tangencias

TANGENCIAS
Tangencias como aplicación de los
conceptos de potencia e inversión
TEMAR
Objetivos y orientaciones metodológicas
El objetivo de este tema es hacer aplicación de los conceptos de "potencia" e "inversión" en la resolución de
problemas de tangencias. Es conveniente que el alumno comprenda el porqué de cada aplicación y no memorice
las construcciones.
t. Introducción
La utilización de las propiedades geométricas que se
derivan de los conceptos de potencia e inversión permiten
resolver los problemas
de tangencias
de mayor
complejidad. En algunos casos se aplican, además, la
dilatación y la simetría como operaciones auxiliares
previas, que transforman el problema en otro más sencillo
y resuelto previamente.
Cuando se aplica este proceso de resolución, a fin de
simplificar las explicaciones,
una vez efectuada y
justificada la conversión, se remite al alumno al ejercicio,
tangencias en los que la solución es una o varias
circunferencias se necesitan tres datos o condiciones.
Esta consideración
es particularmente
importante
cuando se dibujan contornos de formas delimitados por
arcos de circunferencia tangentes (bombilla, gancho de
grúa, botella, etc.), en las que es preciso resolver
consecutivamente varios casos de tangencias y alguno
de los datos necesarios para resolver una tangencia se
obtiene en la resolución de otra anterior.
Conviene
señalar
que alguno
de los casos
de
ya resuelto anteriormente, en el que se ha transformado,
para completar el proceso. Para ello, los datos de partida
tangencias cuya resolución se explica en este tema
aplicando el concepto de potencia o el de inversión, se
del ejercicio más complejo se habrán elegido de modo
que, una vez efectuada la transformación, los datos
resultantes coincidan con los utilizados para explicar el
caso en el que se ha convertido. Así, la resolución
completa del caso más complejo es exactamente la suma
de las dos explicaciones aportadas por separado.
puede resolver utilizando otros métodos diferentes a
estos. Incluso, como se verá a lo largo del tema, algún
caso de tangencia
se puede resolver aplicando
indistintamente potencia e inversión. En estos casos, en
ambas resoluciones, se partirá de los mismos datos.
Téngase en cuenta que una circunferencia queda
definida por tres puntos, por lo que, en los problemas de
Por último, se recuerda que una tangencia no se
considera totalmente resuelta hasta que no se conocen
los puntos de tangencia.
DIBUJO TÉCNICO
II - Bachillerato
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2. Resolución de tangencias aplicando
el concepto de potencia
2.1. Trazar las circunferencias tangentes a una recta r y que pasan por dos puntos P y Q (Fig. 1)
Se trata de hallar los puntos de tangencia de las
circunferencias solución con la rectar, para lo que hay
que hallar el centro radical de las circunferencias que se
buscan y der, a la que se considera "circunferencia" de
radio infinito.
Todas las circunferencias que pasan por los puntosP
y O tienen su centro en la mediatriz del segmento que
determinan y como eje radical la rectaPo. Por otra parte,
como ha quedado demostrado en el tema 2, el eje radical
Fig. 1.
de una circunferencia y una recta es la propia recta, por
tanto, el punto Gr, donde la rectaPO corta ar, es el centro
radical de las circunferencias que pasan por los puntos
P y 0, entre los que se hallan las soluciones que se
buscan,ylarecta~
Con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro E
que pasa por los puntos P y O se calcula la distancia
Gr TE = ..JK, raiz cuadrada de la potencia de Gr respecto
de las circunferencias descritas.
p
Los puntos de tangencia TI y T2 de las dos circunferencias solución con la rectar se encuentran a ambos
lados de C, a la distancia ..JK de este punto. Los centros
buscadas se hallan donde
1y 02 de las circunferencias
las perpendiculares a r por TI y T2 cortan, respectivamente, a la mediatriz del segmento PO.
°
2.2. Trazar las circunferencias tangentes a dos
rectas r y s que se cortan y pasan por un
punto P dado (Fig. 2)
Fig. 2.
