TAREA # 3

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TAREA # 3

MECANICA CLASICA I —— Tarea 3: Oscilaciones
Por Terenzio Soldovieri C. fecha 11:20 , 21/06/2016
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FISICA
TAREA # 3
MECANICA CLASICA I
OSCILACIONES
Prof. Terenzio Soldovieri C.
BBPin: 568EEB0F
URL: http://www.cmc.org.ve/tsweb
e-mails: [email protected]; [email protected]; [email protected] (contacto messenger)
Texto guía: Thornton S. & Marion J. CLASSICAL DYNAMICS OF PARTICLES AND SYSTEMS. 5th ed. Thomson
Brooks/cole, 2004.
Ultima actualización: 21/06/2016.
Indicaciones:
* Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con plasmando en su hoja todos
y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS “DIRECTOS”. El resto de los
problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar.
* La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que anexar la
presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar
uno de los dos, la calificación total será cero.
Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 3.
Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 3. Sin prórroga.
1. Partiendo del hecho de que ! , mostrar que para un oscilador armónico simple
5 2 2 donde ,., y 5 2 5 .
2. Un péndulo simple de longitud " oscila en un medio en el cual el amortiguamiento es proporcional
a la velocidad instantánea ( 3 . Si el medallón del péndulo pasa a través de la posición de
equilibrio en 2 con velocidad 3 , muestre que el ángulo que forma la cuerda del péndulo
con la vertical es,
3 2 ' 2
"
Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 2016. República Bolivariana de Venezuela.
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donde , suponiendo que existe subamortiguamiento y que es pequeño. Tómese el
origen de un sistema de coordenadas Cartesianas como sistema de referencia de forma tal que éste
esté situado en el punto de soporte del péndulo, de forma tal que el eje 6 sea el vertical.
3. Un cilindro homogéneo de peso 4 (ver figura 1) flota en un líquido de densidad de manera que
su eje es perpendicular a la superficie de éste. Si el área de su base es y es el empuje ejercido
por el líquido, mostrar que el período de oscilación del cilindro cuando es presionado un poco hacia
abajo y luego es soltado viene dado por,
Figura (1): Problema 3.
)
4
4. La figura 2 muestra una masa . suspendida por dos resortes idénticos de masa despreciable y de
constante de elasticidad ,. En la posición de equilibrio, figura 2a, los resortes forman un ángulo con la horizontal y tienen logitud " . Fuera de la posición de equilibrio, 2b, el ángulo es .
a) Muestre que la ecuación del movimiento que se origina cuando la masa . es empujada hacia
abajo 6 y luego es soltada viene dada por,
6 6 " ) donde .
b) y que puede ser escrita también como,
6
6 "
6 #
6
"
) 6 6 #
c) Muestre que el período de oscilación viene dado por,
) " Ayuda: suponga la perturbación 6 6 6 (6 6 ) sobre el sistema y sustitúyala en la expresión
dada en 4b.
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5. La figura 3 muestra un peso 4 que está sujeto al fina de una vara (de masa despreciable),
la cual está sujeta al pivote que se encuentra en y sujeta en el punto a un resorte (de masa
despreciable) de constante ,.
a) Muestre que la frecuencia angular del sistema para pequeño viene dada por,
,# .)"
."
Ayuda: escriba la ecuación de movimiento en coordenadas polares.
b) Mostrar que los valores de 4 para que las oscilaciones sean armónicas son,
4
,#
"
6. Cuando la plomada de masa . de un péndulo cónico describe una trayectoria circular, el hilo de
longitud " barre un cono de semiángulo (Figura 4). Mostrar que el período del movimiento de la
plomada es,
"
)
7. Cuando un bloque de masa . es sujetado por un resorte liviano que pende de un soporte fijo, como
se muestra en la figura 5, éste se estira 6 .Mostrar que la frecuencia natural de oscilación del
sistema es dada por,
)
)
6
3
suponiendo que la resistencia ofrecida por el medio en el cual oscila es proporcional a la velocidad
( 3 ( constante positiva) y que 3 es la velocidad terminal del mismo bloque en caída libre en
dicho medio.
