ−1
U ◦ j n ◦ φU
= JU
Definición 3.13. Sean (M, J) y (M 0 , J 0 ) dos variedades casi complejas. Una función
f : M → M 0 se dice casi compleja si J 0 ◦ df = df ◦ J.
Luego de la Proposición 3.11 obtenemos:
Proposición 3.14. Dadas M y M 0 dos variedades complejas con estructuras casi
complejas J y J 0 respectivamente. Una función f : M → M 0 es holomorfa si y sólo si f es
casi compleja.
3.1.1. Variedades complejas en coordenadas. Sea M una variedad compleja con J la
estructura casi compleja dada por la Proposición 3.12. Sea (z1 , . . . , zn ) un sistema de
coordenadas complejas, con zj = xj + iyj . Si definimos
1
∂
∂
∂
1
∂
∂
∂
=
−i
=
+i
,
∂zk
2 ∂xk
∂yk
∂z k
2 ∂xk
∂yk
entonces
∂
1
J
=
∂zk
2
∂
∂
J
− iJ
∂xk
∂yk
1
=
2
∂
∂
+i
∂yk
∂xk
=i
∂
∂zk
y por lo tanto ∂z∂k es de tipo (1, 0). Análogamente ∂z∂k es de tipo (0, 1). Luego se tiene
que { ∂z∂ 1 , . . . , ∂z∂n } es una base local de T 1,0 , y { ∂z∂ 1 , . . . , ∂z∂n } es una base local de T 0,1 .
Si definimos dzk = dxk + idyk y dz k = dxk − idyk , luego tenemos que
∂
1
∂
∂
1
dzj
= (dxj + idyj )
−i
= (δjk − δjk ) = 0
∂z k
2 ∂xk
∂yk
2
dz j
∂
∂zk
1
∂
∂
1
= (dxj − idyj )
−i
= (δjk − δjk ) = 0
2 ∂xk
∂yk
2
∂
1
= (δjk + δjk ) = δjk
dzj
∂zk
2
∂
1
dz j
= (δjk + δjk ) = δjk
∂z k
2
Luego {dz1 , . . . , dzn } y {dz 1 , . . . , dz n } son bases locales de T1,0 y de T0,1 , duales de
{ ∂z∂ 1 , . . . , ∂z∂n } y { ∂z∂ 1 , . . . , ∂z∂n } respectivamente.
4. VARIEDADES COMPLEJAS Y ESTRUCTURAS CASI COMPLEJAS. INTEGRABILIDAD
17
4. Variedades complejas y estructuras casi complejas. Integrabilidad
Como vimos en la sección anterior toda variedad compleja admite de manera natural
una estructura casi compleja. En general la recı́proca es falsa. En esta sección veremos
bajo qué condiciones son equivalentes.
Definición 4.1. Una estructura casi compleja J en M se dice integrable si M es la
variedad diferenciable subyacente a una variedad compleja que induce a J como en la
Proposición 3.12. En este caso J también se dice una estructura compleja.
Nota. Por definición toda variedad compleja admite una estructura compleja.
Para todo par de campos X, Y ∈ X(M ) se define el tensor de Nijenhuis por
NJ (X, Y ) = [JX, JY ] − [X, Y ] − J([JX, Y ] + [X, JY ]).
Es fácil ver que N es un tensor de tipo (1, 2). El siguiente importante teorema provee una
caracterización de la integrabilidad en términos de NJ .
Teorema 4.2. [21] Una estructura casi compleja J es integrable si y sólo si NJ ≡ 0.
Demostración. Sólo probaremos que para una estructura casi compleja e integrable
J, vale que NJ ≡ 0. Sea (z1 , . . . , zn ) con zj = xj + iyj un sistema de coordenadas en
una variedad compleja M . Como J es integrable sabemos que J(∂/∂xk ) = ∂/∂yk y
J(∂/∂yk ) = −∂/∂xk . Como el corchete de campos coordenados es cero tenemos que,
NJ (X, Y ) = 0, para todo X, Y ∈ {∂/∂x1 , . . . , ∂/∂xn , ∂/∂y1 , . . . , ∂/∂yn }. Además como
NJ es tensor, resulta NJ ≡ 0.
Ejemplo 4.3. Toda estructura casi compleja J sobre una variedad diferenciable M
de dimensión real 2 es integrable. En efecto, notemos primero que para todo X 6= 0,
X y JX son linealmente independientes, pues si aX + bJX = 0 aplicando J tenemos
aJX − bX = 0, luego (a2 + b2 )X = 0 por lo que a = b = 0. Por otro lado
N (X, JX) = [JX, −X] − [X, JX] − J([JX, JX] + [X, −X]) = 0,
por la antisimetrı́a del corchete de Lie. Entonces, como la dimensión de M es 2, tenemos
que todo campo diferenciable Y es combinación lineal de X y JX, ası́ N (X, Y ) = 0.
A continuación daremos un ejemplo de una variedad casi compleja no integrable.
Ejemplo 4.4. Como vimos en el Ejemplo 2.2, (S 6 , J) resulta una variedad casi compleja, y se puede ver que J no es integrable (A. Frölicher [9]). Es un problema abierto la
existencia de estructuras complejas en S 6 .
Ahora veremos algunas equivalencias para estructuras complejas.
Proposición 4.5. Sea (M, J) una variedad casi compleja; las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
(i) J es integrable.
(ii) si Z, W son campos vectoriales complejos de tipo (1, 0), entonces [Z, W ] también.
(iii) si Z, W son campos vectoriales complejos de tipo (0, 1), entonces [Z, W ] también.
18
Demostración. (i) ⇒ (ii)
entonces
Sean Z = X − iJX, W = Y − iJY con X, Y ∈ X(M ),
[Z, W ] = [X − iJX, Y − iJY ]
= [X, Y ] − [JX, JY ] − i([X, JY ] + [JX, Y ])
= −J([JX, Y ] + [X, JY ]) − i([X, JY ] + [JX, Y ])
= −J([JX, Y ] + [X, JY ]) − iJ(−J([JX, Y ] + [X, JY ]))
Luego [Z, W ] es de tipo (1,0).
(i) ⇒ (iii) similarmente.
(ii) ⇔ (iii) Notar que [Z, W ] = [Z, W ] y que si Z es de tipo (1, 0) entonces Z es de
tipo (0, 1). Luego (ii) y (iii) son claramente equivalentes.
(ii) ⇒ (i) Sean Z, W de tipo (1, 0), Z = X − iJX, W = Y − iJY , entonces
[Z, W ] = [X, Y ] − [JX, JY ] − i([X, JY ] + [JX, Y ])
Como [Z, W ] es de tipo (1, 0), resulta:
J([X, Y ] − [JX, JY ]) = [X, JY ] + [JX, Y ]
Luego NJ (X, Y ) = 0, para todo X, Y ∈ X(M ).
A continuación tenemos otro resultado que nos permite identificar cuándo una estructura casi compleja es integrable. Para ello necesitamos definir la conjugada de una 1-forma
compleja w por w(Z) = w(Z), para todo Z campo vectorial complejo. Notemos que si w
es una 1-forma compleja de tipo (1, 0) entonces w es una 1-forma compleja de tipo (0, 1).
Proposición 4.6. Sea (M, J) una variedad casi compleja; las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
(ii) d(A1,0 (M )) ⊂ A2,0 (M ) ⊕ A1,1 (M ).
(iii) d(A0,1 (M )) ⊂ A1,1 (M ) ⊕ A0,2 (M ).
Demostración. (i) ⇒ (ii) Sean w una 1-forma compleja de tipo (1, 0) y Z, W campos
vectoriales complejos de tipo (0, 1). Por un lado tenemos que dw es una 2-forma compleja,
y por la Proposición 2.5 resulta
dw = w2,0 + w1,1 + w0,2 ,
donde wi,j ∈ Ai,j (M ). Como w2,0 (Z, W ) = w1,1 (Z, W ) = 0, resulta que dw(Z, W ) =
w0,2 (Z, W ). Por otro lado
dw(Z, W ) = Zw(W ) − W w(Z) − w([Z, W ]),
Como J es integrable, tenemos que [Z, W ] es de tipo (0, 1), por la Proposición 4.5. Ası́
dw(Z, W ) = 0. Combinando ambos resultados tenemos que w0,2 (Z, W ) = 0. Además w0,2
se anula si alguno de los argumentos es de tipo (1, 0), por lo que w0,2 ≡ 0.
(ii) ⇒ (i) Sean Z, W de tipo (0, 1), queremos ver que [Z, W ] también lo es. Si w es de
tipo (1, 0), entonces w([Z, W ]) = −dw(Z, W ). Por (ii) dw(Z, W ) = 0, luego w([Z, W ]) = 0
con w de tipo (1, 0) arbitraria, entonces [Z, W ] es de tipo (0, 1).
(iii) ⇒ (ii) Si w es de tipo (1, 0) entonces w es de tipo (0, 1). Si dw = w2,0 +w1,1 +w0,2 ,
entonces dw = w2,0 + w1,1 + w0,2 . Como w0,2 ∈ A2,0 (M ) entonces por (iii) w0,2 = 0 y
por lo tanto w0,2 = 0. De manera similar se demuestra (ii) ⇒ (iii).
5. MÉTRICAS HERMITIANAS Y KÄHLER
19
Proposición 4.7. J es integrable si y sólo si d(Ap,q (M )) ⊂ Ap+1,q (M ) ⊕ Ap,q+1 (M ),
para todo p y q ∈ N ∪ {0}.
Demostración. Es inmediata a partir de las Proposiciones 4.6 y 2.6.
Sean π k : A(M ) → Ak (M ) y π r,s : A(M ) → Ar,s (M ) las proyecciones canónicas. Si
d : Ak (M ) → Ak+1 (M ) representa la extensión C-lineal de la derivada exterior, se definen
los siguientes operadores:
∂ = π p+1,q ◦ d : Ap,q (M ) → Ap+1,q (M ),
∂ = π p,q+1 ◦ d : Ap,q (M ) → Ap,q+1 (M ).
Corolario 4.8. Sea (M, J) una variedad casi compleja. Entonces J es integrable si
y sólo si dα = ∂(α) + ∂(α), para toda α ∈ A(M ).
Demostración. Si J es integrable, por la Proposición 4.7 tenemos que d(Ap,q (M )) ⊂
luego d = ∂ +∂. Recı́procamente si d = ∂ +∂, entonces π 0,2 ◦d = 0
en A1,0 (M ). Es decir, d(A1,0 (M )) ⊂ A2,0 (M ) ⊕ A1,1 (M ), entonces por la Proposición 4.6,
J resulta integrable.
Ap+1,q (M )⊕Ap,q+1 (M ),
2
Corolario 4.9. Si J es una estructura casi compleja integrable, entonces ∂ 2 = ∂ = 0
2
y ∂∂ = −∂∂. Recı́procamente, si ∂ = 0, J es integrable.
Demostración. Para la primera parte, si J es integrable tenemos que d = ∂ + ∂, y
2
como d2 = 0, por cálculo directo se obtiene ∂ 2 = ∂ = 0 y ∂∂ = −∂∂.
2
Recı́procamente, si ∂ = 0 veremos que el corchete de Lie de dos campos vectoriales complejos de tipo (0, 1), es de tipo (0, 1). Luego por la Proposición 4.5 J resultará
integrable. Sean Z, W de tipo (0, 1), usamos la fórmula
dα(Z, W ) = Zα(W ) − W α(Z) − α([Z, W ]).
Si α es una forma de tipo (0, 1), la ecuación anterior se reduce a: (dα)(Z, W ) = (∂α)(Z, W ).
Combinando estas dos cosas y tomando α = ∂f tenemos:
2
0 = (∂ f )(Z, W )
= d(∂f )(Z, W )
= Z(∂f )(W ) − W (∂f )(Z) − (∂f )([Z, W ])
= Z(df )(W ) − W (df )(Z) − (∂f )([Z, W ]),
pues Z, W ∈ T 0,1 ,
= (d2 f )(Z, W ) + (df )([Z, W ]) − (∂f )([Z, W ])
= 0 + (∂f )([Z, W ]),
pues d = ∂ + ∂ en A0 (M ).
Como las (1, 0)-formas de tipo ∂f generan A1,0 (M ), esto implica que [u, v] es de tipo
(0, 1).
5. Métricas hermitianas y Kähler
Las variedades Kähler forman una clase importante de variedades complejas. Muchas
de las variedades conocidas y de interés, como por ejemplo el espacio proyectivo complejo,
son Kähler. Las variedades Kähler se consideran como un caso especial de variedades riemannianas, las cuales, adeḿas de la estructura riemanniana, poseen una estructura compleja que satisface ciertas condiciones de compatibilidad. Las estructuras Kähler fueron
20
introducidas por Erich Kähler en 1933. Las variedades Kähler tienen importantes aplicaciones en varias áreas, como geometrı́a diferencial, análisis complejo, geometrı́a algebraica,
geometrı́a simpléctica y fı́sica.
Definición 5.1. Una métrica hermitiana sobre una variedad casi compleja (M, J) es
una métrica riemanniana g tal que g(X, Y ) = g(JX, JY ), para todo X, Y ∈ X(M ). En
este caso diremos que (M, J, g) es una variedad casi hermitiana. Una variedad compleja
(M, J) con una métrica hermitiana g se dice variedad hermitiana.
Observación. Toda variedad casi compleja admite una métrica hermitiana. Simplemente elegimos una métrica riemanniana h arbitraria y definimos g(X, Y ) = h(X, Y ) +
h(JX, JY ).
Por la Proposición 1.12, toda métrica hermitiana g puede ser extendida C-linealmente
a T M C . Denotaremos por h a esta extensión, y ası́ satisface:
(i) h(Z, W ) = h(Z, W ), para todo vector complejo Z y W ,
(ii) h(Z, Z) > 0, para todo Z vector complejo no nulo,
(iii) h(Z, W ) = 0, para todo par de vector Z, W ambos de tipo (1, 0) o ambos de tipo
(0, 1).
Recı́procamente, todo tensor simétrico en T M C con estas propiedades define una métrica
hermitiana en T M .
Definición 5.2. Dada una variedad casi hermitiana (M, J, g) se define la 2-forma
