semántica

Programación Declarativa
Multi-paradigma
Lenguaje
Carácterística introducida
ALGOL
Bloques
Gestión dinámica pila (arrays dinámicos)
LISP
Listas y recursión
Orden superior
Gestión dinámica heap (listas dinámicas),
con garbage collection
Simula
Clases y herencia
Concurrencia
Pascal
Gestión dinámica heap (punteros),
sin garbage collection
Código intermedio (P-code)
Prolog
Listas y recursión
Variables Lógicas
Código intermedio
Smalltalk
Jerarquía de clases
Modelo de mensajes
ML
Inferencia de tipos
Polimorfismo
Ada
Tipos Abstractos de Datos
Java
Código intermedio (de Prolog)
Gestión dinámica heap,
con Garbage collection (de LISP)
………… (de muchos otros)
Programación Declarativa
vs.
Programación Imperativa
PROGRAMA
Transcripción de un algoritmo
INSTRUCCIONES
MODELO DE COMPUTACIÓN
VARIABLES
Órdenes a la máquina
Máquina de estados
Referencias a la memoria
Más compleja de lo que parece
(así lo demuestra la complejidad de sus definiciones semánticas o
la dificultad de las técnicas asociadas, e.g., de las técnicas de
verificación formal de programas)
Distrae la atención del programador sobre el aspecto funcional de la
solución para centrarse en el control de la máquina
Difícil de paralelizar
Programación Declarativa =
Lógica
como Lenguaje de programación
PROGRAMA
Especificacion de un problema
INSTRUCCIONES
MODELO DE COMPUTACIÓN
VARIABLES
Fórmulas lógicas
Máquina de inferencias
Variables lógicas
function length (L: list): nat
B:bool;
aux:list;
PROGRAMA
IMPERATIVO
B:= is_empty(L);
case B of
true: return 0;
false: aux:=tail(L);
return 1+length(aux)
end case
end function;
length(nil) = 0
length(E:L) = length(L)+1
PROGRAMA
FUNCIONAL
length(nil,0)
length(E.L,N) ! length(L,M) ^ N = M+1
PROGRAMA
LÓGICO
RESTRICCION
LOGICA CLAUSAL
cláusulas de Horn
PARADIGMA
RELACIONAL
(Pr ol og)
A ! B1 ^ ... ^ Bn, n"0
(donde A no es una ecuación)
LOGICA ECUACIONAL
ecuaciones condicionales
FUNCIONAL
(Haskell)
s=t ! s1=t1 ^ ... ^ sn=tn, n"0
(donde todo son ecuaciones)
IDEA 1: PROGRAMA ! ESPECIFICACION EJECUTABLE
Leng. de PROGRAMACION LOGICA !
Leng. de ESPECIFICACION (ejecutable) !
Leng. de PROGRAMACION (alto nivel)
ESPECIFICACION
P
R
O
G
R
A
M
A
C
I
O
N
L
O
G
I
C
A
PROGRAMACION
Especificación vs
programación
Especificación:
fib(0)=suc(0)
fib(suc(0))=suc(0)
fib(suc(suc(X)))=fib(suc(X)) + fib(X)
Programa:
fib(X)=fib_aux(suc(0),suc(0),X)
fib_aux(A,B,0)=A
fib_aux(A,B,suc(X))= fib_aux(B,A + B,X)
fib(suc(0))
->
->
->
fib(suc(suc(0)))
->
->
->
->
fib_aux(suc(0),suc(0),suc(0))
fib_aux(suc(0),suc(suc((0)),0)
suc(0)
fib_aux(suc(0),suc(0),suc(suc(0)))
fib_aux(suc(0),suc(suc((0)),suc(0))
fib_aux(suc(suc(0)),suc(suc(suc(0))),0)
suc(suc(0))
IDEA 2: PROGRAMA ∫ LOGICA + CONTROL (Kowalski)
LOGICA: se relaciona con el establecimiento del QUE
CONTROL: e relaciona con elestablecimiento del CÓMO
VENTAJA:
el
programador
aspectos lógicos de la
aspectos de control al sistema.
se
centra
solución y
en
deja
Carácterísticas de la
Programación Declarativa
Nivel más alto de programación:







semántica más sencilla
control automático
más fácil de paralelizar
mayor potencia expresiva
menor tamaño del código
mayor productividad
mejor mantenimiento
Eficiencia ≈ lenguajes imperativos
Descripción formal de un LP
Sintaxis: qué secuencia de caracteres constituyen
un programa “legal”


elementos sintácticos del lenguaje
modelos de ejecución
Semántica: qué significa (qué calcula) un
programa legal dado

Además de ayudar al programador a “razonar” sobre el
programa, es necesaria para implementar correctamente el
lenguaje, y sirve para desarrollar técnicas y herramientas de:




Análisis y Optimización
Depuración
Verificación
Transformación
Semántica (3)
Estilos de definición semántica



Operacional
Axiomática
Declarativa
 Algebraica
 Teoría de Modelos
 Punto fijo
 Denotacional
Semántica operacional (i)
es el enfoque más antiguo
(con este estilo se definió la semántica de ALGOL’60)
primero se define una máquina abstracta M, y el
significado de cada construcción se expresa en
términos de las acciones a realizar por la máquina
la forma má simple de definirla es proporcionar un intérprete para el
lenguaje L sobre la máquina M cuyas componentes se describen de
modo matemático
la definición semántica operacional de un lenguaje
lo hace ejecutable
proporciona un modelo para la implementación
Semántica operacional (ii)
Ejemplo: Structural Operacional Semantics
(SOS) (o sistemas de transición de Plotkin)
se de finen reglas de transición que especifican los
pasos de computación para una construcción
compuesta A op B en términos de la semántica de las
componentes
las reglas se suelen escribir en el estilo de los
sistemas de deducción natural
_ premisa _
conclusión
Semántica operacional (iii)
Dado que las construcciones en general modifican
una cierta noción de estado, las reglas de transición
se suelen definir sobre configuraciones del tipo
<Instrucción, Estado>
las reglas
de transición tienen entonces la forma:
____premisa____
<i,e> → <i’,e’>
indicando que una configuración en otra, cuando se satisface
cierta premisa
el conjunto de estas reglas define una relación de
transición (que llamaremos →) sobre el conjunto de
las configuraciones (un grafo de transiciones)
Semántica operacional (iv)
Formalmente, un ST es una 4-tupla (C,I,F,→), donde
o
o
o
o
C es el conjunto de las configuraciones c, que son pares
de la forma <i,e>
I ⊆ C es el conjunto de las configuraciones iniciales
F ⊆ C es el conjunto de las configuraciones finales
→ ⊆ C x C es la relación de transición
(escribiremos c → c’ para indicar que el par (c,c’) ∈ →
Una secuencia de ejecución es una secuencia de configuraciones c1 c2
... cn tal que