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8. Resolver la ecuación diferencial de movimiento del oscilador forzado sujeto a una driving force de la
forma,
' 2
9. Suponiendo una solución del tipo,
5 2 2 '
en la ecuación de movimiento para el Oscilador Amortiguado,
5 5 5 muestre que:
a) Se puede escribir como,
donde , observándose que tiene la forma de la ecuación de movimiento de un
Oscilador Armónico Simple con frecuencia .
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Figura (5): Problema 8
b) Para un amortiguamiento crítico, la solución de la ecuación anterior es dada por,
5 2 '
donde y son constantes arbitrarias.
10. Para cada uno de los sistemas mostrados en la figura 6, a partir de las respectivas ecuaciones de
movimiento, mostrar que la frecuencia de oscilación del bloque de masa . es dada por,
, ,
para el (a)
, , .
, ,
para el (b) y el (c)
.
donde , y , son las constantes de elasticidad de los resortes. Supóngase que la longitud natural de
los resortes (longitud de los resortes sin deformación) es despreciable.
11. Para un Oscilador Amortiguado, muestre que la variación de la energía total con respecto del
tiempo 2 viene dada por,
$5
donde $ es el parámetro de amortiguamiento.
12. Un resorte ideal, constante , y longitud natural - está unido en sus extremos a dos masas . y puntuales. El mismo se encuentra suspendido del techo por el extremo donde está la masa . (ver
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figura 7). En 2 se suelta el resorte. Muestre que la ecuación de movimiento es,
& &2
con 6 6 - (6 , 6 son las distancias al punto de suspensión inicial , situado en el techo,
de las masas y . respectivamente) y .
Figura (7): Problema 12
13. Muestre que el diagrama de fase de un oscilador armónico simple viene dado por la familia de
elipses,
5
5
14. Una partícula de masa . realiza un movimiento circular uniforme de frecuencia angular y radio
, en sentido antihorario como se muestra en la figura 8. La cantidad es la posición angular de
. en el tiempo 2 2 (posición angular inicial) mientras que es la posición angular en un tiempo 2
posterior.
a) Mostrar que la proyección de su posición sobre el diámetro a lo largo del eje 5, oscila con movimiento armónico simple alrededor del centro de la circunferencia de forma que,
5 2 y que si se parte de una posición angular que difiere
de resulta,
5 2 b) Mostrar que si se parte de una posición angular y el movimiento es en sentido horario resulta,
5 2 5 2 15. Un resorte vertical de constante , tiene una longitud natural " y está sostenido en un punto fijo .
Una masa . se coloca en el extremo inferior del resorte, se eleva a una altura * por debajo de y se
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suelta. Demostrar que el punto más bajo que alcanzará está a una distancia por debajo de dada
por,
.) .)*
.)
"
,
,
,
16. Una partícula oscila en un plano de manera que sus distancias 5 y 6 desde dos ejes respectivamente perpendiculares están dadas como funciones del tiempo mediante,
5 2 6 2 a) Demostrar que la partícula se mueve en una elipse inscrita en un rectángulo definido por 5 ,
6 .
b) Demostrar que el período en su trayectoria elíptica es
.
17. Una partícula de masa . está en reposo en el extremo de un resorte de constante ,, el cual pende
de un soporte fijo. En 2 , es aplicada sobre la masa una fuerza constante hacia abajo durante
un tiempo 2 . Mostrar que, después de que la fuerza deja de actuar, el desplazamiento de la masa
respecto de su punto de equilibrio (6 6 , 6 hacia abajo) es,
6 6 donde 2 2 2
,
.
18. La ecuación de movimiento del Oscilador Armónico Simple,
5 5 es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea. Como se sabe, la solución general de
este tipo de ecuaciones se puede escribir como,
5 2 % ' % ' donde % y % son dos constantes arbitrarias y donde 0 y 0 provienen de la solución de la correspondiente ecuación auxiliar.