fundamental o forma de Kähler por ω(X, Y ) = g(JX, Y ), para todo X, Y ∈ X(M ).
Si consideramos la extensión de ω a una forma bilineal antisimétrica de T M C , entonces
ω es un elemento de A2 (M ) ∩ A1,1 (M ), y la métrica hermitiana g está unı́vocamente
determinada por la estructura casi compleja J y por la forma fundamental ω.
Observación. Sea (M, J, g) una variedad casi hermitiana, y sea h la extensión Clineal de g, entonces podemos recuperar la métrica g y la forma fundamental ω a partir
de h:
h(X − iJX, Y + iJY ) = g(X, Y ) + g(JX, JY ) − i(g(JX, Y ) − g(X, JY )) = 2(g − iω)(X, Y ),
es decir, g =
1
2
Re(h) y ω =
i
2
Im(h).
A continuación veremos una expresión de la forma fundamental en coordenadas. Sea
{z1 , . . . , zn } un sistema de coordenadas complejas en una variedad hermitiana (M 2n , J, g).
Si denotamos por grs los coeficientes de la métrica g en este sistema de coordenadas,
entonces:
∂
∂
grs = g
,
,
∂zr ∂z s
y grs = grs = 0 por el item (iii) más arriba. Ası́ obtenemos el siguiente resultado.
Lema 5.3. Si (M 2n , g, J) es una variedad hermitiana, entonces la forma fundamental
está dada por:
n
X
ω=i
grs dzr ∧ dz s .
r,s=1
21
Demostración. Dados Z, W campos complejos, podemos escribir
n
n
X
X
∂
∂
∂
∂
Z=
dzr (Z)
+ dz r (Z)
, W =
dzr (W )
+ dz r (W )
.
∂zr
∂z r
∂zr
∂z r
r=1
r=1
Luego,
ω(Z, W ) = g(JZ, W )
n
X
=g
r=1
=i
n
X
n
∂
∂ X
∂
∂
dzr (Z)i
− dz r (Z)i
,
dzs (W )
+ dz s (W )
∂zr
∂z r
∂zs
∂z s
!
s=1
grs dzr (Z)dz s (W ) − i
n
X
gsr dzs (W )dz r (Z),
r=1
r=1
e intercambiando r por s en la segunda suma obtenemos:
n
n
X
X
ω(Z, W ) = i
grs (dzr (Z)dz s (W ) − dzr (W )dz s (Z)) = i
grs dzr ∧ dz s (Z, W ).
r=1
r=1
Definición 5.4. Una métrica Kähler sobre una variedad compleja (M, J) es una
métrica g hermitiana con la 2-forma fundamental ω cerrada, es decir, dω = 0. En este
caso diremos que M es una variedad Kähler.
A continuación probaremos algunos resultados que nos servirán para dar una definición
equivalente a la de una variedad Kähler. Dada una estructura casi compleja J en una
variedad diferenciable M equipada con una conexión afı́n ∇ se define la derivada covariante
del tensor J por:
(∇X J)Y = ∇X JY − J∇X Y
para todo X, Y ∈ X(M ).
Lema 5.5. Sea M una variedad con una estructura casi compleja J, y sea ∇ una
conexión sin torsión tal que J es paralela, es decir ∇J = 0. Entonces J es integrable.
Demostración. Como ∇ es sin torsión y J es paralela, dados X, Y ∈ X(M ) tenemos:
(7)
[X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X,
(8)
∇X (JY ) = J(∇X Y ).
Luego
NJ (X, Y ) = [JX, JY ] − [X, Y ] − J([JX, Y ] + [X, JY ])
= ∇JX JY − ∇JY JX − ∇X Y + ∇Y X
− J(∇JX Y − ∇Y JX) − J(∇X JY − ∇JY X)
2
2
= −∇X Y + ∇Y X + J (∇Y X) − J (∇X Y )
=0
por (7)
por (8)
Lema 5.6. Sea M una variedad con una estructura casi compleja J, y sea ∇ una
conexión en M . Entonces,
(∇X J)JY = −J(∇X J)Y,
para todo X, Y campos en M .
22
Demostración. Sean X, Y ∈ X(M ) tenemos:
(∇X J)JY = −∇X Y − J(∇X JY )
= J(J(∇X Y − ∇X JY ))
= −J(∇X J)Y.
Lema 5.7. Sea (M, J, g) una variedad casi hermitiana y sea ∇ una conexión en M
compatible con la métrica, es decir, ∇g = 0. Entonces ∇X J es antisimétrica para todo
X ∈ X(M ).
Demostración. Sean X, Y, Z ∈ X(M ) calculamos:
g((∇X J)Y, Z) = g(∇X JY − J(∇X Y ), Z)
= g(∇X JY, Z) + g(∇X Y, JZ)
= Xg(JY, Z) − g(JY, ∇X Z) + Xg(Y, JZ) − g(Y, ∇X JZ)
= g(Y, J(∇X Z)) − g(Y, ∇X JZ)
= −g(Y, (∇X J)Z).
El siguiente resultado nos da una definión equivalente para una variedad Kähler. Denotaremos por ∇ la conexión de Levi-Civita.
Teorema 5.8. Sea (M, J, g) una variedad casi hermitiana. Entonces ∇J = 0 si y sólo
si NJ = 0 y dω = 0.
Demostración. Sean X, Y, Z ∈ X(M ). Luego
(9)
dω(X, Y, Z) =Xω(Y, Z) + Y ω(Z, X) + Zω(X, Y )
− ω([X, Y ], Z) − ω([Y, Z], X) − ω([Z, X], Y ).
Como ∇ es la conexión de Levi-Civita tenemos:
Xω(Y, Z) = Xg(JY, Z) = g(∇X JY, Z) + g(JY, ∇X Z),
ω([X, Y ], Z) = ω(∇X Y, Z) − ω(∇Y X, Z) = g(J∇X Y, Z) − g(J∇Y X, Z).
Luego la ecuación (9) queda:
(10)
dω(X, Y, Z) = g((∇X J)Y, Z) + g((∇Y J)Z, X) + g((∇Z J)X, Y ).
Reemplazando X por JX y luego Y por JY resulta:
dω(JX, Y, Z) = g((∇JX J)Y, Z) + g((∇Y J)Z, JX) + g((∇Z J)JX, Y )
dω(X, JY, Z) = g((∇X J)JY, Z) + g((∇JY J)Z, X) + g((∇Z J)X, JY )
Como
= − Id y g(JX, Y ) + g(X, JY ) = 0, sumando las dos ecuaciones anteriores y
usando los Lemas 5.6 y 5.7, resulta:
J2
dω(JX, Y, Z) + dω(X, JY, Z) = 2g((∇Z J)X, JY ) + g((∇X J)JY, Z)
− g((∇Y J)JX, Z) + g((∇JX J)Y, Z) − g((∇JY J)X, Z)
Usando que la conexión es sin torsión resulta:
dω(JX, Y, Z) + dω(X, JY, Z) = 2g((∇Z J)X, JY ) + g(NJ (X, Y ), Z).
23
Por lo tanto si NJ = 0 y dω = 0, entonces g((∇Z J)X, JY ) = 0 para todo X, Y, Z. Como
J es biyectiva y g es no degenerada, entonces ∇J = 0. Recı́procamente si ∇J = 0 por el
Lema 5.5 sabemos que J es integrable. Además de (10) se sigue que dω = 0.
Corolario 5.9. Sea (M, J, g) una variedad hermitiana, entonces M es Kähler si y
sólo si J es paralela con respecto a la conexión de Levi-Civita.
Ejemplo 5.10. (Cn , jn ) con la métrica canónica es una variedad Kähler, pues,
∂
∂
1
∂
∂
∂
∂
1
grs = g
,
= g
−i
,
+i
= δrs .
∂zr ∂z s
4
∂xr
∂yr
∂xs
∂ys
2
Luego por el Lema 5.3, la forma de Kähler resulta:
n
1 X
δrs dzr ∧ dz s ,
ω=i
2
r,s=1
y entonces dω = 0. Por lo tanto
(Cn , jn , g)
es Kähler.
Ejemplo 5.11. Toda variedad diferenciable M de dimensión dos, orientable, admite
una estructura Kähler. En efecto, sea g una métrica hermitiana en M . Por el Ejemplo 2.3
sabemos que la variedad admite una estructura casi compleja, mas aún por la construcción
de J resulta que (J, g) es una estructura hermitiana. Luego por el Ejemplo 4.3, esta
estructura resulta integrable. Por último como la dimensión de M es 2 toda 3-forma es
nula, en particular dω = 0.
Ejemplo 5.12. El espacio proyectivo complejo CP n con la métrica de Fubini-Study,
es una variedad Kähler. Como vimos en el Ejemplo 3.8, y siguiendo su notación tenemos
que CP n es una variedad compleja. Sea (Uj , φj ) un sistema coordenado complejo en CP n ,
luego definimos en Uj una 2-forma compleja de tipo (1, 1) por
!
n
X
zl 2
i
| | .
ωj = ∂∂ log
π
zj
l=1
Si Uj ∩ Uk 6= ∅, veremos que ωj = ωk en Uj ∩ Uk . Para ello notemos que
!
!
!
n
n
n
X
X
zl 2
z k 2 X zl 2
zk 2
zl 2
log
| |
= log | |
| |
= log | | + log
| | .
zj
zj
zk
zj
zk
l=1
l=1
l=1
Es suficiente ver que ∂∂ log | zzkj |2 = 0 en Uj ∩ Uk , lo cual se sigue del siguiente resultado,
1
dz
∂∂ log |z|2 = ∂∂ log zz = ∂
∂zz = ∂
= 0.
zz
z
Por lo tanto tenemos definida, globalmente, una forma de
Ptipo (1, 1)ωF S , tal que ωF S |Ui =
n
zl 2
ωi . Además ωF S es cerrada, pues dωj = (∂ + ∂)∂∂ log
= 0. Luego definimos
l=1 | zj |
n
una métrica gF S en CP por,
gF S (X, Y ) = ωF S (X, JY ),
24
para todo X, Y ∈ X(CP n ), donde J es la estructura compleja canónica de CP n . Se puede
probar que gF S es definida positiva. Ası́ (CP n , J, g) resulta Kähler y gF S se llama la
métrica de Fubini-Study.
Ejemplo 5.13. Subvariedades complejas de variedades Kähler son Kähler. En efecto,
si (M, J, g) es una variedad Kähler y N ⊂ M es una subvariedad compleja de M , entonces
J(Tp N ) = Tp N para todo p ∈ N . Luego, la restricción de (J, g) a N es una estructura
Kähler en N .
6. Variedades localmente conforme Kähler
Existen varias maneras de debilitar la condición de Kähler y ası́ obtener una clase más
grande de variedades hermitianas con propiedades interesantes. En este trabajo estudiaremos las variedades localmente conforme Kähler (l.c.K.).
Las variedades l.c.K. fueron introducidas originalmente por P. Libermann en 1954
[17, 18], pero la geometrı́a de estas variedades fue desarrollada a partir de los años 70,
con el trabajo de I. Vaisman (ver por ejemplo los artı́culos [24, 25], entre muchos otros).
Sea (M 2n , J, g) una variedad hermitiana, g es una métrica localmente conforme Kähler,
si g es conforme a una métrica Kähleriana, localmente. En esta sección veremos algunos
ejemplos de variedades l.c.K., la noción de globalmente conforme Kähler, y principalmente
el Teorema 6.4 que caracteriza las variedades l.c.K. en términos de la forma fundamental.
Formalmente tenemos:
Definición 6.1. Sea (M 2n , J, g) una variedad hermitiana, donde J denota su estructura compleja y g su métrica hermitiana. (M 2n , J, g) es una variedad localmente conforme
Kähler (l.c.K.) si existe un cubrimiento por abiertos {Ui }i∈I de M y una familia {fi }i∈I
de funciones C∞ , fi : Ui → R, tal que cada métrica local
(11)
gi = exp(−fi ) g|Ui
es Kähler. También (M 2n , J, g) es globalmente conforme Kähler (g.c.K.) si existe una
función C ∞ , f : M 2n → R, tal que la métrica exp(f )g es Kähleriana.
Sean ωi las formas fundamentales asociadas a cada (J, gi ), es decir ωi (X, Y ) = gi (JX, Y )
para todo X, Y ∈ X(Ui ). Luego de la ecuación (11) resulta
(12)
ωi = exp(−fi ) ω|Ui .
Enunciamos a continuación algunos lemas que serán usados más tarde.
Lema 6.2 (Lema de Poincaré). Si ω es una k-forma diferenciable en U , la bola unidad
de Rn y dω = 0, entonces ω = dβ para alguna β ∈ E k−1 (U ), es decir, ω es exacta en U .
Demostración. Ver [26].
Lema 6.3. Sea ω una 2-forma no degenerada en un espacio vectorial V de dimensión
2n. Entonces
(i) Si α es una 1-forma en V con α ∧ ω = 0, entonces α = 0.
(ii) Si n ≥ 3 y β es una 2-forma en V con β ∧ ω = 0, entonces β = 0.
6. VARIEDADES LOCALMENTE CONFORME KÄHLER
25
Demostración. Existe {e1 , . . . , e2n } una base de V ∗ , tal que ω = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 +
· · · + e2n−1 ∧ e2n , pues ω es no degenerada. Denotaremos por ei,j,k = ei ∧ ej ∧ ek .
(i) Sea α = c1 e1 + c2 e2 + · · · + c2n e2n , entonces
0 = α ∧ ω =c1 (e1,3,4 + e1,5,6 + · · · + e1,2n−1,2n )
+ c2 (e2,3,4 + e2,5,6 + · · · + e2,2n−1,2n )
+ c3 (e1,2,3 + e3,5,6 + · · · + e3,2n−1,2n )
..
.
+ cn (e1,2,2n + e3,4,2n + · · · + e2n−3,2n−2,2n )
Se sigue que ci = 0 para todo i = 1, . . . , 2n, y por lo tanto α = 0.
(ii) Sea
β=
X
aij ei,j
i<j
Entonces
0 = β ∧ ω = e1,2 ∧
X
aij ei,j + · · · + e2n−1,2n ∧
i<j
X
aij ei,j ,
i<j
y se sigue que
P aij = 0 salvo cuando (i, j) = (2r − 1, 2r) para r = 1, . . . , n. Reemplazando
resulta β = nr=1 a2r−1,2r e2r−1,2r , y por lo tanto:
n
X
0 = β∧ω =
2r−1,2r
a2r−1,2r e
∧e
2k−1,2k
=
n−1
X
n
X
(a2r−1,2r +a2k−1,2k )e2r−1,2r ∧e2k−1,2k .
r=1 k=r+1
r,k=1
Se sigue que
a2r−1,2r + a2k−1,2k = 0,
n
para k > r, r = 1, . . . , n − 1. Ası́ tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones y n
2
incógnitas.