Los centros de las circunferencias tangentes a las
rectasr y s se hallan en la bisectriz del ángulo que forman
y si estas circunferencias pasan por el punto P, pasarán
también porO, simétrico de aquél respecto de la citada
bisectriz. Según esto, el problema se convierte en el caso
anterior, en el que se trazan las circunferencias
tangentes a una rectal y que pasan por los puntosP y O.
En la Fig. 2, la posición de las rectas t y S Ydel punto
P es tal que, una vez determinado el punto O, la posición
de la rectal y de los puntosP y O coincide con la posición
de estos mismos elementos en la Fig. 1. Por tanto, si a
la Fig. 2 se añaden los trazados de la Fig. 1, se
completa la resolución de este caso de tangencias.
2.3. Trazar las circunferencias tangentes a dos
rectas rl y 51 que se cortan y una circunferencia de centro P (Figs. 3 y 4)
Fig. 3.
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DIBUJO TÉCNICO
II - Bachillerato
Aplicando a la circunferencia dada una dilatación
negativa de magnitud igual a su radioR, se transforma
en un punto, su propio centro P Para mantener la
equivalencia con los datos iniciales, las rectasr¡ ys¡,
consideradas "circunferencias" de radio infinito, se
dilatan la misma magnitudR, ambas en el mismo sentido
respecto de la bisectriz del ángulo que forman las rectas
dadas.
De este modo, el problema se ha convertido en el caso
anterior: trazar las circunferencias tangentes a las rectas
r y s y que pasan por el punto P. Estos datos coinciden
con los de partida de laFig. 2, por lo que calculando el
punto Q y continuando con los trazados de laFig. 1 se
obtienen los centros 01 y 02 de dos circunferencias
solución. Los radios de estas son el resultado de sumar
a los obtenidos en la Fig. 1 la magnitud R de la
dilatación anterior, para recuperar mediante otra
dilatación inversa la misma posición y magnitud de los
datos iniciales.
En la Fig. 4 se obtienen las otras dos soluciones, de
centros 03 y 04' que tiene este caso, resolviendo esta
mitad completa.
Los radios de las circunferencias solución, de centros
03 y 04' resultan de restarles a los de las anteriores la
magnitud R de la dilatación. Antes de trazarlas se
calculan los puntos de tangencia en los datos iniciales,
que son, respectivamente, T3 y T4 enr1, TA y TE ens1 y TM
YT N en la circunferencia de centro P.
2.4. Trazar las circunferencias tangentes a otra de
centro e y que pasan por dos puntos P y Q
(Fig.5)
Es, prácticamente, el mismo problema que el resuelto en
el apartado 2.1.La única diferencia es que la recta r, circunferencia de radio infinito, ahora tiene radio finito y centro e
La única variación con la mitad anterior consiste en
efectuar la dilatación de las rectas iniciales rl y Sl en
sentido contrario, de modo que se obtienen las rectasr'
y s'. El problema se ha transformado
en trazar las
circunferencias tangentes a las rectasr' y s'y que pasan
por el puntoP
Calculando el punto Q, simétrico deP respecto de la
bisectriz común de los ángulos que forman las rectas r1
y S1 y las r' y s', se trata ahora de trazar las circunferencias tangentes a la rectar' y que pasan por los puntos
P y Q Se determina
Gr, centro radical del haz de
circunferencias que pasan por P y Q Yde la rectar'. Con
la circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por los
puntos P y Q, se calcula -IK , raíz cuadrada de la potencia
del punto Gr respecto de las circunferencias del haz,
entre las que están las soluciones que se buscan. Por los
puntos T~ y T~ de r', que distan 1K de e, se trazan las
perpendiculares a esta recta que cortan a la bisectriz en
los puntos 03 y 04 Las circunferencias con centros en
estos puntos y que pasan por P y Q son tangentes a las
rectas r' y s'.
Fig. 5.
Fig. 4.
DIBUJO TÉCNICO
II - Bachillerato
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Como en aquel caso, el haz de circunferencias que
pasan por los puntos P y O tienen los centros en la
mediatriz del segmento PO y su eje radical es la recta
PO.
La circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por
los puntos P y O, corta a la dada de centro G en los
puntos A y B. El punto C', donde se cortan las rectasPQ
y AB, es el centro radical de las circunferencias del haz
que pasa por P y O Yla de centro G. En consecuencia, la
potencia del punto G respecto de todas ellas es la misma
y la longitud del seg~ento -1 K también.
Las rectas tangentes desde Gr a la circunferencia dada
tienen como puntos de tangencia T¡ y T2, luego estos son
los puntos comunes de las circunferencias solución con
la dada.
Los centros de las soluciones, 01 y 02' se hallan,
respectivamente, donde las rectas T¡ G YT2G cortan a la
mediatriz del segmento PO
Se seguirá idéntico proceso cuando los puntosPy O
sean interiores a la circunferencia dada de centro e
2.5. Trazar las circunferencias tangentes
centro e y a una recta r conociendo
de tangencia Te en aquélla (Fig. 6)
a otra de
el punto
El haz de circunferencias tangentes a la de centro G
en el punto T¿ tienen los centros en la recta CTc y como
eje radical la rectae.
Fig. 6.
Este conjunto de circunferencias y la de radio infinito
r tienen como centro radical Gr, punto donde se cortan
las rectas e y r.
El segmento -IK, raíz cuadrada de la potencia de Gr
respecto de todas las circunferencias del haz, es igual a
Gl e: Por tanto, llevando sobre la rectarel segmento -IK
a ambos lados de Gr se obtienen los puntos de tangencia,
T¡ y T2, de t con las circunferencias solución. Los centros
de estas, O¡ y 02' se hallan en los puntos donde las
perpendiculares ar por T¡ y T2 cortan a la recta GTc.
2.6. Trazar las circunferencias tangentes
centro e y a una recta r conociendo
de tangencia Tr en ésta (Fig. 7)
a otra de
el punto
Este caso es similar al anterior. El haz de circunferencias
tangentes a r en el punto T, tienen sus centros en la
perpendicular por Tr ar. La circunferencia auxiliar de centro
E, que pertenece a este haz, corta a la dada en los puntos
A y B que determinan el eje radical, e, de ambas.
El punto C; donde e corta a i, es el centro radical de
las circunferencias del haz, de la dada de centro Cy de
la rectar.
Llevando sobre la circunferencia de centro G desde G
la distancia CT
= {K se obtienen
los puntos d~
r r
tangencia, T¡ y T2, de las soluciones con la circunferencia
dada.
Fig. 7.
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DIBUJO
TÉCNICO
II - Bachillerato
Los puntos O. y 02' donde las rectas Tp y T2G cortan
a la perpendicular por Tr a i, son los centros de las
circunferencias dadas.
3. Resolución de tangencias aplicando
el concepto de inversión
3.1. Trazar las circunferencias tangentes a otra de
centro e y a una recta r conociendo el punto
de tangencia Tr en ésta (Fig. 8)
Este problema se ha resuelto en la Fig. 7 aplicando el
concepto de potencia.
El método empleado en la Fig. 8se basa en la relación
de inversión entre la circunferencia de centro C y la recta
r. Los puntos M y N, donde la recta perpendicular ar por
el centro C de la circunferencia dada corta a ésta, son
los centros
de inversión
positiva
y negativa,
respectivamente,
que transforma recíprocamente
a
ambas.
En la inversión de centro M, al punto TI' punto de
tangencia de las soluciones buscadas con la rectar, le
corresponde TI' alineado con M y TI Yperteneciente a la
circunferencia de centro C, que será el punto de tangencia
con ésta de una de las soluciones. Su centro, 01, es el
punto de corte de la perpendicular ar por TI y de la recta
CTI
Tomando el punto N como centro de la inversión
negativa se determina el punto Tz inverso del punto T( El
centro, 0z' de la segunda solución es el punto de corte de
la recta CT2 con la perpendicular ar por T(
Fig. 8.
3.2. Trazar las circunferencias tangentes a otra de
centro e y a una recta r conociendo el punto
de tangencia Te en aquélla (Fig. 9)
Este caso se ha resuelto en la Fig. 6 aplicando el
concepto de potencia. A continuación se explica la
solución aplicando inversión.