c1 ∈ I
cn ∈ F
ci → ci+1, para cada i en [0..n[
Un ST se llama determinista si para cada c ∈ C existe como mucho un
c’ tal que c → c’
Semántica operacional (v)
La relación de transición → se define recursivamente
como la mínima relación que satisface que:
Si c1 → c’1, …. cn → c’n
entonces
op(c1,…, cn) → op(c’1,…, c’n)
Ejemplo:
SOS de un minilenguaje imperativo
Expresiones aritméticas, booleanas e instrucciones
NOTA: estas reglas son semánticas, no están en BNF!
Arit-expr:
a ::= n | X |a0+a1 | a0-a1 | a0*a1
Bool-expr:
b ::= true | false | a0=a1 | a0≤a1 | ¬b | b0 ∨ b1
Command:
i ::= skip | X:=a | i0;i1 | if b then i0 else i1 |while b
do i
ejemplo
Semántica de las expresiones aritméticas:
Evaluación de constantes <n,e> → n
Evaluación de variables
<X,e> → e(X)
asumir que el estado está representado como una función
e= {X1→n1…Xk → nk} que asigna a cada variable X su valor n
en dicho estado (o error si X no está inicializada)
Evaluación de sumas
<a0,e> → n0
<a1,e> → n1
< a0 + a1, e> → n0 + n1
Evaluación de restas y productos.... similar
ejemplo
Semántica de las expresiones booleanas:
Evaluación de las constantes
< true, e> → true
< false, e> → false
Evaluación de la igualdad
<a0,e> → n0
<a1,e> → n1
< a0 = a1, e> → true
<a0,e> → n0
<a1,e> → n1
< a0 = a1, e> → false
si n0 y n1 son iguales
si n0 y n1 son distintos
ejemplo
Semántica de las expresiones booleanas:
Evaluación de la comparación
<a0,e> → n0
<a1,e> → n1
< a0 ≤ a1, e> → true
n0 es menor o igual que n1
<a0,e> → n0
<a1,e> → n1
< a0 ≤ a1, e> → false
n0 no es menor o igual que n1
Evaluación de la negación
<b,e> → true
< ¬ b,e> → false
ejercicio: disyunción
<b,e> → false
< ¬ b,e> → true
ejemplo
Semántica de las instrucciones:
Evaluación de las instrucciones simples
< skip, e> → e
<a,e> → n
< X:=a , e> → e ° {Xn}
Evaluación del condicional
<b,e> → true
< i0,e> → e’
< if b then i0 else i1 , e> → e’
<b,e> →false
< i1,e> → e’
< if b then i0 else i1 , e> → e’
ejemplo
Semántica de las instrucciones:
Evaluación de la iteración
<b,e> → false
< while b do i, e> → e
<b,e> →true
< i,e> → e’’ < while b do i, e’’> → e’
< while b do i, e> → e’
Evaluación de la secuencia
< i0,e> → e’’ < i1,e’’> → e’
< i0; i1, e> → e’
Ejercicio
Calcular la semántica de:
{X:=4;
while X≤2 do X:=X-1
}
Sem(P)=e if <P,{}> →* e
(el lenguaje del ejemplo es determinista)
<{X:=4;while X≤2 do X:=X-1},{}> →
< while X≤2 do X:=X-1,{X→4}> →
{X→4}
Semántica axiomática (i)
enfoque típico de los trabajos sobre verificación fomal
de programas
(con este estilo se definió la semántica de Pascal)
el significado de cada construcción i del lenguaje se expresa en términos de
una transformación que establece qué se puede afirmar sobre el estado de la
máquina tras la ejecución de i en términos de lo que era cierto antes
o viceversa, qué debe cumplirse antes para llegar al estado que
se quiere obtener tras la ejecución
Semántica axiomática (ii)
En general se define representando los estados mediante
predicados (en vez de como funciones) y asociando a cada
instrucción i del lenguaje un transformador de predicados (o
transformador de estados) que funciona en “sentido inverso” al
programa
es decir, a partir del estado “de llegada”, representado por el
predicado p, y dada una instrucción i del lenguaje considerado,
el transformador de predicados
pmd: Instrucciones x LógicaPred. -> LógicaPred
proporciona el “predicado más debil” pmd(i, p) que expresa lo
que debe cumplirse en el estado anterior a la ejecución de i para
que, después de dicha ejecución, se haya alcanzado el estado p
Semántica axiomática (iii)
Por ejemplo, si i es una instruccion de asignación del tipo
”X:=e“ definimos:
pcm(”X:=e“,p) = p[e → X]
donde p[e→ X] es el predicado que resulta de “deshacer el efecto”
de haber sustituido X por e en p, es decir, donde está e poner X
otra vez
pcm(“X:=a“, Y=[a,b,Z]) ≡ Y=[X,b,Z]
Semántica declarativa (i)
el significado de cada construcción se define en términos
de elementos y estructuras de un dominio matemático
conocido.
este enfoque ha dado lugar a diferentes aproximaciones:
TEORÍA MATEMÁTICA
1.
2.
3.
4.
Tª
Tª
Tª
Tª
Modelos Lógica
Categorías
Funciones Recursivas
Dominios
ESTILO SEMÁNTICO
->
->
->
->
Tª DE MODELOS
ALGEBRAICA
PUNTO FIJO
DENOTACIONAL
Semántica declarativa (ii)
1. Semántica por TEORÍA DE MODELOS
STM
Con este estilo se ha definido la semántica de los lenguajes
lógicos como Prolog



Intuitivamente, un programa lógico P es un conjunto de
fórmulas lógicas que definen relaciones
ejemplo
P= par(0).
par(s(s(X)) ← par(X).
el significado del programa lógico P dado por una semántica STM
es el conjunto de átomos (sin variables) que son consecuencia
lógica de P:
STM(P) = {par(0),par(s(s(0))),par(s(s(s(s(0))))),….}
Semántica declarativa (iii)
2.
Semántica ALGEBRAICA SALG
Con este estilo se ha definido la semántica de algunos
lenguajes funcionales como OBJ


Intuitivamente, un programa funcional R es un conjunto de
ecuaciones que definen funciones
ejemplo R =
par(0)=true
par(s(0))=false
par(s(s(X)) = par(X)
el significado SALG(R) del programa funcional R es el Tipo
Abstracto de Datos asociado, definido formamente como la
menor congruencia inducida en el dominio del programa
(el conjunto de datos que éste manipula) por las
ecuaciones del mismo (álgebra inicial)
Semántica declarativa (iv)
SALG(R) =
true
par(0)
par(s(s(0)))
par(s(s(s(s(0)))))
…
false
par(s(0))
par(s(s(s(0))))
…
Semántica declarativa (v)
3. Semántica de PUNTO FIJO SPF
Se usa para todo tipo de lenguajes (imperativo, lógico, funcional, etc)
Se utiliza como enlace para demostrar la equivalencia entre diferentes
caracterizaciones de un mismo lenguaje.