a1,2 + a3,4 = 0





a
1,2 + a5,6 = 0



..



.

a1,2 + a2n−1,2n = 0


 a3,4 + a5,6 = 0




..


.



 a
+a
= 0.
2n−3,2n−2
2n−1,2n
Como n ≥ 3, el sistema tiene rango n, y por lo tanto solución única. Ası́ a2r−1,2r = 0 para
todo r = 1, . . . , n y entonces β = 0.
Veremos a continuación un resultado importante que nos permitirá caraterizar las
variedades l.c.K. en términos de su forma fundamental.
Teorema 6.4. La variedad hermitiana (M 2n , J, g) es l.c.K. si y sólo si existe una
1-forma cerrada θ definida globalmente en M tal que
(13)
dω = θ ∧ ω
26
Demostración. Sea (M, J, g) l.c.K., entonces existen {Ui }i∈I y {fi }i∈I tales que
gi = exp(−fi )g|Ui
es Kähler. Calculando la derivada exterior tenemos:
dωi = d(exp(−fi )) ∧ ω + exp(−fi )dω
= − exp(−fi )dfi ∧ ω + exp(−fi )dω
Como cada gi es Kähler por hipótesis, entonces dωi = 0, por lo tanto tenemos
dω = dfi ∧ ω
en Ui . Sea i 6= j tal que Uij = Ui ∩ Uj 6= ∅ entonces
(dfi − dfj ) ∧ ω = 0
en Uij , como ω es no degenerada, por el Lema 6.3 tenemos, dfi = dfj en Uij , luego dfi
tiene una extensión global a una 1-forma cerrada θ, tal que θ|Ui = dfi , y que satisface
dω = θ ∧ ω.
Recı́procamente, sea θ una 1-forma cerrada θ que satisface (13). Por el Lema de
Poincaré 6.2 existe {Ui }i∈I cubrimiento abierto de M , y una familia {fi }i∈I de funciones
suaves fi : Ui → R tal que θ = dfi en Ui . Por (13) tenemos dω = dfi ∧ω en Ui , multiplicando
ambos miembros por exp(−fi ) queda
d(exp(−fi )ω) = d(exp(−fi )) ∧ ω + exp(−fi ) ∧ dω
= − exp(−fi )dfi ∧ ω + exp(−fi )dfi ∧ ω
=0
Luego exp(−fi )ω|Ui es cerrada y por lo tanto exp(−fi )g|Ui es Kähler.
Observación. Si (M, J, g) es una variedad hermitiana con dim M ≥ 6 que satisface
(13) para alguna 1-forma θ, entonces θ es automáticamente cerrada.
En efecto, calculando la derivada exterior en (13) resulta 0 = dθ ∧ ω. Luego como ω
es no degenerada por el item (ii) del Lema 6.3 tenemos que dθ = 0.
La 1-forma θ del teorema anterior se llama forma de Lee y fue introducida por H.C.
Lee en [16].
Nota. Una variedad hermitiana (M, J, g) es globalmente conforme Kähler si y sólo si
la forma de Lee es exacta, la demostración es igual a la del Teorema 6.4, pero para una
función f definida globalmente, en lugar de las funciones fi definidas localmente. Entonces
toda variedad l.c.K y simplemente conexa es g.c.K., en particular el cubrimiento universal
de una variedad l.c.K. es g.c.K.
Sea (M 2n , J, g) una variedad hermitiana con n > 1. Veremos que en una variedad
l.c.K. la forma de Lee está unı́vocamente determinada por la siguiente fórmula:
1
θ=−
(δω) ◦ J
n−1
con ω la 2-forma fundamental y δ la codiferencial. En general se usa esta fórmula para
definir la forma de Lee de una variedad casi hermitiana.
Recordamos los siguientes operadores sobre una variedad hermitiana M de dimensión
real 2n:
27
(i) El operador estrella de Hodge
∗ : E k (M ) → E 2n−k (M )
inducido por la métrica g y una orientación natural de la variedad M .
(ii) El operador adjunto de la derivada exterior d, también llamado codiferencial.
δ : E k+1 (M ) → E k (M ),
δ =−∗d∗.
(iii) El operador de Lefschetz
L : E k (M ) → E k+2 (M ),
α 7−→ α ∧ ω.
(iv) El operador adjunto de Lefschetz
Λ = ∗−1 ◦ L ◦ ∗ : E k (M ) → E k−2 (M ).
Proposición 6.5. Sea (M 2n , J, g) una variedad hermitiana, ω su 2-forma fundamental
y α una 1-forma, entonces
ΛL(α) = (n − 1)α.
Demostración. Sea {e1 , . . . , e2n } un marco ortonormal local con Je2i−1 = e2i y una
orientación fija dada por {e1 , . . . , e2n }. Entonces podemos escribir
n
X
ω=
e2j−1 ∧ e2j ,
α=
j=1
2n
X
fi ei .
i=1
Ahora calculamos:
L(α) = α ∧ ω
=
2n
X

!
fi ei
∧
i=1
=
=
n
X

e2j−1 ∧ e2j 
j=1
2n
X
fi ei ∧ e2j−1 ∧ e2j
i6=2j−1,2j
n X
n
X
n X
n
X
k=1 j=1
j6=k
k=1 j=1
j6=k
f2k e2k ∧ e2j−1 ∧ e2j +
e1 ∧···∧e2n
ej
Usaremos la siguiente notación para simplificar,
· · · ∧ e2n .
∗(α ∧ ω) = −
n X
n
X
n
f2k
n X
n
X
= e1 ∧ · · · ∧ ej−1 ∧ ej+1 ∧
n
e1 ∧ · · · ∧ e2n
e1 ∧ · · · ∧ e2n X X
+
f
2k−1 2k−1,2j−1,2j .
e2k,2j−1,2j
e
k=1 j=1
j6=k
k=1 j=1
j6=k
L ◦ ∗(α ∧ ω) = −
f2k−1 e2k−1 ∧ e2j−1 ∧ e2j .
n
f2k
k=1 j=1
j6=k
= (n − 1) −
n
e1 ∧ · · · ∧ e2n X X
e1 ∧ · · · ∧ e2n
+
f
2k−1
e2k
e2k−1
k=1 j=1
j6=k
n
X
k=1
n
e1 ∧ · · · ∧ e2n X
e1 ∧ · · · ∧ e2n
f2k
+
f
2k−1
e2k
e2k−1
k=1
!
.
28
ΛL(α) = ∗−1 ◦ L ◦ ∗(α ∧ ω)
= − ∗ ◦L ◦ ∗(α ∧ ω)
n
X
= (n − 1)
= (n − 1)
f2k e2k +
k=1
2n
X
n
X
!
f2k−1 e2k−1
k=1
fi ei
i=1
= (n − 1)α.
Nota. La Proposición 6.5 es un caso particular de
[Λ, L]α = (n − p)α
si α es una p-forma. Para una demostración de este resultado ver [10].
Proposición 6.6. Sea (M 2n , J, g) una variedad hermitiana y ω su 2-forma fundamental, entonces
Λdω = −δω ◦ J.
Demostración. Sea {e1 , . . . , e2n } una base ortonormal
de T M con Je2i−1 = e2i ,
Pnlocal2j−1
1
2n
∧ e2j . Consideremos
y sea {e , . . . , e } su base dual. Entonces ω resulta ω = j=1 e
1
2n
una orientación dada por {e , . . . , e }, y usando las propiedades de d tenemos:
dω = de1 ∧ e2 − e1 ∧ de2 + de3 ∧ e4 − e3 ∧ de4 + · · · + de2n−1 ∧ e2n − e2n−1 ∧ de2n
X
(14) =
gi,j,k ei ∧ ej ∧ ek .
i<j<k
i tales que,
Sean fj,k
dei =
X
i
fj,k
ej ∧ ek .
j<k
Calculamos Λdω = − ∗ L ∗ dω. En primer lugar,
X
L ∗ dω =
gi,j,k ω ∧ ∗(ei ∧ ej ∧ ek ).
Notemos que ω∧∗(ei ∧ej ∧ek ) = 0, salvo cuando ei ∧ej ∧ek = e2l−1 ∧e2l ∧ek o ek ∧e2l−1 ∧e2l .
Entonces
ω ∧ ∗(e2l−1 ∧ e2l ∧ ek ) = ω ∧ (−1)k+1
1
2n
e1 ∧ · · · ∧ e2n
k+1 e ∧ · · · ∧ e
=
(−1)
= ∗(ek ),
e2l−1 ∧ e2l ∧ ek
ek
y análogamente ω ∧ ∗(ek ∧ e2l−1 ∧ e2l ) = ∗(ek ). Luego
X
X
L ∗ dω =
g2l−1,2l,k ∗ (ek ) +
gk,2l−1,2l ∗ (ek ).
2l<k
k<2l−1
29
Por lo tanto,
X
X
Λdω =
g2l−1,2l,k ek +
gk,2l−1,2l ek
2l<k
=
k<2l−1
X
X
2t
g2l−1,2l,2t e +
2l<2t
g2l−1,2l,2t−1 e2t−1
2l<2t−1
X
+
2t<2l−1
=
n
X
X
t=1
2l<2t
X
g2t,2l−1,2l e2t +
g,2t−1,2l−1,2l e2t−1
2t−1<2l−1
!
+
2t
g2l−1,2l,2t e +
X
2t
g2t,2l−1,2l e
e2t
2t<2l−1
n
X
X
t=1
2l<2t−1
!
2t−1
g2l−1,2l,2t−1 e
X
+
2t−1
g,2t−1,2l−1,2l e
e2t−1 .
2t−1<2l−1
i . Analizando los términos
Ahora nos interesa escribir g2l−1,2l,2t en función de los fj,k
en (14), obtenemos:
2l−1
2t−1
2l
g2l−1,2l,2t = −f2l−1,2t
− f2l,2t
+ f2l−1,2l
2t−1
2l−1
2l
g2t,2l−1,2l = f2l−1,2l
+ f2t,2l−1
+ f2t,2l
2l−1
2t
2l
− f2l−1,2l
− f2l,2t−1
g2l−1,2l,2t−1 = −f2l−1,2t−1
2l−1
2l
2t
+ f2t−1,2l
+ f2t−1,2l−1
g2t−1,2l−1,2l = −f2l−1,2l
i = −f i , para j < k. Luego resulta,
Definimos fj,k
k,j
(15)
n X
n
n X
n
X
X
2l−1
2t−1
2l−1
2t
2l
2l
)e2t−1 .
−f2l−1,2l
−f2l,2t−1
(−f2l−1,2t−1
)e2t +
+f2l−1,2l
−f2l,2t
(−f2l−1,2t
Λdω =
t=1 l=1
l6=t
t=1 l=1
l6=t
Por otro lado calculamos δω ◦ J. Sea
βk =
e1 ∧ · · · ∧ e2n
e2k−1 ∧ e2k
P
de modo que ∗ω = nk=1 βk . Se ve que
X
X
j
dβk =
f2k−1,2k
∗ (ej ) −
j6=2k−1,2k
j
f2k−1,j
∗ (e2k ) +
X
j
∗ (e2k−1 ).
f2k,j
j6=2k−1,2k
j6=2k−1,2k
Luego calculamos:
δω = − ∗ d ∗ ω = −
X
∗(dβk )
k
(16)
=
n
X
l=1




