Solución - IES Francisco Ayala

IES Francisco Ayala Granada
Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
Análisis
Ejercicio 1 Modelo 3 de COU I del libro_98_99
x
Sea f : R → R la función definida por f(x) = e .
(1) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa, x = a.
(2) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta de ecuación
2x - 2y + 1 = 0.
(3) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es tangente a la gráfica de f.
Solución
x
Sea f : R → R la función definida por f(x) = e .
(1)
x
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e , en el punto de abscisa x = a.
La ecuación de la recta tangente (R.T.) en x = a es y – f(a) = f ‘(a)(x – a)
x
a
f(x) = e , de donde f(a) = e .
x
a
f ‘(x) = e , de donde f(a) = e .
a
a
La R.T. en x = a es y – e = e . (x – a)
(2) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta de ecuación
2x - 2y + 1 = 0.
(2)
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta de ecuación 2x - 2y + 1 = 0.
a
a
La R.T. en x = a es y – e = e . (x – a)
Como es paralela a la recta 2x - 2y + 1 = 0, que en forma explícita es y = x + (1/2), sus pendientes son
iguales.
a
La pendiente de la recta tangente es e .
La pendiente de la recta y = x + (1/2), es y ‘ = 1.
a
Igualando pendientes tenemos e = 1, de donde a = Ln(1) = 0, por tanto me están pidiendo la R.T. en x = 0
0
0
que sería y – e = e . (x – 0), es decir y = x + 1
(3)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es tangente a la gráfica de f.
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) es y – 0 = m. (x – 1).
1
Como es tangente a la gráfica de f el punto (1,0) su pendiente m es f ‘(1) = e , luego la recta pedida es
y = e. (x – 1)
Ejercicio 2 Modelo 3 de COU I del libro_98_99
2
 x + x2 
Sea f : R -> R la función definida por f(x) = 
representa la raíz cuadrada positiva.
 donde


2


(1) [1'25 puntos]. Estudia la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
(2) [1 punto]. Determina los intervalos de crecimiento de f.
3
(3) [0'75 puntos]. Calcula ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx.
Solución
2
 x + x2 
Sea f : R -> R la función definida por f(x) = 
 donde √ , representa la raíz cuadrada positiva.


2


(1)
2
 x + x2 
Estudia la continuidad y la derivabilidad de f(x) = 
 en x = 0.


2


 -x si x < 0
Recordamos que (x)2 = |x| = 
, luego
+x si x ≥ 0
 x + x2 
f(x) = 



2


 x + x2
f(x) = 

2

nos que ver su
2
  x-x  2


 2 
=
2
 x+x 
 2 


si x < 0
si x ≥ 0
0
= 2
x
si x < 0
si x ≥ 0
2

 , es continua en todo R por suma y producto de funciones continuas, por tanto sólo