Intuitivamente, se asocia al programa P una transformación
(generalmente una función continua) TP definida sobre
conjuntos de átomos
el significado del programa se define como el menor punto
fijo (least fixpoint lfp) de dicha transformación lfp(TP)
Semántica declarativa (vi)



dado un conjunto C de átomos, definimos la transformación
TP (C) así:
TP (C) = { A | hay una regla H ← B ∈ P tal que
en C hay una instancia del átomo B que está en la premisa de
la regla y A se calcula como la correspondiente instancia de la
conclusión H}
el menor punto fijo de una función T es el menor valor C de
su argumento t.q. T(C)=C
y se obtiene aplicándolo infinitas veces empezando desde el
conjunto vacío
ejemplo P=
par(0).
par(s(s(X)) ← par(X).
SPF(P) = lfp(TP)= {par(0),par(s(s(0))),par(s(s(s(s(0))))),….}
Semántica declarativa (vii)
4. Semántica DENOTACIONAL SDEN
Con este estilo se ha la semántica de lenguajes funcionales
e imperativos, como ML y ADA


Técnicamente, es la más compleja, pero también muy rica;
permite dar cuenta de computaciones que no terminan,
orden superior …
Se requiere definir:
 los dominios sintácticos (construcciones sintác. correctas)
 los dominios semánticos (valores asociados a cada const.
sintác. correcta)
 las funciones de evaluación semántica
(de los dominios sintácticos a los semánticos)
 las ecuaciones semánticas

Operadores estándar sobre dominios + (∪), ×, →
ejemplo:
SDEN de un minilenguaje imperativo
<programa> ::= PROGRAM READ <id>;
BEGIN <instruccion>
END;
WRITE <expresion>
END
<instruccion> ::=
<id> := <expresion> |
<instruccion>; <instruccion> |
WHILE <expresion> DO <instruccion> END
<expresion> ::= <id> | <cte> | (<expresion>) |
<expresion> <op> <expresion>
<id> ::= ……
<cte> ::= ……..
<op> ::= ……..
ejemplo

dominios sintácticos: (conjuntos)
 Id (identificadores) - predefinido
 Cte (Constantes) - idem
 Op (Operadores) - idem
 Exp (Expresiones) - definido como:
Exp= Id + Cte + (Exp x Op x Exp)
 Inst (Instrucciones) - definido como:
Inst= (Id x Exp) + (Inst x Inst) + (Exp x Inst)
 Prog (Programas)
Prog = Id x Inst x Exp
ejemplo

dominios semánticos: (funciones)






E
V
Sop
Sexp
Sinst
Sprog
(Estados)
(Valores)
- predefinido
(Dominio semántico asociado
(Dominio semántico asociado
(Dominio semántico asociado
(Dominio semántico asociado
a los
a las
a las
a los
operadores)
expresiones)
instrucciones)
Programas)
con las siguientes definiciones: (como funciones!)
E
= Id → V (estado como función de Id a V)
Sop = V x V → V (opera con valores y da valor)
Sexp = E → V (evalua una expresion a su valor)
Sinst = E → E
(transforma estado en estado)
Sprog = V → V
(lee valor y entrega valor)
ejemplo

valuaciones
: (de los dominios sintácticos
a los dominios semánticos)
 Vconst: Const → V
 Vop:
Op
→ Sop
- predefinida
- predefinida
 Vexp: Exp → Sexp
 Vins: Inst → Sinst
 Vprog: Prog → Sprog

ecuaciones semánticas
ejemplo:
Vinst[i1;i2](e) = Vinst[i2] (Vinst[i1] (e))
Semántica declarativa (viii)
La elección de la semántica depende de:
* el uso que se dará a la definición semántica
ayuda a la implementación del lenguaje (e.g. OPERACIONAL)
ayuda al programador
diseño del lenguaje (e.g. PUNTO FIJO)
…
* el tipo de lenguaje
LOGICO
FUNCIONAL
IMPERATIVO
…
* la riqueza pretendida para las descripciones
Equivalencia de programas.
Corrección y Completitud.
La semántica de un lenguaje nos permite razonar sobre la equivalencia de programas

P ≡OB P’ si y solo si SOB (P)=SOB(P’)

P es completo respecto a P’ si SOB (P) ⊇ SOB (P’)

P es correcto respecto a P’ si SOB(P) ⊆ SOB(P’)
donde OB= cualquiera de las semánticas que hemos visto
EJEMPLO: SOP(while false do Q) = SOP(skip)
En particular, si P’ es una especificación formal (presentada también como un programa,
probablemente escrito en otro lenguaje, que resuelve el mismo problema que P de manera más
simple aunque menos eficiente).
la semántica ayuda a verificar si P es una implementación correcta y completa de la especificación P’:
es decir, si computa todo lo que debe y sólo eso.
EJEMPLO:
P’=programa funcional “par”
P={par(0)=true, par(s(s(X)))=true}
SALG(P) ≠ SALG(P’)
de hecho, P no sería una implementación correcta ni completa de P’