n
X
X
X
j
j  2l−1
2l−1
2l

 e2l +

f2j−1,2j
− f2l−1,j
f2j−1,2j
+ f2l,j
e
.
j6=l
l=1
j6=l
Como e2i−1 ◦J = −e2i y e2i ◦J = e2i−1 , entonces de (15) y (16) tenemos que Λdω = −δω◦J
como querı́amos.
30
Nota. Algunos autores definen la forma fundamental por ω(X, Y ) = g(X, JY ). En
este caso la Proposición 6.6 queda:
Λdω = δω ◦ J.
Teorema 6.7. Sea θ una 1-forma definida globalmente que satisface (13), entonces θ
está unı́vocamente determinada por la fórmula
−1
(17)
θ=
(δω) ◦ J.
n−1
Demostración. Sea θ tal que dω = θ ∧ ω = L(θ). Aplicando Λ a ambos miembros y
usando las Proposiciones 6.5 y 6.6 resulta (17).
Como ya vimos en el Corolario 5.9 una variedad (M 2n , J, g) es Kähler si y sólo si J es
paralela con respecto a la conexión de Levi-Civita. A continuación veremos un resultado
análogo para variedades l.c.K., donde (M 2n , J, g) es l.c.K. si y sólo si J es paralela con
respecto a la conexión de Weyl. Para ello comenzaremos probando un resultado previo.
Sea (M 2n , J, g) una variedad l.c.K. Denotaremos por V al campo dual de la forma de Lee,
esto es, g(X, V ) = θ(X), para todo X ∈ X(M ). Sea ∇ la conexión de Levi-Civita, luego
tenemos:
Proposición 6.8. Sea (M 2n , J, g) una variedad l.c.K., entonces existe una conexión
D sin torsión y definida globalmente en M 2n dada por:
1
(18)
DX Y = ∇X Y − (θ(X)Y + θ(Y )X − g(X, Y )V ),
2
para todo X, Y ∈ T M . Además D satisface
Dg = θ ⊗ g.
Demostración. Dada una variedad diferenciable arbitraria N , sean g y g = µg dos
métricas riemannianas conformes. Entonces sus conexiones de Levi-Civita ∇ y ∇ están
relacionadas por:
1
∇X Y = ∇X Y +
(X(µ)Y + Y (µ)X − g(X, Y ) grad µ)
2µ
para todo X, Y ∈ X(N ).
Sean (M 2n , J, g) una variedad l.c.K. y ∇i las conexiones de Levi-Civita de las métricas
de Kähler locales {gi }. Aplicamos el razonamiento anterior a N = Ui y µ = exp(−fi ), ası́
resulta:
1
∇iX Y = ∇X Y − (θ(X)Y + θ(Y )X − g(X, Y )V )
2
para todo X, Y ∈ X(Ui ). Entonces las conexiones locales ∇i definen una conexión global
D dada por (18).
Para la última parte, usando que ∇g = 0 y la fórmula de Koszul, calculamos
Dg(X, Y, Z) = Xg(Y, Z) − g(DX Y, Z) − g(Y, DX Z)
1
= {g(θ(X)Y + θ(Y )X − g(X, Y )V, Z) + g(Y, θ(X)Z + θ(Z)X − g(X, Z)V )}
2
= θ(X)g(Y, Z)
= (θ ⊗ g)(X, Y, Z).
31
La conexión D definida en (18) es la conexión de Weyl de la variedad l.c.K. (M 2n , J, g).
Teorema 6.9. La variedad hermitiana (M 2n , J, g) es l.c.K. si y sólo si existe una
1-forma cerrada θ en M 2n tal que J es paralela con respecto a la conexión de Weyl D
dada por (18).
Demostración. Sea ∇ la conexión de Levi-Civita de (M 2n , J, g) y ω la forma fundamental, tenemos que:
1
g((∇X J)Y, Z) = {(dω)(X, Y, Z) − (dω)(X, JY, JZ)}
2
para todo X, Y, Z ∈ X(M ) (Ver Apéndice Proposición 2.1). Luego D satisface:
1
g((DX J)Y, Z) = {(dω)(X, Y, Z) − (dω)(X, JY, JZ)
2
− g(X, Z)θ(JY ) − g(X, JZ)θ(Y ) + g(X, JY )θ(Z) + g(X, Y )θ(JZ)}.
Si (M 2n , J, g) es l.c.K. de (13) se sigue que, g((DX J)Y, Z) = 0 para todo X, Y, Z ∈ X(M ).
Por lo tanto DJ ≡ 0.
Recı́procamente, DJ = 0 y Dg = θ ⊗ g determinan que Dω = θ ⊗ ω. Además para
una conexión sin torsión tenemos la siguiente identidad:
X
(dω)(X, Y, Z) =
(DX ω)(Y, Z),
XY Z
donde
P
representa la suma cı́clica (Ver Apéndice Proposición 2.2). Calculamos
X
X
(dω)(X, Y, Z) =
(DX ω)(Y, Z) =
(θ ⊗ ω)(X, Y, Z) = θ ∧ ω(X, Y, Z),
XY Z
XY Z
XY Z
ası́ resulta dω = θ ∧ ω.
(M 2n , J, g)
Corolario 6.10. La variedad hermitiana
es l.c.K. si y sólo si existe una
1-forma cerrada θ tal que
1
(∇X J)Y = (θ(JY )X − θ(Y )JX + g(X, Y )JV + ω(X, Y )V ),
2
para todo X, Y ∈ X(M ).
Ejemplo 6.11. Las variedades de Hopf son un ejemplo de variedades localmente conforme Kähler que no son g.c.K. Sea λ ∈ C, |λ| =
6 1, y sea 4λ el grupo cı́clico generado por
las transformaciones z 7→ λz de Cn − {0}. El espacio cociente CHλn = (Cn − {0})/4λ tiene
estructura de variedad compleja y se llama variedad compleja de Hopf. Se puede ver que
CHλn es difeomorfa a S 1 × S 2n−1 . En particular CHλn es compacta y su primer número
de Betti es b1 (CHλn ) = 1. Además se sabe que todos los números de Betti impares de
una variedad compacta que admite una métrica Kähler son pares. Por lo tanto CHλn no
admite una métrica globalmente Kähler. Consideramos la métrica hermitiana en Cn − {0}
X dzj ⊗ dz j
h=
,
|z|2
y J canónica. Esta métrica es invariante por 4λ , entonces induce una métrica hermitiana
en CHλn que se llama la métrica de Boothby. De acuerdo a la Observación posterior a la
definición 5.2, esta métrica induce una métrica hermitiana g en Cn − {0} determinada por
(salvo una constante):
X dx2j + dyj2
g = Re(h) =
.
x2j + yj2
32
Ası́
∂
∂
ω(x,y)
,
∂xj ∂yj
Luego ω queda determinada por
= g(x,y)
∂
∂
,
∂yj ∂yj
P
dxj ∧ dyj
j
ω= P
2
j (xj
Si llamamos f =
1
P
2
2
j (xj +yj )
+ yj2 )
=P
1
2
j (xj
+ yj2 )
.
.
, entonces
X ∂f
X ∂f
dxj +
dyj
∂xj
∂yj
j
j