Haciendo, como en el caso anterior, que la circunferencia de centro C y la recta r sean inversas, en la
inversión positiva de centro M y en la negativa de centro
N, se calcula, en ambos casos, el inverso del punto Tc
resultando, respectivamente, los puntos TI y Tz·
Los centros 01 YO2 de las soluciones se hallan en la
intersección de la recta CTc con las perpendiculares por
TI y T2 a la rectar.
3.3. Trazar las circunferencias
tangentes
a dos
rectas r y s que se cortan y pasan por un punto
P dado (Fig. 10)
En las Figs. 1 y 2 se ha explicado la resolución de
este problema aplicando el concepto de potencia.
Seguidamente
se explica su resolución aplicando
inversión.
Fig. 9.
Por lo visto en el tema anterior, sabemos que la figura
inversa de una circunferencia que no pasa por el centro
de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa
por él y que es homotética de ella, estando los centros de
ambas alineados con el centro de inversión.
Partiendo de esta propiedad se puede establecer que
una circunferencia cualquiera, de centro E, tangente a
DIBUJO
TÉCNICO
I1 - Bachillerato
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las rectas t y s se puede transformar en otras, también
tangentes a ambas rectas, mediante inversiones con
distinta potencia de inversión y centro de inversión de
todas ellas M, punto donde se cortan t y s.
Los puntos Pl y Pz' donde la recta PM corta a la
circunferencia auxiliar de centro E, se corresponden con
el punto P dado en dos inversiones positivas de centro
M. En cada una de estas inversiones, los centros de las
circunferencias
solución, 01 y 02' se hallan en las
intersecciones de la bisectriz del ángulo que forman las
rectasr y s con las paralelas por P a las rectas PIE y PzE,
respectivamente.
3.4. Trazar las circunferencias tangentes a otras
dos de centros Cl y Cz conociendo el punto de
tangencia Te en una de ellas (Fig. 11)
Sean las circunferencias de centros el y e2 y el punto
Te en la primera. La inversión positiva de centro M que
transforma una circunferencia en la otra permite calcular
el punto TI' inverso de Te y punto de tangencia de una de
las soluciones con la circunferencia de centro e2·
Fig. 10.
El punto 01 de intersección de las rectas
es el centro de una de las soluciones.
el Te y ezTl
Repitiendo el proceso, ahora con una inversión
negativa de centro N, se obtiene el punto T2, inverso de
Te y punto de tangencia de la segunda solución con la
circunferencia de centro e2. El centro de aquélla, 02' se
halla en la intersección de las rectas el Te ye2T2·
Fig. 11.
64
DIBUJO TÉCNICO
II - Bachillerato
ACTIVIDADES
1. Dibujarlas circunferencias tangentes a la dada de centro
e y que pasen por los puntos P y O (Fig. 12).
Aplicación
de la Fig. 5
p
o
eo
Q
o
Fig. 12.
2. Dibujar las circunferencias tangentes a la rectarque
tengan el centro en la recta a y pasen por el punto P
de ésta (Fig. 13).
Aplicación
de la Fig. 1
p
Fig. 13.
3. Dibujar a escala 1:11a pieza cuyo croquis acotado se
presenta (Fig. 14).
Aplicación
de la Fig. 11
Fig. 14.
DIBUJO TÉCNICO"
- Bachillerato
65
4. Dibujar a escala 1:1 el contorno cuyo croquis se
presenta (Fig. 15).
Aplicación
de la Fig. 7 o Fig. 8
Fig. 15.
5. Dibujar a escala 1:11a pieza cuyo croquis se presenta
(Fig. 16).
Aplicación
de la Fig. 3
Nota: El arco de circunferencia con centro en Q es
tangente a las rectasr y s ya la circunferencia de
centroP.
Fig. 16.
6. Dibujar a escala 1:2 la cuchara
presenta (Fig. 17).
Aplicación
42
168
Fig. 17.
66
DIBUJO TÉCNICO"
- Bachillerato
de la Fig. 6 o Fig. 9
cuyo croquis se