3. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto
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3. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto
UNIDAD 6 Números complejos 3. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto 1 Efectúa. (3 – 2i )2 – (1 + i ) (2 – i ) –3 + i Resolución (3 – 2i )2 – (1 + i )(2 – i ) 9 + 4i 2 – 12i – (2 – i + 2i – i 2) 5 – 12i – 3 – i = = = –3 + i –3 + i –3 + i = 2 (2 – 13i )(–3 – i ) –6 + 13i 2 – 2i + 39i –19 + 37i 19 37 i = = =– + 9 – i2 (–3 + i )(–3 – i ) 10 10 10 Calcula z y expresa los resultados en forma binómica. — 4 √z = – √3 + i — √2 i Resolución z= ( — – √3 + i — √2 i ) 4 Pasamos numerador y denominador a forma polar: r= – √3 + i — √(–√ 3 )2 + 12 = 2 — –√3 √2 i 8 √2 90° z= ( ) ( ( ) 2150° 4 √290° z=4 – 3 1 1 tg a = – — — 8 a = 150° √3 = √2 60°)4 = 4240° 8 z = 4 (cos 240° + i sen 240°) √3 1 –i = –2 – 2 √3 i 2 2 Halla a y b para que se verifique la igualdad: 5(a – 2i ) = (3 + i ) (b – i ) Resolución 5a – 10i = 3b – i 2 – 3i + bi 8 5a – 10i = 3b + 1 + (–3 + b)i ° 5a = 3b + 1 ° Igualando las componentes ¢ ¢ 8 b = –7, a = –4 £ –10 = –3 + b £ 4 Resuelve la ecuación: z 2 – 10z + 29 = 0 Resolución z= 10 ± √–16 10 ± 4i = 2 2 z1 = 5 + 2i z2 = 5 – 2i Soluciones: z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i Pág. 1 de 3 UNIDAD 6 Números complejos 3. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto 5 Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de Pág. 2 de 3 x + 2i sea igual a 2. 1–i Resolución x + 2i 2 + xi + 2i x + 2i (x + 2i)(1 + i) x – 2 + (x + 2)i x–2 x+2 i = = = = + 2 1–i 1–i (1 – i)(1 + i) 1+1 2 2 Módulo = √( ) ( ) x–2 — 2 2 x+2 + — 2 =2 8 √ x2 + 4 x2 + 4 =2 8 =4 8 2 2 x1 = 2 x2 = –2 8 x2 + 4 = 8 8 x2 = 4 6 2 Hay dos soluciones: x1 = 2, x2 = –2 Halla el lado del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas de 4 √3 – 4i. Resolución 3 z= — √4√3 – 4i Expresamos 4 √3 – 4i en forma polar: r= — √(4√ 3 )2 + (–4)2 = 8 °§ ¢ 4 √3 – 4i = 8330° 1 tg a = – — — 8 a = 330° § √3 £ 3 3 z = √8330° = √8 330° + 360°k 3 z1 = 2110° z2 = 2230° z3 = 2350° A = z1 En el triángulo AOB conocemos dos lados, OA = OB = 2, y el ángulo comprendido, 120°. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, AB : O B = z3 AB 2 = 22 + 22 – 2 · 2 · 2 · cos 120° = 12 8 AB = √12 = 2√3 u C = z2 7 Representa gráficamente. a) 1 Ì Im z Ì 5 – b) |z| = 3 c) z + z = – 4 b) c) a + bi + a – bi = –4 8 8 2a = –4 8 a = –2 Resolución a) 5 3 3 1 –2 1 UNIDAD 6 Números complejos 3. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto 8 Halla dos números complejos tales que su cociente sea 2150° y su producto 1890° . Resolución ra r = 2150° 8 = 2; a – b = 150° s sb ra · sb = 1890° 8 r · s = 18; a + b = 90° Resolvemos los sistemas: ° a – b = 150° ¢ £ a + b = 90° ° r/s = 2 ¢ £ r · s = 18 Obtenemos: °r = 6 ¢ £s = 3 ° a = 120° ¢ £ b = –30° = 330° Los números son 6120° y 3330°. Otra posible solución es: 6300° y 3150°. 9 – Demuestra que |z · z | = |z|2. Resolución z = a + bi ° – ¢ z · z = (a + bi )(a – bi ) = a2 – b 2i 2 = a2 + b 2 z– = a – bi £ |z| = √a2 + b 2 |z · z–| = √(a2 + b 2)2 = a2 + b 2 ° – ¢ |z · z | = |z|2 8 |z|2 = (√a2 + b2 )2 = a2 + b 2 £ 10 Calcula cos 120° y sen 120° a partir del producto 190° · 130° . Resolución 190° · 130° = 1(cos 90° + i sen 90°) · 1(cos 30° + i sen 30°) = =i· ( √3 2 +i ) 1 1 √3 =– + i 2 2 2 190° · 130° = 1120° = 1(cos 120° + i sen 120°) = – √3 1 √3 1 + i 8 cos 120° = – ; sen 120° = 2 2 2 2 11 Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo 2 + 3i mediante un giro de 30º con centro en el origen. Resolución 2 + 3i Multipicamos por 130° = 1(cos 30° + i sen 30°). z = (2 + 3i ) · 130° = (2 + 3i ) z = √3 + z= 3√3 3 2 i i +i+ 2 2 2 √3 – 3 2 + 3 √3 + i 2 2 ( √3 2 +i 1 2 ) Pág. 3 de 3