X
−2xj
−2yj
 X

=
 P
 P
2 dxj  +
2 dyj 
2
2
2
2
j
j
j (xj + yj )
j (xj + yj )
X
= − 2f 2
(xj dxj + yj dyj ).
df =
j
Ası́
dω =d(f
X
dxj ∧ dyj )
j
=df ∧
X
dxj ∧ dyj
j
= − 2f 2
=(−2f
X
(xj dxj + yj dyj ) ∧
X
j
j
X
(xj dxj + yj dyj )) ∧ ω.
dxj ∧ dyj
j
Luego
θ = −2f
X
(xj dxj + yj dyj )
j
es la forma de Lee de Cn − {0}. En efecto, veamos que θ es cerrada. Como 2(xj dxj +
yj dyj ) = zj dz j + z j dzj entonces θ resulta
X
θ = −f
(zj dz j + z j dzj ) = −d log(|z|2 ),
j
que claramente es cerrada y por lo tanto la forma de Lee de Cn − {0}. Se puede ver que
la forma de Lee inducida en CHλn es paralela respecto a la conexión de Levi-Civita. Esta
importante propiedad que cumplen algunas variedades l.c.K. dio lugar a una nueva clase
de variedades como veremos en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.12. Sea (M, J, g) una variedad l.c.K., se dice que g es una métrica Vaisman
si la forma de Lee θ es paralela con respecto a la conexión de Levi-Civita de (M, g). Una
variedad tipo Vaisman es una variedad l.c.K. que admite una métrica Vaisman. Se sabe
que las variedades Vaisman satisfacen ciertas condiciones que en general una variedad
l.c.K. no, por ejemplo, el primer número de Betti de una variedad Vaisman es impar.
CAPÍTULO 2
Estructuras invariantes a izquierda sobre grupos de Lie
1. Grupos de Lie con estructura hermitiana invariante a izquierda
Ahora aplicaremos todo lo estudiado para el caso en el que la variedad diferenciable
M tiene una estructura de grupo de Lie.
Como ya sabemos, un grupo de Lie G es una variedad diferenciable junto con una
estructura de grupo tal que la multiplicación y la inversión son diferenciables. Consideramos métricas riemannianas que relacionen la geometrı́a de G con su estructura de grupo.
Estas métricas tienen la propiedad de que las traslaciones a izquierda La : G → G son
isometrı́as, para todo a ∈ G, y son llamadas métricas invariantes a izquierda.
Definición 1.1. Una métrica riemanniana sobre un grupo de Lie G se dice invariante
a izquierda si hu, vix = h(dLa )x u, (dLa )x viLa (x) para todo a, x ∈ G y u, v ∈ Tx G. Similarmente, una métrica riemanniana es invariante a derecha si cada traslación a derecha
Ra : G → G es isometrı́a. Una métrica que es invariante a izquierda y a derecha se dice
bi-invariante.
Como las traslaciones a izquierda son isometrı́as, una métrica invariante a izquierda
sobre G queda determinada por su valor en la identidad del grupo, y por lo tanto podemos
identificarla con un producto interno sobre el álgebra de Lie g de G.
Una estructura J (casi) compleja invariante a izquierda sobre un grupo de Lie G, es
una estructura (casi) compleja sobre la variedad subyacente que satisface J ◦dLa = dLa ◦J,
para todo a ∈ G. Es decir, las traslaciones a izquierda son casi complejas u holomorfas.
Si J es una estructura (casi) compleja invariante a izquierda y g es una métrica hermitiana invariante a izquierda sobre un grupo de Lie G, entonces decimos que (J, g) es una
estructura hermitiana invariante a izquierda sobre el grupo de Lie G.
Definición 1.2. Una estructura casi compleja J sobre un álgebra de Lie g, es un
endomorfismo J : g → g tal que J 2 = − Id.
Asociado a J definimos su “tensor” de Nijenhuis por:
NJ (X, Y ) = [JX, JY ] − [X, Y ] − J([JX, Y ] + [X, JY ]), X, Y ∈ g,
y decimos que J es integrable o una estructura compleja sobre g si NJ ≡ 0.
Sea J una estructura compleja sobre un álgebra de Lie g. Un producto interno h· , · i
sobre g tal que hJX, JY i = hX, Y i, para todo X, Y ∈ g será llamado un producto interno
hermitiano sobre g.
Ejemplo 1.3. Sea g un álgebra de Lie sobre C. Entonces g admite una estructura
J integrable. En efecto, consideramos a g como un espacio vectorial real y definimos
33
34
2. ESTRUCTURAS INVARIANTES A IZQUIERDA SOBRE GRUPOS DE LIE
una estructura casi compleja J por JX = iX. Claramente J es integrable y satisface
[JX, Y ] = J[X, Y ] para todo X, Y ∈ g, es decir, J ◦ adX = adX ◦J.
Recı́procamente si g es álgebra de Lie real con una estructura casi compleja J que
satisface J ◦ adX = adX ◦J, entonces J es integrable y podemos definir (a + ib)X =
aX + bJX con a, b ∈ R. Luego tenemos que g es un álgebra de Lie compleja, pues
[(a + ib)X, Y ] = [aX, Y ] + [bJX, Y ]
= a[X, Y ] + bJ[X, Y ]
= (a + ib)[X, Y ].
Sea G un grupo de Lie con una estructura (casi) compleja J invariante a izquierda.
Entonces J induce una estructura (casi) compleja J|g en g. Recı́procamente veremos
cómo una estructura (casi) compleja en el álgebra de Lie g induce una estructura (casi)
compleja en el grupo de Lie G. Considerando a los elementos de g como campos invariantes
a izquierda, si J es una estructura casi compleja en g podemos definir una estructura casi
compleja J G en G como sigue: sea Lg la multiplicación a izquierda en G, entonces definimos
JgG = (dLg )e J(dLg )−1
e ,
(19)
JgG : Tg G → Tg G es un endomorfismo y cumple JgG ◦ JgG = − Id, luego J G define una
estructura casi compleja en G.
Proposición 1.4. Si J en g es integrable, entonces J G en G es integrable.
Demostración. Como NJ G es un tensor y los campos invariantes a izquierda son
base de X(G), basta demostrar la integrabilidad de J G para X, Y campos invariantes a
izquierda. Notemos primero que si X es invariante a izquierda entonces J G X es invariante
a izquierda, pues:
(dLh )g (J G X)g = (dLh )g (dLg )e J(dLg )−1
e Xg
−1
= (dLhg )e J(dLg )−1
e (dLh )g (dLh )g Xg
= (dLhg )e J(dLhg )−1
e Xhg
= (J G X)hg
Ahora vemos que NJ G = 0.
(J G [X, Y ])g = JgG [X, Y ]g
= (dLg )e J(dLg )−1
e [X, Y ]g
= (dLg )e J(dLg−1 )g [X, Y ]g
= (dLg )e J[Xe , Ye ]
= (dLg )e (J[JXe , JYe ] + [JXe , Ye ] + [Xe , JYe ])
= (dLg )e (J[J G X, J G Y ]e + [J G X, Y ]e + [X, J G Y ]e )
= J[J G X, J G Y ]g + [J G X, Y ]g + [X, J G Y ]g .
Por lo tanto NJ G = 0.
Nota. Las traslaciones a derecha por lo general no son holomorfas. Esto sólo pasa
cuando el grupo de Lie G con esta estructura de variedad compleja es un grupo de Lie
complejo. Esto es, un grupo que también admite una estructura de variedad compleja tal
que la función G × G → G, (a, b) → ab−1 , es holomorfa.
1. GRUPOS DE LIE CON ESTRUCTURA HERMITIANA INVARIANTE A IZQUIERDA
35
Más aún, si G es un grupo de Lie conexo y J una estructura invariante a izquierda,
entonces (G, J) es un grupo de Lie complejo si y sólo si J ◦ adX = adX ◦J, para todo
X ∈ g.
En efecto, supongamos que G es un grupo de Lie complejo. Como I(a) : x → axa−1 es
holomorfa para todo a ∈ G entonces Ad(a) = d(I(a))e conmuta con J, es decir, Ad(a)◦J =
J ◦ Ad(a) para todo a ∈ G. En particular, dado X ∈ g tenemos Ad(exp(tX)) ◦ J =
J ◦ Ad(exp(tX)). Derivando respecto de t en t = 0 obtenemos adX ◦J = J ◦ adX para
todo X ∈ g. Recı́procamente sea G un grupo de Lie real con adX ◦J = J ◦ adX para todo
X ∈ g, es decir, [JX, Y ] = J[X, Y ]. Entonces NJ = 0, por lo tanto (G, J) es una variedad
compleja. De adX ◦J = J ◦ adX se sigue que Ad(a) ◦ J = J ◦ Ad(a), entonces J conmuta
con Ad(a) y además conmuta con dLa por ser invariante a izquierda. Por composición
de I(a−1 ) y La resulta que J conmuta con dRa para todo a ∈ G. Luego de la fórmula
de Leibniz se sigue que (x, y) → x.y es holomorfa. La función φ : x → x−1 es holomorfa
en e ∈ G, pues su diferencial es − Id que conmuta con J, y luego en todo a ∈ G pues
φ ◦ La = Ra−1 ◦ φ entonces (dφ)a = (dRa−1 )e ◦ (dφ)e ◦ (dLa−1 )a que conmuta con J. Ası́
G es un grupo de Lie complejo.
Sea g álgebra de Lie con estructura casi compleja J, consideramos su complexificación
gC = g ⊗R C = g ⊕ ig,
luego por (2) tenemos
gC = g1,0 ⊕ g0,1 ,
y de la Proposición 4.5 se obtiene:
Proposición 1.5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(ii) g1,0 es subálgebra de Lie de gC .
(iii) g0,1 es subálgebra de Lie de gC .
De la descomposición (3) se sigue que
(g∗ )C = g1,0 ⊕ g0,1 ,
Sea G un grupo de Lie y g su álgebra de Lie. Si consideramos a g∗ como el espacio
de las 1-formas
V2 ∗ invariantes a izquierda, entonces podemos definir el siguiente operador,
∗
d:g →
g , como la restricción de la derivada exterior de G. Por lo tanto queda:
(dη)(X, Y ) = −η([X, Y ]) para toda η ∈ g∗ , X, Y ∈ g,
Vk ∗
Vk+1 ∗
y luego se extiende d :
g →
g mediante: d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)k α ∧
(dβ), donde α es una k-forma y β es una 1-forma. Denotaremos gi,j = {η ∈ Ai,j (G) :
η es invariante a izquierda}. El siguiente resultado es inmediato a partir de la Proposición 4.6:
(ii) d(g1,0 ) ⊂ g2,0 ⊕ g1,1 .
(iii) d(g0,1 ) ⊂ g1,1 ⊕ g0,2 .
36
En general dada una estructura compleja J, la Proposición 1.6 nos dice que d(g1,0 ) ⊂
g2,0 ⊕g1,1 . Dos casos interesantes se dan cuando d(g1,0 ) ⊂ g2,0 , o bien cuando d(g1,0 ) ⊂ g1,1 .
A continuación veremos que el primer caso ocurre si y sólo si el grupo de Lie asociado a
g tiene estructura de grupo de Lie complejo.
(i) J da estructura de grupo de Lie complejo, es decir J ◦ adX = adX ◦J.
(ii) g1,0 y g0,1 son ideales de gC .
(iii) d(g1,0 ) ⊂ g2,0 .
Una J que cumple J ◦ adX = adX ◦J, para todo X ∈ g, se dice bi-invariante.
Demostración. (i) ⇒ (ii) Sean X − iJX ∈ g1,0 y A + iB ∈ gC , entonces
[X − iJX, A + iB] = [X, A] + [JX, B] + i([X, B] − [JX, A])
= [X, A] + J[X, B] − i(−[X, B] + J[X, A]) ∈ g1,0
Luego g1,0 es un ideal de g. Análogamente con g0,1 .
(ii) ⇒ (i)
[X − iJX, Y ] = [X, Y ] − i[JX, Y ] ∈ g1,0
entonces, J[X, Y ] = [JX, Y ].
(ii) ⇒ (iii) Sea α ∈ g1,0 entonces dα ∈ g1,1 ⊕ g0,2 pues (ii) implica J integrable. Luego
dα(X − iJX, Y + iJY ) = −α([X − iJX, Y + iJY ]) = 0
pues por (ii)[X − iJX, Y + iJY ] ∈ g1,0 ∩ g0,1 = ∅. Luego dα no tiene componente en g1,1 .
(iii) ⇒ (i) Sea X, Y ∈ g, y α ∈ g1,0 entonces, dα ∈ g2,0 y luego
0 = dα(X − iJX, Y + iJY ) = −α([X − iJX, Y + iJY ]),
para toda α ∈ g1,0 . Sea Z = [X − iJX, Y + iJY ] = [X, Y ] + [JX, JY ] + i([X, JY ] −
[JX, Y ]) = Z 1,0 + Z 0,1 con Z 1,0 = 21 (Z − iJZ), notemos que JZ 1,0 = iZ 1,0 . Sea α =
α1 − iJα1 , con α1 ∈ g∗ entonces
0 = α(Z) = α(Z 1,0 ) = α1 (Z 1,0 ) − iJα1 (Z 1,0 ) = α1 (Z 1,0 ) − iα1 (JZ 1,0 ) = 2α1 (Z 1,0 ).
Sea Z 1,0 = A − iJA para algún A ∈ g, entonces 0 = α1 (Z 1,0 ) = α1 (A) − iα1 (JA), y ası́
α1 (A) = 0 para toda α1 ∈ g∗ . Luego A = 0, entonces Z 1,0 = 0 y por lo tanto Z − iJZ = 0.
Luego −[JX, Y ] = J[JX, JY ], como X, Y son arbitrarios tenemos que [U, JV ] = J[U, V ],
para todo U, V ∈ g.
A continuación veremos el segundo caso interesante.
(i) J satisface [JX, JY ] = [X, Y ] para todo X, Y ∈ g.
(ii) g1,0 y g0,1 son subálgebras abelianas de gC .
(iii) d(g1,0 ) ⊂ g1,1 .
Una J que cumple cualquiera de estas condiciones se dice abeliana. Estas estructuras
abelianas fueron introducidas en [5].
Demostración. (i) ⇔ (ii) Sean X, Y ∈ g,
[X − iJX, Y − iJY ] = [X, Y ] − [JX, JY ] − i([JX, Y ] + [X, JY ])
entonces [X − iJX, Y − iJY ] = 0 si y sólo si [X, Y ] − [JX, JY ] = 0, similarmente para
g0,1 .
2. GRUPOS DE LIE CON MÉTRICAS L.C.K. INVARIANTES A IZQUIERDA
37
(ii) ⇒ (iii) Si α ∈ g1,0 entonces dα ∈ g1,1 ⊕ g2,0 pues J es integrable por (ii). Además
dα(X − iJX, Y − iJY ) = −α([X − iJX, Y − iJY ]) = 0, entonces dα no tiene componente
en g2,0 .
(iii) ⇔ (i) Notemos que (iii) implica que J es integrable. Sea X, Y ∈ g y α ∈ g1,0
entonces dα ∈ g1,1 , luego
0 = dα(X − iJX, Y − iJY ) = −α([X − iJX, Y − iJY ]),
para toda α ∈ g1,0 .
Sea Z = [X − iJX, Y − iJY ] = Z 1,0 + Z 0,1 , con Z 1,0 = A − iJA y sea α = α1 − iJα1 ,
con α1 ∈ g∗ , entonces
α(Z) = α1 (A) − iα1 (JA) − iJα1 (A) + iJα1 (iJA) = 2(α1 (A) − iα1 (JA)) = 0.
Ası́ α1 (A) = 0 para toda α1 ∈ g∗ , entonces A = 0 y luego Z 1,0 = 0. Por lo tanto
Z − iJZ = 0, lo que implica [X, Y ] = [JX, JY ].
Nota. Una estructura compleja J sobre un álgebra de Lie g no puede ser bi-invariante
y abeliana al mismo tiempo a menos que g sea abeliana.
2. Grupos de Lie con métricas l.c.k. invariantes a izquierda
Sea G un grupo de Lie con una estructura compleja J invariante a izquierda y una
métrica g invariante a izquierda, en este caso decimos que (J, g) es una estructura l.c.K.
invariante a izquierda sobre el grupo de Lie G si se satisface la condición de l.c.K., es
decir, existe una 1-forma cerrada θ en G tal que dω = θ ∧ ω. Veamos a continuación que
θ también es invariante a izquierda.
Proposición 2.1. Sea G un grupo de Lie con una estructura l.c.K (J, g) invariante a
izquierda, donde θ es su forma de Lee. Entonces θ resulta invariante a izquierda.
Demostración. Recordemos la fórmula que vimos para la forma de Lee
−1
θ=
(δω) ◦ J.
n−1
Como ω es invariante a izquierda, entonces ∗(ω) es invariante a izquierda (Ver Apéndice
Proposición 3.1). Además la derivada de una forma invariante a izquierda es invariante a
izquierda, entonces δω = − ∗ ◦d ◦ ∗ω resulta invariante a izquierda. Finalmente como J es
invariante a izquierda la fórmula anterior implica que θ es invariante a izquierda.
Si consideramos grupos de Lie simplemente conexos equipados con una estructura
l.c.K. invariante a izquierda, estos grupos van a resultar globalmente conforme Kähler, que
esencialmente es una estructura Kähler en el grupo. Como queremos estudiar estructuras
l.c.K que no sean Kähler tomamos cocientes por subgrupos discretos.
Definición 2.2. Dado un grupo de Lie G, Γ ⊂ G se dice lattice o retı́culo si Γ es un
subgrupo discreto co-compacto, es decir, Γ\G es una variedad compacta.
Es bien conocido el resultado de Milnor [19] que dice: si un grupo de Lie G admite
retı́culos entonces G es unimodular. Esto significa:
Definición 2.3. Un grupo de Lie G se dice unimodular si la medida de Haar es
invariante a izquierda y a derecha.
38
Se sabe que un grupo de Lie G conexo es unimodular si y sólo si tr(adX ) = 0 para
todo X ∈ g. Para grupos de Lie nilpotentes se tiene el criterio de Malcev que dice: un
grupo de Lie nilpotente admite retı́culos si y sólo si su álgebra de Lie admite una base
cuyas constantes de estructuras asociadas son racionales.
3. Cocientes por subgrupos discretos
Denotaremos por G un grupo de Lie y Γ un subgrupo discreto. Una métrica riemanniana g invariante a izquierda en G induce una métrica g 0 en Γ\G de modo que la proyección
canónica π : G → Γ\G es una submersión riemanniana, es decir,
0
((dπ)x v, (dπ)x w) = gx (v, w)
gπ(x)
(20)
para todo x ∈ G y v, w ∈ Tx G. La buena definición de g 0 sigue del hecho que g es invariante
a izquierda y que dπ es un isomorfismo.
Una estructura casi compleja J invariante a izquierda en G induce una estructura casi
compleja J 0 en Γ\G definida por:
0
Jπ(x)
((dπ)x v) = (dπ)x (Jx v),
(21)
para todo x ∈ G y v ∈ Tx G. Veamos la buena definición de J 0 : sean x, y ∈ G tales que
π(x) = π(y), entonces existe γ ∈ Γ con y = γx, por lo tanto
π ◦ Lγ = π.
Sean v ∈ Tx G, w ∈ Ty G tales que (dπ)x v = (dπ)y w. Como J es invariante a izquierda
recordemos que
(dLy )x Jv = J ◦ (dLy )x v,
para todo y ∈ G. Luego
0
Jπ(y)
((dπ)y w) = (dπ)y (Jy w)
= (dπ)y (dLxy−1 )−1
y Jx (dLxy −1 )y w
= (dπ)y (dLyx−1 )x Jx (dLxy−1 )y w
= (dπ)y (dLγ )x Jx (dLγ −1 )y w
= d(π ◦ Lγ )x Jx v,
pues (dπ)x es isomorfismo
= d(π)x (Jx v)
0
= Jπ(x)
((dπ)x v).
Por lo tanto J 0 esta bien definida y claramente es una estructura casi compleja.
Observación. Si J es una estructura compleja en G, entonces J 0 es una estructura
compleja en Γ\G. En efecto, sean X, Y ∈ X(G) entonces
J 0 [dπ(X), dπ(Y )] = J 0 ◦ dπ([X, Y ]) = dπ(J[X, Y ]).
Se sigue que NJ 0 (dπ(X), dπ(Y )) = dπ(NJ (X, Y )).
y
Vimos que (J, g) en G induce (J 0 , g 0 ) en Γ\G, donde g 0 es la métrica definida por (20)
es la estructura compleja definida por (21). Notemos a continuación que si (J, g) es
J0
3. COCIENTES POR SUBGRUPOS DISCRETOS
39
una estructura hermitiana en G entonces (J 0 , g 0 ) es una estructura hermitiana en Γ\G;
dados x ∈ G y v, w ∈ Tx G, calculamos:
0
0
0
0
((dπ)x Jx v, (dπ)x Jx w)
(dπ)x w) = gπ(x)
(dπ)x v, Jπ(x)
(Jπ(x)
gπ(x)
=gx (Jx v, Jx w)
=gx (v, w)
0
((dπ)x v, (dπ)x w).
=gπ(x)
Más aún, si (J, g) es una estructura l.c.K. invariante a izquierda en G con forma de
Lee θ entonces (J 0 , g 0 ) es una estructura l.c.K. en Γ\G. Sea θ0 ∈ E 1 (Γ\G) definida por
0
((dπ)x v) = θx (v)
θ[x]
(22)
para todo x ∈ G y v ∈ Tx G.
Afirmamos que θ0 está bien definida, pues: sean x, y ∈ G tales que π(x) = π(y), decir,
existe γ ∈ Γ tal que y = γx; y sean v ∈ Tx G y w ∈ Ty G tales que (dπ)x v = (dπ)y w.
Entonces
θy (w) = θy (dπ)−1
y (dπ)x v
= θγx ((dLγ )x v)
= (L∗γ θ)x (v)
= θx (v).
Similarmente definimos ω 0 por
(23)
0
ω[x]
((dπ)x v, (dπ)x w) = ωx (v, w).
La buena definición de ω 0 es análoga a la de θ0 .
Afirmación: ω 0 es la forma fundamental de (Γ\G, J 0 , g 0 ). En efecto: sean V, W ∈ X(G),
entonces
0
0
0
g[x]
J[x]
((dπ)x Vx ), (dπ)x Wx = g[x]
((dπ)x (Jx Vx ), (dπ)x Wx )
= gx (Jx Vx , Wx )
= ωx (Vx , Wx )
= ωx0 ((dπ)x Vx , (dπ)x Wx ).
Proposición 3.1. Si (G, J, g) es una estructura l.c.K. invariante a izquierda donde θ
es su forma de Lee, entonces (Γ\G, J 0 , g 0 ) también es l.c.K. con su forma de Lee θ0 dada
por (22).
Demostración. Sean U , V , W campos locales en (Γ\G), podemos suponer que existen U, V, W ∈ X(G) invariantes a izquierda tales que U = dπ(U ), V = dπ(V ), W = dπ(W ).
Sea ω 0 definida por (23), como es invariante a izquierda tenemos que ω 0 (dπ(U ), dπ(V )) es
40
una función constante. Ası́
0
0
dω[x]
((dπ)x Ux , (dπ)x Vx , (dπ)x Wx ) = −ω[x]
([(dπ)x Ux , (dπ)x Vx ], (dπ)x Wx )
0
([(dπ)x Vx , (dπ)x Wx ], (dπ)x Ux )
− ω[x]
0
− ω[x]
([(dπ)x Wx , (dπ)x Ux ], (dπ)x Vx )
= (dω)x (U, V, W )
= (θ ∧ ω)x (U, V, W )
= (θ0 ∧ ω 0 )x ((dπ)x Ux , (dπ)x Vx , (dπ)x Wx ).
3.1. Resultados conocidos.
Definición 3.2. Una nilvariedad es una variedad compacta obtenida como el cociente
de un grupo de Lie nilpotente por un subgrupo discreto. En el caso en que el grupo de
Lie es soluble tenemos una solvariedad.
A continuación veremos algunos resultados conocidos para nilvariedades y solvariedades.
• Ugarte en [23] demostró que una nilvariedad Γ\G de dimensión 6 con una estructura compleja invariante admite una métrica l.c.K. si y sólo si el álgebra de Lie de
G es isomorfa a h5 × R, donde h5 es el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión
5. En este trabajo además se conjetura que toda nilvariedad de dimensión 2n
que admite una estructura l.c.K. es de la forma Γ\(H2n−1 × R), donde Γ es un
subgrupo discreto y H2n−1 es el grupo de Lie de Heisenberg de dimensión 2n − 1.
• Sawai en [22] demostró esta conjetura de Ugarte. En este trabajo se ve que si
G es un grupo de Lie nilpotente con una estructura l.c.K. invariante a izquierda
entonces G es isomorfo a H2n−1 ×R, donde H2n−1 es el grupo de Lie de Heisenberg
de dimensión 2n − 1.
• Hasegawa y Kamishima en [11] dieron una clasificación de todas las álgebras de
Lie de dimensión real 4, unimodulares y solubles; y los grupos de Lie correspondientes que admiten lattices. Más aún, determinaron cuáles admiten métricas
l.c.K.
• Kasuya en [13] prueba que no existen métricas Vaisman sobre algunas solvariedades con estructura compleja invariante a izquierda.
4. Álgebras de Lie con estructuras l.c.K.
Hasta ahora hemos estudiado grupos de Lie con estructuras l.c.K invariantes a izquierda.
Como estas estructuras quedan determinadas por su valor en la identidad, podemos trabajar simplemente a nivel del álgebra de Lie, y ası́ tenemos la siguiente definición:
Definición 4.1. Sea g un álgebra de Lie, J una estructura compleja y g una métrica
hermitiana en g, sea ω su forma fundamental. Decimos que (g, J, g) es localmente conforme
Kähler (l.c.K.) si existe θ ∈ g∗ , con dθ = 0, tal que
(24)
dω = θ ∧ ω.
4. ÁLGEBRAS DE LIE CON ESTRUCTURAS L.C.K.
41
Ejemplo 4.2. Sea g = h2n+1 × R, donde h2n+1 es el álgebra de Lie de Heisenberg. Sea
{x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , z, w} una base de g con el corchete de Lie g dado por [xi , yi ] = z y
w central. Definimos una métrica en g tal que {x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , z, w} sea una base
ortonormal. Sea J una estructura casi compleja definida por:
Jxi = yi ,
Jz = w.
Se ve fácilmente que J es una estructura compleja, más aún, J resulta abeliana. Sean
{xi , y i , z ∗ , w∗ } las 1-forma duales a {xi , yi , z, w} respectivamente. Entonces la forma fundamental queda:
n
X
ω=
(xi ∧ y i ) + z ∗ ∧ w∗ .
Notar que
dxi
=
dy i
=
dw∗
=0y
i=1
dz ∗ =
−
i
ix
∗
P
∧ y i . Entonces dω resulta:
dω = −w ∧ ω.
Por lo tanto (g, J, g) es l.c.K. con J abeliana. Se puede ver que la forma de Lee θ = −w∗
resulta paralela. Este ejemplo fue introducido en [7].
Se ve que g es el álgebra de Lie del grupo H2n+1 × R, donde H2n+1 consiste de todas
las matrices con coeficientes reales de la forma:


1 A c
P =  0 In B t  .
0 0 1
donde A = (a1 , . . . , an ), B = (b1 , . . . , bn ). Sea Γ ⊂ H2n+1 el subgrupo de todas las matrices
con coeficientes enteros. Luego Γ\H2n+1 resulta compacto. Por lo visto anteriormente, la
nilvariedad N = Γ\H2n+1 × S 1 admite una estructura l.c.K. que es además Vaisman.
Ejemplo 4.3. Sea g el álgebra de Lie soluble de dimensión 4 dada por
g = span{A, X, Y, Z}
[A, X] = X,
[A, Y ] = −Y,
[X, Y ] = Z,
y sea {α, x, y, z} la base dual de {A, X, Y, Z}. Ası́
dα = 0,
dx = −α ∧ x,
dy = α ∧ y,
dz = −x ∧ y.
Sea h· , · i un producto interno en g tal que {A, X, Y, Z} sea una base ortonormal. Definimos
J por
JA = Y, JZ = X.
Entonces (g, J, h· , · i) es hermitiana con la 2-forma fundamental ω dada por
ω = α ∧ y + z ∧ x,
ası́ obtenemos
dω = −α ∧ ω.
Por lo tanto es l.c.K. con forma de Lee θ = −α. Notar que la 1-forma cerrada α no es
paralela, pues si ∇ es la conexión de Levi-Civita de g entonces de la fórmula de Koszul
obtenemos g(∇X X, A) = 1 y ası́ θ(∇X X) 6= 0. Por lo tanto esta métrica no es Vaisman.
Se puede ver que el grupo de Lie soluble G correspondiente a g admite un lattice Γ, y
entonces la solvariedad Γ\G admite una estructura l.c.K.
42
A continuación analizaremos estructuras l.c.K. sobre un álgebra de Lie, en primer
lugar, con una estructura compleja arbitraria; y luego estructuras complejas bi-invariantes
y abelianas.
Sea (g, J, h· , · i) l.c.K., y supongamos que g no es Kähler, es decir, dω = θ ∧ ω con θ
cerrada y no nula. La codimensión de ker θ es 1 y podemos elegir A ∈ (ker θ)⊥ tal que
θ(A) = 1. Como θ es cerrada tenemos,
g = span{A} ⊕ ker θ,
(25)
con
g0 ⊂ ker θ.
Por lo tanto
(26)
dω(A, X, Y ) = (θ ∧ ω)(A, X, Y ) = ω(X, Y ),
para todo X, Y ∈ ker θ.
Afirmamos que JA ∈ ker θ. En efecto, como (J, g) es hermitiana entonces hJA, Ai =
−hA, JAi, luego hJA, Ai = 0.
Si W es el complemento ortogonal de span{JA} en ker θ, entonces tenemos
g = span{A, JA} ⊕⊥ W.
(27)
Notar que W es invariante por J.
Corolario 4.4. Sea (g, J, h· , · i) l.c.K. con θ 6= 0, entonces g no puede ser semisimple.
Demostración. Si g semisimple, entonces [g, g] = g. Por otro lado si (g, J, h· , · i) es
l.c.K., de (25) se sigue que g0 ( g, por lo tanto g no puede ser l.c.K. y semisimple.
Notar que la forma de Lee se expresa en términos del producto interno como
θ(X) =
hX, Ai
||A||2
para todo X ∈ g. Probaremos a continuación un lema que usaremos más adelante.
Lema 4.5. Si (g, J, h· , · i) es l.c.K. entonces J ◦ adJA es simétrico.
Demostración. Dados X, Y ∈ g calculemos dω(JA, X, Y ). Por un lado de (24)
obtenemos:
dω(JA, X, Y ) = θ ∧ ω(JA, X, Y )
= θ(X)ω(Y, JA) + θ(Y )ω(JA, Y )
hA, Xi
hA, Y i
hY, Ai −
hA, Xi
||A||2
||A||2
= 0.
=
Por otro lado tenemos,
dω(JA, X, Y ) = −ω([JA, X], Y ) + ω([JA, Y ], X) − ω([X, Y ], JA)
= −hJ[JA, X], Y i + hJ[JA, Y ], Xi − hJ[X, Y ], JAi
= −hJ[JA, X], Y i + hJ[JA, Y ], Xi.
Luego hJ[JA, X], Y i = hJ[JA, Y ], Xi. Entonces J ◦ adJA es simétrico.
4. ÁLGEBRAS DE LIE CON ESTRUCTURAS L.C.K.
43
En general tenemos que un álgebra de Lie (g, J, h· , · i) con estructura l.c.K. satisface la
ecuación (27). A continuación analizaremos el caso en que J es una estructura compleja
bi-invariante.
4.1. J bi-invariante.
Ejemplo 4.6. Sea R2n un álgebra de Lie abeliana, J una estructura compleja en R2n
y h· , · i un producto interno hermitiano. Sea g = span{A, B}⊕R2n , extendemos la métrica
a g tal que la suma sea ortogonal, hA, Bi = 0 y ||A||2 = ||B||2 = c. Definimos J(A) = B,
[A, B] = 0 y para X ∈ R2n , [A, X] = − 12 X. Como queremos que J sea bi-invariante, es
decir adY ◦J = adJY para todo Y ∈ g, definimos [B, X] = − 12 JX para X ∈ R2n .
Sea {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn } una base ortonormal de R2n tal que fi = Jei . Sean α, β,
ei y f i las 1-formas duales de A, B, ei y fi respectivamente. Luego la forma de Kähler ω
resulta:
n
X
ω = cα ∧ β +
ei ∧ f i .
i=1
Por otro lado tenemos:
1
1
dei = α ∧ ei − β ∧ f i ,
2
2
1
1
df i = α ∧ f i + β ∧ ei .
2
2
Además dα = dβ = 0 pues α y β se anulan en el conmutador de g. Luego dω resulta:
dω =
n
X
1
i=1
=α∧
1
α ∧ ei ∧ f i − ei ∧ α ∧ f i
2
2
n
X
ei ∧ f i
i=1
= α ∧ ω.
Por lo tanto g es l.c.k. con J bi-invariante.
Recı́procamente, en el Teorema 4.8 probaremos que toda (g, J) l.c.K. donde J es biinvariante se obtiene como en ejemplo 4.6. Para ello necesitamos el siguiente resultado.
Lema 4.7. Si (g, J, h· , · i) es Kähler con J bi-invariante, entonces g es abeliana.
Demostración. Sea ω la forma de Kähler de g, entonces dω = 0 por definición de
estructura Kähler. Dados X, Y, Z ∈ g tenemos
0 = dω(X, Y, Z)
= −ω([X, Y ], Z) + ω([X, Z], Y ) − ω([Y, Z], X)
= −hJ[X, Y ], Zi + hJ[X, Z], Y i − hJ[Y, Z], Xi
similarmente para JX, JY, Z tenemos
0 = dω(JX, JY, Z)
= −hJ[JX, JY ], Zi + hJ[JX, Z], JY i − hJ[JY, Z], JXi
= hJ[X, Y ], Zi + hJ[X, Z], Y i − h[JY, Z], Xi.
44
Restando ambas ecuaciones obtenemos hJ[X, Y ], Zi = 0 para todo Z ∈ g, entonces
J[X, Y ] = 0 y por lo tanto [X, Y ] = 0 para todo X, Y ∈ g. Con lo cual g resulta
abeliana.
Teorema 4.8. Sea (g, J, h· , · i) l.c.K. con J bi-invariante, entonces g es como en el
Ejemplo 4.6.
Demostración. Como J es bi-invariante, es decir J[X, Y ] = [JX, Y ] para todo
X, Y ∈ g entonces Jg0 = g0 . Siguiendo con la notación empleada en (27) tenemos:
Afirmación: g0 ⊂ W . En efecto, de (25) y (27) tenemos que g0 ⊂ ker θ = span{JA} ⊕
W . Dado X ∈ g0 , podemos escribir X = aJA + w con w ∈ W , luego JX = −aA + Jw.
Ası́ −aA = JX − Jw ∈ ker θ, pues g0 y W son subespacios de J-invariantes de ker θ. Por
lo tanto a = 0.
Dados X, Y ∈ g0 tenemos:
hJX, Y i = ω(X, Y )
= dω(A, X, Y )
por (26)
= −ω([A, X], Y ) + ω([A, Y ], X) − ω([X, Y ], A)
= −hJ[A, X], Y i + hJ[A, Y ], Xi − hJ[X, Y ], Ai.
Notemos que el último sumando es cero, pues Jg0 = g0 y A es ortogonal a g0 . En particular
si Y = JX tenemos la siguiente ecuación
(28)
−2h[A, X], Xi = |X|2 ,
de la cual se sigue que g0 = W . Ası́ resulta
g = span{A, JA} ⊕ g0 .
Por otro lado (g0 , J|g0 , h· , · i) es Kähler, pues su forma fundamental es la restricción de
ω a g0 × g0 , y dω = 0 en g0 . Luego por el Lema 4.7 sabemos que g0 es abeliana.
Por último veamos como actúa adA en g0 . Si aplicamos (28) a X + Y con X, Y ∈ g0
resulta:
(29)
h[A, X], Y i + h[A, Y ], Xi = −hX, Y i
Además sabemos que dω(JA, X, Y ) = 0 para X, Y ∈ g0 , por lo tanto tenemos:
(30)
h[A, X], Y i − h[A, Y ], Xi = 0
De (29) y (30) resulta:
(31)
2h[A, X], Y i = −hX, Y i,
es decir, adA = − 21 Id, para X, Y ∈ g0 .
Como consecuencia del teorema anterior tenemos el siguiente resultado sobre álgebras
unimodulares.
Corolario 4.9. No existe (g, J, h· , · i) l.c.K unimodular con J bi-invariante.
Demostración. Sea (g, J, h· , · i) l.c.k con J bi-invariante, por el teorema anterior
sabemos que g = span{A, JA} ⊕ g0 y además adA = − 12 Id en g0 . Luego tr(A) 6= 0. Por lo
tanto g no es unimodular.
5. UN EJEMPLO DE ÁLGEBRA DE LIE L.C.K. Y UNIMODULAR
45
5. Un ejemplo de álgebra de Lie l.c.K. y unimodular
Sea aff(R) el álgebra de Lie de dimensión 2 que posee una base {f1 , f2 } con [f1 , f2 ] = f2 .
Consideramos un producto semidirecto de la forma g = aff(R) n R2n con adf1 |R2n = A y
adf2 |R2n = B. Buscamos condiciones para que (g, [· , · ]) sea un álgebra de Lie:
0 = [[f1 , f2 ], X] + [[f2 , X], f1 ] + [[X, f1 ], f2 ]
= [f2 , X] + [BX, f1 ] + [−AX, f2 ]
= BX − ABX + BAX
para todo X ∈ R2n . Por lo tanto tenemos la siguiente condición:
(32)
[A, B] = B
Definimos una estructura casi compleja J en g por Jf1 = f2 y J|R2n una estructura
compleja arbitraria. Para que J resulte integrable debe cumplirse: NJ (f1 , X) = 0 para
todo X ∈ R2n , es decir,
J[f1 , X] = [Jf1 , X] + [f1 , JX] + J[Jf1 , JX],
donde resulta la siguiente ecuación:
(33)
JAX = BX + AJX + JBJX
Notar que sólo hace falta verificar que NJ (f1 , X) = 0, pues se tiene la siguiente relación
entre NJ y J:
NJ (JZ, W ) = −J(NJ (Z, W )).
Luego si pedimos que B = 0 entonces (32) se satisface y (33) se reduce a JA = AJ. Sea
{u1 , .. . , un , v1 , . . . , vn } una base ordenada de R2n con Jui = vi , entonces J es de la forma
0 −I
J=
, y como JA = AJ entonces A debe ser de la forma
I 0
(34)
A=
X −Y
Y
X
con X, Y ∈ Mn×n (R).
A continuación determinaremos algunas matrices X, Y para que g sea l.c.k y unimodular. Los únicos corchetes no nulos en g son los siguientes:


[f1 , f2 ] = f2




[f1 , u1 ] = x11 u1 + · · · + xn1 un + y11 v1 + · · · + yn1 vn



..



.

(35)
[f1 , un ] = x1n u1 + · · · + xnn un + y1n v1 + · · · + ynn vn



[f1 , v1 ] = −y11 u1 − · · · − yn1 un + x11 v1 + · · · + xn1 vn




..


.



[f , u ] = −y u − · · · − y u + x v + · · · + x v
1
n
1n 1
nn n
1n 1
nn n
46
Sean f i , ui , v i las 1-formas duales de fi , ui , vi , luego tenemos:


df 1 = 0


 2

df
= −f 1 ∧ f 2





du1 = −x11 f 1 ∧ u1 − · · · − x1n f 1 ∧ un + y11 f 1 ∧ v 1 + · · · + y1n f 1 ∧ v n




..

.
(36)
n

du
= −xn1 f 1 ∧ u1 − · · · − xnn f 1 ∧ un + yn1 f 1 ∧ v 1 + · · · + ynn f 1 ∧ v n





dv 1 = −y11 f 1 ∧ u1 − · · · − y1n f 1 ∧ un − x11 f 1 ∧ v 1 + · · · − x1n f 1 ∧ v n



..



.


 n
dv
= −yn1 f 1 ∧ u1 − · · · − ynn f 1 ∧ un − xn1 f 1 ∧ v 1 + · · · − xnn f 1 ∧ v n
Ahora consideramos en g un producto interno h· , · i tal que {f1 , f2 , u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn }
sea una base ortonormal, de modo que (J, h· , · i) es una estructura hermitiana en g. Entonces la forma fundamental queda determinada por:
ω = f1 ∧ f2 +
n
X
ui ∧ v i .
i=1
Luego de (36) resulta:
dω =
n
X
dui ∧ v i −
i=1
n
X
ui ∧ dv i
i=1




n
n
n
n
X
X
X
X

=
−xij f 1 ∧ uj + yij f 1 ∧ v j  ∧ v i −
ui ∧ 
−yij f 1 ∧ uj − xij f 1 ∧ v j 
i=1
=
=
n
X
j=1
i=1
(−xij f 1 ∧ uj ∧ v i + yij f 1 ∧ v j ∧ v i ) +
i,j=1
n
X
X
i,j=1
j<i
(−xij − xji )f 1 ∧ uj ∧ v i +
n
X
j=1
(yij ui ∧ f 1 ∧ uj + xij ui ∧ f 1 ∧ v j )
i,j=1
(yij − yji )f 1 ∧ v j ∧ v i +
X
(yij − yji )f 1 ∧ uj ∧ ui
j<i
Si pedimos Y = Y t y X = λI + T con T + T t = 0, resulta:
dω = −2λf 1 ∧ ω.
Entonces g es l.c.K. con θ = −2λf 1 con λ 6= 0 para que
De (34) se sigue que

0

1
ad f1 = 

X −Y
Y
X
Si elegimos
λ=−
1
2n
g no sea Kähler.


,

6. ESTRUCTURAS VAISMAN EN ÁLGEBRAS DE LIE
entonces tr(adf1 ) = 0. Por otro lado adf2 es de la forma

0
 −1 0


0
ad f2 = 

..