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a) Mostrar que la solución de la ecuación de movimiento del Oscilador Armónico Simple viene dada
por,
5 2 2 2
donde y son dos constantes arbitrarias, complejas en general, dadas por las expresiones,
% %
+ % % siendo ahora % y % dos constantes arbitrarias igualmente complejas en general. Ayuda: la fórmula
de Euler establece que,
' + b) El problema con la anterior solución es que las constantes y son complejas haciendo que la
solución sea igualmente compleja, sin embargo, la solución tiene que ser real para ser físicamente
aceptable. Mostrar que y se convierten en reales al elegir que las constantes % y % sean
una la compleja conjugada de la otra.
c) Mostrar que la solución encontrada en la parte 18a puede ser escrita además como,
5 2 2 5 2 2 y también como,
5 2 2 5 2 2 dependiendo de la definición de las constantes de fase o fases iniciales y .
d) Mostrar que en las anteriores soluciones, tomando cualquiera de los dos pares, las fases y difieren en .
19. Construya el diagrama de fase para un oscilador sub-amortiguado.
20. En la figura 9 se muestra la gráfica de la posición con respecto al tiempo correspondiente al oscilador sub-amortiguado,
5 2 ' 2 , para . Mostrar que la relación de las amplitudes de oscilación en dos máximos sucesivos es '
(decremento del movimiento), donde el primero de cualesquiera par de máximos ocurre en 2 y
donde . A la cantidad se le llama Decremento Logarítmico del movimiento.
21. Muestre que las gráficas de la energía total y la variación de la energía total
sub-amortiguado son como las mostradas en la figura 10.
para un oscilador
22. Para el par de soluciones,
5 2 2 6 2 2 del oscilador armónico bidimensional, la partícula sigue una trayectoria dada por,
5 56 6 Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 2016. República Bolivariana de Venezuela.
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donde . Mostrar que para el par de soluciones,
5 2 2 6 2 2 el resultado es el mismo, como era de esperarse.
23. La trayectoria, en el plano, para una partícula de masa . que está sujeta a una fuerza restauradora
bidimensional del tipo , 0 viene dada por,
5 56 6 Graficar, utilizando un software adecuado, la trayectoria para , , , , , , ,
, , , suponiendo . Comparar sus resultados con la figura 3-1, pág. 112 del texto:
Marion-Thornton, CLASSICAL DYNAMICS OF PARTICLES AND SYSTEMS, fourth edition.
24. Utilizando un software adecuado grafique,
5 2 2 6 2 2 a) Si para los casos en que es , , . Comparar sus resultados con la figura
3-3, pág. 114 del texto: Marion-Thornton, CLASSICAL DYNAMICS OF PARTICLES AND SYSTEMS, fourth
edition.
b) Si para los casos en que es , , .
25. Resolver la ecuación de movimiento del oscilador forzado,
5 5 5 2
.
donde es la frecuencia de la fuerza aplicada sobre el oscilador.
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26. Resolver la ecuación de movimiento del oscilador amortiguado,
5 5 5 para los casos (sub-amortiguado), (amortiguamiento crítico) y (sobreamortiguado).
27. Mostrar que si en la ecuación de movimiento para un oscilador amortiguado que es excitado por
una fuerza externa del tipo 2,
5 5 5 2
.
, la amplitud del oscilador
se elimina el término relacionado con la fricción y se hace se incrementa como una función del tiempo de acuerdo a la ecuación,
5 2 2 2 2
2
. Interprete físicamente lo que ocurre. Aquí y son constantes de integración.
28. Una masa . se mueve en el plano 56. En la dirección 5 actúan las fuerzas,
. 5
. 6 ( constante positiva)
mientras que en la dirección 6 actúa la fuerza,
. 6
a) Mostrar que al resolver las ecuaciones de movimiento con las condiciones iniciales,
5 6 5 6 ( constante positiva)
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resulta,
2 2 2
6 2 2
5 2 b) Dibujar el camino seguido por la masa ..
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