derivada en x = 0
[email protected]
1
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Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
 0 si x < 0
f(x) =  2
 x si x ≥ 0
 0 si x < 0
f '(x) = 
 2x si x > 0
+
Veamos si f ‘(0 ) = f ‘(0 )
f ‘(0 ) = lim x -> 0- f ‘(x) = lim x -> 0- (0) = 0
+
+
f ‘(0 ) = lim x -> 0+ f ‘(x) = lim x -> 0+ (2x) = 0, como f ‘(0 ) = f ‘(0 ) = 0, existe f ‘(0) = 0
(2)
Determina los intervalos de crecimiento de f. Estudiamos su primera derivada, puesto que la función es
continua y derivable en todo R.
 0 si x < 0
f '(x) = 
 2x si x ≥ 0
De f ‘(x) = 0, tenemos 2x = 0, de donde x = 0
Como f ‘(1) = 2 > 0, la función f(x) es estrictamente creciente si x > 0
 0 si x < 0
Realmente viendo la función f(x) =  2
, se observa que para x < 0, es la constante 0, y para
 x si x ≥ 0
2
x > = 0, es la parábola x .
(3)
3
Calcula ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx.
3
0
-3
0
-3
2
∫ -3 [ 3.f(x) ] dx = ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx + ∫ 0 [ 3.f(x) ] dx = ∫ -3 [ 0 ] dx + ∫ 0 [ 3.x ] dx =
0
3 -3
= [ K ] -3 + [ x ] 0 = ( 0 ) + [ (– 27 ) – (0) ] = – 27.
Ejercicio 3 Modelo 3 de COU I del libro_98_99
(1) [1 punto]. Enuncia el Teorema del Valor Medio de Lagrange.
(2) [2 puntos]. De una función f : [2,5] → R se sabe que es derivable y que los valores mínimo y
máximo de su función derivada f ' son, respectivamente, 7 y 9. Justifica razonadamente cuál o cuáles
de los siguientes casos no pueden darse:
(i) f( 2) = 6 y f( 5) = 8,
( ii) f (2) = 6 y f ( 5) = 30,
( iii) f( 2) = 6 y f( 5) = 300,
Solución
(1)
Enuncia el Teorema del Valor Medio de Lagrange: Si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b)
entonces existe al menos un nº c de (a,b) tal que f ´’(c)(b – a) = f(b) – f(a), que a veces se suele escribir
en la forma f ‘(c) = [ f(b) – f(a) ]/(b – a)
(2)
De una función f : [2,5] -> R se sabe que es derivable y que los valores mínimo y máximo de su función
derivada f ' son, respectivamente, 7 y 9. Justifica razonadamente cuál o cuáles de los siguientes casos
no pueden darse:
(i) f( 2) = 6 y f( 5) = 8,
( ii) f (2) = 6 y f ( 5) = 30,
( iii) f( 2) = 6 y f( 5) = 300,
Le aplicamos el Teorema del Valor Medio de Lagrange a f(x) en [2,5], sabiendo que en dicho intervalo
se verifica 7 < f ‘(x) < 9
f(2) = 6 y f(5) = 8, tenemos:
En el caso: (i)
[ f(5) – f(2) ]/(5 – 2) = f ‘(c) = 2/3 que no verifica 7 < f ‘(x) < 9.
En el caso: (ii)
f(2) = 6 y f(5) = 30, tenemos:
[ f(5) – f(2) ]/(5 – 2) = f ‘(c) = 8 que si verifica 7 < f ‘(x) < 9.
En el caso: (iii)
f(2) = 6 y f(5) = 300, tenemos
[ f(5) – f(2) ]/(5 – 2) = f ‘(c) = 98 que no verifica 7 < f ‘(x) < 9.
Ejercicio 4 Modelo 3 de COU I del libro_98_99
[3 puntos]. Sea f : (0, + ∞) → R la función definida por f(x) = x(1 – Ln(x)), donde Ln(x) es e l logaritmo
neperiano de x. Encuentra una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1,1)
Solución
Encuentra una primitiva de f(x) = x(1 - Ln(x)), cuya gráfica pase por el punto (1,1)
[email protected]
2
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Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
f(x) = x(1 – Ln(x)) = x – x.Ln(x)
2
Una primitiva es F(x) = ∫ [ x – x.Ln(x) ]dx = ∫ xdx – ∫ [ x.Ln(x) ]dx = x /2 – ∫ [ x.Ln(x) ]dx
∫ [ x.Ln(x) ]dx es una integral por partes
u = Ln(x), de donde du = (1/x)dx
2
dv = (x)dx, de donde v = ∫ xdx = (x ) /2
2
( ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du )
2
2
∫ [ x.Ln(x) ]dx = [(x ) /2].Ln(x) - ∫ [(x ) /2]. (1/x)dx = [(x ) /2].Ln(x) – (1/2). ∫ [(x)dx =
2
2
= [(x ) /2].Ln(x) – (1/4).x
2
2
2
Por tanto F(x) = x /2 – [((x ) /2).Ln(x) – (1/4).x ] + K
Como pase por el punto (1,1) tenemos F(1) = 1, de donde 1 = 1/2 – [((1 /2).Ln(1) – (1/4) ] + K, luego
resulta que K = 1 – 1/2 – 1/4 = 1/4.
2
2
2
La primitiva pedida es F(x) = x /2 – [((x ) /2).Ln(x) – (1/4).x ] + 1/4.
Álgebra Lineal y Geometría
Ejercicio 5 Modelo 3 de COU I del libro_98_99
a 
a 
(1) [2 puntos]. Sabiendo que los vectores  11  y  12  son linealmente independientes, prueba que el
a
 21 
 a22 
sistema de ecuaciones lineales
a 11x + a 12 y = b 1
a 21x + a22 y = b 2
a 31x + a32 y = b 3
es compatible y determinado si, y sólo si, se verifica que
a11 a12 b1
a21 a22
a31 a32
b2 = 0
b3
(2) [2 puntos]. Determina para qué valor, o valores, del parámetro “a” tiene solución única el sistema
2x - 3y = 2
3x - 3y = a
5x + ay = -13
hallando dicha solución para cada valor de “a” encontrado.
Solución
(1)
a 
a 
Sabiendo que los vectores  11  y  12  son linealmente independientes, prueba que el sistema de
a
 21 
 a22 
ecuaciones lineales
a 11x + a 12 y = b 1
a 21x + a22 y = b 2
a 31x + a32 y = b 3
a11 a12
es compatible y determinado si, y sólo si, se verifica que a21 a22
a31 a32
 a11 a12 


