El problema de la curvatura escalar prescrita para dominios en S2

El problema de la curvatura escalar prescrita para dominios en S2

El problema de la curvatura escalar prescrita
para dominios en S 2
Rafael López-Soriano∗ and David Ruiz
†
Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Granada
Abstract. El objetivo del siguiente estudio es el de demostrar la existencia de
solución para un cierto problema de curvatura escalar prescrita, con condición
de borde tipo Neumann. Consideraremos un cierto dominio Σ dentro de S 2 y
K : Σ → R la curvatura de Gauss a prescribir. Entonces, el problema es:
(
u
−∆u + 2 = 2A(Σ) R Ke
in Σ
u,
Ke
Ω
(1)
∂u
on ∂Σ.
∂n = 0,
Para el caso en que A(Σ) < 2π, el funcional de energı́a asociado es acotado
inferiormente y coercivo. Chang y Yang demostraron la existencia de solución
en [1]. Si A(Σ) = 2π el problema resulta muy delicado. Tal y como plantea
Wang en [3], nos centraremos en el caso supercrı́tico, A(Σ) ∈ (2π, 4π), para el
que el funcional no es acotado inferiormente y hemos de emplear una estructura
minimax.
References
[1] Chang, A., Yang, P. Conformal deformation of metrics on S 2 J. Diff. Geom.
27, (1988), no. 2, 259–296.
[2] Chen W. X., Li C., Prescribing Gaussian curvatures on surfaces with conical
singularities J. Geom. Anal. 1-4, (1991), 359-372.
[3] Wang, C. Niremberg’s problem on domains in the 2-sphere. J. Geom. Anal.
11 (2001), no. 4, 717-726.
∗ [email protected]
† [email protected]