Hoja 10 Axiomas d - Universidad de Zaragoza

Hoja 10 Axiomas d - Universidad de Zaragoza

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
FACULTAD DE CIENCIAS
Sección de Matemáticas
Curso 2002/2003
TOPOLOGÍA GENERAL II– Hoja 10
Axiomas de recubrimiento
[1] Estudia si los siguientes espacios son compactos:
i) La recta de Sorgenfrey.
ii) El intervalo [0, 1] como subespacio de la recta de Sorgenfrey.
iii) R con la topologı́a conumerable.
iv) R con la topologı́a cofinita.
[2] Sea (X, τ ) espacio topológico T2 y S = {xn }n∈N una sucesión de X convergente a s ∈ X.
Prueba que el conjunto K = S ∪ {s} es compacto.
[3] Estudia la compacidad de los siguientes subconjuntos de R:
i) A = {1/2, 2, 1/3, . . . , 1/n, n, . . . }.
ii) B = {n + 2/n + 1|n ∈ N}.
iii) C = {(−1)n + 1/n|n ∈ N}.
iv) D = {1, 2/1, 3/2, . . . , n + 1/n, . . . }.
[4] Sea X un espacio pseudométrico que contenga una sucesión S = {xn }n∈N ⊂ X de modo
que d(x0 , xn ) ≥ n ∀n ∈ N. Prueba que X no es compacto.
Ayuda: Prueba previamente que S = {xn | n ∈ N} es un cerrado no compacto.
[5] Sea E la topologı́a en R dada por: E = {(−r, r) | r > 0} ∪ {∅, R}. Demuestra que
K = {0} es compacto pero no es cerrado.
[6] Sea (X, τ ) un espacio topológico T2 y K ⊆ X compacto; prueba que el conjunto derivado
K 0 también es compacto.
Ayuda: Observa que K es cerrado.
[7] Demuestra que el toro T2 , definido como el espacio cociente de R2 por la relación de
equivalencia: (x, y) ∼ (x + n, y + m) ∀(n, m) ∈ Z2 , es un compacto.
[8] Sea Sn = S(0; 1) ⊂ Rn+1 la esfera unidad de Rn+1 centrada en el origen. Se pide:
a) Demuestra que Sn es compacto.
b) Utiliza a) para probar que Pn es compacto.
[9] Demuestra que (R, τcn ) no es un espacio topológico sucesionalmente compacto ni numerablemente compacto.
[10] Sea I = [0, 1] el intervalo unidad cerrado de la recta real y consideremos el espacio
topológico producto dado por:
X=
Y
Xt
con
Xt = (I, τu )
t∈I
(abreviadamente X = I I ). Consideremos la sucesión S = {ξn }n∈N en X dada por
ξn = (xn (t))t∈I
donde t =
P∞
tm
m=1 2m
con
xn (t) = πt (ξn ) =
tn
2n
es el desarrollo binario de t. Demuestra:
a) lı́mn→∞ πt (ξn ) = 0 ∀t ∈ I (Observa que πt (ξn ) =
de ceros y unos en (I, τu ))
tn
2n
donde {tn }n∈N es una sucesión
b) El lı́mite de la sucesión S = {ξn }n∈N es:
ξ=
lı́m (πt (ξn ))
n→∞
t∈I
= 0
t∈I
c) Dada S 0 = {ηnk }k∈N la sucesión dada por : ηn = (yn (t))t∈I con yn (t) = πt (ηn ) = tn .
Utiliza el punto:
∞
X
δn
t0 =
2n
n=1
con
δn =
0 si n = nk con k impar
1 en otro caso
para demostrar que cualquier subsucesión {ηnk }k∈N de S 0 no es convergente.
d) Observa que el apartado c) implica que X no es un espacio sucesionalmente compacto;
mientras que por el teorema de Tychonoff, X es compacto y por tanto numerablemente compacto.
[11] Dado p un número primo, se denomina entero p-ádicoP
a una serie geométrica
P formal
de razón p y coeficiente xn ∈ {0, . . . , p − 1}; esto es x = n∈N xn · pn (donde
indica
una serie formal y no tiene porque cumplir ninguna noción de convergencia). El conjunto
de todos los enteros p-ádicos se denota:
X
Zp = x =
xn · pn | xn ∈ {0, . . . , p − 1}
n∈N
P
P
n
n
Dos enteros p-ádicos x =
n∈N xn · p , y =
n∈N yn · p son iguales si y sólo si
xn = yn ∀n ∈ N (los enteros p-ádicos se pueden sumar sin mas que sumar las series
formales componente a componente).
Se define una distancia δ en Zp dada por:
δ(x, y) =
0
p
−m
si x = y
si x =
6 y
donde m = min{n | xn 6= yn }.
Demuestra:
a) δ es una métrica y por tanto induce una topologı́a τ (δ) llamada topologı́a p-ádica
y el espacio topológico (Zp , τ (δ)) se denomina espacio de los enteros p-ádicos.
b) (Zp , τ (δ)) es completo.
c) (Zp , τ (δ)) es totalmente acotado.
d) (Zp , τ (δ)) es compacto.