La matriz de los coeficientes es A =  a21 a22  y la
a

 31 a32 
a
a
a 
Como 11 12 ≠ 0 , al ser los vectores  11  y
a21 a22
 a21 
b1
b2 = 0
b3
 a11 a12 b1 


matriz ampliada A =  a21 a22 b2  .
a

 31 a32 b3 
 a12 
  son linealmente independientes resulta que
 a22 
*
*
rango(A) = 2. Por tanto para que el sistema sea compatible rango(A ) tiene que ser 2, es decir se tiene
a11 a12 b1
que verificar que a21 a22
a31 a32
b2 = 0.
b3
*
Como rango(A) = rango(A ) = 2 = nº de incógnitas el sistema es compatible y determinado y tiene
solución única.
[email protected]
3
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Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución
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(2)
Determina para qué valor, o valores, del parámetro “m” tiene solución única el sistema
2x - 3y = 2
3x - 3y = m
5x + my = -13
hallando dicha solución para cada valor de “m” encontrado.
*
Según hemos visto en el apartado (1) para que el sistema tenga solución rango(A ) = 2, para lo cual el
2 −3 2
determinante 3 −3
5
m
m tiene que ser 0.
−13
2 −3 2
2
−3
2
Adjuntos
3 −3 m F2 − F1 = 1
0
m − 2 segunda = (-1)(51 – 2m – 12) – (m – 2)(2m + 12 + 3) =
fila
5 m −13 F3 − 2F1 1 m + 6 −17
2
= – 2m – 9m – 9 = 0.
2
La ecuación de 2º grado 2m + 9m + 9 = 0, tiene de soluciones m = -3/2 y m = - 3. Para esos dos valores el
sistema es compatible y determinado. Como el rango es 2 que coincide con el nº de incógnitas sólo
necesitamos dos ecuaciones, tomaremos en cada caso loas dos primeras.
Si m = - 3 nuestro sistema es
2x - 3y = 2
3x - 3y = -3. F2 – F1 nos dá x = -5, de donde y = -4 y la solución del sistema es (x,y) = (-3, -4)
Si m = - 3/2 nuestro sistema es
2x - 3y = 2
3x - 3y = -3/2. F2 – F1 nos dá x = -7/2, de donde y = -3 y la solución del sistema es (x,y) = (-7/2, -3)
Ejercicio 6 Modelo 3 de COU I del libro_98_99
Sea “r” la recta que pasa por el punto A(0,2,1) y tiene como vector director el vector v = (1,-1,1).
(1) [1'5 puntos]. Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B(4, 7, 5).
(2) [1'5 puntos]. Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ.
(3) [1 punto]. ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ?
Solución
Sea “r” la recta que pasa por el punto A(0,2,1) y tiene como vector director el vector v = (1,-1,1).
(1)
Halla el punto P de la recta “r” ( que pasa por el punto A(0,2,1) y tiene como vector director el vector v =
(1,-1,1).), que está más cerca del punto B(4,7,5).
El punto P de “r” mas próximo al B(4,7,5), es el punto proyección ortogonal de B sobre “r”.
Ponemos la recta “r” en paramétricas
x=0+λ
y=2-λ
x = 1 + λ, con λ de R.
Calculamos el plano π perpendicular a la recta “r” ( su vector normal n coincide con el director de la recta u
= (1, -1, 1) ) que pasa por el punto B(4,7,5), y después hallamos el punto P, pedido, como intersección de
la recta “r” con el plano π.
Un plano paralelo a π es x – y + z + d = 0, como pasa por B(4,7,5), sustituyendo tenemos
4 – 7 + 5 + d = 0, de donde d = - 2, y el plano π es x – y + z – 2 = 0
Sustituimos “r” en π
(λ) – (2 – λ) + (1 + λ) – 2 = 0, de donde 3λ – 3 = 0, luego λ = 1 y el punto es P((1), 2–(1),1+(1)) = P(1,1,2)
(2)
Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ.
A(0,2,1), P(1,1,2), B(4,7,5) y Q(x,y,z)
[email protected]
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Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
Si APBQ es un paralelogramo los vectores AP y QB son equipolentes y por tanto sus coordenadas
son iguales
AP = (1, -1, 1)
QB = (4 - x, 7 - y, 5 - z). Igualando coordenadas tenemos
(1, -1, 1) = (4 - x, 7 - y, 5 - z), de donde
1 = 4 – x, luego x = 3
-1 = 7 – y, luego y = 8
1 = 5 – z, luego z = 4, y el punto Q es Q(x,y,z) = Q(3, 8, 4)
(3)
¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ?
Calculamos el producto escalar de AP y AQ, así como sus módulos
2
2
2
AP = (1, -1, 1), || AP || = √(1 +1 +1 ) = √(3) u.l.
2
2
2
AQ = (3, 6, 3), || AP || = √(3 +6 +3 ) = √(54) u.l., por tanto es un romboide o un rectángulo. Veamos su
producto escalar .Si es 0, forman un ángulo de 90º.
AP. AQ = (1, -1, 1). (3, 6, 3) = 3 – 6 + 3 = 0, por tanto forman un ángulo de 90º y el paralelogramo es un
rectángulo.
[email protected]
5