.
47







0
entonces tr(adf2 ) = 0. Luego tr(adZ ) = 0 para todo Z ∈ g. Por lo tanto g es unimodular
para este valor de λ.
Observación. Este ejemplo generaliza el ejemplo de Kasuya en la sección 7 de [13].
En ese artı́culo se considera sólo el caso X = λ Id, Y = 0.
Nota. No sabemos aún si el grupo de Lie asociado admite lattices.
6. Estructuras Vaisman en álgebras de Lie
Sea (g, J, h· , · i) un álgebra de Lie con una estructura l.c.K. y de tipo Vaisman, sea θ
su forma de Lee y A ∈ (ker θ)⊥ tal que θ(A) = 1.
Definición 6.1. Un álgebra de Lie g con una estructura hermitiana (J, h· , · i) es Vaisman si (g, J, h· , · i) es l.c.K. y su forma de Lee es paralela, es decir, θ(∇X Y ) = 0 para todo
X, Y ∈ g.
Eqivalentemente tenemos el siguiente resultado:
Proposición 6.2. Si (g, J, h· , · i) es l.c.K. entonces g es Vaisman si y sólo si adA es
antisimétrica.
Demostración. Dados X, Y ∈ g tenemos que
1
h∇X Y, Ai = {h[X, Y ], Ai − h[Y, A], Xi + h[A, X], Y i}
2
0
Como g está en el complemento ortogonal de A entonces resulta:
1
h∇X Y, Ai = {h[A, Y ], Xi + h[A, X], Y i}
2
Por lo tanto h∇X Y, Ai = 0 si y sólo si h[A, Y ], Xi = −h[A, X], Y i.
Con esta proposición se ve facilmente que el ejemplo 4.2 resulta Vaisman mientras que
los demás no.
Corolario 6.3. Sea G un grupo de Lie y g su álgebra de Lie. Entonces g es Vaisman
si y sólo si A es un campo de Killing.
Demostración. Para una métrica invariante a izquierda en un grupo de Lie, se
deduce fácilmente de la fórmula de Koszul que un campo invariante a izquierda X es
de Killing si y sólo si el endomorfismo adX es antisimétrico (Ver Apéndice Proposición
4.1).
Ahora veremos algunas propiedades que cumplen la álgebras de Lie con estructuras
Vaisman.
48
Proposición 6.4. Si (g, J, h· , · i) es Vaisman entonces [A, JA] = 0.
Demostración. De los Lemas 6.2 y 4.5 resulta:
h[A, JA], JY i = hJ[JA, A], Y i
= hA, J[JA, Y ]i
= hA, −[A, Y ] + [JA, JY ] − J[A, JY ]i
= hA, −J[A, JY ]i
= hJA, [A, JY ]i
= −h[A, JA], JY i.
Como g es no degenerada tenemos que [A, JA] = 0 como querı́amos.
Proposición 6.5. Si (g, J, h· , · i) es Vaisman entonces:
(i) J ◦ adA = adA ◦J,
(ii) adJA es antisimétrico, por lo que también es de Killing.
Demostración. Dados X, Y ∈ g, se sigue del Lema 4.5:
h[JA, X], JY i = hJX, [JA, Y ]i,
usando la integrabilidad de J en [JA, X] y [JA, Y ] resulta
(37)
h[A, X] − [JA, JX] + J[A, JX], Y i = h[A, Y ] − [JA, JY ] + J[A, JY ], Xi.
Por otro lado h[JA, JX], Y i = h[JA, JY ], Xi pues J ◦ adJA es simétrico. Luego aplicando
esta igualdad y el Lema 6.2, la ecuación (37) se reduce a:
hJ[A, X] − [A, JX], JY i = 0
para todo X, Y ∈ g. Por lo tanto
J[A, X] = [A, JX].
Ası́ J ◦ adA = adA ◦J y esto prueba (i). Ahora calculamos
h[JA, X], Y i = hJ[JA, X], JY i
= hX, J[JA, JY ]i
= hX, −[A, JY ] − [JA, Y ] + J[A, Y ]i,
= hX, [JA, −Y ]i,
por integrabilidad de J
por (i).
Por lo que adJA resulta antisimétrico como querı́amos.
Consideraremos de ahora en más (g, J, h· , · i) de tipo Vaisman con J una estructura
compleja abeliana. Recordemos que esto significa que [JX, JY ] = [X, Y ] para todo X, Y ∈
g. El objetivo es probar el siguiente resultado:
Teorema 6.6. Si (g, J, h· , · i) es Vaisman con J abeliana y g unimodular entonces
g = R × h2n+1 , donde h2n+1 es el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 2n + 1.
Comenzaremos demostrando los siguientes hechos, donde denotamos por z al centro
del álgebra de Lie g.
Proposición 6.7. Si (g, J, h· , · i) es Vaisman con J abeliana entonces A, JA ∈ z.
49
Demostración. Dados X, Y ∈ g, de los Lemas 4.5, 6.2 y usando que J es abeliana,
es decir, [JX, JY ] = [X, Y ] o [JX, Y ] = −[X, JY ] obtenemos:
hX, [A, Y ]i = hX, [JA, JY ]i
= h[JA, JX], Y i
= h[A, X], Y i
= −hX, [A, Y ]i.
Ası́ hX, [A, Y ]i = 0 para todo X, Y ∈ g. Por lo tanto A ∈ z. Además como J es abeliana
tenemos que J(z) = z, entonces JA ∈ z.
De esta manera podemos descomponer a g como:
g = span{A, JA} ⊕ W
donde la suma es ortogonal; A, JA ∈ z y g0 ⊂ span{JA} ⊕ W . Definimos h : W × W → W
y α : g × g → R de modo que
(38)
[X, Y ] = h(X, Y ) + α(X, Y )JA,
para todo X, Y ∈ W .
Proposición 6.8. La aplicación h : W × W → W es bilineal, antisimétrica, satisface
la identidad de Jacobi, y el álgebra de Lie (W, h) con la estructura (J|W , h· , · i|W ) es Kähler
con J|W abeliana en (W, h).
Demostración. Sea ω la forma fundamental de (g, J, h· , · i). Dados X, Y ∈ W tenemos:
hJX, Y i = ω(X, Y )
= θ(A)ω(X, Y )
= dω(A, X, Y )
= h[A, X], JY i − h[A, Y ], JXi + h[X, Y ], JAi.
Como A ∈ z resulta:
(39)
hJX, Y i = h[X, Y ], JAi
para todo X, Y ∈ g. Se sigue que W no puede ser subálgebra de Lie de g. Notar que de
(38) y de (39) obtenemos:
(40)
α(X, Y ) =
ω(X, Y )
,
||A||2
pues ω(X, Y ) = hJX, Y i = h[X, Y ], JAi = hα(X, Y )JA, JAi = α(X, Y )||A||2 . Luego α
satisface:
||X||2 = α(X, JX)||A||2 ,
0 = α(X, Y )||A||2
si X es ortogonal a Y . Por lo tanto α(X, JX) 6= 0 para todo X 6= 0 y α(X, Y ) = 0 para
todo X, Y ortogonales.
50
Claramente h es bilineal y antisimétrico. Veamos que satisface la identidad de Jacobi,
dados X, Y, Z ∈ W calculamos:
0 = [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ]
= [h(X, Y ) + α(X, Y )JA, Z] + [h(Y, Z) + α(Y, Z)JA, X] + [h(Z, X) + α(Z, X)JA, Y ]
= h(h(X, Y ), Z) + α(h(X, Y ), Z)JA + h(h(Y, Z), X) + α(h(Y, Z), X)JA
+ h(h(Z, X), Y ) + α(h(Z, X), Y )JA.
Entonces h(h(X, Y ), Z) + h(h(Y, Z), X) + h(h(Z, X), Y ) = 0. Por lo tanto h satisface la
identidad de Jacobi, y ası́ (W, h) es álgebra de Lie. Además obtenemos que:
α(h(X, Y ), Z)JA + α(h(Y, Z), X)JA + α(h(Z, X), Y )JA = 0,
entonces de (40) obtenemos:
0 = α(h(X, Y ), Z) + α(h(Y, Z), X) + α(h(Z, X), Y )
1
=
{ω(h(X, Y ), Z) + ω(h(Y, Z), X) + ω(h(Z, X), Y )}
||A||2
1
=−
dh ω(X, Y, Z),
||A||2
donde dh denota la diferencial en el álgebra de Lie (W, h), y ası́ ω resulta cerrada en (W, h).
Entonces (W, J|W , h· , · i|W ) es Kähler con J|W abeliana, pues: dados X, Y ∈ W tenemos
[JX, JY ] = [X, Y ], luego de (38) se sigue que
h(JX, JY ) + α(JX, JY )JA = h(X, Y ) + α(X, Y )JA,
y ası́ h(JX, JY ) = h(X, Y ).
Del Teorema 4.1 de [2] obtenemos el siguiente resultado:
Corolario 6.9. Siguiendo con la notación anterior W es de la forma,
(41)
(W, h) = aff(R) × · · · × aff(R) × R2s .
Demostración del Teorema 6.6. Continuando con la notación anterior, notemos
que si g es unimodular entonces (W, h) es unimodular. En efecto, sea {ei } una base
ortonormal de W y denotamos por adhX (Y ) = h(X, Y ) para X, Y ∈ W . Entonces
X
tr(adhX ) =
hh(X, ei ), ei i
i
X
X
=
h[X, ei ], ei i −
α(X, ei )hJA, ei i
i
=
i
X
h[X, ei ], ei i
i
= tr(adX ).
Por lo tanto (W, h) resulta unimodular. Ası́ de (41) se sigue que W = R2s , ya que aff(R)
no es unimodular. Entonces h ≡ 0 y (38) se reduce a
[X, Y ] = α(X, Y )JA.
51
Veamos que g es isomorfa a R × h2n+1 . Sea e1 ∈ W , e1 6= 0, entonces de (40) obtenemos
2
1 ||
α(e1 , Je1 ) = ||e
. Ası́
||A||2
||e1 ||2
JA.
[e1 , Je1 ] =
||A||2
Sea W1 el subespacio de W invariante por J tal que
W = span{e1 , Je1 } ⊕⊥ W1 ,
entonces dado U ∈ W1 ,
[e1 , U ] = α(e1 , U )JA = 0
pues U es ortogonal a Je1 . Similarmente
[Je1 , U ] = 0.
Ahora tomamos e2 ∈ W1 , e2 6= 0, y entonces
[e2 , Je2 ] =
||e2 ||2
JA.
||A||2
Siguiendo de esta manera, probamos que existen {ei } en W tales que los únicos corchetes
no nulos son
||ei ||2
[ei , Jei ] =
JA.
||A||2
Ası́ g resulta isomorfa a R × h2n+1 .
6.1. J abeliana en dimensión 6.
En el trabajo de Kamishima y Hasegawa [11] se probó que si un álgebra de Lie unimodular de dimensión 4 admite una estructura l.c.K. entonces es h3 × R.
En dimensión 6, utilizando la clasificación de [3], las únicas álgebras de Lie unimodulares con J abeliana son nilpotentes o bien el álgebra soluble s(−1,0) , esta álgebra de Lie
soluble admite una única estructura compleja abeliana J (salvo equivalencia). Se puede
probar que (s−1,0 , J) no admite una métrica l.c.K., luego en dimensión 6 la única álgebra
de Lie unimodular que admite una estructura l.c.K con J abeliana es h3 × R, que es
Vaisman. No conocemos ningún ejemplo todavı́a de álgebras de Lie l.c.K. con estructura
compleja abeliana que no sean Vaisman (es decir, que no sean h2n−1 × R, de acuerdo al
Teorema 6.6).
CAPÍTULO 3
Apéndice
En este capı́tulo expondremos con mayor detalle algunos resultados mencionados en
los capı́tulos anteriores.
Sea M una variedad diferenciable y d la derivada exterior. Dados una ω ∈ E p (M ), y
Y0 , . . . , Yp ∈ X(M ) usamos la siguiente fórmula para dω(Ver [26])
dω(Y0 , . . . , Yp ) =
p
X
(−1)i Yi ω(Y0 , . . . , Ŷi , . . . , Yp )
i=0
+
X
(−1)i+j ω([Yi , Yj ]Y0 , . . . , Ŷi , . . . , Yˆj , . . . , Yp )
i<j
Sea (M, g) una variedad riemanniana y ∇ su conexión de Levi-Civita, la fórmula de
Koszul está dada por:
1
g(∇X Y, Z) = {Xg(Y, Z)+Y g(Z, X)−Zg(X, Y )+g([X, Y ], Z)−g([Y, Z], X)+g([Z, X], Y )},
2
para todo X, Y, Z ∈ X(M ).
Dado A un tensor de tipo (r, s), es decir, una aplicación C ∞ (M )-multilineal
A : (E 1 (M ))r × (X(M ))s → C ∞ (M ),
su derivada covariante es un tensor ∇A de tipo (r, s + 1) definido como sigue:
(i) si A = f ∈ C ∞ (M ), entoonces ∇f = df
(ii) si A = X ∈ X(M ), entonces (∇X)V = ∇V X (la conexión usual)
(iii) si A = η ∈ E 1 (M ), entonces (∇V η)(X) = V (η(X)) − η(∇V X), para V, X ∈
X(M ).
En general para A un tensor de tipo (r, s)
(∇V A)(θ1 , . . . , θr , X1 , . . . , Xs ) = V (A(θ1 , . . . , θr , X1 , . . . , Xs ))
−
r
X
A(θ1 , . . . , ∇V θi , . . . , θr , X1 , . . . , Xs )
i=1
−
s
X
i=1
53
A(θ1 , . . . , θr , X1 , . . . , ∇V Xi , . . . , Xs ).
54
3. APÉNDICE
1. Matrices de cambio de base complejas
A −B
Proposición 1.1. Sea P =
∈ GL2n (R) entonces det(P ) > 0.
B A
Proof. Calculamos el producto,
Id 0
A −B
Id
0
i Id Id
B A
−i Id Id
Ası́
A −B
det
B A
Id 0
A −B
Id
0
= det
i Id Id
B A
−i Id Id
A + iB
−B
= det
0
A − iB
= | det(A + iB)|2
Como P es invertible entonces det(P ) > 0.
2. Conexiones
Proposición 2.1. Sea (M, J, g) una variedad hermitiana, ∇ la conexión de Levi-Civita
y ω una 2-forma en M , entonces satisface
1
g((∇X J)Y, Z) = {(dω)(X, Y, Z) − (dω)(X, JY, JZ)},
2
para todo X, Y, X ∈ X(M ).
Demostración. Sean X, Y, X ∈ X(M ), calculamos:
2g((∇X J)Y, Z) = 2g(∇X JY, Z) − g(J∇X Y, Z)
= Xg(JY, Z) + JY g(Z, X) − Zg(X, JY )
+ g([X, JY ], Z) − g([JY, Z], X) + g([Z, X], JY )
+ Xg(Y, JZ) + Y g(JZ, X) − JZg(X, Y )
+ g([X, Y ], JZ) − g([Y, JZ], X) + g([JZ, X], Y )
= Xω(Y, Z) + JY ω(X, JZ) − Zω(Y, X)
+ ω([X, JY ], JZ) − ω(X, J[JY, Z]) + ω(Y, [Z, X])
+ Xω(Z, Y ) + Y ω(Z, X) − JZω(X, JY )
+ ω(Z, [X, Y ]) − ω(X, J[Y, JZ]) + ω([JZ, X], JY )
Como J es integrable,
−ω(X, J[JY, Z]) − ω(X, J[Y, JZ]) = −ω(X, J[JY, Z] + J[Y, JZ])
= −ω(X, [JY, JZ] − [Y, Z])
= −ω(X, [JY, JZ]) + ω(X, [Y, Z])
Ası́ 2g((∇X J)Y, Z) = (dω)(X, Y, Z) − (dω)(X, JY, JZ).
3. ESTRUCTURAS INVARIANTES A IZQUIERDA
55
Proposición 2.2. Sea D una conexión sin torsión en una variedad diferenciable M
y sea η una 2-forma en M entonces vale:
X
(dη)(X, Y, Z) =
(DX η)(Y, Z),
XY Z
donde
P
XY Z
representa la suma cı́clica.
Demostración. Sean X, Y, X ∈ X(M ),
X
(DX η)(Y, Z) = (DX η)(Y, Z) + (DY η)(Z, X) + (DZ η)(X, Y )
XY Z
= Xη(Y, Z) − η(DX Y, Z) − η(Y, DX Z)
+ Y η(Z, X) − η(DY Z, X) − η(Z, DY X)
+ Zη(X, Y ) − η(DZ X, Y ) − η(X, DZ Y )
= Xη(Y, Z) + Y η(Z, X) + Zη(X, Y )
− η([X, Y ], Z) − η([Y, Z], X) − η([Z, X], Y )
= (dη)(X, Y, Z).
Notar que esta Proposición se puede generalizar para una p-forma arbitraria donde p
es par.
3. Estructuras invariantes a izquierda
Proposición 3.1. Sea G un grupo de Lie, y sea (J, g) una estructura hermitiana
invariante a izquierda. Entonces ∗η es invariante a izquierda, si η ∈ E k (G) es invariante
a izquierda.
k
Demostración. Denotaremos por El−inv
(G) al conjunto de k-formas invariantes a
izquierda en G. Sabemos que El−inv (G) es una subálgebra de E(G). Sea {e1 , . . . , en } una
1
k
(G) entonces podemos escribir
base orientada de El−inv
(G). Sea η ∈ El−inv
X
η=
fi1 ,...,ik e1 ∧ · · · ∧ eik ,
i1 <···<ik
con fi1 ,...,ik ∈ R. Ası́
∗(η) =
X
i1 <···<ik
gi1 ,...,ik
e1 ∧ · · · ∧ en
,
e1 ∧ · · · ∧ eik
donde gi1 ,...,ik ∈ R y |gi1 ,...,ik | = |fi1 ,...,ik |. Por lo tanto gi1 ,...,ik es constante, y entonces
∗(η) es invariante a izquierda.
56
3. APÉNDICE
4. Campos de Killing
Recordemos la definición de un campo de Killing. Sea (M, g) una variedad riemanniana, X ∈ X(M ) se dice de Killing si LX g ≡ 0, donde LX g es la derivada de Lie de g definida
d
por (LX g)p = dt
|t=0 (φ∗t g)p con {φt } el flujo local de X cerca de p. Equivaletemente ∇X
es antisimétrico.
Proposición 4.1. Sea G un grupo de Lie con una métrica invariante a izquierda g
y sea X ∈ X(G) invariante a izquierda entonces, X es de Killing si y sólo si adX es
antisimétrico.
Demostración. Recordemos que X es de Killing en G si y sólo si ∇X es antisimétrico, es decir g(∇Y X, Z) + g(∇Z X, Y ) = 0 para todo Y, Z ∈ X(M ), donde ∇ es
la conexión de Levi-Civita. Dados Y, Z campos invariantes a izquierda calculamos,
g(∇Y X, Z) + g(∇Z X, Y ) = g(∇X Y, Z) − g([X, Y ], Z) + g(∇X Z, Y ) − g([X, Z], Y ).
Como Y, Z son invariantes a izquierda y g también, de la fórmula de Koszul obtenemos
g(∇X Y, Z) + g(∇X Z, Y ) = Xg(Y, Z) = 0. Por lo tanto queda
g(∇Y X, Z) + g(∇Z X, Y ) = −g([X, Y ], Z) − g([X, Z], Y ),
y ası́ X es de Killing si y sólo si adX es antisimétrico.
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57
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Estructuras localmente conforme Kähler invariantes a izquierda en

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